Univ. de Alcala de Henares Ingenierıa de TelecomunicacionCalculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005

Derivadas parciales segundas. Polinomios de Taylor.

1. Derivadas parciales segundas

En la primera parte del curso hemos visto que, para estudiar la curvatura (concavidad) de lagrafica de una funcion f , es necesario emplear la derivada segunda o derivadas de orden superiorde f . Ese estudio de las derivadas superiores nos ha llevado a introducir los polinomios (y series)de Taylor. A su vez, esto permite entre otras cosas desarrollar criterios de existencia de extremos(maximos y mınimos). En este capıtulo veremos como esas ideas se generalizan a funciones devarias variables, dejando para el siguiente el problema de los extremos.

Vamos a empezar por definir las derivadas de orden superior de estas funciones. Las defini-ciones son las naturales. Empecemos con un ejemplo.

Ejemplo 1. Sea f : R2 → R dada por f(x, y) = x6 + 5xy + 8y4 Entonces f es derivable en todoR2. Podemos representar sus dos derivadas parciales en un esquema como este:

∂f

∂x= 6x5 + 5y

f(x, y) = x6 + 5xy + 8y4

∂∂x 22fffffffff

∂∂y

++XXXXXXXXX

∂f

∂y= 5x + 32y3

Las dos derivadas parciales son polinomios, y por tanto derivables en todo el plano.Es decir, quepodemos calcular de nuevo las derivadas parciales de cada una de ellas, como en este esquema:

30x4 =∂

∂x

(∂f

∂x

)

∂f

∂x= 6x5 + 5y

∂∂x 33hhhhhh

∂∂y

++VVVVVVVV

5 =∂

∂y

(∂f

∂x

)

f(x, y) = x6 + 5xy + 8y4

∂∂x

66mmmmmmmmmmmmmmmmm

∂∂y

((QQQQQQQQQQQQQQQQQ

5 =∂

∂x

(∂f

∂y

)

∂f

∂y= 5x + 32y3

∂∂x 44hhhhhhh

∂∂y

**VVVVVV

96y2 =∂

∂y

(∂f

∂y

)

1

Ejemplos como este nos llevan a definir:

Definicion 2 (Derivadas parciales segundas).

Si la funcion f : R2 → R dada por z = f(x, y) es derivable en todos los puntos de una bolaB(p, r) centrada en el punto p = (x0, y0), entonces tiene sentido hablar de las funciones derivadasparciales

∂f

∂x,

∂f

∂y

ya que se pueden calcular en todos los puntos de esa bola. Si estas derivadas parciales son a suvez funciones derivables en el punto p, entonces las derivadas parciales de esas funciones sonlas derivadas parciales segundas de f en p. Hay cuatro de estas derivadas segundas, que serepresentan con esta notacion:

∂2f

∂x2=

∂

∂x

(∂f

∂x

),

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(∂f

∂x

)

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f

∂y

),

∂2f

∂y2=

∂

∂y

(∂f

∂y

)

Observacion. Estas definiciones, y la notacion, se extienden de forma evidente a funciones vec-toriales, es decir a f : Rn → Rm. Si tenemos y = f(x), con x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , ym) yf = (f1, . . . , fm), entonces cada una de sus derivadas parciales segundas se obtiene, a partir por

ejemplo de∂fi

∂xj, derivando parcialmente con respecto a una variable xk. La notacion habitual

es entonces:∂2fi

∂xk∂xjsi es k 6= j

y∂2fi

∂x2j

si es k = j

Otra notacion comun (y a veces muy conveniente) es:

∂2fi

∂xj∂xk= D2

jkfi

Otras derivadas de orden superior. Por supuesto, si las derivadas segundas resultan deri-vables podemos repetir la definicion anterior y obtener unas derivadas parciales terceras, etc. Engeneral hablaremos de la derivada parcial r-esima (o de orden r) de f con respecto a xj1xj2 . . . xjr

para indicar las variables con respecto a las que derivamos, y el orden en que lo hacemos. Lasnotaciones mas comunes son estas:

∂rf

∂xj1 . . . ∂xjr

= Drj1...jr

f

Funciones Ck y C∞. Una funcion f : Rn → Rm cuyas derivadas parciales (primeras) existeny son continuas en todos los puntos de un abierto U se dice que f es de clase C1 en U , o quef ∈ C1(U) (a veces se dice que f es de clase 1, simplemente). De la misma forma, si todas las

