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Diseño Mecánico I

Unidad 4 Ejes de transmisión.

Dr. Roberto Carlos García Gómez Verano 2018

INTRODUCCIÓN.

Un eje de transmisión es un elemento de seccióncircular cuya función es la de transmitir movimiento ypotencia. La transmisión del movimiento se realiza através de otros elementos tales como engranes,poleas, cadenas, etc.

Diseñar un eje consiste básicamente en ladeterminación del diámetro correcto del eje paraasegurar una rigidez y una resistencia satisfactorias,cuando el eje transmite potencia bajo diferentescondiciones de carga.

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Cargas torsionales en ejes circulares

• Nos interesamos en esfuerzos y deformaciones de ejes circulares que se someten a la acción de pares torsionantes o torques.

• El generador crea un torque igual pero en sentido contrario a T,

• El eje transmite el torque al generador

• La turbina ejerce un torque T en el eje

Torque neto debido a esfuerzosinternos

dAdFT

• El resultado de los esfuerzos internos de corte es un torque interno, igual pero opuesto al troque aplicado.

• A pesar de que el torque neto debido a los esfuerzos internos es conocido, la distribución de los esfuerzos no lo es.

• A diferencia de los esfuerzos normales, la distribución de los esfuerzos cortantes debidos a cargas torsionales no puede considerarse uniforme.

• La distribución de esfuerzos es estáticamente indeterminada – deben de considerarse las deformaciones del eje.

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Componentes axiales de corte

• El torque aplicado al eje produce esfuerzos cortantes en las caras perpendiculaes al eje

• La existencia de una componente cortante axial se demuestra considerando que el eje está hecho de cintas axiales.

• Las condiciones de equilibrio requieren la existencia de esfuerzos iguales en las caras de los dos planos que contienen el eje de cilindro

• Las cintas se deslizan conrespecto de otras cuando dos torques iguales pero opuestos se le aplican en el extremo del eje

Deformaciones axiales

• De la observación, el ángulo de giro es proporcional al torque aplicado y a la longitud del eje.

L

T

• Cuando se somete a torsión, cada sección transversal de un eje circular se conserva plano y sin distorsionarse.

• Las secciones transversales de sólidos que no son axisimétricos (no circulares) se distrosionan cuando se les somete a torsion.

• Las secciones transversales de ejes circulares sólidos o huecos permanecen planos y sin distorsión, debido a que los ejes circulares son axisimétricos.

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Deformación de corte

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• Considere la sección interior de el eje. Debida a la carga torsionante aplicada, el elemento en el interior del cilindro se deforma en un rombo.

• La deformación de corte es proporcional al giro y al radio.

maxmax cL

c

LL

or

• Se tiene que:

• Ya que los extremos del elemeto siguen siendo planos, la deformación de corte es igual al ángulo de giro.

Esfuerzos en el límite elástico

Jc

dAc

dAT max2max

• Recuerde que la suma de momentos de la distribución de esfuerzos internos es igual al torque del eje en la sección.

421 cJ

41

422

1 ccJ and max J

T

J

Tc

• Los resultados se conocen como las fórmulas de torsión elástica:

• Multiplicando la ecuación anterior por el módulo de cortante:

max Gc

G

maxc

De la ley de Hooke: G , así:

El esfuerzo cortante varía linealmente con la posición radial en la sección.

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Esfuerzos normales• Elementos con caras paralelas y

perpendiculares a la línea de centro del eje se someten a esfuerzos cortantes puros. En otras direcciones se pueden encontrar esfuerzos cortantes o esfuerzos normales, incluso una combinación de ambos.

max0

0max45

0max0max

2

2

245cos2

o

A

A

A

F

AAF

• Vea el elemento a 45º de la línea de centro.

• El elemento en a es puro cortante.

• Nota: todos los esfuerzos para los elementos a y c tienen la misma magnitud.

• El elemento en c está sujeto a esfuerso tensionante en dos caras y de compresión en las otras dos.

Modos de falla por torsión

• Los materiales dútiles generalmente fallan por cortante. Los frágiles son más débiles a tensión que a corte.

• Cuando se somete a torsión, un material dúctil se rompe en el plano de máximo esfuerzo cortante (el perpendicular a la línea de centro del eje)

• Los materiales frágiles, se rompen a lo largo de los planos perpendiculares a la dirección en la cual la tensión es máxima (superficies a 45º a la línea de centro del eje)

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CRITERIOS DE DISEÑO DE EJES.

