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ESCUELA  SUPERIOR  POLITÉCNICA  DEL  LITORAL  FACULTAD  DE  CIENCIAS  NATURALES  Y  MATEMÁTICAS  

DEPARTAMENTO  DE  MATEMÁTICAS  CURSO  DE  NIVELACIÓN  2014  (2S)  

CAPÍTULO:      T  R  I  G  O  N  O  M  E  T  R  Í  A  D  E  B  E  R          5  

 

 

 4.1  Ángulos  y  sus  medidas    1) Defina:  

a) Semirrecta.  b) Ángulo.  c) Grado  sexagesimal.  d) Radián.  e) Ángulos  coterminales.  f) Ángulos  consecutivos.  g) Ángulos  adyacentes.  h) Ángulos  complementarios.  i) Ángulos  suplementarios.  j) Ángulos  opuestos  por  el  vértice.  

 2) Dos  ángulos  complementarios  son  siempre  agudos.  

a)  Verdadero     b)  Falso  Respuesta:  a)  

 3) Dos  ángulos  suplementarios  son  siempre  agudos.  

a)  Verdadero     b)  Falso  Respuesta:  b)  

 4) Dos  ángulos  opuestos  por  el  vértice  siempre  son  complementarios.  

a)  Verdadero     b)  Falso  Respuesta:  b)  

 5) Dos  ángulos  opuestos  por  el  vértice  siempre  son  suplementarios.  

a)  Verdadero     b)  Falso  Respuesta:  b)  

 6) Dos  ángulos  son  adyacentes  si  son  consecutivos  y  son  suplementarios.  

Respuesta:  a)    

7) La  medida  del  ángulo  suplementario  de  x  es  igual  a  123o.  Calcule  la  medida  del  ángulo  x  y  la  medida  de  su  ángulo  complementario.  

Respuesta:  57o,  33o    

8) Si   la  medida  de  8  ángulos  congruentes  es   igual  a  180o,  calcule   la  medida  de  cada  ángulo  en  radianes.  

  Respuesta:  π/8  

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 9) Transforme   cada   ángulo   de   grados   sexagesimales   a   radianes   y   ubíquelos   en   el   cuadrante  

respectivo.  a) 420  °  b) 2000°  c) –300°  d) –100°  e) –510°  f) 240°  

Respuesta:  a)  7π/3,  b)  100π/9,  c)  –5π/3,  d)  –5π/9,  e)  –17π/6,  f)  4π/3    

10) Transforme   cada   ángulo   de   radianes   a   grados   sexagesimales   y   ubíquelos   en   el   cuadrante  respectivo.  a) !

!  radianes  

b) !!!  radianes    

c) − !!!  radianes    

d) − !!!  radianes  

e) !!!  radianes  

f) !!!  radianes  

Respuesta:  a)  60o,  b)  120o,  c)  –225o,  d)  –630o,  e)  210o,  f)  150o    

4.2  Funciones  trigonométricas  elementales    

11) Determine,  sin  usar  calculadora,  el  valor  numérico  de  las  siguientes  expresiones:  a)  𝑐𝑜𝑠 225!     b)  𝑡𝑎𝑛 150!     c)  𝑠𝑒𝑛 − !

!     d)  𝑠𝑒𝑐 !!

!  

e)  𝑐𝑜𝑡 !!!

    f)  𝑐𝑠𝑐 300!     g)  𝑠𝑒𝑛 315!     h)  𝑐𝑜𝑠 −150!  

Respuesta:  𝑎) − !!, 𝑏) − !

!,      𝑐) − !

!  ,      𝑑) − 2,  𝑒) − 1,      𝑓) − ! !

!,      𝑔) − !

!, ℎ) − !

!                    

 12) Especificando  los  resultados  parciales,  calcule  el  valor  numérico  de:  

𝑐𝑜𝑠 300! + 𝑠𝑒𝑛 330! + 𝑡𝑎𝑛 −135!  Respuesta:  1  

 

13) Especificando  los  resultados  parciales,  calcule  el  valor  numérico  de:  

3cos π6

!

"#

$

%&+ sen

5π6

!

"#

$

%&− tan

π3

!

"#

$

%&  

Respuesta:  3+12

 

 

14) Especificando  los  resultados  parciales,  calcule  el  valor  numérico  de:  𝑐𝑜𝑠 2𝜋3 +tan   5𝜋4

𝑠𝑒𝑛 5𝜋3

 

 

Respuesta:  − !!  

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15) Especificando  los  resultados  parciales,  calcule  el  valor  numérico  de:  2sen2 π

6

!

"#

$

%&cos2 π( )

4 tan π4

!

"#

$

%&sen2

3π4

!

"#

$

%&

 

Respuesta:  !!  

