Universidad Nacional de Ingeniera Informe de laboratorio N 1 Facultad de Ingeniera Elctrica y Electrnica

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y AMORTIGUADOI.-OBJETIVO:OBJETIVOS GENERALES: Verificar las ecuaciones que gobiernan el movimiento armnico simple y amortiguado. Encontrar los grficos que gobiernan el movimiento armnico simple y amortiguad.OBJETIVOS ESPECIFICOS: Comprobar las leyes que rigen un MAS Y un MAA. Comprobar experimentalmente la relacin entre el periodo, la masa y la constante de rigidez de un sistema de masa-resorte. Estudiar la alternancia entre la energa cintica y la energa potencial de un oscilador mecnico. Comprobar las condiciones para presentarse un MAS y un MAA.

II.-EQUIPO Y MATERIALES:Una computadora con el programa LOGGER PRO detector de movimiento instalado

Una interface LOGGER PRO de vernierconjunto de pesas

Regla milimetrada resortes

Un vaso de plstico un CD o mica

III.-FUNDDAMENTO TEORICO:

MOVIEMIETO ARMONICO SIMPLESi un cuerpo que se encuentra en equilibrio es perturbado ste adquiere un movimiento armnico ,all se encuentra la importancia de estudio de los movimientos armnicos .El movimiento armnico simple(MAS) , es el ms sencillo en describir y analizar las leyes que lo gobiernan constituyen una descripcin bastante precisa de muchos movimientos existentes en la naturaleza.Una partcula posee un movimiento oscilatorio (vibratorio= cuando se mueve peridicamente alrededor de una posicin de equilibrio. Por ejemplo el movimiento de un pndulo es oscilatorio. Un peso unido un resorte estirado comienza a oscilar cuando se libera el resorte. Los tomos de la red cristalina en un solido vibran unos respecto de otros.los electrones de una antena emisora o movimiento vibratorio para posteriormente entender fenmenos fsicos mas complejos como el sonido y la luz.Consideremos a continuacin un sistema simple compuesto por un cuerpo de masa m soportado por un resorte de constante de rigidez k como se muestra en la figura 1.

Figura 1Supongamos que adems que la masa del resorte es despreciable y su longitud sin estirar es la que aparece en la fig. 1.a) la posicin de equilibrio esttico del sistema masa resorte se muestra en la fig. 1.b) en donde representa la elongacin original del resorte en la posicin de equilibrio .como se ve del DCL del cuerpo (fig. 1.c) el bloque esta en equilibrio debido a la accin de 2 fuerzas: su propio peso W y la fuerza del resorte F1=K.si aplicamos la ecuacin de equilibrio X=0 obtendremos:W- K =0 W= K ... (2.1)Enseguida, desplazamos al cuerpo en la direccin negativa de las x, y lo dejamos libre de moverse .como la fuerza restauradora del resorte tira hacia arriba este regresar a la posicin de equilibrio con una velocidad mayor que cero y llegara hasta una posicin extrema por encima de la posicin original de equilibrio. Al no haber fuerzas disipadoras, el cuerpo seguir oscilado indefinidamente. El desplazamiento del bloque para cualquier instante de tiempo (t), lo mediremos mediante la coordenada x la cual tomaremos como positiva hacia abajo y negativa en caso contrario .si aplicamos la 2da ley de Newton X=m.a, al bloque en la fig. 1.e) obtenemos:W- K = m.a =m x (2.2)Remplazando (2,1) en (2,2)m.x + k.x = 0 ..... (2.3) Dicha ecuacin es la ecuacin diferencial de un MAS escribindola de otro modo tenemos.x + 20 .x = 0 .. (2.4) en la cual 0 = (k/m)1/2 se le llama la frecuencia natural de oscilacin y se expresa en rad/s. la solucin de esta ecuacin diferencial es una funcin armnica de la forma:

..... (2.5)Donde: A es la amplitud de la oscilacin 0 es la frecuencia angulas de oscilacin es el ngulo de fase inicial

OSCILACIONES AMORTIGUADASPara explicar el amortiguamiento desde el punto de vista dinmico podemos suponer que adems de la fuerza elstica F= -k.x, existe tambin una fuerza que se opone ala velocidad del cuerpo ,debido ala viscosidad del medio en el cual se realiza el movimiento, podemos expresar esta fuerza de amortiguamiento como F= -b.v, donde b es una constante que depende de la forma del cuerpo , y es llamada coeficiente de la proporcionalidad y esta dada en unidades Nm/s .Luego entonces la ecuacin de movimiento queda como m. a = - k .x - b .vO de manera diferencial: X + 2 .x + 20 .x = 0 ... (2.6)

Donde una solucin es : ... (2.7)

Donde :

Es la frecuencia de oscilacin amortiguada

Es coeficiente de amortiguamiento (rad/s) es la fase inicial del movimiento amplitud de la cual comienza el movimiento amortiguada

IV.-DIAGRAMA DE FLUJO:

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Hallando la constante del resorteInstalar el sensor de fuerza nico al resorte con la computadora como muestra la figura

Medimos la longitud inicial del resorte luego colocamos diferentes masas y la dejamos en equilibrio

Medimos la elongacin del resorte para todos los casos y hacemos la toma de datosHallamos la curva que mejor se ajusta a los datos hallamos su pendiente = (constante del resorte)

Hallando las diferentes ecuaciones del MAS

Una vez instalado todos los materiales como lo indica en la figura pero sin el agua