2

derivadas de orden menor o igual que k son continuas en todos los puntos de U , diremos que f esde clase Ck en U , o que f ∈ Ck(U). Si f tiene derivadas parciales continuas de todos los ordenes(para todo k) en todos los puntos de U diremos que f es de clase C∞ en U , o que f ∈ C∞(U).Estas funciones se llaman a menudo funciones suaves . Cuando decimos que f es de clase Ck enel punto p, significa que existe una bola centrada en p en la que f es de clase Ck.

Ejemplo 3. Recordemos que la funcion f(x) = xk sen1x, que hemos visto en la primera parte

del curso, es de clase Ck−1 pero no es Ck.

1.1. Igualdad de las derivadas parciales cruzadas: Lema de Schwarz

En el ejemplo 1 (pagina 1) hemos calculado las derivadas parciales segundas de una funcionf(x, y) y hemos visto que se obtenıa:

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x

Este resultado no es una casualidad, ni una particularidad de ese ejemplo, sino la manifestacionde un resultado general.

Para entender este resultado es bueno pensar en el caso dimensional. Cuando calculamos

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f

∂y

)

en un punto (x0, y0) tenemos que estudiar el cociente:

∂f∂y (x, y0)− ∂f

∂y (x0, y0)

x− x0

cuando x esta muy cerca de x0. Lo mas razonable es aproximar cada una de las derivadasparciales con respecto a y mediante un cociente como este:

f(x,y)−f(x,y0)y−y0

− f(x0,y)−f(x0,y0)y−y0

x− x0=

f(x, y)− f(x, y0)− f(x0, y) + f(x0, y0)(x− x0)(y − y0)

Dejamos para el lector comprobar que si empieza con∂2f

∂x∂yy hace aproximaciones similares

llegara a un resultado semejante. Sin embargo, para justificar que estas aproximaciones pasanbien al lımite es necesario suponer que las derivadas parciales que intervienen son continuas. Endefinitiva, se tiene este resultado:

Teorema 4 (Lema de Schwarz).

Si f : U ⊂ Rn → R es una funcion escalar de clase C2 en un conjunto abierto U entonces, paratodo punto p ∈ U se tiene:

∂2f

∂xj∂xi(p) =

∂2f

∂xj∂xi(p)

3

Las derivadas∂2f

∂xj∂xiy

∂2f

∂xj∂xise llaman derivadas parciales cruzadas, y el lema de Scwharz

asegura la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.De hecho, para que se cumpla la igualdad de las derivadas parciales cruzadas es suficiente conque las derivadas segundas existan en todos los puntos de una bola B(p, r) y que al menos unade ellas sea continua en p. Hemos enunciado ası el lema de Shwarz porque a menudo lo massencillo es comprobar que f es de clase C2. Pero es importante comprender que no se puedeprescindir completamente de la continuidad de las parciales, como muestra este ejemplo.

Ejemplo 5. Sea f : R2 → R dada por:

f(x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

Sugerimos al lector que compruebe que:

∂f

∂x(0, y) = −y

∂f

∂y(x, 0) = x

sean cuales sean x e y. (El calculo en (0, 0) de ambas derivadas parciales debe hacerse directa-mente como un lımite.) Por lo tanto es:

∂2f

∂x∂y(0, 0) = lım

x→0

∂f∂y (x, 0)− ∂f

∂y (0, 0)

x− 0= lım

x→0

−x

x= −1

Por un razonamiento similar se llega a

∂2f

∂y∂x(0, 0) = 1

Es decir, que:∂2f

∂x∂y(0, 0) 6= ∂2f

∂y∂x(0, 0)

Es muy conveniente que el lector calcule∂2f

∂x∂yen un punto generico (x, y) 6= (0, 0) (en ese punto,

por supuesto, el orden de derivacion es indiferente) y a continuacion estudie la continuidad enel origen de la funcion obtenida (por ejemplo mediante las rectas que pasan por el origen).

