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ESTADÍSTICA CAPITULO 5Función de Distribución Especiales

Autor: Pablo Tapia G. Pagina 1

Universidad de Chile

E c o n o m í a & N e g o c i o s

FUNCIONES DE DISTRIBUCION ESPECIALES.

1. INTRODUCCIÓN.

En este capítulo se define y exponen varias distribuciones especiales que son muyutilizadas en aplicaciones de probabilidad estadística. Las distribuciones que sepresentarán aquí incluyen distribuciones discretas y continuas de tipo univariante, bivariante y multivariante. Las distribuciones discretas univariantes son la binomial, deBernoulli y de Poisson. Las distribuciones continuas univariantes son la normal, gamma,exponencial y beta. Otras distribuciones continuas univariantes son la lognormal, de

Weibull y de Pareto. También se exponen la distribución discreta multivariantedenominada distribución multinomial y la distribución continua bivariante denominadadistribución normal bivariante.

Es muy importante, a pesar de que no se a discutido con detalle, tener claro que lasestructuras de las funciones de distribuciones se encuentran definidas por una familiaespecifica de funciones, como por ejemplo, exponenciales, cuadráticas (polinomios),logarítmicas, cóncavas o convexas, pero la forma definitiva, la que representa elcomportamiento final de una población por medio de sus frecuencias depende de losparámetros que la constituyen. Un ejemplo claro de este punto, es el hecho que unalínea recta, es una familia de posibles funciones que pueden ser oblicuas, verticales,

horizonales, etc., sin embargo, el grado de inclinación y contacto con el o los ejesdependerá de los valores que tomen su pendiente o intercepto.

Un ejemplo de lo mencionado en el párrafo anterior, es: Supongamos que una funciónde distribución de probabilidad des esta definida por la siguiente estructura.

( )0

Ax B a x b f x

(1.1)

Además, por efecto de simplificación, supongamos que esta función es efectivamente unafunción de distribución de probabilidades, por lo tanto, sabemos que el área bajo la curva

dentro del dominio de ( ) f x debe ser igual a 1. Ahora, nuestro interés radica en el hechode que la función de la ecuación (1.1) es una recta, pero la constitución final de elladependerá de sus parámetros A (pendiente) y B (intercepto), por lo que para diferentescombinaciones de estos valores, tendremos diferentes distribuciones de probabilidadesfinales. Esto quiere decir, que al ser la función de distribución el reflejo delcomportamiento poblacional, entonces sus característica poblaciones (parámetros)perimitiran diferencias una población de otra cuando estas pertenezcan a la misma


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familia, ya sea porque una tiene mayor pendiente que la otra o porque una se desfasa másque la otra.

Es por esta razón que muchas de las funciones que veremos a continuación se describirán

bajo la premisa de valores paramétricos conocidos, por ejemplo en nuestro caso de lalínea recta, la función será denotada como:

( / , ) [ , ] f x A B Ax B x a b (1.2)

La cual deberemos interpretar como la función de distribución que se encuentrarestringida a una estructura (familia de rectas) y valores paramétricos determinísticos(valor conocidos), lo cual nos permitirá realizar operaciones numéricas para variadasaplicaciones.

Se describirá brevemente como cada una de estas distribuciones aparecen en problemas

aplicados y se demostrará porque cada una podría ser un modelo de probabilidadapropiado para algunos experimentos. Para cada distribución se presentará la función dedistribución y se expondrá algunas de las propiedades básicas de la distribución.

2. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE VARIABLE DISCRETA

2.1. Distribución de Bernoulli.

Un experimento de un tipo particularmente sencillo es aquel en el que hay solamentedos resultados posibles, tales como cara y cruz, éxito o fracaso, defectuoso o nodefectuoso. Es conveniente designar los dos resultados posibles de dicho experimentocomo 0 y 1. La siguiente definición se puede aplicar entonces a cualquier experimento deeste tipo.

Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución de Bernoulli con parámetro p tal que )10( p si X puede tomar únicamente los valores 0 y 1 y las probabilidades

son

p X p X 1)0Pr()1Pr( (1.3)

Definición 1. Entonces, la función de distribución de probabilidad de X se escribecomo sigue:

1( / ) (1 ) 0,1 x x f x p p p x (1.4)

Para verificar que esta función de distribución )/( p x f realmente representa la

distribución de Bernoulli dada por las probabilidades (1.3), simplemente es necesarioobservar que p p x f )/1( y p p x f 1)/0( .


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Propiedad 1. Si X tiene una distribución de Bernoulli con parámetro p , entonces sedebe cumplir que:

1.i. p X E )(

1.ii. p X E )(2

1.iii. )1()var( p p X

1.iv. q petX E t t ))(exp()(

2.2. Distribución Binomial.

Definición 2. Una variable aleatoria X tiene una distribución Binomial con parámetrosT y p si X tiene una distribución discreta cuya función corresponde a:

( / ) (1 ) 0,1, 2,..., x T x

T

f x p p p x T x

(1.5)

En esta distribución, T debe ser un entero positivo y p debe pertenecer al intervalo

cerrado 10 p , además el termino que encabeza la función de la ecuación (1.5)

corresponde al número de combinaciones que son posible de realizar con los valoresenteros de T y x .

La distribución Binomial tiene una importancia fundamental en probabilidad y estadísticadebido al siguiente resultado. Supóngase que el resultado de un experimento puede seréxito o fracaso, que el experimento se realiza independientemente T veces y que la

probabilidad de éxito en cualquier realización es p

. Si X

denota el número total deéxitos en las T realizaciones, entonces X tiene una distribución Binomial conparámetros T y p . Este resultado se puede enunciar como sigue:

Si las variables aleatorias T X X ,...,1 constituyen T pruebas de Bernuolli con parámetro

p y si T X X X 1 , entonces X tiene una distribución Binomial con parámetro T

y p .

Cuando X se representa como la suma de T pruebas de Bernoulli de esta forma, sepueden deducir fácilmente los valores de la media, la varianza y la función generatriz demomentos de X .

Propiedad 2. Si X tiene una distribución de Binomial con parámetros T y p , tal que

T X X X 1 , donde i X por si solas siguen un experimento de Bernuilli con

parámetro p , entonces se debe cumplir que:

2.i. Tp X E )(

2.ii. )1()var( pTp X


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2.iii. T t q petX E t )())(exp()(

Demostración

Para efecto de desarrollo se demostraran las propiedades 2.i y 2.ii, mientras que la 2.iiiquedará propuesta para el lector.

En este caso corresponde a que el valor esperado de Binomial se describe como:

0( ) (1 )T T x T x x x E X xp p

Donde omitimos el término correspondiente a 0 x , que es cero, y descomponemos lacombinatoria en su factorial, y posteriormente factorizamos algunos términos

( 1)! 1!1 1!( )! ( 1)!( )!

( ) (1 ) (1 )T T x T x T x T xT x x x T x x T x

E X xp p Tp p p

(1.6)

Ahora si reemplazamos 1 y x y 1 N T , entonces la ecuación (1.6) se puede reducir

a:

(( 1) 1)!1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) !1 1 0(( 1) 1)!(( 1) ( 1))! !( )!

( ) (1 ) (1 ) N N y N y N y N y N y y y N y y N y

E X Tp p p Tp p p

(1.7)

Sin embargo, la sumatoria del lado derecho de la ecuación (1.7) es igual a 1, pordefinición de función de distribución de probabilidad, así que la expresión anterior sereduce a:

( ) E X Tp

Para encontrar la expresión para la varianza, usaremos el hecho de que2( ) ( ( 1)) ( ) E X E X X E X , de esta manera tenemos que determinar primero el

término ( ( 1)) E X X , ya que el segundo se encuentra en el párrafo anterior. Repetimos

para todo propósito los pasos antes usados y obtenemos así.