Suspendemos diferentes masas y dejando en equilibrio para saber su deformacin inicial

Observamos los datos encontrados en la computadora para un determinado tiempo previamente programadoEstiramos una deformacin mayor y la soltamos donde se mostrara un MAS

MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADOInstalamos las herramientas con la computadora considerando el agua

Ubicamos diferentes masas adems, la masa debe oscilar dentro del agua

Observamos los datos obtenidos en la computadora y apuntamosEstiramos el resorte en el agua y lo dejamos libre y observaremos un MAA

V.- TOMA DE DATOS Y ANALISIS DE RESULTADOS:MAS: Constante de rigidez del Resorte, Mtodo Esttico:

1. Grafica de Peso vs Elongacin

(Mtodo Esttico)

(Mtodo Dinmico)

Ajustando la curva a una recta:EcuacionesMtodo Esttico

Mtodo Dinmico

Error Porcentual

DETERMINACIN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLEAjuste de curva

2. Del resultado anterior:Masa (m): 750g Constante de rigidez: Amplitud: A=0.03m Frecuencia natural: = (k/m)1/2 = 8.480 rad/s X (t)= A.cos (t+) X(0)=0.03sen() = -0.03 m Fase inicial: arccos(-0.03/0.03) = = 4.71 rad Periodo: T = 2/ = 0.740 s

3. Hallando la velocidad y aceleracin:Ecuacin de la velocidad:

V (t) = Acos (t+) = 0.03 x 8.48 sen (8.480t + 4.71 rad)V (t) =0.254 sen ( 8.480t + 4.71 rad )

Ecuacin de la aceleracin:

a(t) = -A2sen (t+) = -0.03x8.4802sen( 8.480t + 4.71 rad )a(t) = -2.157cos( 8.480t + 4.71 rad ) Elabore la grfica de Fuerza vs aceleracin y determine la relacin entre ellos.

Donde: F= ma = -1.0887a 0.0951 para una masa de 750 GramosMOVIMIENTO ARMONICO AMORIGUADO:Masa: 1.25kg

TERCERA PARTE: MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO4. Grafique la posicin a travs del tiempo.

5. Realice un ajuste de curvas y determine:Amplitud inicial de las oscilaciones:0.018 mPseudoperiodo T1 las oscilaciones:0.852 sFrecuencia angular () de oscilaciones media: 1= (02 2)1/2=7.373 radFase inicial de oscilacin ():0.335 radDecremento Logartmico :ln(x1/x2)=0.136 Coeficiente de Amortiguamiento :0.201 radENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLEModifique los datos de la posicin del mvil el nivel de referencia est en la posicin de equilibrio.

Elabore la grfica de energa cintica a travs del tiempo.

Elabore la grfica de energa potencial a travs del tiempo.

Elabore la grfica de energa de energa cinetica a travs de la posicin.

Elabore la grfica de energa potencial a travs de la posicin.

Elabore la grfica de energa cintica versus energa potencial y deduzca las magnitudes asociadas al movimiento armnico simple.

ENERGA EN EL MOVIMIENTO AMORTIGUADOModifique los datos de la posicin del mvil, teniendo en cuenta que el nivel de referencia est en la posicin de equilibrio. Graficar Energa versus tiempo.

Graficar Energa Potencial versus tiempo.Elabore la grfica de energa cintica versus energa potencial y deduzca las magnitudes asociadas al movimiento armnico amortiguado.

CONCLUSIONES:MAS Al determinar la constante de rigidez de manera esttica y dinmica nos percatamos que hay un porcentaje de error mnimo en la cual deducimos que las leyes tericas del Movimiento Armnico Simple y Movimiento Armnico Amortiguado se asemejan a lo experimental realizado en el laboratorio.

Comprobamos que la velocidad y la aceleracin varan de acuerdo a su posicin y a un debido instante de tiempo.

De igual forma pudimos observar este otro tipo de movimiento llamado amortiguado que a medida que pasaba el tiempo su amplitud disminuye exponencialmente, eso debido a que este movimiento se realiz en otro medio en el cual haba una fuerza que era contraria a su velocidad y se pudo comprobar la teora hecha en clase con lo experimental, es ms apreciamos la grfica del movimiento amortiguado en la computadora.

MAA

Observamos que este movimiento se asemejaba mucho a un Movimiento Armnico Simple, pero analizando notamos que hay factores que influyen en su movimiento tales como la gravedad y el rozamiento del aire.

Tambin notamos la influencia del soporte universal, en su estabilidad, en nuestras mediciones es para tomar encuenta.

Hemos analizado las frecuencias obtenidas tericamente y experimentalmente obteniendo un error que no pasa del 2%

Al encontrar el valor de la constante de la fuerza del resorte nos damos cuenta que tiene un mnimo margen de error debido a que aplicamos el mtodo de los mnimos cuadrados

La frecuencia ni el periodo dependen de laamplitud

Pudimos observar el comportamiento de la velocidad, la direccin de la aceleracin en cuento su posicin variaba con el tiempo.

Aumentar el nmero de oscilaciones alas cuales medirs el tiempo har ms precisa tu medicin.

Para hacer tambin ms preciso el promedio de tiempos medidos, se debe aumentar igualmente la cantidad de tiempos medidos.

Se comprob que para hallar constantes, es as preciso realizar un ajuste de mnimos cuadrados pues su incertidumbre es meno

BIBLIOGRAFIA:

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