1.3 Derivada de una funcion dada parametricamente

Si la curva dada por las ecuaciones parametricas x = f(t) y y = g(t) es suave como en la figura 1.8, lapendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x, y) es

dy

dx

que tambien se puede escribir (recordar que x e y son funciones de t)

dy

dx=

dy/dt

dx/dt, para

dx

dt6= 0

y puesto que x = f(t), se puede utilizar la nomenclaturadx

dt= f ′(t) y

dy

dt= g′(t)

Figura 1.8: Pendiente de la recta tangente a la curva

Demostracion. En referencia a la figura 1.9 donde x = f(t) y y = g(t) y con ∆t > 0, entonces

∆y = g(t + ∆t)− g(t) y ∆x = f(t + ∆t)− f(t)

y como ∆x→ 0 cuando ∆t→ 0 se puede escribir

dy

dx= lim

∆x→0

∆y

∆x= lim

∆t→0

g(t + ∆t)− g(t)f(t + ∆t)− f(t)

Figura 1.9: Pendiente de la secante ∆y/∆x

Dividiendo tanto el numerador como el denominador por ∆t se tiene

dy

dx= lim

∆t→0

[g(t + ∆t)− g(t)] /∆t

[f(t + ∆t)− f(t)] /∆t

=lim∆t→0

g(t + ∆t)− g(t)∆t

lim∆t→0f(t + ∆t)− f(t)

∆t

ahora, aplicando la definicion de derivada

dy

dx=

g′(t)f ′(t)

=dy/dt

dx/dt

Ejemplo 1 Determinar dy/dx de la curva plana x = 2t2 + 1, y = 13 t3− t. Luego, determine la pendiente de la recta

tangente a la curva en el punto donde t = 3.

Primero se determina la derivada de x y de y

dx

dt=

d(2t2 + 1)dt

= 4t

dy

dt=

d( 13 t3 − t

dt=

3t2

3− 1 = t2 − 1

Luego se calcula la derivadady

dx=

t2 − 14t

La pendiente de la recta tangente a la curva en t = 3 se obtiene al evaluar la derivada en ese valor delparametro

dy

dx |t=3=

32 − 14(3)

=812

=23

Ejemplo 2 Determine una ecuacion de la recta tangente a la curva con ecuaciones x = sent, y = 2 cos t, en el puntodonde t = 1. Luego grafique la curva y la recta tangente.

Primero se calcula la derivada de la curva

dx

dt=

d(sent)dt

= cos t

dy

dt=

d(2 cos t)dt

= −2sent

dy

dx=−2sent

cos t= −2 tan t

y se evalua en el valor t = 1dy

dx |t=1= −2 tan 1 ∼= −3.11482

Para determinar la ecuacion de la recta tangente, se debe conocer un punto de la recta, este se obtieneevaluando las ecuaciones parametricas de la curva en el valor del parametro t = 1

x = sen(1) ∼= 0.841471, y = 2 cos(1) ∼= 1.08060

El punto es (0.841471, 1.08060). Con el valor de la pendiente y la bien conocida ecuacion de una rectaen forma rectangular (y = b + mx).

1.08060 = b + (−3.11482)(0.841471)b = (3.11482)(0.841471) + 1.08060 = +3.70163

La ecuacion de la recta tangente a la curva en el punto (0.811471, 1.08060) es y = 3.70163− 3.11482x.La curva y la recta se muestran en la figura 1.10

Figura 1.10: Curva y recta tangente

Ejemplo 3 Encuentre los puntos de la curva x = t3−3t2, y = t3−3t donde la recta tangente es horizontal o vertical.

Para una recta horizontal el angulo es cero grados, y la pendiente es cero; para una recta vertical elangulo es 90◦, y la pendiente es inf. calcular la derivada dy/dx.

dx

dt=

d(t3 − 3t2)dt

= 3t2 − 6t = 3t(t− 2)

dy

dt=

d(t3 − 3t)dt

= 3t2 − 3 = 3(t2 − 1)

dy

dx=

3t2 − 33t2 − 6t

=3(t2 − 1)3t(t− 2)

=t2 − 1

t(t− 2)

Para los puntos de tangencia horizontal dydx = 0

t2 − 1t(t− 2)

= 0

y reduciendo

t2 − 1 = 0t2 = 1t = 11/2 = ±1

Los puntos de la curva de tangencia horizontal ocurren para t = ±1 y se obtienen evaluando las ecua-ciones de x y y en cada valor del parametro

x = (1)3 − 3(1)2 = −2, y = (1)3 − 3(1) = −2, para t = 1x = (−1)3 − 3(−1)2 = −4, y = (−1)3 − 3(−1) = 2, para t = −1

Para los puntos de tangencia vertical dydx =∞

t2 − 1t(t− 2)

=∞

para lo cual, el denominador debe ser cero

t(t− 2) = 0, o sea, t = 0 o t = 2

Los puntos de tangencia vertical son

x = (0)3 − 3(0)2 = 0, y = (0)3 − 3(0) = 0, para t = 0x = (2)3 − 3(2)2 = −4, y = (−1)3 − 3(−1) = 2, para t = 2

Entonces, los puntos de tangencia horizontal son (-2, -2) y (-4, 2) y los puntos de tangencia vertical son(0, 0) y (-4, 2). La curva y los puntos de tangencia se muestran en la figura 1.11

Figura 1.11: Curva y puntos de tangencia

La segunda derivada y la concavidad

Ya que dy/dx es una funcion de t, se pueden determinar derivadas de orden superior que seran tambienfunciones de t, ası, la segunda y tercera derivadas son

d2y

dx2=

d

dx

[dy

dx

]=

d

dt

[dy

dx

]dx/dt

d3y

dx3=

d

dx

[d2y

dx2

]=

d

dt

[d2y

dx2

]dx/dt

Como se ve en los cursos de calculo diferencial, la segunda derivada indica la concavidad de la curva, siel valor de la segunda derivada es mayor a cero, la curva es concava hacia arriba y si es menor a cero, esconcava hacia abajo.

Ejemplo 4 Determine los intervalos de t para los cuales la curva x = t2 + 2, y = t2 + 3t es concava hacia arriba oconcava hacia abajo.

La concavidad se determina con el valor de la segunda derivada, lo primero es determinarla

dx

dt=

d(t2 + 2)dt

= 2t

dy

dt=

d(t2 + 3t

dt= 2t + 3

dy

dx=

2t + 32t

dy/dx

dt=

d

dt

[2t + 3

2t

]=

2t(2)− (2t + 3)(2)2t2

= − 32t2

d2y

dx2=− 3

2t2

2t= − 3

4t3

La curva es concava hacia arriba para valores de la segunda derivada > 0, de la ecuacion de la segundaderivada se obtiene que esto sucede para t < 0. La curva es concava hacia abajo para valores de lasegunda derivada < 0, esto es, para t > 0. En la figura 1.12 se muestra la curva y el punto para t = 0que es el punto donde cambia la concavidad de la curva.

Figura 1.12: Curva y regiones de curvatura