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COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI

AREA MATEMATICAS

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”.Galileo Galilei

ESTADISTICAGRADO SEPTIMO

2012

PGF03-R03

INTRODUCCION

La estadística es una ciencia que día a día ha cobrado gran importancia, gracias a su utilidad y a que, pos su alcance puede aplicarse a cualquier rama del saber.

Usando procedimientos sencillos de la estadística, logramos recopilar, organizar, representar y analizar cualquier tipo de información.

Los procesos de investigación obtienen un poderoso apoyo de la estadística, de un modo muy general, pretende describir las variables de interés y las relaciones entre ellas, para el problema en estudio, la estadística es la ciencia que estudia los métodos que permiten realizar este proceso para variables aleatorias. Estos métodos permiten resumir datos y reconocer el papel de la casualidad denominada aquí azar.

Se divide en dos áreas:Estadística descriptiva: la cual trata de describir las variables aleatorias en las "muestras".Estadística inductiva o inferencial: que trata de la generalización hacia las poblaciones de los resultados obtenidos en las muestras y de las condiciones bajo las cuales estas conclusiones son válidas. Se enfrenta básicamente con dos tipos de problemas:

El módulo que trabajaremos, está orientado al abordaje de la estadística descriptiva.

Exitos,

COMITÉ DE AREA DE MATEMATICAS

MATEMÁTICAS - Estadística 72

http://www.hrc.es/bioest/estadis_1.html#muestra

http://www.hrc.es/bioest/estadis_1.html#poblacion

PGF03-R03

ContenidoUNIDAD I.................................................................................................................................. 4

VARIABLES ESTADISTICAS...................................................................................................5

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS........................................................................................7

INTERPRETACIONES DE LOS DATOS DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS.....................12

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES DISCRETAS.................................17

UNIDAD II............................................................................................................................... 23

METODOS GRAFICOS..........................................................................................................23

TIPOS DE GRAFICOS............................................................................................................24

UNIDAD III.............................................................................................................................. 42

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL...................................................................................42

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS...................................43

CALCULOS DE ESTADIGRAFOS EN DATOS TABULADOS.............................................43

NOTACION, SUMATORIA Y PRODUCTORIA.......................................................................53

LECTURA AFECTIVA.............................................................................................................53

NOTACION..........................................................................................................................55

SUMATORIA........................................................................................................................57

PRODUCTORIA.................................................................................................................. 60

UNIDAD IV..............................................................................................................................65

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD................................................................................65

PROBABILIDAD......................................................................................................................68

METODOS PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD..............................................................72

EJERCITACION......................................................................................................................77

DIAGRAMAS DE ARBOL........................................................................................................78

BIBLIOGRAFIA.......................................................................................................................88

WEBGRAFIA...........................................................................................................................88


PGF03-R03

UNIDAD I

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS.

PROPOSITOReforzar los criterios básicos de la estadística, abordados en el grado anterior, fortaleciendo la organización y análisis de datos, esta vez, mediante el uso de tablas de distribución de frecuencias por intervalos, haciendo énfasis en el análisis de los datos representados.


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RECORDEMOS QUE………ENUNCIACIONPoblación. Se denomina población al conjunto total de objetos o individuos de interés en estudio.El número de objetos o individuos que componen la población se denota por N.

Muestra. Se denomina muestra a un subconjunto de unidades seleccionadas de la población de interés.El número de objetos o individuos que componen la muestra se denota por n.

Variable estadística. Se llama variable estadística o simplemente variable a cualquier característica asociada a una colección de objetos o individuos bajo estudio susceptible de medición u observación.Dato. Un dato es un valor de la variable asociada a un elemento de una población o muestra.

Los datos u observaciones son el conjunto de valores que toma esta variable en cada individuo u objeto observado (encuestado).

VARIABLES ESTADISTICAS.

Se les denomina variables estadísticas a las características de los elementos o unidades de estudio que presentan variabilidad o cambio.

Estas pueden clasificarse en dos categorías: VARIABLES CUALITATIVAS Y VARIABLES CUANTITATIVAS. Veamos en el siguiente esquema la clasificación de las variables estadísticas:

Variables Cualitativas:


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Si sus valores (modalidades) no se pueden asociar naturalmente a un número. Además dan origen a los atributos. (no se pueden hacer operaciones algebraicas con ellos)

Nominales: Si sus valores no se pueden ordenar. Ejemplos: Sexo, Grupo Sanguíneo, Religión, Nacionalidad, Raza.Ordinales: Si sus valores se pueden ordenar.Ejemplos: Grado de satisfacción, Intensidad del dolor, calificación de un estudiante (En letras).

Variables Cuantitativas o Numéricas:

Si sus valores son numéricos (tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellos).

Discretas: Si toma solamente valores enteros.Ejemplos: Numero de hijos, alumnos, numero de casas, televisores, etc.Ejemplos: Número de hijos, número de alumnos, número de televisores, número de casas, días del mes.Continuas: Si entre dos valores, son posibles infinitos valores intermedios (se expresan con valores decimales).Ejemplos: Estatura, nota numérica, peso, la temperatura.La variable es continua cuando teóricamente puede tomar cualquier valor entre dos valores dados (un intervalo), es decir, cuando admite valores fraccionarios, o decimales. En general las medidas dan origen a datos continuos, mientras que las enumeraciones y conteos originan datos discretos.MODELACION – SIMULACION.1. Completa el enunciado que corresponde a cada variable, según la clasificación de las

variables. Ejemplo: PESO ___Cuantitativa___, ___Continua__a. Edad _________________, _________________

b. Numero de hermanos __________________, _________________

c. Dibujo animado Favorito ________________, ________________

d. Horas de sueño ___________________, _____________________

e. Nota numérica ___________________, _____________________

f. Nota en letras ____________________, _____________________

g. Calidad de un producto ____________________, _________________

h. Intensidad de dolor ________________, _____________________

i. Estatura _________________________, _____________________

j. Días del mes ______________________, _____________________


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2. Clasifica los siguientes ejemplos de variables e indica si se trata de una Variable cualitativa o de una variable cuantitativa.3. El tamaño de las pilas Varta.___________________________

4. El tiempo de experiencia (años) de un grupo de vendedores de seguros. ___________________________________________

5. La calidad de la leche producida por todas las pasteurizadoras de la Sabana de Bogotá.___________________________________

6. El valor de las cuentas de una compañía durante los 10 primeros meses del año._________________________________________

7. El tiempo que los estudiantes tardan del colegio a su casa._______________________________________________

8. El numero de consignaciones recibidas diariamente en una sucursal bancaria.__________________________________________________

9. El nombre de los cinco finalistas de un concurso de belleza.__________________________________________________

10.La marca de detergente preferido en los hogares del barrio Jordán.____________________________________________________

11.El numero de ejercicios resueltos correctamente en un curso de introducción a los sistemas. _________________________________________

12.El nombre de los mejores equipos de fútbol en el último campeonato mundial. ___________________________________________________________

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES DISCRETAS.

La distribución de frecuencias es un método que se utiliza para organizar y resumir datos. Con este método, los datos que componen una colección se clasifican y se ordenan, indicándose el número de veces que se repite. La tabla distribución de frecuencias contiene dos columnas básicas: los grupos en los que se clasifican los datos y el número de veces que se repite cada dato (Frecuencia).Ejemplo: En una encuesta de hogares sobre el presupuesto familiar se preguntó a las madres sobre el número de hijos en cada familia. Fueron encuestadas 27 madres y los datos son los siguientes:


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X1 =3 X4 =0 X7 =1 X10 =3 X13 =2 X16 =2 X19 =4 X22= 0 X25= 2X2 =1 X5 =3 X8 =1 X11 =2 X14 =2 X17 =1 X20 =2 X23= 4 X26= 3 X3 =2

X6 =2 X9 =3 X12 =4 X15 =0 X18 =3 X21 =3 X24= 3 X27= 3

ANALISISX1 =3, significa que la primera familia entrevistada tiene tres hijos.X2 =1, significa que la segunda familia entrevistada tiene un hijo y así sucesivamente.

No de hijos por familia Conteo FrecuenciaY1 =0 I I I F1 =3Y2 =1 I I I I F2 =4 Y3 =2 I I I I I I I I F3 =8Y4 =3 I I I I I I I I I F4 =9Y5 =4 I I I F5 =3

TOTALES 27

Al observar los datos nos damos cuenta que hay familias que no tienen hijos, algunas tienen

uno, otras dos, tres y otras tienen hasta cuatro hijos.

Llamaremos Y1, Y2, Y3, Y4, Y5 a cada uno de los grupos de datos que se conforman.

Procedemos a realizar la tabla, luego el conteo para determinar la cantidad de familias que

no tienen hijos (Y1), las que tienen un hijo (Y2), así hasta las que tiene cuatro hijos (Y5).

F1 = 3, significa que hay tres familias que no tienen hijos F2 = 4, significa que hay cuatro familias que tienen un hijo F3 = 8, significa que hay ocho familias que tienen dos hijos F4 = 9, significa que hay nueve familias que tienen tres hijos F5 = 3, significa que hay tres familias que tienen cuatro hijos.

El procedimiento mediante el cual se realiza el conteo, para así determinar el número de

veces que cada dato se repite, recibe el nombre de tabulación.

En las distribuciones de frecuencias encontramos cinco tipos de frecuencias que son:Frecuencia Absoluta: Nos indica el número de veces que se repite cada uno de los datos.


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Ejemplo:En un salón de clase se toman las edades de 27 niños y nos piden que sean ordenados, utilizando la frecuencia absoluta.

10, 9, 8, 9, 7, 10, 9, 8, 8, 10, 9, 9, 7, 7, 8. 9, 7, 10, 9, 8, 7, 10, 7, 8, 7, 9, 10Datos Frecuencia

Absoluta7 78 69 8

10 6Total 27

La suma de las frecuencias absolutas equivale al número de observaciones.