El diseño de un eje debe estudiarse a partir de los siguientes puntos de vista:

1.- Análisis por resistencia.1. Bajo cargas estáticas.2. Bajo cargas dinámicas.

2.- Análisis por rigidez.1. Cálculo de deformaciones.2. Velocidades críticas.

Análisis por resistencia bajo cargas estáticas.

En un eje redondo macizo dediámetro d, que se somete a cargasde flexión, axiales y de torsión sedesarrollan los siguientes esfuerzos:

23432dF

dM

x

316

dT

xy

-----------------(a) (esfuerzo por flexión y carga axial)

--------------(b) (esfuerzo por torsión)

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Para ejes huecos

)(4

)(

322244ioio

o

ddF

dd

Mdx

)(

1644io

o

dd

Tdxy

-----(c)

-----(d)

•Los esfuerzos principales no nulos son:

22

222,1 xyxx

---(4.1)

El esfuerzo cortante máximo es:

22

2221

xymáxx

El esfuerzo de Von Mises (energía de distorsión máxima) es:

2/1222/12221

21 )3()( xyx

Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) en (4.2) y (4.3) se tiene:

---(4.2)

---(4.3)

222 )8()8(3

TFdMd

máx

224 48)8(3

TFdMd

---(4.4)

---(4.5)

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Si el análisis o diseño ha de ser con base a la teoría del esfuerzo cortante máximo, entonces el valor admisible de es

s

y

n

S

adm 2 -----------(4.6)

En donde:Sy= resistencia a la fluencia del materialNs=factor de seguridad

Con base a la teoría de la energía de distorsión se tiene que

s

y

n

S

adm -------------(4.7)

En la mayoría de los casos la componente axial F es nula, oes tan pequeña que su efecto puede despreciarse. Con F=0las ecuaciones (4.4) y (4.5) se transforman en

22163 TM

dmáx

2216 343 TMd

-------------------(4.8)

-------------------(4.9)

Si utilizamos el esfuerzo cortante admisible, a partir de la ecuación (4.8) tenemos que:

3/12/12232 )( TMdy

s

Sn -------------------(4.10)

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Si se conoce d entonces

2/122321 )(3 TMys Sdn

--------------------------(4.11)

Si utilizamos la teoría de la energía de distorsión máxima, entonces

3/12/12216

)34(

TMd

y

sSn

---(4.12)

Si se conoce d entonces

2/122161 )34(3

TMys Sdn

-(4.13)

Análisis por resistencia bajo cargas dinámicas

En cualquier eje rotatorio cargado por momentosestacionarios de flexión y torsión, actuarán esfuerzos porflexión completamente invertida debido a la rotación delárbol, pero el esfuerzo torsional permanecerá estable.Por lo tanto se tiene que

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De acuerdo con lo anterior se han desarrolladouna serie de teorías para el diseño por fatiga,siendo las más populares:

Relación elíptica ASME para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo. (Norma ANSI B106.1M-1985).

Relación de Goodman modificada para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo.

3/12

43

232

y

m

e

afsST

S

MKnd

3/1

2332

u

m

e

afsST

S

MKnd

-(4.14)

-(4.15)

en donde

erdcbae SKKKKKS -(4.16)

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Análisis por rigidez.

Deformación en los ejes.

El problema de la deflexión en un eje es desuma importancia cuando este efecto es unalimitante en el diseño del mismo.

Para determinar la deflexión de un eje encualquier punto, podemos utilizar los siguientescriterios:

a).- Método de la doble integración.

b).- Método del área de momentos.

El “método de la doble integración” recomendadopara ejes de sección uniforme, se basaprincipalmente en determinar la ecuación de lacurva elástica, a partir de la ecuación demomentos

)(xMyEI -(4.17)

Resolviendo la ecuación (4.17) y aplicando lascondiciones iniciales, se obtiene una ecuación de laforma

)(1 xFyEI

-(4.18)

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A partir de la ecuación (4.18) , se obtienen lasdeflexiones en los puntos deseados.

El “método del área de momentos” recomendadopara ejes de sección variable, está fundamentadoen dos teoremas básicos:

El primer teorema dice: El ángulo de lastangentes A y B es igual al área del diagramade momentos flectores entre esos dos puntosdivididos por el producto EI

B

AEIMdx1 -(4.19)

El segundo teorema dice: La distancia verticalentre el punto B de la elástica y la tangentetrazada a la curva por A es igual al momentorespecto a la vertical por B del área del diagramade momentos flectores entre A y B divididas porEI.

B

AEIMxdx1 -(4.20)

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Velocidad crítica de ejes.