0( ( 1)) ( 1) (1 )T T x T x x x E X X x x p p

( 1) ( 2)! ( 2)!2 22 1( 1) ( 2)!( ) ! ( 2)!( )!

( ( 1)) (1 ) ( 1) (1 )T T T T T x T x T x T x x x x x x T x x T x E X X xp p T T p p p

2 2 22 2( ( 1)) ( 1) (1 )T T x T x x x E X X T T p p p

Y, al hacer 2 y x y 2T N , esto se vuelve

2 20( ( 1)) ( 1) (1 ) ( 1) N N y N y y y E X X T T p p p T T p


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Entonces, tenemos que

2 2( ) ( 1) E X T T p Tp

Por lo tanto, la varianza corresponde a:

2 2 2 2 2 2var( ) ( ) ( ) ( 1) (1 ) X E X E X T T p Tp T p Tp Tp Tp p

Con lo cual se demuestra la varianza para una distribución Binomial.

2.3. Distribución de Poisson

Definición 3. Sea X una variable aleatoria con una distribución discreta y supóngaseque el valor de X debe ser un entero no negativo. Se dice que X tiene una distribución

de Poisson con media )0( si la función de distribución de probabilidad de X es lasiguiente:

,...,2,1,0!

)/(

x x

e x f

x

(1.8)

Está claro que )/( x f es positiva para todos los valores de x . Para verificar que la

función )/( x f definida por la ecuación (1.8) satisface los requisitos de toda función de

distribución, se debe demostrar que 1)/(0

x f x . Se sabe de cálculo que para todo

número real ,

00 !lim

! x

x

x

x

x xe (1.9)

Por tanto,

1!

)/(00

ee x

e x f e x

x

x (1.10)

Media y Varianza. Se ha afirmado que la distribución cuya función de distribución deprobabilidades está dada por la ecuación (1.8) se denomina distribución de Poisson con

media . Para justificar esta definición, se debe demostrar que es, de hecho, la mediade esta distribución. La media )( X E está dada por la siguiente serie infinita:

1

1

100 )!1(!!)/()(

x

x

x

x

x

x

x x

e

x

e x

x

e x x xf X E

(1.11)

Por lo tanto, de la ecuación (1.11) se concluye que )( X E .


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La varianza de la distribución de Poisson se puede determinar mediante una técnicaanáloga a la que se acaba de describir. Se empezará por considerar la siguiente esperanza:

22 2

0 0 0! ( 2)![ ( 1)] ( 1) ( / ) ( 1)

x xe e

x x x x x E X X x x f x x x

(1.12)

Por otro lado sabemos que

222 )()()()]1([ X E X E X E X X E

Entonces, se puede concluir que:

22 )( X E (1.13)

De esta forma de la ecuación (1.10) y (1.13) se puede determinar que la varianza de estavariable corresponde a:

22 )]([)()var( X E X E X (1.14)

Función Generatriz de momentos. Para la función de distribución Poisson se tieneque la función generatriz de momentos corresponde a:

)]1(exp[!

)()/()()(

00

t

x

xt

x

txtX e

x

ee x f ee E t

(1.15)

A modo de mejorar la compresión del comportamiento poblacional por medio de unafunción de distribución de probabilidad, se presentan los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1. Encuentre la probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos deuna moneda equilibrada.

Respuesta

Al sustituir 5 x , 12T y 12 p en la fórmula de la distribución Binomial, obtenemos

que la función de distribución de probabilidades en este caso es:

12 5 71 1 152 2 2( / , ) (1 ) (5 / ,12) ( ) (1 )

T x T x

x f x p T p p f

Pero:

12 12! 8 9 10 1112 8 9 1112 8 9 115 5!7! 1 2 3 4 5 1 3 4 1 8 9 11 792


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Que reemplazando en la expresión anterior tenemos que:

5 7 121 1 1 12 2 2 2 12 11 10

792 396 198 99(5 / ,12) 792( ) ( ) 792( ) 0.1933

5122 2 2 f

El lector debe tener presente que el resultado puede quedar expresado como 99 sobre512, más que 0.1933, de hecho para una decisión practica y básicamente se pudoaproximar a 1 de cada 5 casos, con lo cual habría sido posible sacar conclusiones sinperdida de generalidad.

Ejemplo 2. Encuentre la probabilidad de que siete de 10 personas se recuperarán de unaenfermedad tropical si podemos suponer que la recuperación son eventos independientesy la probabilidad de que cualquiera de ellos se recuperará de la enfermedad es 0.80.

Respuesta

Al sustituir 7 x , 10n y 0.8 p en la fórmula para la distribución Binomial,

obtenemos.

7

10

10 7 3 7 310! 8 9 104 1 4 1 47 5 5 7!3! 5 5 1 2 3 5

(7 / 0.8,10) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 10 0.20 f

Entonces, podemos concluir que si lo eventos son independientes, entonces, larecuperación de 7 personas de 10 es sólo del 20%.

Ejemplo 3. La distribución de Poisson ha resultado ser muy útil en problemas de líneasde espera o colas. Los clientes llegan a una maquina fotocopiadora a una tasa media de

dos cada cinco minutos. En la práctica, se pueden representar los procesos de llegada deesta clase mediante una distribución de Poisson. Asumiendo que éste es el caso,representaremos por X el número de llegadas de clientes en un período de cincominutos, con lo cual X tiene distribución de Poción con media 2 , y la función deprobabilidad

22Pr( / 2) ( / 2) 0,1, 2,...,

!

xe

X x f x x x

Entonces, la probabilidad para el número de llegadas en un período de cinco minutosson:

0 22Pr( 0 / 2) 0,1353

0!

e X

1 22Pr( 1/ 2) 0, 2707

1!

e X


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2 22Pr( 2 / 2) 0, 2707

2!

e X

Y así sucesivamente. Por lo tanto, la probabilidad de que se produzcan más de dos

llegadas en un período de cinco minutos es:

20Pr( 2 / 2) 1 Pr( / 2) 0,3233i X X i

Como hemos visto, la distribución de Poisson aparece de manera natural pararepresentar el número de ocurrencias de un suceso en un período de tiempo.

3. FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE VARIABLE CONTINUA

3.1. Distribución Uniforme.

Cunado la densidad de probabilidad se distribuye en forma constante, es decir, que cadauno de los elementos contenidos en esta población tiene exactamente la mismaprobabilidad de ocurrencia, se dice que la distribución es uniforme, es decir:

Definición 4. Una variable aleatoria tiene un distribución uniforme y se conoce comouna variable aleatoria uniforme continua si y sólo si su densidad de probabilidad está dadapor

b xaab

ba x f

1

),/( (1.16)

Los parámetros a y b de esta densidad de probabilidad son constantes reales, con ba .

Propiedad 4. Si X es una variable aleatoria que tiene una distribución de Uniformecon parámetros a y b , respectivamente, entonces se debe cumplir que:

4.i. )()(21 ba X E

4.ii. 2121 )()var( ab X

3.2. Distribución Exponencial.

Esta distribución resulta de gran utilidad para atacar problemas de listas de espera ycolas. Cuando el tiempo de servicio a un cliente es aleatorio, esta incertidumbre puederepresentarse a menudo mediante una distribución exponencial. La distribuciónexponencial difiere de la normal en dos características básicas: Se restringe a variablesaleatorias que pueden tomar valores positivos únicamente, y su función de densidad noes simétrica alrededor de la media.