Frecuencia Relativa : Se obtiene de la frecuencia absoluta, estableciendo la división entre la

frecuencia absoluta de un dato y el número total de datos.

Ejemplo:De acuerdo al ejemplo anterior nuestra tabla de frecuencias quedaría de la siguiente manera:

La suma de las frecuencias relativas es 1, en el caso de los decimales el valor puede ser

aproximado como en el ejemplo (0.999 aprox. = 1).

Frecuencia Porcentual : Generalmente los estudios estadísticos se presentan en forma de

porcentajes. Para expresar un dato en forma de porcentaje se debe tomar la frecuencia


Datos

FrecuenciasAbsolutas

FrecuenciasRelativas

Valor Decimal

7 7 7/27 0.2598 6 6/27 0.2229 8 8/27 0.29610 6 6/27 0.222

Total 27 1 0.999

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relativa y se realiza la operación indicada (división) al valor resultante se le multiplica por el

100%. Retomando las tablas anteriores obtenemos lo siguiente:

La suma de las frecuencias porcentuales equivale al 100% o en su defecto, un valor

aproximado al 100%.

Frecuencia Acumulada : Se obtiene agregando a cada frecuencia absoluta las

frecuencias de los datos anteriores.

Datos FrecuenciasAbsolutas

FrecuenciasRelativas

Porcentaje FrecuenciasAcumuladas

7 7 7/27 = 0.259 25.9% 78 6 6/27 = 0.222 22.2% 139 8 8/27 = 0.296 29.6% 21

10 6 6/27 = 0.222 22.2% 27Total 27 1 100%

Frecuencia Porcentual Acumulada: Se obtiene dividiendo cada frecuencia acumulada en el

total de observaciones y multiplicando el resultado por 100.

Datos FrecuenciaAbsoluta

FrecuenciaRelativa

Porcentaje

7 7 7/27 =0.259 0.259 x 100% = 25.9%8 6 6/27 =0.222 0.222 x 100% = 22.2%9 8 8/27 =0.296 0.296 x 100% = 29.6%

10 6 6/27 =0.222 0.222 x 100% = 22.2%Total 27 0.999 99.9% = 100%


FrecuenciaRelativa

Porcentaje FrecuenciaAcumulada

Frecuenciaporcentual


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Acumulada 7 7 7/27 = 0.259 25.9% 7 7/27= 0.259=25.9%8 6 6/27 = 0.222 22.2% 13 13/27=0.481=48.1%9 8 8/27 = 0.296 29.6% 21 21/27=0.777=77.7%10 6 6/27 = 0.222 22.2% 27 27/27 =1,000=100 %

Total 27 1 100%


FrecuenciaRelativa

Porcentaje

7 7 7/27 =0.259 0.259 x 100% = 25.9%8 6 6/27 =0.222 0.222 x 100% = 22.2%9 8 8/27 =0.296 0.296 x 100% = 29.6%

10 6 6/27 =0.222 0.222 x 100% = 22.2%Total 27 0.999 99.9% = 100%


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INTERPRETACIONES DE LOS DATOS DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS

En un estudio estadístico más importante que los mismos datos, son las interpretaciones que le demos a esos datos. Las interpretaciones son la representación literal de los números que arroja la tabla de frecuencias.

Ejemplos: Con la anterior tabla de frecuencias podemos decir: De la frecuencia absoluta:

Hay ocho niños que tienen nueve años.Hay seis niños que tienen 10 años.

De la frecuencia relativa:7 de los 27 niños tienen 7 años.8 de los 27 niños tienen 9 años.

De la frecuencia porcentual:

El 25.9% de los niños tiene 7 años.El 22.2% de los niños tiene 8 años.

De la frecuencia acumulada:

13 de los 27 niños tienen de 7 a 8 años.21 de los 27 niños tienen de 7 a 9 años.

De la frecuencia relativa acumulada:

El 48.1% de los niños tiene entre 7 y 8 años.El 77.7 % de los niños tiene entre 7 y 9 años.

EJERCITACION.

A. Utiliza el siguiente conjunto de datos para mostrar el concepto de distribución de frecuencias:

2 3 2 4 3 2 0 2 3 21 2 2 2 1 3 3 1 4 4


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B. Las edades (años) de 50 estudiantes de cierta universidad seleccionados para formar el coro musical fueron:

21 19 22 19 18 20 23 19 19 20 19 20 21 22 21 20 22 20 21 20 21 19 21 21 19 19 20 19 19 19 20 20 19 21 21 22 19 19 21 19 18 21 19 18 22 21 24 20 24 17

1. Construye una distribución de frecuencias con estas edades.

2. Interpreta los datos de la tabla de frecuencias.

D. En la siguiente tabla encontrará una casilla con los datos y otra con las frecuencias

absolutas, usted deberá hallar las frecuencias relativas, las frecuencias porcentuales,

las frecuencias acumuladas y las frecuencias relativas acumuladas.

Los datos corresponden a 40 familias encuestadas. Con la pregunta cuantos hijos hay en

cada familia.


FrecuenciaRelativa

Porcentaje

FrecuenciaAcumulada

Frecuencia PorcentualAcumulada

0 81 92 63 74 10

E. A Carolina se le realizaron dos encuestas una de ellas se la realizó su amiga Lina y

la otra su compañero Fabián. En la encuesta que le realizó Lina le preguntó:

Sexo: F _X_


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Color Favorito: Azul X_ M __ Negro __

Rojo __ Blanco __ Verde __

Color de Cabello: Rubio __ Música Favorita: Reggaeton _X_Negro _X_ Pop __

Rock __ Romántica __

* Carolina respondió a la encuesta de su amiga Lina marcando en cada cuadro con una X.

Su compañero Fabián realizó la siguiente encuesta a Carolina:

Edad: 16 años Estatura: 1.68 cm. ¿Cuánto dinero te dan diario?: $5000 Código: 25

¿Podrías decir que le dijo Carolina a su amiga Lina? ¿Podrías decir que le dijo Carolina a su compañero Fabián? Digamos en cuál de las dos encuestas es apropiado poner las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es tu peso?__________________________2. ¿Cuánto calzas?___________________________3. ¿Cuántos hermanos tienes?__________________4. ¿Cuál es tu comida favorita?__________________5. ¿Cuál es tu programa favorito?________________

Esta tabla nos muestra el número de bebés que nacieron durante los meses de enero a diciembre del año 2006 en un Hospital.


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MESFrecuencia Absoluta

Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Porcentual

Porcentual Acumulada

Enero 49Febrero 26Marzo 18Abril 37Mayo 26Junio 23Julio 27Agosto 28Septiembre 43Octubre 33Noviembre 40Diciembre 35TOTALES

A. ¿Cuáles son los meses en los que nació la mayor y la menor cantidad de bebés? _______________________________________________________________B. ¿Cuál es el porcentaje de los niños nacidos en los meses de marzo, julio, y octubre? _______________________________________________________________C. ¿Cuántos bebes nacieron hasta el mes de julio y cuantos hasta el mes de septiembre? ________________________________________________________________D. ¿Qué porcentaje de bebes nacieron entre enero y agosto?, ¿Entre enero y noviembre? _______________________________________________________________E. ¿Cuántos bebes nacieron en total durante el año 2006 en el Hospital? _________________________________________________________________6. Se encuestaron 60 personas y se le preguntó a cada una de ellas: ¿Durante cuántas horas aproximadamente vio TV en el día de ayer?

Estas fueron sus respuestas: 2, 4, 5, 7, 3, 5, 2, 4, 5, 7, 3, 5, 7, 2, 4, 3, 5, 2, 6, 53, 5, 4, 2, 5, 3, 5, 6, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 7, 2, 7, 53, 2, 5, 4, 2, 7, 3, 2, 4, 2, 7, 2, 3, 4, 6, 5, 2, 3, 5, 7

Construya la tabla de frecuencias.A. ¿Cuántas personas vieron menos de 5 horas de TV? _____________________B. ¿Qué porcentaje de las personas vio 3 horas de TV ayer?__________________


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C. ¿Cuántas personas vieron hasta 6 horas de TV ayer?_____________________D. ¿Cuántas personas vieron 4 horas de TV ayer? __________________________E. ¿Qué porcentaje de las personas vio hasta 2 horas de TV ayer?______________________

7. Completar el siguiente mentefacto conceptual.

MENTEFACTO CONCEPTUAL


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DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES DISCRETAS.

Las variables discretas se refieren a cantidades que tienen una expansión infinita, es decir, si por ejemplo te preguntas por la cantidad de valores comprendidos entre “1” y “2”, pues podrías empezar por el “1”, luego el “1,1” también el 1,11 o el 1,111, VES¡ , puedes seguir poniéndole unos después de la coma y no acabarías NUNCA.

Reglas Generales para construir las distribuciones de frecuencias por intervalos1. Efectuar el arreglo ordenado (Ascendente o Descendente) de la población o muestra

a. A = ( X1, X2, … , Xn )

2. Obtener la frecuencia absoluta mediante la tabulación o conteo de los datos

(homogenizar los datos)

3. Encontrar el rango o recorrido (R) de los datos:

a. R = (valor mayor – valor menor) = Xn – X1

4. Encontrar el número de clases o intervalos de clases (K). El número de clases debe ser

tal que se evite el detalle innecesario, pero que no conduzca a la pérdida de más

información de la que puede ser convenientemente ignorada. Para este cálculo se utiliza

la formula de Sturges

K = 1 + 3.322(log. N)

5. Determinar la amplitud de la clase ( C ):

C= RK

Nota: el resultado siempre se aproxima al siguiente entero si excede al número entero

obtenido, no importa el monto de la fracción excedida al entero


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˜ C = se lee "se aproxima a…"

6. El dato menor (X1) será el límite inferior de la primera clase. A él se le suma C y se

obtiene el límite superior de la primera clase que también será el límite inferior de la

segunda clase. Luego se suma nuevamente C y se obtiene el límite superior del segundo

intervalo e inferior del tercero. Y así sucesivamente hasta que el límite superior

corresponda o supere ligeramente el valor mayor ( Xn ), la cantidad de clases obtenidas

deberá corresponder con el número K calculado mediante la fórmula de Sturges.

