CLCULO DE REAS

REAS

Acotadas Por una Curva

Acotadas por ms de una curva

f(x) es positiva

f(x) no es positiva

( )

b

a

f xr a dxe

2

( )

b

a

f x drea x

x

y

x

y

f

g

( ) ( )b

a

fre x g xa dx

3

rea acotada por una curva

b,aen0)x(f

rea de la regin = b

a

dx)x(f

4

Ejemplo

2

2/3

7

3

2/3

7

3

7

3

2/1

78.10

33

27)5(

3

2

2/3

2

1)2(12

u

xx

dxxdxx

5

El recinto ser el limitado por la funcin f(x), el eje OX y dos recta

verticales x =a y x = b.

rea del recinto = - b

a

dx)x(f

( ) 0 ,f x en a bCaso 2

6

Ejemplo

2

5

2

5

2

5

2

5

2

75.5)2ln(32)5ln(35

ln33

1

313

32

u

xxdxx

dxx

dxx

x

7

rea:

2

3

0

33

0

2

3

3

3

3

22

24)039(2

32)1(2

)1()1(

u

xx

dxx

dxxdxx

Ejemplo

La funcin toma valores positivos y negativos

rea (R) = b

e

e

d

d

c

c

adx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f

9

Hallar el rea de la regin limitada por la funcin , las rectas

x = 1 y x = 4.

21( ) 14

f x x

4 2 4

2 2 2

1 1 2

2 4

2 2

1 2

2 4

3 3

1 2

3 3 2

1 1 1rea 1 1 1

4 4 4

1 11 1

4 4

1 1

12 12

1 1 1 1 432 2 1 4 4 (2) 2

12 12 12 12 12

x dx x dx x dx

x dx x dx

x x x x

u

10

elemento diferencial de rea:

R

y = f(x)

y = g(x)

X

Y

b a x

b

a

dxg(x)f(x)A(R) ][

dARArea de la regin:

diferencial de rea: dA=[f(x)-g(x)]dx

dx

f(x)-g(x)

11

rea (R) =

235.0

2

3

38]1)1()32[( udxxx

Ejemplo

12

elemento diferencial de rea:

II. Si la regin es regular con respecto al eje Y:

diferencial de rea: dA=[h(y)-i(y)]dy

d

c

dyyiyhRA ][

dARArea de la regin:

x = h(y)

X

Y d

c

R x = i (y)

y dy

h(y)-i(y)

13

Encuentre el rea de la regin limitada por las

curvas 2 6

, 12

yx x y

Ejemplo 2

14

rea (R) = b

c

c

adx)]x(g)x(f[dx)]x(f)x(g[

reas Acotadas por Curvas que se Cortan

15

Hallar el rea de la regin limitada por las funciones y =

x2 e xy

y = x2 xy

rea (R) = 2

1

0

32

31

021

02

1

u3

1

3

xx

3

2dxxdxx

Ejemplo 3

16

Hallar el rea del recinto limitado por la parbola y = x2 ,

la recta y = -x + 2 y el eje OX positivo

rea (R) = 22

1

1

02 u

6

5dx)2x(dxx

y = x2 y = - x + 2

Ejemplo 4

17

SLIDOS DE REVOLUCIN MTODOS DE DISCOS Y ANILLOS

18

2[ ( )]b

af x dx

Mtodos para calcular volmenes de slidos de

revolucin

Del disco

De las secciones conocidas

De los anillos

De los casquetes cilndricos

2 ( )b

a

x f x dx

2 [ ( ) ( )]b

a

x f x g x dx 2 2[ ( )] [ ( )]b

af x g x dx

( )b

a

A x dx

19

Diferencial de volumen

xi

f(xi)

a xi b

xi

y=f(x)

f(xi)

2 2

1

lim [ ( )] [ ( )]n b

i ian

i

V f x x f x dx

2i i iV f x x

MTODO DE LOS DISCOS

20

El volumen obtenido al girar la regin limitada por la curva x = g(y) y las rectas x = 0, y = c, y = d (c < d), alrededor del eje Y ser igual a:

d

c

dyygV2

21

EJEMPLO Calcula el volumen del slido que se obtiene al girar la regin R, alrededor del eje Y.

y

xyyxR2

0;41/, 2

22

MTODO DE LOS ANILLOS

Cuando la regin a girar est limitada por dos funciones f(x) y g(x) continuas en [a, b], las rectas x=a y x=b.

Diferencial de volumen

f(xi) g(xi)

xi

dxxgxfVb

a

22

a b x

x

(*)

y= f(x)

y= g(x)

23

EJEMPLO Calcule el volumen del slido generado al girar alrededor del eje Y la regin limitada por las curvas x = y2 + 1 y x = -y2 + y + 4.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

1

2

3

x

y