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Definición 5. Si la variable aleatoria X no puede tomar valores negativos y tienefunción de densidad igual a

0)/(

xe

x f x

(1.17)

Donde es cualquier número positivo, entonces se dice que X sigue una distribución

exponencial

Propiedad 5. Si X tiene una distribución de exponencial con parámetro , entoncesse debe cumplir que:

5.i. )( X E

5.ii. 2)var( X

5.iii. 1)1())(exp()( t tX E t

Aunque el lector debe tener presente que la función de distribución de probabilidadesexponencial puede presentarse también de la siguiente forma:

( / ) 0, 0 x f x e x

Esta forma, como podrá darse cuenta el leedor es igual a la de la exponencial, para ello

sólo deberíamos imponer que 1 y recuperaríamos la misma función definida en la

ecuación (1.17). Sin embargo, en una buena parte de la literatura se utiliza esta ultima

expresión de la función exponencial y que en este caso la esperanza y varianza serían 1

y2

, respectivamente.

Ejemplo 4. En una cierta localidad de la autopista 78, el número de autos que excedenel límite de velocidad en más de 10 Kilómetros por hora en media hora es una variablealeatoria que tiene una distribución de Poisson con 8.4 . ¿Cuál es la probabilidad deque el tiempo de espera entre autos que exceden el límite de velocidad en más de 10Km/Hr sea menor a 5 minutos?

Respuesta

Al usar media hora como la unidad de tiempo, tenemos que lamba puede ser equivalente

a el inverso de beta. Por consiguiente, el tiempo de espera es una variable aleatoria quetiene una distribución exponencial con 1

8.4 y, puesto que 5 minutos es 1

6 de la unidad

de tiempo, encontraremos que la probabilidad deseada es:

2

1

1/ 61/ 61 / 8.4 8.4 1.4

0 0( / ) 8.4 1 0.75

x x x x

Domf x f x dx e dx e dx e e


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Ejemplo 5. Suponga que posee una muestra T t t

X 1 independiente e idénticamente

distribuidas de una población que posee distribución exponencial con parámetro .

Determine el valor esperado y la varianza del promedio de esta muestra.

Respuesta

En este caso debemos recordar que la muestra al ser independientes, entonces cada unade sus componentes son independientes, esto quiere decir que no existe covarianza entrelas observaciones que en este caso son la muestra de variables aleatorias. Por otro lado elque sean idénticamente distribuidas quiere decir que cada una da la variables aleatoriasque constituyen la muestra tienen los mismos parámetros, que en este casocorrespondería a la esperanza y varianza, que en mucha de la literatura disponible esinterpretado como pertenecientes a la misma población, lo cual puede ser cierto sólo sila población sobre la cual se extrajo la muestra es constante en forma transversal (entrelos individuos) y longitudinalmente (a través del tiempo).

Para efecto de nuestro problema supondremos que nuestra población es constante paratodos los efectos, es decir, que nuestro cálculo queda como:

1 11 1( ) ( ) ( )

T T

T i i i i E x E T x T E x

Claramente los términos que no tienen comportamiento aleatoria no sufren cambio conla función esperanza, lo que hace poder sacarlo de esta, sin embargo, no debemos olvidarque la esperanza es un operador lineal, por lo tanto, el valor esperado de la suma devariables aleatorias es la suma de los valores esperados por separado, es decir,

1 1( ) ( )T T i i E x T E x

Pero, todos los x´s tienen el mismo valor esperado, recuerde que son idénticamentedistribuidos, por lo tanto, tenemos que:

1 11( )

T

T i E x T T T

Ahora con respecto a la varianza tenemos algo un poco más complicado, ya que esta noes lineal, sin embargo, puede tener un comportamiento parecido al lineal si las variablessean independientes, para entender mejor este concepto, vamos a realizar el siguienteprocedimiento, recordemos que la varianza de la suma de dos variables aleatorias

corresponde a:

var( ) var( ) var( ) 2cov( , ) X Y X Y X Y

Pero si las variables son independientes entonces su covarianza (grado de dependencialineal) debe ser igual a cero, por lo que la varianza de la suma se convierte en:


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var( ) var( ) var( ) X Y X Y

De esta forma podemos ver que cuando se suman variables independientes, entonces esposible afirmar que es igual a la suma de las varianzas por separado. Entonces, para

nuestro problema tenemos

1 21 1var( ) var( ) var( )

T T

T i i i i x T x T x

2 2 2 1 21 1var( ) var( )

T T

T i i i x T x T T

3.3. Distribución Normal.

La distribución normal, que estudiaremos en esta sección, es de muchas maneras, lapiedra angular de la teoría estadística moderna. Se investigó por primera vez en el siglo

XIX cuando los científicos observaron un grado asombroso de regularidad en los erroresde medición. Encontramos que los patrones (distribuciones) que observaban se podríanaproximar cercanamente por curvas continuas, a los que se referían como “curvasnormales de errores” y las atribuían a las leyes del azar. Abraham de Moivre (1667-1745), Pierre Laplace (1749-1827) y Kart Gauss (1777-1855) estudiaron por primeravez las propiedades matemáticas de estas curvas normales.

Ahora introduciremos una distribución continua que posee características especiales. Demanera que el lector pueda apreciar en forma intuitiva esta distribución, veremos unejemplo en el cual supondremos que un grupo de estudiantes rinde una examen. Seespera que una gran parte de las notas obtenidas se concentran alrededor de la media.

Además se espera que el número de notas obtenidas en rangos de longitud fija irádescendiendo al alejarnos de la media. Si la nota promedio en el examen ha sido de 4.5,esperamos encontrar, por ejemplo, más estudiantes en el rango 4.0-5.0 que en el rango6.0-7.0. Estas condiciones sugieren una distribución con una cima en la media y que vadescendiendo gradualmente en los extremos. Una distribución con estas propiedades esla distribución normal, cuyo comportamiento se puede apreciar en la figura 1. Comopuede verse, la función de densidad tiene forma de campana.

Figura 1. Función de densidad de una distribución normal.

Definición 6. Una variable aleatoria X tiene una distribución normal y se conocecomo una variable aleatoria normal si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por


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222 21 122( / , ) exp ( ) f x x x IR (1.18)

Propiedad 6. Si X tiene una distribución de normal con parámetros y 2 ,respectivamente, entonces se debe cumplir que:

6.i. )( X E

6.ii. 2)var( X

6.iii. IRt t t tX E t )())(exp()( 2221

Queda propuesto para el lector demostrar estas propiedades.

De estas propiedades puede concluirse que dadas la media y la varianza de una variablealeatoria normal, queda determinada la distribución específica dentro de la familia de

distribuciones normales. Esto permite el uso de la siguiente notación.

Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal con media y

varianza 2 , escribiremos

2( , ) X N

Ahora, la media proporciona una medida de posición central, mientras que la varianza dauna medida de dispersión alrededor de la media. Luego los valores que toman los

parámetros y 2 tienen diferentes efectos en la función de densidad de una variable

aleatoria normal. La figura 2 muestra la función de densidad de dos distribuciones

normales con varianza común pero diferentes medias. Puede verse, que incrementar lamedia, dejando constante la varianza, traslada la función de densidad pero no altera suforma. En la figura 3 las funciones de densidad representadas corresponden a variablesaleatorias normales con media común pero diferentes varianzas. Ambas son simétricasalrededor de la media común, pero la que tiene mayor varianza es más dispersa.

Figura 2. Funciones de densidad de dos distribuciones normales

con medias 0 1 .


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Figura 3. Funciones de densidad de dos distribuciones normales

con varianzas 2 21 0 ; ambas distribuciones tienen media .

Un problema importante en la práctica es determinar probabilidades de una distribuciónnormal específica. Como primer paso, introduciremos la función de distribuciónacumulada.

Supongamos que X es una variable aleatoria normal con media y varianza 2 , esdecir, 2( , ) X N . Entonces, la función de distribución acumulada 0( )F x es:

0 22 21 10 22( ) exp ( ) x

F x x dx

Esto corresponde al área bajo la curva de la función de distribución de probabilidad a laizquierda de 0 x , como se ilustra en la figura 4. Como ocurre para cualquier densidad de

probabilidad, el área total por debajo de la curva es 1, es decir, ( ) 1F .