7. Una vez construidos los intervalos se calculan, mediante tabulación de acuerdo a los

límites inferiores y superiores de las clases, las frecuencias absolutas, relativas,

porcentuales y acumuladas correspondientes.

Con los datos obtenidos se procede a construir la tabla de distribución de frecuencia.

Tabla de distribución de frecuencias.Una de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la tabulación

de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una tabla, que

denominaremos distribución de frecuencias, en la que cada valor de la variable se le

asocian determinados números que representan el número de veces que ha aparecido, su

proporción con respecto a otros valores de la variable, etc.

Por tanto, llamaremos distribución de frecuencias a un agrupamiento de datos en clases

acompañada de sus frecuencias: frecuencias absolutas, frecuencias relativa o frecuencia

porcentuales. En caso de que las variables estén al menos en escala ordinal aparecen


PGF03-R03

opcionalmente las frecuencias acumuladas absolutas, y frecuencias acumuladas

porcentuales.

Las distribuciones de frecuencias varían en dependencia si corresponden a una variable

discreta o a una variable continua.

Ejemplo #1: Variable Continua:

La tienda CABRERA’S Y ASOCIADOS estaba interesada en efectuar un análisis de sus

cuentas por comprar. Uno de los factores que más interesaba a la administración de la tienda

era el de los saldos de las cuentas de crédito. Se escogió al azar una muestra aleatoria de 30

cuentas y se anotó el saldo de cada cuenta (en unidades monetarias) como sigue:

77.97 13.02 17.97 89.19 12.18 8.15 34.40 43.13 79.61 90.99

43.66 29.75 7.42 93.91 20.64 21.10 17.64 81.59 60.94 43.97

32.67 43.66 51.69 53.40 68.13 11.10 12.98 38.74 70.15 25.68

Solución:

1. Efectuar el arreglo ordenado de la población o muestra:

A= ( 7.42, 8.15, …, …, …, 90.99, 93.91 )

donde: X1 = valor mínimo = 7.42

Xn= valor máximo = 93.91

2. Encontrar el rengo o recorrido de los datos: "R"

R = valor mayor – valor menor = Xn – X1 = 93.91 – 7.42 = 86.49


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3. Encontrar en número de clases "K" , según la fórmula de Sturges:

K=1+3.322(log N)

Nota: en el ejemplo en estudio N=30 por cuanto que son 30 clientes en la muestra:

K = 1 + 3.322 (log 30)

= 1 + 3.322 (1.477) el log fue obtenido según calculadora

= 1+ 4.9069

= 5.9069 ~6 aproximado al siguiente entero

4. Determinar la amplitud de la clase: "C"

Nota: obsérvese que se va a trabajar con una cifra significativa más cómoda, o sea como los

datos están dados en centésimos, se calculo C hasta los milésimos para evitar que algún

dato coincida con el límite de clases

Clases P.M.Xi

fi hi Fa

7.420 – 21.835 14.628 10 0.33 10 0.33 21.835 – 36.250 29.043 4 0.13 14 0.46 36.250 – 50.665 43.458 5 0.17 19 0.63 50.665 – 65.080 57.873 3 0.10 22 0.73 65.080 – 79.495 72.288 3 0.10 25 0.83 79.495 – 93.910 86.703 5 0.17 30 1.00

Total XXX 30 1.00 XXX XXX

Simbología utilizada:

XI = Punto medio o marca de clases

fi = frecuencia absoluta


http://www.monografias.com/trabajos37/la-moda/la-moda.shtml

PGF03-R03

hi = frecuencia relativa

Fa = frecuencia absoluta acumulada

Hi = frecuencia relativa acumulada

Nota:

Obsérvese que el límite inferior de la primera clase es el valor mínimo ( X1=7.42 ) y el límite

superior es el resultado de X1+C = 7.42+14.415 = 21.835.

El límite inferior de la siguiente clase es igual al límite superior de la clase anterior y el límite

superior es el resultado de adicionarle nuevamente la amplitud de la clase ( C ).

Obsérvese que el límite superior de la última clase es igual al valor mayor ( Xn=93.91 )

SIMULACION – EJERCITACION

1. Elabore una tabla de distribución de frecuencias completa (Absolutas y sus respectivas

acumuladas), para cada uno de los siguientes ejercicios:


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Ejercicio 1

38 51 32 65 25 28 34 12 29 4371 62 50 37 8 24 19 47 81 5316 62 50 37 4 17 75 94 6 2555 38 46 16 72 64 61 33 59 2113 92 37 43 58 52 88 27 74 6663 28 36 19 56 84 38 6 42 5098 51 62 3 17 43 47 54 58 2612 42 34 68 77 45 60 31 72 2318 22 70 34 5 59 20 68 55 4933 52 14 40 38 54 50 11 41 76

Ejercicio 2.

Estaturas de 30 soldados170 176 180 185 170 176162 162 185 170 176 180160 167 167 180 162 176185 176 167 170 185 176187 170 162 176 170 167

Ejercicio 3.

Ganancias de una empresa por años

1970 300 1976 2001971 350 1977 1751972 275 1978 1501973 300 1979 1001974 250 1980 751975 200 1981 50


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UNIDAD IIMETODOS GRAFICOS.

PROPOSITOEmplear los métodos gráficos para la representación y el análisis de la información estadística, reconociendo diferentes tipos de estos y su aplicación apropiada de acuerdo al tipo de información a representar y las variables usadas.


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ENUNCIACION.Recordemos que un gráfico estadístico, es la representación de la información estadística, en el Plano Cartesiano, que tiene como objetivo ofrecer una impresión global del material presentado, facilitando su comprensión. Los gráficos estadísticos, pueden, perfectamente, representar a la Tabla de frecuencias.

Algunas recomendaciones importantes en la construcción de un gráfico estadístico, son:

Evitar distorsiones por el uso de escalas inadecuada.

Elegir el tipo de gráfico adecuado, según los objetivos y tipo de las variables.

Sencillez y autoexplicación (Título y una breve explicación, de qué, dónde y cuándo se obtuvo la información).

Dado que un diagrama es una especie de esquemático, formado por líneas, figuras, mapas, utilizado para representar, bien datos estadísticos a escala o según una cierta proporción, o bien los elementos de un sistema, las etapas de un proceso y las divisiones o subdivisiones de una clasificación.

Entonces, las funciones que cumplen los diagramas pueden ser las siguientes:

Hacen más visibles los datos, sistemas y procesos. Ponen de manifiesto variaciones, evolución histórica o espacial. Pueden evidenciar las relaciones entre los diversos elementos de un sistema o de

un proceso y representar la correlación entre dos o más variables. Sistematizan y sintetizan los datos, sistemas y procesos. Aclaran y complementan las tablas y las exposiciones teóricas o cuantitativas. El estudio de su disposición y de las relaciones que muestran pueden sugerir

hipótesis nuevas(recordemos que uno de los objetivos de la estadística, es realizar “predicciones”, acerca de los eventos o fenómenos observados).

Algunos de los gráficos importantes son: el diagrama en árbol, diagrama de áreas o superficies, diagrama de bandas, diagrama de barras, diagrama de bloques, diagrama circular, diagrama circular polar, diagrama de puntos, diagrama de tallo y hoja diagrama, histogramas y gráficos de caja y bigote o boxplots.

TIPOS DE GRAFICOS.


PGF03-R03

Gráficos univariados: Para trabajar los gráficos univariables debemos primero saber lo que es el análisis estadístico univariable y después de esto trabajaremos los métodos pedidos

El análisis estadístico que opera con datos referentes a una sola variable o distribución de frecuencias y pretende determinar sus propiedades estadísticas. El AEU (Análisis Estadístico Univariado) proporciona al analista medidas representativas de la distribución o promedios, dispersión de los datos de la distribución.

Gráficos de puntos : Es una variación del diagrama lineal simple el cual está formado por líneas rectas o curvas, que resultan de la representación, en un eje de coordenadas, de distribuciones de frecuencias, este construye colocando en el eje x los valores correspondientes a la variable y en el eje de las ordenadas el valor correspondiente a la frecuencia para este valor. Proporciona principalmente información con respecto a las frecuencias. Este se usa cuando solo se necesita información sobre la frecuencia. Cuando la muestra se agrupa por intervalos se trabaja con la marca de clase del intervalo de clase (Recuerda que la marca de clase es el punto medio del intervalo).

MODELACION: Duración de tubos de neón

X(horas) Xm F

300-400 350 2

400-500 450 6

500-600 550 10

600-700 650 8

700-800 750 4

30


PGF03-R03

Diagramas de barras : Este diagrama es utilizado para representar gráficamente distribuciones discretas de frecuencias no agrupadas (es decir, sin intervalos). Se llama así porque las frecuencias de cada categoría de la distribución se hacen figurar por trazos o columnas de longitud proporcional, separados unos de otros. Existen tres principales clases de gráficos de barras:

Barra simple: se emplean para graficar hechos únicos Barras múltiples: es muy recomendable para comprar una serie estadística con

otra, para ello emplea barras simples se distinto color o tramado en un mismo plano cartesiano, una al lado de la otra

Barras compuestas: en este método de graficación las barras de la segunda serie se colocan encima de las barras de la primera serie en forma respectiva.