1.1.1. Derivadas cruzadas de orden superior

Por supuesto, si f es de clase Ck, entonces da igual el orden de derivacion en las parciales decualquier orden hasta k, siempre que derivemos el mismo numero de veces con respecto a cadavariable. Es decir, que si (i1, . . . , ik) es una lista de k numeros del 1 al n, y (j1, . . . , jk) es otraordenacion (permutacion) de la lista (i1, . . . , ik), se tiene:

∂kf

∂xj1 · · · ∂xjk

=∂kf

∂xi1 · · · ∂xik

en cualquier punto p de U .

4

2. Polinomios de Taylor.

2.1. El caso de las funciones de dos variables

La idea que queremos desarrollar es una generalizacion natural de lo que hemos hecho enel caso de las funciones de una variable. En esta seccion, para hacer gradualmente ese procesode generalizacion, empezamos por considerar el caso de una funcion de dos variables, pongamosz = f(x, y), que queremos aproximar cerca de un punto p = (x0, y0) mediante polinomios.

2.1.1. Polinomios de primer y segundo orden

Por lo que hemos aprendido, sabemos que la estrategia para obtener aproximaciones mas ymas precisas consiste en considerar polinomios de grado cada vez mas alto. El polinomio de gradouno de una funcion z = f(x, y) es, obviamente, el polinomio que define a su plano tangente. Demanera que, si llamamos T1,pf(x, y) a ese polinomio de grado 1 en el punto p, se tiene:

T1,pf(x, y) = f(x0, y0) +(

∂f

∂x

)

p

· (x− x0) +(

∂f

∂y

)

p

· (y − y0)

Como hemos senalado, un plano es un objeto lineal, que no puede detectar fenomenos como lacurvatura. Si queremos obtener una aproximacion mas precisa y con mas informacion, debemosconsiderar un polinomio de grado superior. Si la funcion f es suficientemente regular en p (porejemplo si es de clase C2 o mas en una bola centrada en p), la expresion que se obtiene para elpolinomio de Taylor de grado dos en p es la que reflejamos en la siguiente definicion:

Definicion 6 (Polinomio de Taylor de grado dos).

Si z = f(x, y) es de clase C2 en el punto p, entonces su polinomio de Taylor de grado dos enese punto es

T2,pf(x, y) = f(x0, y0) +(

∂f

∂x

)

p

· (x− x0) +(

∂f

∂y

)

p

· (y − y0)+

+12!

[(∂2f

∂x2

)

p

· (x− x0)2 + 2(

∂2f

∂y∂x

)

p

· (x− x0) · (y − y0) +(

∂2f

∂y2

)

p

· (y − y0)2]

En la segunda lınea de esta formula aparecen los terminos de grado dos, que involucran alas derivadas segundas de f en p. Como puede verse, los terminos de grado menor coinciden conlos del polinomio de Taylor de orden uno. Esta es una propiedad general de los polinomios deTaylor, y que ya conocemos en el caso de funciones de una variable: al aumentar el grado delpolinomio se anaden nuevos terminos a los ya conocidos.

El siguiente teorema nos confirma que este polinomio es la aproximacion que buscabamos.Recordemos de la primera parte del curso que, para usar el polinomio de Taylor de grado dos,hemos pedido que la funcion sea derivable tres veces.

Teorema 7.

Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p = (x0, y0), en la que f es de clase C3.Entonces, si (x, y) es cualquier punto de esa bola, se tiene

f(x, y) = T2,pf(x, y) + o (‖(x− x0, y − y0)‖) , donde lım(x,y)→p

o (‖(x− x0, y − y0)‖)‖(x− x0, y − y0)‖2

= 0

5

Es decir, que el error que se comete al usar T2,pf(x, y) como aproximacion al valor f(x, y) esmuy pequeno: es pequeno comparado con el cuadrado de la distancia de (x, y) a p.