Figura 4. El área sombreada es la probabilidad de que X sea

menor o igual que 0 x para una variable aleatoria2( , ) X N .

No hay una expresión algebraica simple para calcular la función de distribuciónacumulada de una variable aleatoria distribuida normalmente. Cualquier probabilidadpuede obtenerse a partir de la función de distribución acumulada. Sin embargo, siguehabiendo una dificultad, porque no existe una fórmula conveniente para determinar lafunción de distribución acumulada. En principio, podrían obtenerse las probabilidades decualquier distribución normal mediante métodos numéricos utilizando un computador.No obstante, sería demasiado tedioso tener que hacer esta operación para cadadistribución normal. Afortunadamente, las probabilidades de cualquier distribución


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normal pueden expresarse en términos de la probabilidad de una normal determinada,para la cual ya se han calculado y tabulado las probabilidades. Se introduce a continuaciónesta distribución normal particular que se utiliza con este fin.

Distribución Normal Estándar. La distribución normal con media 0 y varianza iguala 1 se llama distribución normal tipificada o también distribución normal estándar. Lafunción de distribución tipificada usualmente se denota por el símbolo y la función

acumulada por el símbolo . Entonces,

21 1( / 0,1) exp22

z z z IR

(1.19)

0 0 21

0 2

1( ) ( / 0,1) exp

2

z z

z z dz z dz

(1.20)

Es habitual en la literatura referirse a una variable aleatoria con distribución deprobabilidades normal con la letra Z , esto con el simple objetivo de diferenciar másfácilmente entre una variable aleatoria normal cualquiera de una estándar.

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal estándar estátabulada en el apéndice de este documento. En esta tabla se ven valores de

( ) Pr( ) z Z z 1

Por ejemplo podemos notar que:

( 0,74) Pr( 0.74) 0,2296 Z

Figura 5. Función de densidad de la variable aleatoria normal

estándar, donde las áreas achuradas son iguales.

Sin embargo, los valores positivos de esta misma probabilidad se podría obtener a partirde la simetría del problema. Esto quiere decir que Pr( 0.74) Pr( 0.74) Z Z , que en

términos de la función acumulada normal estándar es:

1 Téngase presente que Pr( ) Pr( ) Z z Z z , para efecto de variables continuas.


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( 0,74) 1 (0,74)

Este último resultado se puede observar en forma intuitiva en la figura 5.

Ejemplo 6. Supongamos que Z es una variable aleatoria normal estándar, hallarPr( 0.5 1.23) Z .

Respuesta

La probabilidad que se pide es:

Pr( 0.5 1.23) Pr( 1.23) Pr( 0.5) (1.23) ( 0.5) Z Z Z

Utilizando la tabla del apéndice, se obtiene que:

Pr( 0.5 1.23) 0.8907 0.3085 0.5822 Z

A continuación mostraremos cómo pueden expresarse probabilidades de cualquiervariable aleatoria normal en términos de probabilidades de la variable aleatoria normalestándar.

Supongamos que la variable aleatoria discreta2 X , tiene una probabilidad p de ser igual

a 0 x , ( 0Pr( ) X x p ), por otro lado, tenemos dos escalares que son a y b (constantes

arbitrarias), entonces, analicemos lo siguiente:

Para una variable aleatoria Y X a , quisiéramos determinar la probabilidad definidapor 0Pr( )Y x a , la cual se puede ser representada como 0Pr( ) X a x a , pero esta

última probabilidad se puede interpretar equivalentemente como

0 0Pr( ) Pr( , ) X a x a X x a a

Esto es interpretado como la probabilidad de que 0 X x y de que a a , pero las

constantes y la variables aleatoria son independientes entre si, por lo tanto, estaprobabilidad conjunta se puede reescribir de la siguiente forma

0 0Pr( ) Pr( ) Pr( ) X a x a X x a a

Pero Pr( )a a es uno, ya que una constante nunca cambia de posición por lo que se

tiene certeza absoluta de su valor, por esta razón, al reemplazar los valores tenemos que:

2 Esto es simplemente para simplificar el cálculo, sin embargo, el lector podrá extender este ejercicio avariables aleatorias continuas, cambiando solamente el signo de desigualdad.


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0Pr( ) 1 X a x a p p

Por lo tanto, podemos concluir que:

0 0Pr( ) Pr( ) X x X a x a

(1.21)

Sin embargo, esta expresión puede ser fácilmente extensible a una variable aleatoriacontinua, como:

0 0Pr( ) Pr( ) X x X a x a (1.22)

Donde el símbolo , representa cualquiera de las siguientes signos de desigualdad, , , , .

Entonces, el lector podrá ahora fácilmente demostrar que

0 0Pr( ) Pr( ) X x bX bx (1.23)

Siempre y cuando b sea un número constante y positivo estricto.

Ejemplo 7. Sea X una variable aleatoria normal con media y varianza 2 . Entonces,si definimos la variable X Z , como:

X

X Z

¿La probabilidad Pr( ) X x , puede ser representada como la probabilidad de una variablealeatoria normal estándar?

Respuesta

En este como ya nos podemos imaginar X y X

Z , tiene un comportamiento de una

variable aleatoria normal, pero si utilizamos las ecuaciones (1.22) y (1.23), podemosrealizar las siguientes operaciones sin cambiar la probabilidad.

0 00Pr( ) Pr Pr X

x x X X x Z

Sabemos que X Z tiene comportamiento normal, pero todavía no podemos afirmar que

esta normalidad viene de una distribución estándar. Para determinar ello es necesariodeterminar el valor esperado (media) y la varianza de esta variable aleatoria. Es decir,

1 1 1[ ( )] [ ] [ ( ) ( )] E X E X E X E


17/38



Pero, si X es una variable aleatoria normal con media , entonces, ( ) E X , y el

valor esperado de una constante es la misma constante, ( ) E , por lo tanto, podemos

concluir que la media de X Z es cero.

Bueno, ahora veamos que pasa con la varianza de X Z .

1 2 2var[ ( )] var[ ] [var( ) var( )] X X X

Sin embargo, la varianza de X es 2 y la varianza de una constante es cero, ya que lasconstantes no tienen volatilidad, esto nos lleva a que la varianza de X Z es uno.

De esta forma es fácil darse cuenta que la transformación al pasar de X a X

Z , es

simplemente modificar el comportamiento normal cualquiera de X a una normalestándar. Este proceso de conoce como estandarización o tipificación de variables

aleatorias normal, donde la base teórica se conoce con el nombre de Teorema Centraldel Límite (este un caso particular de este teorema).

Ejemplo 8. El rendimiento promedio de la PSU3 2005 fue de 395 ptos. y una desviaciónestándar de 168 ptos. Se le solicita que determine el número aproximado de alumnosque superaron los 670 ptos, si el número total de quienes la rindieron fue de 120.000,además puede suponer que esta población sigue un comportamiento normal.

Respuesta

El lector debe tener presente que es muy frecuente encontrarse con problemas que

suponen normalidad, que como ejercicio matemático es una buena forma de simplificarla resolución del problema, sin embargo, no es tan simple darse este supuesto enproblemas cotidianos, de hecho hacerlo sin la más mínima fundamentación teórica, esuna exageración que resta confiabilidad a los resultados y por ende a las conclusiones.

Bajo el supuesto de comportamiento normal y de que la probabilidad representa unafrecuencia relativa, tenemos que la fracciones de alumnos que supera los 670 ptos. serepresenta con la siguiente probabilidad, Pr( 670) X , donde X corresponden a los

puntos obtenidos por cualquier alumno dentro de los que rindieron la prueba.