El diagrama de barras proporciona información comparativa principalmente y este es su uso principal, este diagrama también muestra la información referente a las frecuencias

MODELACION:

CIUDAD TEMPERATURA

A 12

B 18

C 24


350 450 550 650 75002468

1012

GRAFICO DE PUNTOS (LINEAS)

X(horas)

f(fre

cuen

cia)

PGF03-R03

A B C0

102030

BARRAS SIMPLES

CiudadTe

mpe

ratu

ra

TIENDA Enero Febrero

Marzo abril mayo Junio

A 800 600 700 900 1100 1000

B 700 500 600 1000 900 1200

Enero Febrero Marzo abril mayo Junio0

500

1000

1500

BARRAS MULTIPLES

A

B

Mes

Vent

as


500

1000

1500

BARRAS MULTIPLES

A

B

Mes

Vent

as


PGF03-R03


100020003000

BARRAS COMPUESTAS

BA

Mes

Ven

tas

Histogramas : Se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de las abscisas. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo. Esta proporcionalidad se aplica por medio de la siguiente formula

Altura del rectángulo = frecuencia relativa/longitud de base

El histograma se usa para representar variables cuantitativas continuas que han sido agrupadas en intervalos de clase, es una forma útil y práctica de mostrar los datos estadísticos.

MODELACION:

X Xm F

118-126 122 2

126-134 130 3

134-142 138 8

142-150 146 12

150-158 154 7

158-166 162 5

166-174 170 2

174-182 178 1

40


PGF03-R03

Gráficos de sectores: es un gráfico que se basa en una proporcionalidad entre la frecuencia y el ángulo central de una circunferencia, de tal manera que a la frecuencia total le corresponde el ángulo central de 360°. Para construir se aplica la siguiente fórmula:

X = frecuencia relativa * 360°/frecuencia relativaEste se usa cuando se trabaja con datos que tienen grandes frecuencias, y los valores de la variable son pocos, la ventaja que tiene este diagrama es que es fácil de hacer y es entendible fácilmente, la desventaja que posee es que cuando los valores de la variable son muchos es casi imposible o mejor dicho no informa mucho este diagrama y no es productivo, proporciona principalmente información acerca de las frecuencias de los datos de una manera entendible y sencilla.

EJ: Representar mediante un gráfico de sectores la frecuencia con que aparece cada una de las cinco vocales en el presente párrafo:

Vocal a e i O u

Frecuencia 13 20 4 6 3 46

2. GRAFICOS BIVARIADOS: Para trabajar los diagramas de dispersión, primero debemos saber que es el análisis estadístico bivariable y las ventajas que este tiene.

El análisis estadístico bivariable es aquel análisis que opera con datos referentes a dos variables y pretende descubrir y estudiar sus propiedades estadísticas. El análisis estadístico bivariable se orienta fundamentalmente a la normalización de los valores o frecuencias de los datos brutos, determina la existencia, dirección y grado de la variación conjunta entre las dos variables, lo que se realiza mediante el cálculo de los coeficientes de correlación pertinentes,


GRAFICO DE SECTORES

a

e

i

o

u

PGF03-R03

calcula la covarianza o producto de las desviaciones de las dos variables en relación a sus medias respectivas y por ultimo establece la naturaleza y forma de la asociación entre las dos variables en el caso de las variables de intervalo.

Diagrama de dispersión: es un diagrama que representa gráficamente, en un espacio de ordenadas, los puntos de dicho espacio que corresponden a los valores correlativos de una distribución bivariante conjunta, estos diagramas deben usarse cuando tenemos un análisis estadístico bivariable, ósea una tabla de datos de doble entrada, la ventaja que tienen es que se puede graficar de una forma sencilla una distribución bivariante conjunta y la desventaja principal es que no funciona si sucede que una dupla se repita

MODELACION:

X Y

A 2 3

B 4 1

C 5 4

D 3 6

E 2 8


1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50

2

4

6

8

10

GRAFICO DE DISPERSION

Y

X

Y

PGF03-R03

SIMULACION.

1. Para determinar en qué horario se necesitan más empleados en un supermercado se realizó la siguiente tabla:

HORARIO CLIENTES FREC. RELATIVA

FREC. ACUMULADA

FREC. PORCENTUAL

8:30 AM – 10:30 AM 4010:31 AM -- 12:30 PM 80

12:31 PM – 2:30 PM 100

2:31 PM – 4:30 PM 120

4:31 PM -- 6:30 PM 110

6:31 PM -- 8:30 PM 608:31 PM -- 10:30 PM 30

TOTAL 540

a. Completar la tabla de frecuencias.

b. ¿En cuál horario se necesita más personal para atender el almacén?

c. En el almacén por cada 10 clientes debe haber un empleado atendiendo.

¿Cuántos empleados debe haber en el almacén en cada horario?

d. Si un empleado trabaja 8 horas diarias, ¿Cuántos empleados debe contratar el almacén?

e. Elabora el histograma, y el diagrama de líneas.

2. En una encuesta realizada a los alumnos del grado séptimo, se formuló la siguiente pregunta: ¿Cuál es tu materia favorita? Los resultados fueron:


PGF03-R03

Matemáticas Biología Ingles Matemáticas Ed. Física Español

Español Sociales Ed. Física Ed. Física Sociales Matemáticas

Español Matemáticas Sociales Español Ingles Sociales

Sociales Español Español Ingles Matemáticas Ed. Física

Matemáticas Ingles Matemáticas Biología Sociales Español

a.) Organiza la información en una tabla de frecuencias absoluta, relativa, porcentual y acumulada.

b) Elabora un diagrama de barras, el diagrama circular y el diagrama de líneas.

3. En el siguiente cuadro se muestran los índices de producción de petróleo de algunos Departamentos de Colombia.

a. Elabora el diagrama de barras, el diagrama circular y el diagrama de línea.

4. La OMS (Organización Mundial de la salud) realizo un estudio en los 5 países más industrializados del mundo acerca de su tasa de mortalidad, los resultados fueron:


Departamento Producción por millones

barriles mensuales

Vichada 7

Putumayo 12

Meta 8

Nte. de Santander 6

Arauca 4

PGF03-R03

a. Elabora el diagrama de barras, el diagrama circular y el diagrama de líneas y un cartograma.


País Tasa de mortalidad

Japón 16

Estados Unidos 27

Rusia 21

Inglaterra 25

Francia 18

PGF03-R03

EJERCITACION.1. Estas son los puntajes obtenidos por los 100 candidatos que se presentaron a un

concurso:

38 51 32 65 25 28 34 12 29 43

71 62 50 37 8 24 19 47 81 53

16 62 50 37 4 17 75 94 6 25

55 38 46 16 72 64 61 33 59 21

13 92 37 43 58 52 88 27 74 66

63 28 36 19 56 84 38 6 42 50

98 51 62 3 17 43 47 54 58 26

12 42 34 68 77 45 60 31 72 23

18 22 70 34 5 59 20 68 55 49

33 52 14 40 38 54 50 11 41 76

Presenta dichos datos en una tabla de intervalos de clase.

2. En una cierta ciudad, se registra el número de nacimientos ocurridos por semana durante las 52 semanas del año, siendo los siguientes los datos obtenidos:

6 4 2 8 18 16 10 6 7 5 12 8 9

12 17 11 9 16 19 18 18 16 14 12 7 10

3 11 7 12 5 9 11 15 9 4 1 6 11

7 8 10 15 3 2 13 9 11 17 13 12 8

Elabora una tabla de intervalos de clase.


PGF03-R03

3. Las edades de veinte chicos son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12, 10 y15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias.

¿Qué porcentaje de chicos tienen 12 años? ¿Cuántos chicos tienen menos de 14 años?

4. En cada día del mes de enero, en un camping hubo la siguiente cantidad de turistas: 12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58. Construye una tabla de frecuencias para estos datos.

5. Representa mediante diagrama de barras, de sectores y de línea, los beneficios de la empresa ASIS (en millones) que han sido:

1970 200 1976 425

1971 250 1977 400

1972 250 1978 400

1973 300 1979 300

1974 350 1980 350

1975 400 1981 400

6. Compara los beneficios, mediante diagrama de barras compuestas, obtenidos por la empresa ASIS, utilizando los datos del ejercicio anterior, con los de la empresa Pérez, que te mostramos a continuación:

1970 300 1976 200

1971 350 1977 175

1972 275 1978 150

1973 300 1979 100

1974 250 1980 75

1975 200 1981 50


PGF03-R03

7. Representa mediante histograma y diagrama de líneas, realizando también su diagrama circular o de sectores, las siguientes poblaciones:

a) Las estaturas de 30 soldados de una compañía en cm.

170 176 180 185 170 176

162 162 185 170 176 180

160 167 167 180 162 176

185 176 167 170 185 176

187 170 162 176 170 167

b) Las cantidades en l/m2 que los pluviómetros de 20 ciudades recogieron en un día de lluvia.

8 2 10 17 15

10 17 8 2 10

15 15 2 1 17

2 8 8 15 15

DEMOSTRACION

Identifica cada uno de los siguientes casos como ejemplos de datos: a) Cualitativos

b) Datos discretos c) Datos continuos.

