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ESCUELA SUPERIOR POLITCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS CURSO DE NIVELACIN 2015 1S

CAPTULO: N M E R O S R E A L E S D E B E R 3

1) Represente en un diagrama de Venn la clasificacin de los nmeros reales.

2) Si R es el conjunto de los nmeros reales, Q es el conjunto de los nmeros racionales,

I es el conjunto de los nmeros irracionales, Z es el conjunto de los nmeros enteros y N es el conjunto de los nmeros naturales, identifique la proposicin FALSA. a) N Q( ) R b) Q I = R c) QZ d) ZN e) ( )IQN

Respuesta: b) 2.1 Representacin decimal 3) Ubique en la misma recta numrica los siguientes nmeros racionales:

a) 3.14 b) 4/5 c) 3/2 d) 1/3 e) 5/2

4) Ubique en la misma recta numrica los siguientes nmeros irracionales:

a) 2 3

b) 2 3 c) 23 d) 2 2 e) 2

5) Determine si los siguientes nmeros son racionales o irracionales:

a) 7.31 b) 0.505005000 c) 3.5478 d) 5.070077000777

Respuesta: a) Racional, b) Irracional, c) Racional, d) Irracional

6) La suma (o la diferencia) de un nmero racional con otro nmero irracional es un nmero irracional. a) Verdadero b) Falso

Respuesta: a)

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7) El producto de un nmero racional, diferente de cero, por un nmero irracional, es otro nmero irracional. a) Verdadero b) Falso

Respuesta: a) 8) El cociente de un nmero racional, diferente de cero, entre un nmero irracional, es otro

nmero racional. a) Verdadero b) Falso

Respuesta: b)

9) La fraccin recproca de un nmero irracional es otro nmero irracional. a) Verdadero b) Falso

Respuesta: a) 10) Realice las operaciones matemticas neecsarias para representar cada nmero en

notacin decimal como un nmero racional: a) 5.26 b) 0.456 c) 3.1416 d) 145.235

Respuesta: a) 526/100, b) 456/1000, c) 10471/3333, d) 145090/999 2.2 Operaciones binarias 11) Defina:

a) Operacin binaria. b) Propiedad de cerradura. c) Propiedad conmutativa. d) Propiedad asociativa. e) Propiedad de elemento neutro. f) Propiedad de elemento inverso.

12) Toda operacin binaria cumple con la propiedad de cerradura y la propiedad conmutativa.

a) Verdadero b) Falso Respuesta: b)

13) Las operaciones de unin e interseccin entre conjuntos son operaciones binarias.

a) Verdadero b) Falso Respuesta: a)

14) El ser humano a travs de la historia ha manejado diferentes tipos de representacin

numrica. Indique, justificando su respuesta, si las operaciones de suma y resta de los siguientes sistemas numricos se pueden considerar operaciones binarias: a) Sistema de nmeros romanos b) Sistema binario

15) Cree, de ser posible, una operacin binaria que cumpla la propiedad conmutativa, pero no la asociativa.

16) Cree, de ser posible, una operacin binaria que tenga elemento neutro, pero no tenga elemento inverso.

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17) Cree, de ser posible, una operacin binaria que tenga elemento inverso, pero no tenga elemento neutro.

18) Sea el conjunto S = a,b,c{ } sobre el cual se define la operacin binaria por medio de

la siguiente tabla: Identifique la proposicin VERDADERA. a) cc( ) = bc( )c"# $% b) La operacin binaria es conmutativa. c) aa( ) = bc( )a"# $% d) bb( ) = cb( )c"# $% e) ab( ) ac( )"# $% cb( )

Respuesta: c) 19) Sea la operacin binaria : S S! S definida sobre el conjunto S = {, , } como se

muestra en la siguiente tabla:

Identifique la proposicin VERDADERA. a) = b) = c) = d) = e) =

Respuesta: d) 20) Dado el conjunto = a, b, c y una operacin binaria definida en por la siguiente

manera:

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta. a) La operacin es binaria. b) La operacin es conmutativa. c) La operacin tiene un elemento neutro. d) a b( ) c"# $%= c e) La operacin no es asociativa.

Respuesta: a) 1, b) 0, c) 0, d) 0, e) 1

a b c a b a a b b c b c a b c

a b c a b c a b a b c c c a b

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21) Si es una operacin definida sobre los nmeros enteros como ab = 2a 3b . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta. a) La operacin es binaria. b) La operacin es conmutativa. c) La operacin es asociativa. d) El elemento neutro de la operacin es 0. e) 43= 35

Respuesta: a) 1, b) 0, c) 0, d) 0, e) 0 22) Sea el conjunto S = Z

y sea * una operacin binaria tal que a*b = a + b + 2ab ,

a, b S . Entonces, 2 * 5 *1( )!" #$ * 2 * 2( ) * 0( )!" #$ es igual a: a) 2,138 b) 2,383 c) 1,348 d) 1,283 e) 1,238

Respuesta: e) 2.3 Operaciones entre nmeros reales

23) 32 + = 5 a) Verdadero b) Falso

Respuesta: b)

24) Sin utilizar la calculadora, resuelva: 0.51( ) 1 13

"

#$

%

&' 1

35

"

#$

%

&'

2

0.12 1 59

Respuesta: 8

25) Sin utilizar la calculadora, resuelva: 0.888...1( ) 3.033...( )

10.555...