Entonces, como calcular esta probabilidad con una integral es prácticamente imposible,

entonces, utilizaremos las ecuaciones (1.22) y (1.23), para determinar el valor de estaprobabilidad, es decir,

395 670 395 670 395168 168 168

Pr( 670) Pr( ) Pr( ) Pr( 1.64) X X X

X Z Z

3 PSU, Prueba de Selección Universitaria, la cual se aplica en Chile desde el 2003 y rinden todos losalumnos que hallan cursado su enseñanza media.


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Pero, si deseamos utilizar la tabla normal estándar que se encuentra en el apéndice, esnecesario modificar el signo de desigualdad, es decir,

Pr( 1.64) 1 Pr( 1.64) X X

Z Z

Que de la tabla, obtenemos que:

Pr( 1.64) 1 0.9495 0.0505 X

Z

De esta forma podemos concluir que aproximadamente el 5% de los alumnos querindieron la PSU, superaron los 670 ptos., es decir, unos 6.000 alumnos.

Ahora si quisiéramos discutir este resultado, podríamos hacer énfasis en el hecho de queno todos los alumnos rindieron la PSU, por lo tanto, existe un porcentaje de individuosque no participaron en el proceso, quienes posiblemente podrían haber modificado este

resultado, no siendo un 5%, sin que una cifra posiblemente menor.

3.4. Distribución Normal Bivariada.

Supóngase que 1 Z y 2 Z son variables aleatorias independientes cada una de las cuales

tiene una distribución normal tipificada. Entonces la función de distribución deprobabilidad conjunta 1 2( , )g z z de 1 Z y 2 Z para cualquiera valores de 1 z y 2 z está dada

por la ecuación

)(exp),( 2221212121 z z z zg (1.24)

Para cualesquiera constantes 1 , 2 , 1 , 2 y tales que i , 0i 2,1i y 11 , se define ahora dos nuevas variables aleatorias 1 X y 2 X como

sigue:

22212

112

1111

])1([

Z Z X

Z X (1.25)

Se deducirá ahora la función de distribución de probabilidad conjunta ),( 21 x x f 1 X y

2 X .

La transformación de 1 Z y 2 Z a 1 X y 2 X es una transformación lineal y se verificaráque el determinante de la matriz de coeficientes de 1 Z y 2 Z tiene el valor

21212 )1( . Por tanto, el jacobiano J de la transformación inversa de 1 X y 2 X

a 1 Z y 2 Z es

121

2121 ])1[( J (1.26)


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Puesto que 0 J , el valor de J es igual al valor de J . Si se resuelven las relaciones

(1.25) para 1 Z y 2 Z , en función de 1 X y 2 X , entonces la función de distribución de

probabilidad conjunta ),( 21 x x f se puede obtener reemplazando 1 z y 2 z en la ecuación

(1.24) por sus expresiones en función de 1 x y 2 x y multiplicando luego por J . Sepuede demostrar que el resultado para 1 x y 2 x es:

2

2

22

2

22

1

11

2

1

11

221

21221

)

)2

)1(2

1exp

)1(2

1),(

x

x x

x x x f

(1.27)

Cuando la función de distribución conjunta de dos variables aleatorias 1 X y 2 X es de la

forma de la ecuación (1.27) se dice que 1 X y 2 X tienen una distribución normal

bivariante. Las medias y las varianzas de la distribución normal bivariante especificadapor la ecuación (1.27) se pueden deducir fácilmente de las definiciones de la ecuación(1.25). Puesto que 1 Z y 2 Z son independientes y cada una tiene media 0 y varianza 1,

resulta que

21

21

212121

2

),cov(

),(),cov(

2,1)var()(

X X

X X X X

i X X E iiii

Ha resultado conveniente introducir la distribución normal bivariante como ladistribución conjunta de ciertas combinaciones lineales de variables aleatoriasindependientes que tienen distribución normal tipificada. Debe subrayarse, sin embargo,que la distribución normal bivariante aparece directa y naturalmente en muchosproblemas prácticos. Por ejemplo, para muchas poblaciones, la distribución conjunta dedos características físicas como las estaturas y pesos de los individuos de una poblaciónserá aproximadamente una distribución normal bivariante. Para otras poblaciones, ladistribución conjunta de las calificaciones de los individuos de la población en dospruebas relacionadas será aproximadamente una distribución normal bivariante.


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1.3.5. Distribución Gamma.

Algunas de las variables aleatorias que veremos siguen una distribución de la forma:

IR xekx x f x

1

),/( (1.28)

Donde 0 , 0 y k debe ser tal que el área total bajo la curva sea igual a 1. Para

evaluar k , primero hacemos la substitución x y , lo cual nos da

0

1

0

1 dye yk dxekx y x (1.29)

0)(0

1

dye y y (1.30)

Que se trata en detalle en muchos de los textos de cálculo avanzado. Al integrar porparte y asumiendo que es un parámetro, encontramos que la función gamma satisfacela fórmula recursiva.

( ) ( 1) ( 1) (1.31)

Para 1 , y puesto que

1)1(0

dye y

Se sigue por la aplicación repetida de la fórmula recursiva que )!1()( donde es un entero positivo. También, un valor especial importante es )(

21 .

Regresamos ahora al problema de evaluar k , igualamos la integral obtenida a 1, yobtenemos

1)(0

1

k dxekx

x

Y por tanto

)(

1

k (1.32)

Esto nos lleva a al siguiente definición de la distribución gamma.


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Definición 7. Una variable aleatoria X tiene una distribución gamma y se conocecomo una variable aleatoria gamma si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por

IR xe x x f x

1

)(

1),/( (1.33)

Propiedad 7. Si X tiene una distribución gamma con parámetros y ,respectivamente, entonces se debe cumplir que:

7.i. )( X E

7.ii. 2)var( X

7.iii. 1)1())(exp()( t t tX E t

3.6. Distribución Beta.

La densidad uniforme 1)( x f para 10 x y 0)( x f en cualquier otra parte es un

caso especial de la distribución beta, la cual se define de la siguiente manera.

Definición 8. Una variable aleatoria X tiene una distribución beta y se conoce comouna variable aleatoria Beta si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por

0,0)1()()(

)(),/( 11

x x x f (1.34)

Donde 0 y 0 .

En años recientes, la distribución beta ha encontrado aplicaciones importantes en lainferencia bayesiana, donde los parámetros se consideran como variables aleatorias, y haynecesidad de una densidad de probabilidad bastante “flexible” para el parámetro de ladistribución binomial, el cual sólo toma valores distintos a cero en el intervalo desde 0hasta 1. Con “flexible” queremos decir que la densidad de probabilidad puede tomar unagran variedad de formas diferentes.

No demostraremos aquí que el área total bajo la curva de la distribución beta, como la decualquier densidad de probabilidad, es igual a 1, pero en la demostración del teoremaque sigue, nos valdremos del hecho que

1)1()()(

)(1

0

11

dx x x

(1.35)

Y por tanto que


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),()()(

)()1(

1

0

11

Bdx x x

(1.36)

Esta integral define la función beta, cuyos valores se denotan por ),( B . En cualquier

libro de texto avanzado se puede encontrar un análisis detallado de función beta.

Propiedad 8. Si X tiene una distribución Beta con parámetros y ,respectivamente, entonces se debe cumplir que:

8.i.

)( X E

8.ii.)1()(

)var(2

X


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4. DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS (CASO BIVARIANTE)

Considerar y utilizar distribuiciones condicionales juega un papel fundamental en lamodelización para un proceso de toma de decisiones. Vamos a considerar algunos

resultados generales para una distribución bivariante.