1. El resultado de la encuesta hecha a un grupo de posibles votantes a cerca del candidato de su preferencia.

a. Cualitativosb. Discretosc. Continuos


PGF03-R03

2. El tiempo necesario para que una herida cicatrice cuando se utiliza un nuevo medicamento.

a. Cualitativosb. Discretosc. Continuos

3. El número de páginas escritas en cada trabajo en la impresora de un computador.

a. Cualitativos

b. Discretos

c. Continuos

4. El número de llamadas telefónicas recibidas en el conmutador de una compañía durante un día.

a. Cualitativos

b. Discretos

d. Continuos

5. La clase de árbol empleado como símbolo de cada departamento de Colombia.

a. Cualitativos

b. Discretos

c. Continuos

6. La velocidad de un automóvil en kilómetros por hora.

a. Cualitativos

b. Discretos

c. Continuos


PGF03-R03

7. Las temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

a. Cualitativos

b. Discretos

b. Continuos

8. Para realizar una histograma es necesario hallar: a. Frecuencia Absoluta

b. Frecuencia Absoluta Acumulada

c. Frecuencia Relativa

d. Frecuencia Porcentual

9. Para la elaboración del diagrama circular la fórmula apropiada es.

360° X F. absoluta a. -----------

F. Relativa

360° X F. acumulada b. ------------

F. Porcentual

360° X F. absoluta

c. ------------

Total de datos


PGF03-R03

360° X Total datos

d. ------------

F. Absoluta

10. Qué tipo de diagrama de frecuencia se utiliza para mapas que contienen datos estadísticos.

a. Diagrama Circular

b. Diagrama de Barras

c. Pictograma

d. Cartograma

11. Si estoy elaborando una diagrama de líneas la frecuencia que debo utilizar debe ser:

a. Frecuencia absoluta

b. Frecuencia acumulada

c. Frecuencia porcentual

d. Frecuencia relativa acumulada

12. Se preguntó a 75 estudiantes de séptimo grado por el sabor de gaseosa preferida estas fueron sus respuestas:


Sabor de Gaseosa Estudiantes

Coca-cola 25

Sprite 15

Uva 17

Manzana 18

Total 75

PGF03-R03


PGF03-R03

A. Cuál es el sabor de gaseosa preferido por los estudiantes:

a. Coca-colab. Spritec. Manzanad. Uva

B. La frecuencia relativa del segundo dato es:

a. 8/40b. 4/40c. 16/40d. 12/40

C. la frecuencia porcentual del primer dato es:

a. 25.5%b. 18.6%c. 33.3%d. 15.5%


PGF03-R03

UNIDAD IIIMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

PROPOSITO:

Determina el valor de los principales estadígrafos: moda, mediana y media, teniendo como

base diversas colecciones de datos agrupados, profundizando en el análisis que puede

obtenerse a partir de estas medidas estadísticas.


PGF03-R03

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS

ENUNCIACION.Después de haber ordenado y descrito un conjunto de datos, aún el análisis resulta todavía un tanto incompleto; es necesario entonces resumir la información y facilitar así su análisis e interpretación utilizando ciertos indicadores.

A estos indicadores se les denomina también ESTADIGRAFOS o MEDIDAS DE RESUMEN, permiten hallar un valor numérico, el mismo que representa a toda la población o muestra en estudio.

En esta oportunidad nos centraremos en la obtención de dichos estadígrafos, a partir de datos agrupados (En el grado anterior, aprendiste a calcularlos, para datos sin agrupar).

CALCULOS DE ESTADIGRAFOS EN DATOS TABULADOS Si los datos están agrupados ya sea en tablas de frecuencias simples o en intervalos de clase, debemos utilizar un criterio diferente para calcular los distintos estadígrafos. Analicemos el siguiente ejemplo:MODELACION.Consideremos la siguiente distribución de frecuencias que corresponden a los puntajes de 50 alumnos en una prueba.Intervalos M.C.

(x)fi f·x Fa

[60 – 65) 62,5 5 312.5 5[65 – 70) 67,5 5 337.5 10[70 – 75) 72,5 8 580 18[75 – 80) 77,5 12 930 30 Intervalo mediano[80 – 85) 82,5 16 1320 46 Intervalo modal [85 – 90) 87,5 4 350 50TOTALES

50 3830

La Media Aritmética: x=∑ f·x

∑ f x=3830

50=76 . 6

ptos. ¿ 77 ptos.


PGF03-R03

Para calcular La Mediana necesitamos la siguiente fórmula:

Me=L+( n2−Fa) · A

f i

En el ejemplo, la cantidad de datos es 50, luego 50/2 = 25, y la Fa 25 se encuentra en el intervalo [75 – 80) ya que el 25 está aquí, en cambio en la anterior (18) no está. Luego el intervalo mediano es [75 – 80)

Entonces: L = 75 (límite inferior)

fi = 8

A = 5 (80 – 75 = 5)

Fa = 18 (frecuencia acumulada del intervalo anterior)

Me=75+(50

2−18) ·5

8=75+ 7 ·5

8=75+4 .375=79 .375

¿ 79 ptos.

y finalmente, para calcular la Moda en datos agrupados, utilizamos la siguiente fórmula, teniendo presente que la clase modal es la que tiene mayor frecuencia, y esta es la Frecuencia Modal.

Mo=L+d1

d1+d2· A

L = 80 (intervalo modal [80 – 85), ya que la frecuencia es 16, que es la mayor)

d1= 16 – 12 = 4 (diferencia con la frecuencia anterior)

d2= 16 – 4 = 12 (diferencia con la frecuencia siguiente)


Donde: L es el límite inferior del intervalo mediano.

Fa es la frecuencia acumulada hasta antes del

L: Límite real inferior de la clase modal.

d1: es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia anterior.

PGF03-R03

A = 5

Luego, Mo=80+ 4

4+12· 5= 80 +20

16=81 ,25

puntos. ¿ 81 puntos.

Se estima que el valor más repetido de los puntajes de esta prueba fue el 81.

SIMULACION

1) Los siguientes datos numéricos corresponden a la cantidad de veces que cada alumno de un grupo ha ido a un recital o concierto.

2 – 4 – 3 – 2 – 1 – 1 – 6 – 3 – 0 – 3 – 2 – 4 – 6 – 9 – 3 – 2 – 1 – 6

Calcula, sin tabular, Media, moda, mediana, desviación, n, rango.

2) En un diagnóstico de educación física se pidió a los alumnos de los grados séptimo que hicieran abdominales durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados:

7º A: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47 48 54

33 45 44 41 34 36 34 54

7º B: 43 45 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37 45 28 42

41 49 40 37 34 44 41 43

¿Cuál de los dos cursos tiene el rendimiento más parejo? ¿Qué distribución estadístico permite comparar la distribución de este tipo de datos?


PGF03-R03

3) A continuación se presentan los resultados de ambos cursos en la prueba de diagnóstico de salto largo.

7º A : 3.2 3.5 4.9 5.0 3.1 4.1 2.9 2.8 3.8 4.5 4.3 4.5 4.1 5.8 3.9 3.6 4.2 4.6 1.9

2.8 2.9 3.3 3.9 4.2 4.1 4.3 4.6 4.4 3.8 3.6

7º B : 3.5 2.9 1.3 1.7 3.6 5.6 2.8 5.2 5.3 4.1 4.1 4.4 1.6 5.1 4.3 5.0 5.3 3.2 2.8

2.6 5.5 5.4 4.8 4.9 4.3 2.9 3.9 5.4 5.3 4.2

a) Calcula el promedio de ambos cursos.

b) Construye una tabla de frecuencias para cada curso

c) Cuál de los dos cursos tuvo un rendimiento más homogéneo?

4) Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los siguientes datos:

175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168 176 166 167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170 157 170 173 173 174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154 175 160 175 177 178 180 169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169 173 171 173

Agrupa estos resultados en 8 intervalos y elabora una tabla de frecuencias y calcula las medidas de tendencia central. Además, grafica esta tabla.

5) A los mismos alumnos anteriores se les aplicó una prueba de inteligencia, estos han sido:


PGF03-R03

87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115 89 82

141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115 104 87 108 115

103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117 114 141 116 108 102 101

118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131 127 100 91

Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8. y haz lo mismo que en problema anterior.

1. Se da la siguiente distribución del número de maquinas dispensadoras de gaseosas que necesitan reparación por semana en cierto colegio.

Halla la Media Aritmética:

Número de defectos Frecuencia

0 47

2 33

4 14

6 28

8 16

10 42

12 39

2. La distribución de defectos por metro cuadrado de cierta clase de alfombra es:

Halla la Media aritmética de la tabla.


PGF03-R03

3. Halle la media del peso y la estatura de 15 de sus compañeros de curso, con los datos recolectados elabora una tabla de frecuencias.

4. Escriba con sus propias palabras cual es la diferencia entre una Media Aritmética y una Media Aritmética de una distribución de Frecuencias.

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PGF03-R03

DEMOSTRACION

1. La siguiente tabla muestra la distribución de la edad de las alumnas de un colegio

Edad

(años)

Frecuencia

Absoluta

9 48

12 120

15 352

18 80

21 40

Total 640

Hallar la Edad promedio.

a. Hallar la Mediana de las edadesb. Hallar la Moda, entre las edadesc. Construir el histograma de frecuencia correspondiente

3. Calcular la Media, la Mediana y la Moda para los siguientes conjuntos de números (No es necesario que elabores la tabla de frecuencias):

a. 8, 5, 10, 13, 16, 11, 8, 10, 8, 7, 5, 6, 8, 9, 12, 11, 13, 14, 6, 15, 9, 13, 7, 10, 6

b. 5, 3, 8, 2, 4, 5, 11, 6, 5, 1, 10, 6, 8, 10, 4, 7, 12, 5, 16, 11, 13, 7, 8, 6, 10, 6, 8

4. Las siguientes fueron las notas de estadística elemental de 30 alumnos de una Universidad de la ciudad:

3.5, 2.8, 4.0, 5.0, 3.3, 2.0, 1.0, 4.5, 2.0, 1.5, 3.3, 5.0, 4.2, 3.1, 4.7

4.0, 5.0, 3.3, 2.0, 1.5, 3.1, 2.0, 4.8, 4.2, 3.3, 2.5, 4.9, 3.2, 1.5, 2.5


Estadígrafos de tendencia central

PGF03-R03

Determina la media aritmética, la moda y la mediana de las notas de los alumnos.

Compara los resultados obtenidos.

5. Completa el siguiente mentefacto.

DEMOSTRACION.

La siguiente actividad, nos servirá como preparación a la pruebas ICFES.