Todos los ejes, aún sin la presencia de cargas externas,se deforman durante la rotación. La magnitud de ladeformación depende de:

La rigidez del eje y de sus soportes.

De la masa total del eje y de las partes que seadicionan.

Del desequilibrio de la masa con respecto al eje derotación.

Del amortiguamiento presente en el sistema.

La deformación, considerada como una función de lavelocidad, presenta sus valores máximos en las llamadasvelocidades críticas, pero solo la más baja (primera) yocasionalmente la segunda tienen importancia en el diseño.Las otras son generalmente tan altas que están muyalejadas de las velocidades de operación.

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La frecuencia natural de un eje en flexión esprácticamente igual a la velocidad crítica. Existeuna pequeña diferencia debida a la accióngiroscópica de las masas.

Para un eje con una sola masa, en donde la masadel eje es pequeña en comparación a la masaque lleva unida, la primera velocidad crítica sepuede calcular de manera aproximada por

segradmk

c / -(4.21)

en donde k = constante de resorte del ejem = masa soportada por el eje

La primera velocidad crítica puede calcularse también por

rad/seg gc --(4.22)

en donde g = aceleración de la gravedad

= deflexión del eje en el punto de ubicación de la masa

La siguiente figura muestra uneje flexionado que gira a unavelocidad angular

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Para un eje de masa despreciable convarias masas concentradas unidas a el, laprimera velocidad crítica se determina por:

a).- La ecuación de Rayleigh-Ritz.

b).- La ecuación de Dunkerley.

Para el primer caso se tiene lo siguiente:

De acuerdo con la figura, la energía cinética máxima es:

2212

22212

1121 .... nnmáx vmvmvmEC --(a)

Debido a que el movimiento de las masas essenoidal se tiene que

2212

22212

1121 )(....)()( nnmáx xmxmxmEC

2221

nnmáx xmEC --(4.23)

La energía potencial máxima es:

2212

212

22212

1121 .... nnnnmáx xkxkxkxkEP -(4.24)

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De acuerdo con Rayleigh

22122

21

nnnnmáxmáx xkxmEPEC -(b)

segradn

kkk

n

kkk

W

Wg

c /

1

2

1

--(4.25) ( Ecuación de Rayleigh-Ritz)

n

kkk

n

kkk

W

Wg

c

1

2

1

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Para el segundo caso la primera velocidad crítica se determina por

2222

21

211111 ....nnc

--(4.26)

nn

gn

Es importante tomar en cuenta que la ecuación de Rayleigh-Ritz y Dunkerley son aproximaciones a la primerafrecuencia natural de vibración o velocidad crítica derotación, ya que la primera sobrestima la frecuencia natural,mientras que la segunda la subestima.

En un sistema de masas múltiples, para velocidades críticasmás altas se requiere de cálculos más extensos para ladeterminación de estas velocidades; sin embargo, para unsistema con dos masas la primera y la segunda velocidadcrítica se obtienen a partir de la siguiente figura:

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En la figura anterior

)( 2ymFc es la fuerza centrífuga.

Utilizando los coeficientes de influencia se determinanlas deflexiones como sigue:

2212111

22212

211111

2

1

2

1

mamaymaymay

yy

yy

2222121

22222

211212

2

11

mamaymaymay

yy

--(c)

--(d)

Despejando en cualquiera de las dosecuaciones a (y1/y2) y sustituyendo en laotra se obtiene la ecuación de frecuencias:

0)()( 21211222111

2221111

24 mmaaaamama

-(4.27)

Las constantes a se conocen como coeficientes de influencia, en donde:

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En la ecuación de Rayleigh-Ritz las deformaciones en las masas m1 y m2 se pueden determinar por

2222122

1221111

aWaW

aWaW

--(4.28)

En la ecuación de Dunkerley la deformación producida por la aplicación aislada de las masas m1, m2, mn es:

nnnnn aW

aW

aW

22222

11111

(4.29)

Los coeficientes de influencia se determinan como sigue:

a).- Eje simplemente apoyado en sus extremos con dos masas concentradas.

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b).- Eje simplemente apoyado en un extremo y un voladizo.

En la figura anterior se puede observas que la carga unitaria (1) se aplica hacia arriba para que la curvatura coincida con la que se tiene al aplicar la carga (2).

Para un sistema de masas múltiples, la ecuación de frecuencias se obtiene resolviendo el siguiente determinante:

0

)(............)()(

..............................................

(...........)()(

)(...........)()(

2

2

2

12211

21

222121

12121

111

nnnnn

nn

nn

mamama

mamama

mamama

-----(4.30)