En una distribución bivarainte, hay una distribución condicional sobre y para cada valorde x. Las densidades condicionales son

)(

),(

),(

),()|(

x f

y x f

dy y x f

y x f x y f

x y

y

)(

),(

),(

),()|(

y f

y x f

dx y x f

y x f y x f

y x

(1.37)

De la ecuación (1.37) se deduce que, si x e y son independientes, entonces se cumpleque )()|( y f x y f y y )()|( x f y x f x .

La interpretación es que si las variables son independientes, las probabilidades de lossucesos relacionados con una variable no están relacionadas con la otra. La definición dedensidades condicionales tiene como implicancia el siguiente resultado importante:

)()|()()|(),( y f y x f x f x y f y x f y x (1.38)

4.1. Media Condicional.

Una media condicional es la media de la distribución condicional y se define por:

discretaes si)|(

continuaes si)|()|( y x y yf

ydy x y yf xY E

y

y (1.39)

A la función de media condicional ]|[ xY E se le denomina regresión de Y sobre x . Por

ello una variable aleatoria Y siempre se puede escribir como:

]|[])|[(]|[ xY E xY E Y xY E Y

Donde contiene el efecto estocástico de la variable.

4.2. Varianza Condicional.

La varianza condicional es la varianza de la distribución condicional:

222 ])|[(]|[]|])|[[(]|[ xY E xY E x xY E Y E xY V (1.40)


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A la varianza condicional se la denomina función cedástica y, como la regresión, esgeneralmente, una función de x . Sin embargo, a diferencia de la función de la mediacondicional, lo habitual es que la varianza condicional no varíe con x . Esto no implica,sin embargo, que ]|[ xY V sea igual a )(Y V , que, en general, no será el caso. Implica,

solamente, que la varianza condicional es una constante. El caso en que la varianzacondicional no varía con x se denomina homocedasticidad (varianza igual, oconstante).

4.3. Relación entre Momentos Condicionales y Marginales.

En los siguientes teoremas se presentan algunos resultados útiles sobre los momentos deuna distribución condicional:

Teorema 1. Ley de las esperanzas iteradas.

Este concepto consiste en calcular el promedio general como el promedio de lospromedios parciales, es decir,

]]|[[][ xY E ExY E (1.41)

Donde la notación ][ x E indica la esperanza sobre los valores de x .

Teorema 2. Los momentos de una combinación lineal de variables.

Si bX a X Y E ]|[ , donde ahora X podría se una variable aleatoria, entonces

][][ xbE Y E a y ][),cov(

X V Y X b (1.42)

Cuya demostración queda propuesta para al lector.

Teorema 3. Descomposición de la varianza.

En una distribución conjunta

)]|([])|[(][ xY V E xY E V Y V x x (1.43)

La notación ][ xV indica la varianza sobre la distribución de x . Esto indica que en unadistribución bivariante, la varianza de Y se descompone en la varianza de la funciónmedia condicional (intervarianza) más la varianza esperada alrededor de la mediacondicional (intravarianza).


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Teorema 4. Varianza residual de una regresión.

En cualquier distribución bivariante,

])|[(][)]|([ xY E V Y V xY V E x x

(1.44)

En promedio, condicionar reduce la varianza de la variable sujeta al condicionamiento.Por ejemplo, si Y es homocedástica, se cumple siempre que la varianza de la(s)distribución(es) condicional(es) es menor o igual a la varianza marginal de Y .

Teorema 5. Regresión lineal y homocedasticidad.

En una distribución bivariante, si bxa xY E ]|[ y si ]|[ xY V es una constante, entonces

)1(]),[Corr 1]([]|[ 222 xy y X Y Y V X Y V

La prueba se obtiene directamente utilizando los teoremas 2 y 4.

Ejemplo 9. En su estudio 1984, Hausman et al. (1984) sugiere que la distribuciónPOISSON es un modelo razonable para la distribución del número de patentes ( P )concedidas a las empresas en un determinado año:

,...2,1,0,!

)|(

PP

eP f

P

Sin embargo, se sabe que cuanto más se invierte ( R ) en investigación y desarrollo

(I&D), mayor es, en promedio, el número de patentes recibidas. Esta interaccióndebería afectar a la distribución de P . Cómo se distribuye R entre las empresas es unacuestión colateral, que puede ser o no de interés. Pero en lo que estamos interesados esen cómo interactuan R y el número medio de patentes. Como el valor medio de laspatentes recibidas es lambda, supongamos que la distribución previa de P es condicionalen R y especificamos que:

]|[ RP E bRa

Esperariamos que b fuese positiva. Por tanto,

,...2,1,0,!

)()|(

)(

P

P

ebRa RP f

bRaP

Que capta el efecto que buscábamos. Observar un gran número de patentes puedereflejar un valor alto del proceso POISSON, o bien puede que se derive de un valorinusualmente alto de R .


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La distribución POISSON ilustra una trampa que a veces se da en la especificación de unmodelo econométrico. En una distribución POISSON, la media es igual a la varianza. Nohemos descartado la posibilidad de que bRa pueda ser negativo para algunos valores dea y b . No sólo es éste un parámetro en cualquier caso inválido para la distribución de

POISSON, sino que además, permite una varianza negativa. Esto es un error común deespecificación.

Ahora supongamos que R es una fracción constante del tamaño de la empresa, y queesta variable sigue una distribución lognormal. Así, R también seguirá una distribuciónlognormal4. Supongamos que 0 y 1 . Entonces

65,1][ e R E y 65,4][ RV

Supongamos también que 1a y 2b . Entonces.

R RP E 21]|[

30,4][21]21[]]|[[][ R E R E RP E E P E R R R

6,18][4]21[]]|[[ RV RV RP E V R R R

R RPV 21]|[

30,4][21]21[]]|[[ R E R E RPV E R R R

De esta manera se puede concluir que

9,2230,46,18]]|[[]]|[[][ RPV E RP E V PV R R

Nótese que ][PV es apreciablemente mayor que ]]|[[ RPV E .

4 Cuando se modelan distribuciones de tamaño, tales como la distribución del tamaño de lasempresas en una industria o la distribución de la renta en un país, la distribución lognormal

(LN), que representamos por ],[ 2 LN es especialmente útil.

2212 ]/)[(lnexp

2

1),|(

x

x x f

Una variable lognormal X tiene2

21

][

e X E y )1(][222 ee X V la relación en las

distribuciones normal y lognormal es que si ],[~ 2 LN Y , entonces ],[~)ln( 2 N Y , por lo

tanto se puede concluir que ],[~ 22 r r LN Y r .


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4.4. El Análisis de la Varianza.

El resultado de descomposición de la varianza implica que en una distribución bivariante,

la variación deY

surge por dos motivos:

1. Variación porque ]|[ xY E varía con x :

])|[(regresióndeVarianzanzaIntervaria xY E V x

2. Variación porque, en cada distribución condicional, Y varía alrededor de lamedia condicional.

])|[(residualVarianzanzaIntravaria xY V E x

Por tanto,

residualVarianzaregresióndeVarianza][ Y V

Cuando analicemos una regresión, habitualmente estaremos interesados en cuál de lasdos partes de la varianza total, ][Y V , es mayor. Por ejemplo, en la relación patentes-

I&D, ¿cuál explica más la varianza del número de patentes recibidas? ¿variaciones en lacantidad de I&D (varianza de regresión) o la variación aleatoria en las patentes recibidasdentro de la distribución POISSON (varianza residual)? Una medida natural es elcoeficiente

TotalVarianzaRegrersióndeVarianzaCoDiónDeterminacdeeCoeficient

Ejemplo 10. Análisis de la varianza en un modelo de POISSON. Utilizando el ejemploanterior tenemos que.

812,09,22

6,18CoD

Esto nos indica que aproximadamente el 81% de la varianza es explicada por la varianza

de la regresión.

En el contexto de una regresión lineal, el coeficiente de determinación surge de otrarelación que subraya la interpretación del coeficiente de correlación.