+0.222...

Respuesta: 16

26) Sin utilizar la calculadora, resuelva: 3.333...( ) 1 3764

3

0.51( )2 192

"

#$

%

&' 1.022...( ) 2.5( )

2

Respuesta: 9

27) Sin utilizar la calculadora, resuelva: 34

32.0214

103

16.5 +

+

Respuesta: 735

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28) Al simplificar la siguiente expresin 0.06666.....( )0.25( ) 0.5( )

1 16( )

1

0.02222.....

"

#

$$$

%

&

''', se obtiene:

a) 121

b) 14 c)

43 d)

34 e) 12

Respuesta: c)

29) Indique cules son las propiedades que posee la operacin * definida sobre los nmeros enteros: a * b = ba +2

30) Sea la operacin binaria * definida sobre los nmeros enteros de la siguiente manera:

a * b = a + b + 2. Entonces es FALSO que: a) La operacin * es binaria. b) La operacin * es conmutativa. c) No tiene elemento inverso. d) El elemento neutro es 2. e) La operacin * es asociativa.

Respuesta: c)

31) Si se conoce que a 0( ) b 0( ) ab +ba= 2

#

$%

&

'( , el valor de ab( )

2000

es igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 1,000 e) 2,000 Respuesta: a)

32) Identifique la proposicin VERDADERA:

a) Si a = 4( ) y b = 9( ) , entonces ab!( ) . b) 40 4( ) + 30 3( )( ) 2= 5 c) Si 3( )

23( )

33( )

0= x , entonces x > 0

d) Si n es impar, entonces 2n tambin es impar.

e) x + y( )2

= x + y

Respuesta: b) 33) Sobre el conjunto de los nmeros naturales se define la operacin binaria:

a b =ab + ba, si! a+ b( ) !es!!par

!!!!!ab, !!!!!!si! a+ b( ) !es!impar

"#$

%$. Por lo tanto, el valor numrico de la

operacin: 21( ) 1 3( ) , es igual a: a) 28 b) 30 c) 32 d) 36 e) 40

Respuesta: c)

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34) Sea la operacin binaria * definida en ! , *a b c d ad bc bd= + a) Calcule ( )1 2 * 1 3 * 1 6 b) Demuestre que la operacin es conmutativa. c) Determine cul es su elemento neutro.

Respuesta: a) 36 36 , c) 0 1

2.4 Relacin de orden 35) Defina:

a) Relacin de orden. b) Tricotoma de los nmeros reales. c) Propiedad reflexiva. d) Propiedad transitiva. e) Propiedad antisimtrica.

36) Ordene en forma ascendente los siguientes nmeros:

, , 2 , 5, ! ! 37) Justificando su respuesta, califique el valor de verdad de esta proposicin: Entre dos

nmeros racionales siempre es posible tener otro nmero racional.

38) Sean los nmeros reales positivos x, y . Si x < y( ) , entonces 1x c( ) a) Verdadero b) Falso

Respuesta: a)

40) Justificando su respuesta, determine el valor de verdad de cada proposicin:

a) El conjunto A= x / x !+ 3< x 4( ){ } es vaco. b) El conjunto A= x / x ! 3< x 2( ){ } es unitario.

Respuesta: a) 0, b) 1

41) Sean los nmeros reales xdcba ,,,, . Identifique la proposicin FALSA. a) Si ba > y dc > , entonces cadb +

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43) Califique cada proposicin como verdadera o falsa, justificando su respuesta.

a) 161/4 > 321/5 b) 1131.02

"

#$

%

&'

12>12

Respuesta: a) 0, b) 1 44) Si 0 < a < b y 0 < c < d ,entonces ac < bd

a) Verdadero b) Falso Respuesta: a)

45) Si a < b < c < d < 0,entonces ab > cd

a) Verdadero b) Falso Respuesta: a)

46) Identifique la proposicin VERDADERA.

a) a,b,c ! ab = bc( ) a = c( )$% &' b) a,b ! ab > 0( ) a > 0b > 0( ) a < 0b > 0( )( )&' () c) a,b ! ab < 0( ) a < 0b > 0( ) a < 0b < 0( )( )&' () d) a,b,c ! a b( ) a c b c( )&' ()

e) a,b ! 0{ } 1a +1b

$

%&

'

()

1

= a+b*

+

,,

-

.

//

Respuesta: d)

47) Sean los nmeros a,b,c Z 0{ } y las siguientes condiciones a > 0 > b > c . Identifique la proposicin VERDADERA:

a) 1b+ c

>1a

b) bc < a

c) 1b>1c

d) b+ c( )2>1a

e) 1b+1c

!

"#

$

%&

2