1. Si se tienen los siguientes datos de las edades de 15 alumnos:

10, 12, 11, 15, 18, 11, 10, 14, 13, 16, 17, 10, 12, 13, 14

A. La media aritmética es:

a. 11.06b. 12.66c. 13.06d. 14.66


PGF03-R03

B. La mediana de los datos es:

a. 12b. 11c. 14d. 13

C. La moda de los datos es:

a. 11b. 10c. 12d. 14

2. Las notas de estadística de 20 alumnos de un colegio fueron:

4.5, 5.0, 5.5, 6.5, 7.0, 6.5, 2.0, 3.5, 6.0, 5.5,

8.0, 1.5, 8.5, 6.5, 3.5, 5.5, 3.5, 1.5, 2.0, 4.5

A. La media aritmética de las notas es:

a. 5.15b. 4.85c. 5.05d. 4.55

B. La nota mediana es:

a. 5.25b. 5.05c. 5.55d. 6.05

C. Las notas modales son:

a. 5.5 – 6.0 - 3.5b. 5.5 – 6.5 - 3.5c. 6.5 - 3.5 – 4.5d. 4.5 - 5.5 – 6.5


PGF03-R03

1. La siguiente tabla nos muestra el número de goles anotados en los partidos durante el Campeonato Mundial de Fútbol Alemania 2006

Nº. de goles Nº. de Partidos

0 9

1 11

2 10

3 15

4 12

5 7

A. El promedio de goles por partido en el mundial fue:

a. 2.55b. 2.48c. 2.36d. 2.40

B. La moda de la tabla es:

a. 3 golesb. 4 golesc. 2 golesd. 0 goles


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NOTACION, SUMATORIA Y PRODUCTORIA

PROPOSITO

Calcula sumatorias y productorias de conjuntos o colecciones de datos y maneja sus propiedades, reconociendo este método como forma para dar orden y significado a un conjunto de datos.

LECTURA AFECTIVAMatemáticas, estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100...), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas... de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo.

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.


PGF03-R03

Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.

EJERCITACION

1. Según la lectura anterior como fueron las primeras formas de notación del número

_________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________

2. Explique con sus propias palabras la siguiente frase: “En la notación cuneiforme de Babilonia el símbolo utilizado para el 1 era también usado para representar el 60 y sus potencias”.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

3. Explique con sus propias palabras cual fue la innovación más importante de los

Griegos.

_______________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________


PGF03-R03

NOTACION.Notación es la acción de indicar o representar por medio de signos convencionales términos estadísticos. Estas notaciones se pueden representar por medio de índices, subíndices y símbolos (productoria, sumatoria, etc).

El uso de la notación genera la rapidez, la versatilidad, la organización de los sistemas numéricos, los cuales en algunos problemas matemáticos y estadísticos eran muy grandes y engorrosos, lo que dificultaba la manipulación y la solución pronta a estos problemas; con la ayuda de la notación se sintetizaron grandes problemas y paso de dificultades grandes a pequeñas.

Estas notaciones se representaron de la siguiente manera:

Se reemplaza “n” en la ecuación después de sigma, por los enteros 1, 2,........,n y se suman las expresiones que resulten.

MODELACION:

En una encuesta a hogares sobre el presupuesto familiar se preguntó sobre el número de integrantes en la familia. Fueron encuestadas diez familias y los datos son los siguientes:

3 5 4 6 43 7 8 3 4

En primer lugar asignamos a cada valor su posición correspondiente así:

X1 = 3 X2 = 5 X3 = 4 X4 = 6 X5 = 4

X6 = 3 X7 = 7 X8 = 8 X9 = 3 X10 = 4

X1 = 3 significa que la primera familia encuestada tiene tres integrantes.

X2 = 5 significa que la segunda familia encuestada tiene cinco integrantes y así sucesivamente.


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La variable X en este caso es equivalente a las familias y el subíndice n es igual a la posición en la que la familia fue encuestada en distintas observaciones de un estudio estadístico también así:

X1 “se lee” “equis sub-uno” que corresponde al primer dato.

X2 “se lee” “equis sub-dos” que corresponde al segundo dato y así sucesivamente hasta Xn “se lee” “equis sub-ene” que es la última o n-esima medición.

El conjunto de n observaciones constituye una muestra de tamaño n.

El conjunto de datos X1, X2,......,Xn no permite apreciar los elementos importantes para analizar, pero sí conocer su posición.

SIMULACION

1. A la siguiente familia de datos asígnale el sub-índice correspondiente a la variable Nº DE MASCOTAS POR FAMILIA, e interpreta tres posiciones.

1 6 4 2 3 5 2 1

2 1 4 3 2 4 5 1

1 5 4 3 2 3 4 3

1 4 5 2 1 2 1 2

2 1 6 3 1 1 3 5

2. Realiza la tabla de Frecuencias para el punto 1, y grafica de tres formas distintas los resultados de la tabla de frecuencias.


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SUMATORIAEs la Notación simplificada y simbólica de la suma de un gran número de términos que guardan entre sí cierta relación. Se simboliza (este símbolo, en matemáticas, se denomina sigma).

MODELACION.

Dado un conjunto de datos:

4, 8, 3, 12, 15, 16, 20, 22, 21, 14, 12, 5..........

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9, X10, X11, X12 ......... Xn

Se puede representar la suma de los “n” primeros términos con la notación sumatoria o sigma, así:

Y esto se lee:

La sumatoria de los X sub -i que van desde 1 hasta n. La letra X es el índice de la suma o variable de la sumatoria; ahora:

∑i=1

12

x i = 4 + 8 + 3 + 12 + 15 + 16 + 20 +22 + 21 + 14 +12 +5 = 152

∑i=2

10

x i = 8 + 3 + 12 + 15 + 16 + 20 + 22 + 21 + 14 = 131


∑i=1

n

x i

PGF03-R03

PROPIEDADES DE LA SUMATORIALa sumatoria es el signo más utilizado en la estadística; sus propiedades tienen una gran importancia.

Entre algunas de las propiedades de la sumatoria tenemos:

a) La sumatoria del producto de una constante por una variable : es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable.

MODELACION.

∑i=1

n

ki= k∑i=1

n

i

∑i=1

5

2 i=(2)1+(2 )2+(2)3+(2 )4+(2)5=2+4+6+8+10=30

Siendo igual a la expresión de:

2∑i=1

5

i=2 (1+2+3+4+5 )=2 (15 )=30

Entre otros casos especiales de la sumatoria tenemos:

a. ∑i=1

n

i =

n∗(n+1 )2

Ejemplo:

∑i=1

10

i= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55


PGF03-R03

∑i=1

10

i=

10∗(10+1 )2

=10∗(11)

2=110

2=55

b. ∑i=1

n

i2

=

n∗(n+1 )∗(2n+1 )6

Ejemplo:

∑i=1

10

i2

= 12

+22

+32

+42

+52

+62

+72

+82

+92

+102

=385

∑i=1

10

i2

=

10∗(10+1 )∗(20+1 )6 =

110 (21 )6 = 385

c. ∑i=1

n

i3

= [ n∗(n+1 )

2 ]2

Ejemplo:

∑i=1

5

i3

= 13

+23

+33

+43

+53

= 225

∑i=1

5

i3

= [ 5 (5+1 )

2 ]2

= [30

2 ]2

= (15 )2

=225


PGF03-R03

PRODUCTORIA

Es la notación simplificada y simbólica de la multiplicación de un gran número de términos

que guardan relación entre sí. Se simboliza: .

MODELACION.

Dado el siguiente conjunto de datos:

2, 4, 3, 6, 8, 5, 1

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

Se puede representar el productos de los n primeros términos con la notación productoria así:

∏i=1

n

x i= x 1×x 2×.. .. . .. .×x n

Se reemplaza la n en la ecuación productoria por los enteros 1, 2,......., n y se multiplican las expresiones que resultan, con lo que se llega al lado derecho de la expresión; esto se lee: La productoria de los equis sub- i que van desde uno hasta ene.

La letra X es el índice del producto, ahora:

∏i=1

4

x i= 2×4×3×6=144

∏i=3

7

x i= 3×6×8×5×1=720


PGF03-R03

PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA:El producto de una constante es igual a una potencia: en donde la base es la constante y el exponente es el límite superior del producto.

∏i=1

n

k= k×k×k× .. .. . .. .×k=k n

Ó sea ∏i=1

n

k=k n

Ejemplo:

∏i=1

3

2= 2×2×2=23

=8

El producto de una constante por una variable: es igual a la constante elevada al límite superior por la productoria de la variable.

∏i=1

n

k xi= k n [∏i=1

n

x i]∏i=1

n

k x i= (k x 1)(k x2) .. . .. ..(kx n) = (k×k×k×.. .. .×k )(x1×x 2× .. ..×xn )

=k n

∏i=1

n

x i

Ejemplo:

∏i=1

3

2i= 23

∏i=1

3

i= 8 [ 1×2×3 ]=8 (6 )=48


PGF03-R03

EJERCITACION

1. Realizar de los siguientes datos las sumatorias y productorias correspondientes:

a. 7, 9, 12, 6, 4, 3, 5, 1, 2, 4.

b. 2.5, 3.2, 0.4, 5.8, 1.7, 1.0, 2.5, 3.5, 1.2,

2. Responder con sus propias palabras las siguientes preguntas:

a. ¿Qué se entiende por índice y subíndice?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

b. ¿Qué es una sumatoria?

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

c. ¿Qué es una productoria? _______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

5. Elabora en tu cuaderno un mentefacto conceptual, por cada una de las operaciones estadísticas vistas en la Unidad.


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DEMOSTRACION

1. La sumatoria de 5, 8, 9, 3, 6, 4, 7, 1, 0, 2, 9, 8, 4, 5, 4, 4, 6, 3, 2, 8, 10, 8, 9, 5, 2, es:

a. 131 b. 130c. 132d. 133

2. La productoria de 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9 es:

a. 362.890b. 363.880c. 361.690d. 362.880

3. La sumatoria de 11, 12, 15, 19, 20, 24, 26, 22, 33, 31, 35, 37, 41, 44, 42, 40 es:

a. 454b. 452c. 455d. 453

4. La productoria de 2, 5, 8, 9, 10, 12, es:

a. 85.400b. 86.400c. 85.500d. 86.500

5. El símbolo de productoria es:

a.

b.

c.

d.