Si bxa xY E ]|[ , entonces el coeficiente de determinación 2CoD , donde 2 es la

correlación al cuadrado entre x e Y . Podemos concluir que el coeficiente de


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correlación (al cuadrado), es una medida de la proporción de la varianza de Y que seexplica por la variación de la media de Y , dado x . En este sentido la correlación puedeser interpretada como una medida de asociación lineal entre dos variables.

5. TEORÍA DE CONVERGENCIA EN PROBABILIDADES.

5.1. La Ley Débil de los Grandes Números.

Al discutir convergencia en probabilidad fue demostrado que cuando el tamaño de lamuestra llega a ser grande, la media muestral se acerca a la media poblacional. Esto seconoce como la ley débil de los grandes números (WLLN, del ingles Weak Law of LargeNumbers) , lo cual se sostiene bajo una variedad de supuestos.

Teorema 6. Kinchin

Sea , 1T X T una sucesión de variables aleatoria independiente e idénticamente distribuidas

(IID) con media finita , y sea 1 1T

T i i X T X

, entonces

lim Pr[ ] 0T

T X

(1.45)

O equivalentemente

lim Pr[ ] 1T

T X

(1.46)

En otras palabras, T plimX = .

Teorema 7. Chebyshev

Sea T X una sucesión de variables aleatoria independientes con media finita T , y

varianza 2T , y sea

11

T

T i iT

. Si las varianzas son igualmente acotadas, esto es,

2T

c , entonces ( ) 0 p

T T X .

Demostración

Se sabe que2 2 1

1var( )T

T i i X T T c

. Por la desigualdad de Chebyshev5

,

5 La desigualdad de Chebyshev. Si T x es una variable aleatoria y T c y son constantes, entonces

])[()Pr( 22 T T T T c x E c x


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2 2

var( )Pr[ ] T

T T

X c X

T

(1.47)

En este caso tenemos que cuando T tiende a infinito el lado derecho de la ecuación

(1.47) converge a cero y como la probabilidad no puede ser negativa, entonces sedemuestra que el término descrito converge el cero.

Teorema 8. Markov´s

Sea T X una sucesión de variables aleatoria con media finita T , y sea1

1T

T i i X T X

y

11

T

T i iT

. Si las var( ) 0T X cuando T , entonces ( ) 0

p

T T X 6.

Teorema 9. Kolmogorov´s

Sea 1 1T

T i i X T X y

11

T

T i iT , y además se define T T T Z X . Una condición

necesaria y suficiente para que se cumpla WLLN, debe ocurrir que 0 p

T Z y que2 2lim [ /(1 )] 0T T

T E Z Z

.

5.2. La Ley Fuerte de los Grandes Números

La WLLN indicó que bajo ciertas condiciones la media muestral converge enprobabilidad a la media poblacional. Sin embargo, podemos en efecto hacer unaderivación más fuerte, la cual se puede indica como que la media muestral convergealmost surely a la media poblacional. Esto se conoce como la ley fuerte de los grandesnúmeros (SLLN que en ingles quiere decir Strong Law of Large Numbers), las bases deestos resultados que se presentan a continuación los cuales se apoyan en la dependenciade las observaciones, su heterocedasticidad y momentos.

Teorema 10.

Si las t X ´s son IID y ( )t E X , entonces. .

( ) 0a s

T X .

6 Para la demostración se puede utilizar la desigualdad de Markov. Sea T y una variable

aleatoria que toma valores no negativos y una constante positiva, entonces,

)()Pr( 1 T T y E y


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Teorema 11.

Si las t X ´s son independientes ( ( )t t E X ) con varianza finita (2var( )

t t X ), y si

2

11[ var( )]T T T X

, entonces

. .

( ) 0a s

T T X .

Teorema 12.

Si las t X ´s son IID, entonces una condición necesaria y suficiente para. .

( ) 0a s

T T X es

quei i E X para todo i .

5.3. Teorema Central del Límite.

Quizás el teorema más importante de la teoría de las grandes muestras es el teoremacentral del límite, el cual indica que, bajo condiciones absolutamente generales (e

intuitivamente razonable), la media de sucesiones de variables aleatorias (tales como lamedia muestral), converge a una distribución normal aunque la distribución original nolo sea. Así aunque no supiéramos cual es la distribución estadística de la población a lacual pertenece la muestra, si se cuenta con una muestra lo suficientemente grandepodremos aproximar bastante bien la distribución muestral por una distribución normal.En los casos que se cumple este teorema se simplifica enormemente la inferenciaestadística.

Teorema 13. Convergencia en Distribución

Suponga que T X ( 1n ) es una sucesión de variables aleatorias con f.d.a ( )T F x , y

d

T X X con una f.d.a. ( ) X F x , entonces para cualquier función continua ( )g ,

lim ( ) ( ) ( ) ( )T

T g x dF x g x dF x

(1.48)

En el caso de una variable aleatoria continua, se tiene que:

lim ( ) ( ) ( ) ( )T

T g x f x dx g x f x dx

(1.49)

Teorema 14. (TLC)

Sea 1 2, ,..., T X X X una sucesión de variables aleatorias, T S corresponde a la suma de la

serie ( 1T

i i X ) y T X es la media de la serie /T S T . La media estandarizada se define como

( ) ( )

var( )var( )

T T T T T

T T

X E X S E S Z

S X

(1.50)


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Donde se ha definido que (0,1)d

T Z N .

Algunos de los TLC más conocidos corresponden a:

Teorema de Moivre´s: La sucesión de observaciones son independientes de variables deBernoulli (Este es el primer caso históricamente establecido).

Este caso es utilizado frecuentemente en la literatura aplicada, claro, no siempre bajo las condiciones que comprenden este tipo de procedimientos. Para quepodamos ver con más detalle este comentario, supongamos que contamos con unamuestra de variables aleatoria de Bernoulli independientes e idénticamentedistribuidas, es decir, que cada una de las observaciones posee el mismo valoresperado p y varianza (1 ) p p , donde p representa la probabilidad de que la

variable aleatoria sea igual a 1. Por lo tanto, el promedio de esta muestra tienedistribución Binomial7, con valor esperado y varianza igual a:

( )T

E X p 1var( ) (1 )T

X T p p

Ahora utilizando el teorema de Chebyshev tenemos que:

2 2

var( ) (1 )Pr( ) T

T

X p p X p

T

Por lo tanto, si aplicamos el límite de T tendiendo a infinito, nos queda que:

2

(1 )

lim Pr( ) lim 0T T T p p

X p T

Pero, como la probabilidad no puede ser negativa, entonces se puede concluirque:

lim Pr( ) 0T

T X p

Entonces, el promedio de la muestra converge en probabilidad a p , así que por la

ley débil de los grades números converge en distribución a una normal, es decir,

( ) (0,1)(1 )var( )

d T T

T

X p T X p N p p X

7 Se debe notar que en el promedio de variables aleatoria Bernoulli se pierde el orden en que salieron losceros y unos, por lo tanto, la distribución de este promedio es la distribución conjunta de variablesaleatorias Bernoulli sin orden, que corresponde a la descripción de la distribución de una Binomial.


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Sin embargo, el lector debe notar que esto se cumplirá siempre y cuando elnúmero de observaciones sea sustancialmente grande, es decir que con 30 ó 50observaciones posiblemente no pudríamos concluir lo mismo.

Teorema de Lindberg-Levy: La sucesión utilizada son IID con varianza finita.

Teorema Liapounov : Las X ´s son independientes con ( )i i E X ,2var( )

i i X ,

2[ ]

i i i E X

( 0 ), y

21

2 21

( )lim 0

( )

T

i i

T T i i

Teorema Lindberg-Feller: Las X ´s son independientes con ( )i i E X ,2var( )

i i X ,

2 21

T

T i is , 1

T

T i iS X , y para 0

2

2 1

1lim ( ) ( ) 0

i T

T

i ii x S T T

x dF xs

Teorema 15.