Ademas, al igual que en el caso de una variable, el polinomio de Taylor T2,pf(x, y) es el unicopolinomio de grado dos con esta propiedad.Veamos un ejemplo:

Ejemplo 8. Dada la funcion z = f(x, y) = sen(xy) su polinomio de Taylor en el punto p =(π/2, 1) se calcula teniendo en cuenta estos valores:

f(p) = sen(π/2) = 1

∂f

∂x= y cos(xy) ⇒ ∂f

∂x p= 0,

∂f

∂y= x cos(xy) ⇒ ∂f

∂x p= 0

(∂2f

∂x2

)

p

= −y2 sen(xy) ⇒(

∂2f

∂x2

)

p

= −1(

∂2f

∂y2

)

p

= −x2 sen(xy) ⇒(

∂2f

∂y2

)

p

= −1

(∂2f

∂y∂x

)=

(∂2f

∂x∂y

)= cos(xy)− xy sen(xy) ⇒

(∂2f

∂y∂x

)

p

=(

∂2f

∂x∂y

)

p

= −π/2

Por lo tanto el polinomio que buscamos es:

T2,pf(x, y) = 1 + 0 · (x− π/2) + 0 · (y − 1)+

+12!

[(−1) · (x− π/2)2 + 2 · (−π/2) · (x− π/2) · (y − 1) + (−1) · (y − 1)2

]

=12− 1

2x2 + xπ − 3

8π2 − 1

2π xy +

14π2y − 1

2y2 + y

2.1.2. Formas cuadraticas

En el proximo capıtulo trataremos sobre los extremos locales de una funcion de dos variablesz = f(x, y). La herramienta basica para hacerlo es el polinomio de Taylor que acabamos dedescribir. Y, como en el caso de una variable, para poder decidir si un cierto punto es unmaximo, un mınimo o ninguna de ambas cosas, tendremos que analizar los terminos de ordendos (las derivadas segundas) de ese polinomio. Por esa razon nos vamos a detener ahora aanalizar con algo de detenimiento esos terminos de orden dos, para expresarlos de una formamas conveniente.

La expresion que necesitamos se aprende en un curso de Algebra Lineal, al estudiar las formascuadraticas. Dada una matriz cuadrada A = (aij), de orden n, y un vector x = (x1, . . . , xn) deRn, podemos combinarlos de esta forma

q(x) =(

x1 x2 · · · xn

)

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . .an1 an2 · · · ann

x1

x2...

xn

Es decir, interpretamos el vector x a la izquierda como una matriz fila (1, n) y a la derecha comouna matriz columna (n, 1). Y multiplicamos las tres matrices que aparecen aquı; el resultado esuna matriz (1, 1), es decir, un numero.

6

Ejemplo 9. Si usamos x = (x1, x2) es un vector cualquiera de R2, entonces la forma cuadraticaasociada a la matriz

A =(

1 35 −1

)

se obtiene calculando:

q(x1, x2) =(

x1 x2

) (1 35 −1

)=

=(

x1 x2

)(x1 + 3x2

5x1 − x2

)= x2

1 + 3x1x2 + 5x2x1 − x22 = x2

1 + 8x1x2 − x22

Como puede verse, el resultado es un polinomio de grado dos en las coordenadas (x1, x2).Ademas, todos los terminos del polinomio son de grado dos, no hay terminos de grado unoo cero (el polinomio es homogeneo).Recıprocamente, dado cualquier otro polinomio homogeneo de grado dos en (x1, x2) (sin terminosde grado uno o cero), como, por ejemplo,

q(x1, x2) = 2x21 + 8x1x2 + 6x2

2

podemos encontrar una matriz A que permite expresar q(x1, x2) como la forma cuadratica aso-ciada a esa matriz. Por ejemplo, poniendo

q(x1, x2) = 2x21 + 8x1x2 + 6x2

2 = 2x21 + 5x1x2 + 3x2x1 + 6x2

2

se observa que podemos usar la matriz

A =(

2 53 6

)

Y si escribimos el mismo polinomio q(x1, x2) de esta otra forma

q(x1, x2) = 2x21 + 8x1x2 + 6x2

2 = 2x21 + 10x1x2 − 2x2x1 + 6x2

2

vemos que podemos usar tambien esta otra matriz

A =(

2 10−2 6

)

Como se ve, hay una cierta arbitrariedad en la eleccion de la matriz, asociada a los terminoscruzados x1x2. Podemos eliminar esa arbitrariedad pidiendo que la matriz A sea simetrica. Enese caso, solo hay una matriz posible:

q(x1, x2) = 2x21 + 8x1x2 + 6x2

2 = 2x21 + 4x1x2 + 4x2x1 + 6x2

2 =(

x1 x2

) (2 44 6

)(x1

x2

)

7

Resumimos las anteriores observaciones en una definicion:

Definicion 10 (Forma cuadratica).