PGF03-R03

6. Al realizar la productoria de los siguientes datos 3, 8, 5, 2, obtenemos:

a. 120

b. 240

c. 230

d. 200

7. De acuerdo a los siguientes datos el orden de estos son:

4 9 12 7 18 6

a. X1 = 7 ; X2 = 9 ; X3 = 12 ; X4 = 18 ; X5 = 6 ; X6 = 4

b. X1 = 4 ; X2 = 6 ; X3 = 7 ; X4 = 9 ; X5 = 12 ; X6 = 18

c. X1 = 4 ; X2 = 7 ; X3 = 9 ; X4 = 12 ; X5 = 18 ; X6 = 6

d. X1 = 18 ; X2 = 12 ; X3 = 9 ; X4 = 7 ; X5 = 6 ; X6 = 4

8. Indique cual es el orden verdadero de los siguientes datos:

1001, 1010, 1050, 1101, 1023

a. X1 = 1001 ; X2 = 1010 ; X3 = 1023 ; X4 = 1050 ; X5 = 1101

b. X1 = 1101 ; X2 = 1050 ; X3 = 1023 ; X4 = 1010 ; X5 = 1001

c. X1 = 1001 ; X2 = 1010 ; X3 = 1050 ; X4 = 1101 ; X5 = 1023

d. X1 = 1010 ; X2 = 1101 ; X3 = 1001 ; X4 = 1023 ; X5 = 1050


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UNIDAD IV

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

PROPOSITO.

Realizar conjeturas acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad. Usa el modelo de los Diagramas de árbol, para discutir y predecir la posibilidad de ocurrencia de un suceso.


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HISTORIA DE LA PROBABILIDAD1. Los conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la civilización misma. 2. La humanidad siempre ha debido soportar la incertidumbre acerca del clima, de su abastecimiento de alimentos y de otros aspectos de su medio ambiente, y ha tenido que esforzarse por reducir esta incertidumbre y sus efectos.3 Incluso la idea de juego de azar tiene una larga historia. 4. Aproximadamente por el año 3500 a.C., los juegos de azar eran practicados con objetos de hueso, considerados como los precursores de los dados, y fueron ampliamente desarrolladas en Egipto y otros lugares.5. Dados cúbicos con marcas virtualmente idénticas a las de los dados modernos han sido encontrados en tumbas egipcias que datan del año 2000 A.C. 6. Sabemos que el juego con dados ha sido popular desde esa época y que fue parte importante en el primer desarrollo de la teoría de la probabilidad.

7. En 1520, cuando era estudiante de la Universidad de Padua, Hierónimo Cardán escribió el libro sobre juegos de azar pero fue publicado en latín solo hasta 1663, ochenta y siete años después de su muerte. 8. Aunque la historia de la probabilidad se inicia con la correspondencia entre Pascal y Fermat, este libro fue texto de referencia de estos dos genios de la matemática ya que en él se formulan importantes ideas referentes a la probabilidad, a pesar de que es en esencia un libro de juegos de azar.

9. En esta obra se encuentra implícita la ley de los grandes números, así como también en ella calcula probabilidades de obtener algunos resultados en juegos de cartas y especialmente en el denominado póker medieval. 10. La llamada escuela probabilística o enciclopédico temática surge en Francia a partir del empleo de la matemática en el cálculo de probabilidades como instrumento de investigación.

11. Basándose en dicha correspondencia, el físico-astrónomo-matemático alemán Christian Huygens, maestro de Leibniz, publicó en 1656 el libro De ratiociniis in ludo aleae, (Razonamientos en juegos de azar), el primer libro impreso sobre probabilidad.

12. El cálculo de probabilidades nace con Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665). 13. Al tratar de dar soluciones a problemas relacionados con juegos de azar planteados por Antonio Gamboud, más conocido con el título nobiliario de caballero de Meré. 14. Posteriormente muchos otros matemáticos prestigiosos como Abraham De Moivre(1667-1754), Pierre Simón Laplace (1749-1827) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855), hicieron trascendentales aportes a esta teoría hasta convertirla en el principal instrumento de análisis de los fenómenos aleatorios.

15. Durante los S. XIX y XX se destacaron algunos estadísticos como: EGON PEARSON, (1895 - 1980), ANDREI KOLMOGOROV, (1903 -1987), P.L CHEBYSHEV, (1821 - 1894), ANDREI MARKOV, (1856 - 1922) y A.M LYAPUNOV (1857 -1918).


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EJERCITACION

Resuelve las siguientes preguntas, indicando la proposición en la que se encuentran:1. ¿En qué año y quienes empezaron o se iniciaron los juegos de azar?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Quién fue la primera persona en escribir un libro sobre juegos de azar?, ¿En qué año lo publicó? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿En que se basó el desarrollo de la primera teoría de la probabilidad?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Según el texto quienes pueden ser considerados como los padres de la probabilidad?.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5. ¿Quién y en qué año publicó el primer libro impreso sobre probabilidades? ¿Qué titulo recibió dicha obra?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6. Escriba el nombre de 3 representantes de la teoría de la probabilidad en los siglos XIX y XX.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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PROBABILIDAD

Probabilidad es el grado de incertidumbre o creencia de que algún fenómeno o suceso pueda ocurrir y la forma de determinarlo o cuantificarlo numéricamente.

La probabilidad es un número entre 0 y 1 que permite predecir la ocurrencia de un evento o suceso dependiendo del entorno en el que se encuentre.

Por eso la formula general de una probabilidad es:

0 ≤ P(A) < 1(La probabilidad de un suceso A es mayor o igual a cero, pero menor que uno)

EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel en el que una misma acción da origen a resultados diferentes. Estos experimentos reciben también el nombre de pruebas al azar.

Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. A este conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos espacio muestral y lo denotaremos normalmente mediante la letra S. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales.

ESPACIO MUESTRAL:El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio recibe el nombre de Espacio Muestral. Dicho conjunto se simboliza con la letra mayúscula S y el número total de resultados n(s).


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MODELACION.

Un Experimento de Probabilidad sencillo y común que se puede efectuar es el lanzamiento de una moneda. Este experimento tiene dos resultados posibles:

Cara (c) y Sello (s) y ambos son igualmente posibles. El conjunto S = {c,s} (CARA, SELLO), es un espacio muestral para el experimento.

La siguiente tabla muestra cómo se aplica el espacio muestral acerca de la probabilidad de otros experimentos.

Experimento Aleatorio Resultados Espacio muestral (S)

A.

Lanzar un dado

Es igualmente posible que cualquiera de las seis caras quede hacia arriba.

S = {1,2,3,4,5,6}

El conjunto de los seis resultados igualmente posibles.

B.

D A

C B

Girar la ruleta.

El indicador tiene la misma probabilidad de

detenerse en cualquiera de las cuatro regiones

A, B, C o D.

S = {A, B, C, D}

El conjunto de los cuatro resultados igualmente posibles.

C.

1 Un peso

Es igualmente posible que al caer la moneda de cara o de sello. S = { Cara, Sello }


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Lanza una moneda

monedas, A y B

El conjunto de los dos resultados igualmente posibles.

Sacar una carta al azar

Es igualmente posible sacar al azar, cada una de las 52 cartas del póker

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }

Por cada uno de los 4 palos de la baraja (Corazones, Picas, Diamantes y tréboles)


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SIMULACION1. Diga con sus propias palabras una definición de probabilidad.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Qué significado puede tener la palabra aleatorio?

__________________________________________________________________________

3. ¿Si lanzo inicialmente una moneda y luego lanzo otra. Cuantos posibles resultados puedo obtener, cual sería el espacio muestral de ese experimento

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Explica las condiciones por las cuales se considera que un experimento es aleatorio.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Teniendo en cuenta la lectura, completa las siguientes frases:

a) Según la lectura anterior, la probabilidad es un numero entre _______________ que permite predecir la _____________________ de un ________________________________________________dependiendo del _____________________________________________________________

b) ___________________________________ es aquel que en una misma ___________ genera diferentes ____________________, también se conocen como_____________________________________________________________


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METODOS PARA CALCULAR LA PROBABILIDAD.

Existen dos métodos básicos para el cálculo de probabilidades:

1. Método Clásico2. Método la de la Frecuencia Relativa

1. Método Clásico o Probabilidad Clásica:

Si en un experimento aleatorio existen n (S) resultados igualmente posibles, entonces la probabilidad de que un evento A ocurra es el cociente del número de resultados favorables al evento A entre el número total de resultados posibles en el experimento; es decir:

P (A )=n (A )n (S )

=número de resultados favorables o A

número total de resultados MODELACION

Ejemplo 1. Se juega un dado legal (un dado que no está cargado) y se observa la cara que muestra hacia arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 2?

El espacio muestral de este experimento tiene seis resultados posibles [n(S) = 6], que son:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si A representa el evento de que aparezca el número 2, A = {2}, entonces

P( A )=1

6 = 0.166 x 100% = 16.6%. Este resultado corresponde a la probabilidad clásica.


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Ejemplo 2. Si se tiene una baraja de Póker de 52 cartas, cual es la probabilidad de sacar un as? Si en una baraja existen 4 ases (Picas, corazones, tréboles, y diamantes), entonces la probabilidad de que sea un as es:

P(B)= 452 = 0.076 x 100% = 7.6%

Ejemplo 3. Si giramos una ruleta con 8 posibles resultados (A, B, C, D, E, F, G, H), todos igualmente posibles, ¿Cual es la probabilidad de que caiga C?