Distribución límite normal de una función. Si ],0[)( 2 N zT DT y si )( T zg es

una función continua que no dependen de T , entonces

]))((,0[)]()([ 22 g N g zgT DT (1.43)

Nótese que la media y la varianza de la distribución límite, son la media y la varianza dela aproximación lineal:

))(()()( T T zgg zg (1.44)

Estos resultados sugieren que los momentos de la distribución límite son los límitesordinarios de los momentos de la distribución de la muestra finita. Esto es casi siemprecierto, pero no necesariamente tiene por que ser así. Es posible construir ejemplos en losque los momentos para muestras finitas ni siquiera existen, mientras que los momentosde la distribución límite están bien definidos. Incluso en esos casos, generalmente esposible encontrar la media y la varianza de la distribución límite.

Las distribuciones límite, así como los límites en probabilidades, pueden simplificar demanera importante el análisis de algún problema concreto. Algunos resultados en los quese combinan ambos tipos de convergencia se presentan a continuación.


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APÉNDICE: TABLA

I. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR.

Forma funcional:0 2

0 0

1 1Pr( ) ( ) exp

22

z

Z z z s ds

Forma gráfica:

Gráfico I. Representación de la probabilidad en una distribución normal estándar

Tabla 1. Función de Distribución Acumulada de la Distribución Normal Estándar.

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002

-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002

-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003

-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005

-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007

-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014

-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019

-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026

-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036

-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048

-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064

-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084

-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110

-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143

-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183

-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867


34/38



0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148

-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177

1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319

1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545

1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633

1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706

1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857

2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916

2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936

2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952

2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964

2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990

3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993

3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995

3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997

3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998


35/38



APÉNDICE: USO

II. USO DE TABLA NORMAL PARA CÁLCULO DE PROBABILIDAD Y

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

2.1. Simetría de la Normal

Suponga una distribución normal estándar, la cual representaremos por medio de lasiguiente figura.

Figura a. Representación del rango que el 90% más probable.

Además intentaremos determinar el valor de zo o el rango de valores que tiene un 90%de probabilidades sobre el total de valores, para ello recordaremos lo siguiente.

Pr( ) ( ) ( ) z

Z z z s ds

Y que

2 2 2

11 2 2 1Pr( ) ( ) ( ) ( ) Pr( ) Pr( )

z z z

z z Z z s ds s ds s ds Z z Z z

Por lo tanto, ceñidos a nuestro problema debe ocurrir que

1 2Pr( ) 0.9 z Z z

Pero como la distribución normal estándar es simétrica con respecto a cero, tenemos

2 1 z z , de esta forma las probabilidades antes mencionadas se pueden descomponer de

la siguiente forma:

1 2 2 1Pr( ) Pr( ) Pr( ) 0.9 z Z z Z z Z z

2 1Pr( ) 0,95 Pr( ) 0.5 Z z Z z


36/38



Claramente se puede apreciar que la resta genera el valor 0.9, que interpretaremos comoel conjunto de valores que posee un 90% de representatividad.

Ahora podemos calcular cada probabilidad por separado, y encontrar que son iguales enmodulo, por lo tanto, primero determinaremos el valor de 2 z .

Cálculo de 2 z , en base a 2Pr( ) 0,95 Z z . Primero debemos tener presente que en la

tabla aparecen una primera columna y una primera fila que se encuentra oscurecidas enel cuadro a.

Cuadro a. Representación de la tabla normal estándar, para valores de z positivos.

Esta primera columna representa el valor de z con un decimal (el primero), mientrasque el segundo decimal corresponde al de la primera fila. Por lo tanto, nosotros buscamos la probabilidad de 0.95, la cual se encuentra marcada por un circulo en elcuadro a. Pero, al extender una flecha en forma horizontal encontramos el número 1,6que corresponderían al valor de 2 z hasta el primer decimal, sin embargo, al extender

una flecha en forma vertical, nos encontramos con el valor 0,05 que representa elsegundo decimal de 2 z , esto nos dice que el valor completo de 2 z es 1,65.

Cuadro b. Representación de la tabla normal estándar para valores de z negativo.

En forma análoga a la anterior pero utilizando el cuadro b, es posible determinar el valorde 1 z . Si consideramos la misma aproximación que antes, 1 z es igual -1,65.

Este último resultado concuerda con el hecho de que la distribución normal estándar essimétrica.


37/38



Entonces, podemos concluir que el rango que tiene un 90% de representatividad en unadistribución normal se encuentra dentro [ 1,65;1,65] .

2.2. Otro tipo de cálculo por medio de la tabla estándar.Suponga que cuenta con una muestra aleatoria de tamaño N obtenida de una población

que posee una distribución normal con media y varianza 2 , la cual informa que el

40% de las observaciones son menores a 20 y el 45% son menores a 35. Estime en formaaproximada el valor de la media y de la varianza.

Para poder realizar este cálculo debemos suponer que la muestra es lo suficientementegrande como para ser representativa de la población, por lo tanto, el enunciado anteriorse puede expresar en términos estadísticos como:

Pr( 20) 0, 40 X y que Pr( 35) 0,45 X

También sabemos que las probabilidades de variables normales pueden ser llevada a unanormal estándar, es decir,

1 1Pr[ ( ) (20 )] 0, 40 X

Sin embargo, al hacer este cambio hemos igualado la probabilidad de una normalcualquiera a la probabilidad de una normal estándar. De esta manera para la probabilidadde 0.4 el valor de eje ( z ) se encuentra aproximadamente en el valor de -0.25, según semuestra en el círculo del cuadro c.

Cuadro c. Tabla de distribución normal estándar.

Esto quiere decir que Pr( 0, 25) 0,4 Z , por lo tanto, al igualar estas dos

probabilidades tenemos que:

1 (20 ) 0,25


38/38


De la cual se desprende nuestra primera ecuación 0, 25 20 , pero se hace necesaria

una segunda ecuación, ya que tenemos dos incógnitas. Esta segunda ecuación la podemosgenerar de la segunda probabilidad, de manera que:

1 1

Pr[ ( ) (35 )] 0,45 X

Pero, tal como podrá percibir el lector, la probabilidad de 0.45, se encuentraaproximadamente a la misma distancia entre dos valores, por lo tanto, se puede tomar elpunto medio como referencia, lo cual en algunos casos no sería muy preciso, sinembargo, también se podría recurrir a una extrapolación considerando una recta entredos puntos, es decir,

Recuerde que la recta que pasa por dos puntos, 1 1( , ) x y y 2 2( , ) x y , es:

2 11 1

2 1

( ) y y

y x x y

x x

Por lo tanto, de la tabla sabemos que para un valor de eje igual a -0,12 la probabilidadacumulada es 0.4522, mientras que para un valor de eje igual -0,13 la probabilidadacumulada respectiva es igual 0.4483 (ver cifras encerradas en un cuadrado, en elcuadro c), que al ser utilizado como puntos, hace que la recta quede expresada como

0,13 0,12( 0,4522) 0,12

0,4483 0,4522 y x

Entonces, podemos concluir que para una probabilidad acumulada de 0.45, el valor de

eje corresponde a -0,126.

De esta forma al igual las probabilidades tenemos nuestra segunda ecuación, es decir,

1 (35 ) 0,126

0,126 35

Con lo cual podemos construir el siguiente sistema de ecuaciones

0,25 20

0,126 35

Que una vez resuelto nos entrega que un valor aproximado de la media es 50.24 y parala desviación estándar es 120.97, con lo cual podemos señalar que la varianzacorresponde a 14633.74.

2016-03-0720162248capitulo_5_funciones_de_distribucion (1).pdf

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