Dada una matriz cuadrada de orden n A = (aij) y simetrica (es decir, con aij = aji), laforma cuadratica asociada a la matriz A es la aplicacion q : Rn → R definida mediante:

q(x1, . . . , xn) =(

x1 x2 · · · xn

)

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

. . .an1 an2 · · · ann

x1

x2...

xn

= x ·A · xT

donde el vector x se interpreta como una matriz fila (1, n), y xT es su matriz traspuesta (unamatriz columna).

2.1.3. Matriz Hessiana

Ahora que disponemos de este lenguaje de formas cuadraticas, podemos volver a los poli-nomios de Taylor. Si nos fijamos en los terminos de grado dos del polinomio de Taylor, queson

12!

[(∂2f

∂x2

)

p

· (x− x0)2 + 2(

∂2f

∂y∂x

)

p

· (x− x0) · (y − y0) +(

∂2f

∂y2

)

p

· (y − y0)2]

observaremos que estos terminos son homogeneos en x−x0 e y− y0. Por lo tanto, podemos usarla notacion matricial para representarlos como una forma cuadratica:

12!

(x− x0 y − y0

)

∂2f

∂x2

∂2f

∂y∂x

∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2

p

(x− x0

y − y0

)

La matriz que aparece en esta expresion se merece un nombre:

Definicion 11 (Matriz Hessiana).

Si f es dos veces derivable en el punto p = (x0, y0), entonces su matriz hessiana en p es lamatriz 2× 2:

Hf(p) =

∂2f

∂x2

∂2f

∂y∂x

∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2

p

Observese que si f es de clase C2 en p entonces la matriz hessiana es simetrica (Lema deSchwarz).

Como veremos en el proximo capıtulo, el analisis de la forma cuadratica que define el hessianoes esencial para caracterizar los extremos locales de una funcion de varias variables.

8

2.1.4. Polinomios de orden mas alto

Naturalmente, si en el punto p la funcion f es de una clase Ck con k > 3, podemos seguirbuscando aproximaciones polinomicas de grado superior. Por ejemplo, el polinomio de gradotres se obtiene sumando al de grado dos estos terminos de grado tres:

t3,p(f)(x) =13!

[(∂3f

∂x3

)

p

· (x− x0)3 + 3(

∂3f

∂x2∂y

)

p

· (x− x0)2 · (y − y0)+

3(

∂3f

∂x∂y2

)

p

· (x− x0) · (y − y0)2 +(

∂3f

∂y3

)

p

· (y − y0)3]

De manera que, como decıamos el polinomio de Taylor de grado tres es

T3,p(f)(x) = T2,p(f)(x) + t3,p(f)(x)

¿Cual es la justificacion del coeficiente 3 que acompana a la derivada∂3f

∂x2∂y? La razon es que

este termino proviene de tres derivadas parciales cruzadas iguales:

∂3f

∂x∂x∂y,

∂3f

∂x∂y∂x,

∂3f

∂y∂x∂x

De la misma forma el coeficiente 3 que acompana a la derivada∂3f

∂x∂y2proviene de estas otras

tres derivadas parciales cruzadas iguales:

∂3f

∂x∂x∂y,

∂3f

∂x∂y∂x,

∂3f

∂y∂x∂x

Numero de derivadas parciales cruzadas coincidentes. En general, el polinomio deTaylor de grado k es de la forma:

Tk,p(f)(x) = t0,p(f)(x) + t1,p(f)(x) + t2,p(f)(x) + · · ·+ tk,p(f)(x) = Tk−1,p(f)(x) + tk,p(f)(x)

donde tk,p(f)(x) son los terminos de orden k de este polinomio. Para poder escribirlos necesita-mos averiguar cuantas derivadas cruzadas de orden k coinciden, como hemos hecho en el casok = 3.

Ejemplo 12. Este problema es puramente combinatorio. Una derivada parcial tal como

∂7f

∂x5∂y2

se obtiene derivando f siete veces, cinco de ellas con respecto a x y dos con respecto a y. Unposible orden de derivacion es este:

(∂

∂x

(∂

∂y

(∂

∂x

(∂

∂x

(∂

∂y

(∂

∂x

(∂f

∂x

)))))))

9

Pero si f es de clase C7, se puede intercambiar las posiciones de las x y las y, sin que cambieel resultado. Es decir, que en general tenemos

(∂

∂??