El espacio muestral del experimento es:S = {A, B, C, D, E, F, G, H}La probabilidad de que al girar la ruleta Caiga C, seria:

P(C )=1

8 = 0.125 x100% = 12.5% Y ese mismo porcentaje, seria la probabilidad de cualquiera de los demás resultados.

LAS PROBABILIDADES SIEMPRE DEBEN DARSE EN PORCENTAJES YA QUE ES LA FORMA MAS INDICADA DE DEFINIRLAS.

2. Método axiomático ó de la Frecuencia Relativa:Concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso, como un número entre 0 y1. Este concepto tiene que ver directamente con la noción de frecuencias relativas, don de 0 ≤ hi < 1.

MODELACION:

Supongamos que se lanza 110 veces una moneda, anotamos el número de veces que sale cara y las veces que sale sello; los resultados fueron los siguientes:

Lanzamientos Número de veces que sale

Cara 61

Sello 49


PGF03-R03

La probabilidad para el lanzamiento No 101 esta dado por:

Frecuencia Absoluta: Cara: 61 veces Sello: 49 veces

Frecuencia Relativa: 61/110 49/110

Probabilidad: P: 55.5% (éxito) Q: 44.5% (fracaso)

Hay un 55.5% de probabilidades que en el lanzamiento No 111 caiga Cara y un 44.5% de probabilidades que caiga sello.

EJERCITACION

1. Un experimento consiste en hacer girar un indicador como el que se muestra en la figura.

Amarillo Rojo

Azul Blanco

a.Encuentre un espacio muestral para este experimento.

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

a. ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado en el espacio muestral?


PGF03-R03

2. En un juego de escalera los niños lanzaron un dado 150 veces uno de los niños que estaba anotando los resultados anunció que los números que cayeron fueron:

a) ¿Qué método de la probabilidad estás aplicando el ejercicio? Explicar. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) Determinar la probabilidad de que en el lanzamiento 151 salga 1,2, 3, 4, 5, 6.


Número Frecuencia

1 18

2 25

3 16

4 43

5 25

6 23

Total 150

PGF03-R03

3. Elabora un diagrama de barras con la información de la tabla del punto 2

EJERCITACION


PGF03-R03

DIAGRAMAS DE ARBOLLos diagramas de árbol son gráficos útiles para:

Determinar espacios muestrales, Contar los posibles resultados de un experimento, y Determinar probabilidades de algunos sucesos.

Estos se utilizan para diagramar resultados en sucesos independientes, es decir que ninguno de los sucesos depende de otro (s) para poder ocurrir.

MODELACION: Determinar los posibles resultados y la probabilidad de obtener dos caras en el lanzamiento de dos monedas.


PGF03-R03

Solución: El espacio muestral del lanzamiento de una moneda es: S = {Cara, Sello}, así mismo la probabilidad de cualquiera de los es:

P (cara) = ½ = 0.5 = 50%

P (sello) = ½ = 0.5 = 50%

El diagrama de árbol para este ejemplo seria:

Cada rama del árbol está marcada con “12 ” debido a que la probabilidad que resulte cara o

sello es de 12 . Observa que para llegar al punto A en el árbol, se debe obtener cara en cada

uno de los dos lanzamientos.

El resultado A (Cara, Cara) puede representarse mediante el símbolo CC. El resultado B (Cara, Sello) se denota por el símbolo CS, El resultado C (Sello, Cara), se denota como SC, y el resultado D (Sello, Sello), se denota como SS.


PGF03-R03

Ahora comprobemos las tres propiedades o funciones de los diagramas de árbol:

Determinar espacios muestrales. Para determinar el espacio muestral (S), hacemos combinaciones con los resultados posibles:

S = {CC, CS, SC, SS}

Contar los posibles resultados de un experimento: Si lanzamos una moneda dos veces, podemos ver claramente que podemos obtener 4 resultados posibles, los mismos que contiene el espacio muestral (CC, CS, SC, SS)

Determinar probabilidades de algunos sucesos: Si por ejemplo queremos determinar la probabilidad que en el primer lanzamiento salga Cara y en el segundo salga también Cara, es decir (CC) , entonces tendremos que:

P(CC )=1

4 = 0.25 x 100% = 25%

El diagrama del árbol indica que hay 4 resultados posibles para dos lanzamientos de una moneda. Puesto que todos los resultados son igualmente posibles. Entonces:

P(A) = P(CC) = 1/4 = 0.25 = 25%

P(B) = P(CS) = 1/4 = 0.25 = 25%.

P(C) = P(SC) = 1/4 = 0.25 = 25%

P(D) = P(SS) = 1/4 = 0.25 = 25%.

MODELACION: Si un experimento consiste en girar la ruleta dos veces, elabora el diagrama de árbol y comprueba las 3 funciones del mismo, y determina la probabilidad, de que en el primer lanzamiento caiga Azul y en el segundo caiga Verde.


PGF03-R03

Ahora comprobemos las tres propiedades o funciones de los diagramas de árbol:

Determinar espacios muestrales. Para determinar el espacio muestral (S), hacemos combinaciones con los resultados posibles:

S = {VV, VAm, VR, VAz, AmV, AmAm, AmR, AmAz,


PGF03-R03

RV, Ram, RR. RAz, AzV, AzAm, AzR, AzAz}

Contar los posibles resultados de un experimento: Si giramos la ruleta dos veces, podemos ver claramente que podemos obtener 16 resultados posibles, los mismos que contiene el espacio muestral.

Determinar probabilidades de algunos sucesos: Si por ejemplo queremos determinar la probabilidad que en el primer lanzamiento salga Azul y en el segundo salga Verde, es decir (AzV) , entonces tendremos que:

P( AzV )= 116 = 0.0625 x 100% = 6.25%


PGF03-R03

En hojas doble examen y bien presentado resuelve:

1. Construye el diagrama de árbol y comprueba sus funciones en cada una de los siguientes casos:

a) El lanzamiento de una moneda tres veces.

b) El lanzamiento de un dado dos veces.

c) El nacimiento de dos hijos en una familia.

d) El nacimiento de tres hijos en una familia.

2. De acuerdo al siguiente indicador realiza un diagrama de árbol para el experimento de hacer girar el indicador tres veces.


PGF03-R03

Determina el espacio muestral del experimento.

Determina la probabilidad de:

a) ABCb) ACBc) CBAd) BAC

Son formas de ordenar u organizar los elementos que conforman un conjunto.

Cuando el orden de los elementos tiene relevancia, decimos que se va a hacer una permutación de los elementos, pero si el orden de los elementos no influye, estamos hablando de una combinación de elementos.

Para un conjunto de n elementos, tenemos que:

El número de permutaciones de dos elementos esta dado por la siguiente formula:

Pn = n x (n – 1)


PGF03-R03

Ejemplo: ¿Cuantas permutaciones de dos letras se pueden hacer con las letras de la palabra PALO?

Si usamos la formula Pn = n x (n – 1), teniendo en cuenta que n = 4 (P A L O), tenemos lo siguiente:

P4 = 4 x (4 – 1) = 4 x 3 = 12. Hay 12 permutaciones de dos letras, que son las siguientes:

P A L O

PA AP LP OP

PL AL LA OA

PO AO LO OL

Se toma cada letra y se permuta con todas las demás.

Si queremos hacer las combinaciones de dos elementos la formula a utilizar es la siguiente:

Cn = n x (n – 1)

2

Si tomamos el ejemplo de las letras de la palabra PALO, y reemplazamos la formula, tenemos lo siguiente:

4 x (4 – 1) 4 x (4 – 1) 4 x 3 12C4 = = = = = 6

2 2 2 2

Si hacemos las combinaciones el resultado será:


PGF03-R03

P A L O

PA AP LP OP

PL AL LA OA

PO AO LO OL

Así como en las permutaciones, el orden de las letras es importante y si tenemos PA y AP y se toman como diferentes, en las combinaciones es igual decir que tenemos PA o AP, es por eso que una de las dos se elimina, quedando solo una ellas.

Las combinaciones que están en negrilla, son las que definitivamente quedan, mientras que las que no tienen negrilla son las eliminadas.

1. Calcular y hacer las permutaciones y combinaciones de dos letras, de las siguientes palabras:

a) B E S O

b) A V I S O

c) C U A D R O

d) C O R T I N A

e) B U S C A N D O

f) R E P U B L I C A

2. Carlos tiene una frutería y vende: bananos, piñas, melones, naranjas, duraznos, uvas y granadillas y las vende al mismo precio, si doña Ana quiere comprar frutas pero solo le


PGF03-R03

alcanza el dinero para comprar un kilo de una y un kilo de otra, ¿cuantas combinaciones de frutas puede hacer doña Ana para comprar? (Para hacer las combinaciones, utilizar solo la letra inicial de cada fruta).

3. Juanita está invitada a una reunión muy importante y no sabe que ropa ponerse para asistir; ella tiene 4 faldas de color negro, rojo, amarillo y fucsia y tiene 5 blusas de color azul, naranja, verde, uva, y café. ¿Cuántas combinaciones de falda y blusa puede hacer Juanita? ¿Cual de las combinaciones crees tu que seria la mas adecuada, para ir a la reunión?

DEMOSTRACION


PGF03-R03


PGF03-R03

BIBLIOGRAFIA

Sierra Bravo. R. Diccionario Practico de Estadística, Ed Paraninfo S.A. Madrid. España, pags 56-57, 177-187, 427-432.

Serrano Rodríguez, Javier. Introducción a la Estadística. Ed universitaria de América LIDA, Bogotá, Colombia. Pag 30-49

Devore, Jay L. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias, Ed Thomson, 4ta Edición, pags 7-37.

WEBGRAFIA

www.mitecnologico.com/Main/Proposiciones www.el-profesor.8m.com/teoria_de_enteros.htm http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm http://www.estadisticafacil.com/


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