(∂

∂??

(∂

∂??

(∂

∂??

(∂

∂??

(∂

∂??

(∂f

∂??

)))))))

y tenemos a nuestra disposicion cinco letras x y dos letras y para colocarlas en lugar de lasinterrogaciones. ¿De cuantas formas distintas podemos hacerlo? Es facil darse cuenta de quese trata simplemente de decidir en que dos posiciones colocamos las dos y, y luego rellenar elresto con x. Se trata de elegir las dos posiciones de las y entre siete posibles; en combinatoria

se aprende que la respuesta es(72

)=

7!2!((7− 2)!)

= 21. Es decir, que hay 21 ordenes distintos

de derivacion que producen el mismo valor de la derivada parcial.

Generalizando el ejemplo anterior es facil ver que, dada una derivada parcial de orden k, dela forma

∂kf

∂xi∂yj

(donde, naturalmente, se debe cumplir i + j = k), se pueden encontrar(

k

i

)=

(k

j

)=

k!i!j!

derivadas cruzadas iguales.Con estos resultados, es facil entender que los terminos de grado k del polinomio de Taylor

son (aquı se usa que j = k − i):

tk,p(f)(x) =1k!

k∑

i=0

(k

i

) (∂kf

∂xi∂yk−i

)

p

(x− x0)i(y − y0)k−i

Y por tanto el polinomio de grado k completo es:

Tk,p(f)(x) =k∑

s=0

(1s!

s∑

i=0

(s

i

) (∂sf

∂xi∂ys−i

)

p

(x− x0)i(y − y0)s−i

)

(por convenio, la derivada de orden 0 de f es la propia f).

Teorema de Taylor en orden k La generalizacion del teorema (7), de la pagina 5, es ahoraevidente:

Teorema 13.

Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p = (x0, y0), en la que f es de clase Ck+1.Entonces, si (x, y) es cualquier punto de esa bola, se tiene

f(x, y) = Tk,pf(x, y) + o (‖(x− x0, y − y0)‖) , donde lım(x,y)→p

o (‖(x− x0, y − y0)‖)‖(x− x0, y − y0)‖k

= 0

10

2.2. Polinomios de Taylor en general

La extension de todas estas ideas a funciones de n variables es una mera cuestion de notaciony formalismo. Vamos a describir el polinomio de orden k de una funcion de n variables, pongamosz = f(x1, . . . , xn). Para escribir este polinomio necesitamos referirnos a todas las derivadasparciales de un cierto orden s de f . Cada una de estas derivadas es de la forma:

∂sf

∂xi11 ∂xi2

2 · · · ∂xinn

donde i1, i2, . . . , in son numeros naturales que cumplen i1 + · · · + in = s. Es necesario hacerde nuevo un analisis combinatorio para establecer cuantas derivadas cruzadas iguales hay. Elresultado es que el sımbolo anterior representa a:

(k

i1, i2, . . . , in

)=

k!i1!i2! · · · in!

La definicion del polinomio de Taylor y el correspondiente teorema quedan ası:

Definicion 14 (Polinomio de Taylor general).

Si z = f(x1, . . . , xn) es de clase Ck en el punto p = (a1 . . . , an), entonces su polinomio de Taylorde grado k en ese punto es

Tk,p(f)(x) =k∑

s=0

1

s!

s∑

i1+···+in=s

(k

i1, i2, . . . , in

)(∂sf

∂xi11 ∂xi2

2 · · · ∂xinn

)

p

(x1 − a1)i · · · (xn − an)s−i

Teorema 15.

Supongamos que existe una bola B(p, r), centrada en p = (a1, . . . , an), en la que f es de claseCk+1. Entonces, si x = (x1, . . . , xn) es cualquier punto de esa bola, se tiene

f(x) = Tk,pf(x) + o (‖(x1 − a1, . . . , xn − an)‖) , donde lımx→p

o (‖(x1 − a1, . . . , xn − an)‖)‖(x1 − a1, . . . , xn − an)‖k

= 0

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