 16) Determine  los  valores  de  las  funciones  trigonométricas  del  ángulo  𝛼  definido  por  el  punto  P,  

el  origen  de  coordenadas  y  el  semieje  𝑋  positivo.    

a)  𝑃 = (0,1)  Respuesta:    𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 1   𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0     𝑡𝑎𝑛 𝛼  𝑒𝑠𝑡á  𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎    

𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 0     𝑠𝑒𝑐 𝛼  𝑒𝑠𝑡á  𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = 1    

b)  𝑃 = (6,−7)  

Respuesta:       𝑠𝑒𝑛 𝛼 = − ! !"!"

  𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ! !"!"

    𝑡𝑎𝑛 𝛼 = − !!    

𝑐𝑜𝑡 𝛼 = − !!     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = !"

!     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = − !"

!    

c)  𝑃 = (−3,−2)  

Respuesta:      𝑠𝑒𝑛 𝛼 = − ! !"!"

  𝑐𝑜𝑠 𝛼 = − ! !"!"

  𝑡𝑎𝑛 𝛼 = !!    

𝑐𝑜𝑡 𝛼 = !!     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = − !"

!   𝑐𝑠𝑐 𝛼 = − !"

!  

 17) En  cada  caso,  determine  los  valores  de  las  restantes  funciones  trigonométricas  sabiendo  que:  

 a)  𝑠𝑒𝑛 𝛼 = − !

!    ,  con  𝛼  en  el  tercer  cuadrante.  

Respuesta:    𝑐𝑜𝑠 𝛼 = − !!     𝑡𝑎𝑛 𝛼 = !

!      

𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 3     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = − ! !!     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −2  

 b)  𝑐𝑜𝑠 𝛼 = !

!    ,  con  𝛼  en  el  cuarto  cuadrante.  

Respuesta:   𝑠𝑒𝑛 𝛼 = − !!     𝑡𝑎𝑛 𝛼 = − !

!      

𝑐𝑜𝑡 𝛼 = − ! !!     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = !

!     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = − ! !

!  

 c)  𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 3    ,  con  𝛼  en  el  primer  cuadrante.  

Respuesta:   𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ! !"!"

    𝑐𝑜𝑠 𝛼 = !"!"

     

𝑐𝑜𝑡 𝛼 = !!     𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 10     𝑐𝑠𝑐 𝛼 = !"

!  

 18) El  valor  aproximado  de:      𝑐𝑜𝑠 !

!− !

!+ !

!− !

!+ !

!− !

!"+⋯  

es  igual  a:  a)  0     b)  1/2               c)  2             d)  3     e)  4  

Respuesta:  b)  

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4.3  Gráficas  de  funciones  trigonométricas    19) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función  𝑓 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 ∈ −2𝜋, 2𝜋  

 20) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función  𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 2𝜋𝑥 , 𝑥 ∈ −1,1  

 21) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función  𝑓 𝑥 = −3𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 − !

!, 𝑥 ∈ −2,2  

 22) Considerando  la  función  del  ejercicio  anterior,  ahora  bosqueje  la  gráfica  de:  

𝑔 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑓 𝑥                                              y                                                            ℎ 𝑥 = 𝜇 𝑓 𝑥    23) Bosqueje   la   gráfica   de   la   función   f : −4π ,4π!" #$! "   cuya   regla   de   correspondencia   es  

f x( ) = 2ecos x( ) .  Describa  las  características  de  esta  función:  inyectiva,  sobreyectiva,  biyectiva,  

inversible,  par,  impar,  intervalos  de  monotonía,  acotada,  periódica.    

24) Restrinja  el  dominio  para   x ∈ −2π ,2π( )  y  bosqueje  la  gráfica  de   f x( ) = ln sen x( )( )    

25) Defina  un  dominio  adecuado  y  bosqueje  la  gráfica  de  la  función   f x( ) = eln cos π x( )( )  

 26) Considere  la  gráfica  de  una  función  de  variable  real:  

                           Su  regla  de  correspondencia  es:  

a) f x( ) = µ sen 2x( )( )  b) f x( ) = µ tan 2x( )( )  c) f x( ) = µ csc 2x( )( )  d) f x( ) = µ cot 2x( )( )  e) f x( ) = µ sec 2x( )( )  

Respuesta:  a)  

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27) Respecto  a   la   función  de  variable   real   f   tal  que   f x( ) = π2 cos π x +π( )+1; x ∈ −3,5#$ %& ,  

es  FALSO  que:  a) f x( ) ≥ 0  en  todo  su  dominio.  

b) Es  una  función  acotada.  c) Es  creciente  en  el  intervalo   2,3( )  d) Es  decreciente  en  el  intervalo   !

!, !!    

e) Es  una  función  periódica.  Respuesta:  d)  

 

28) El  número  de  horas  de  luz  natural  para  un  área  particular  se  puede  modelar  con  la  expresión:  

𝐷(𝑡) =52𝑠𝑒𝑛

12𝑡 −

𝜋6

 

Donde   D   es   el   número   de   horas   de   luz   natural   y   t   es   el   día   del   año,   considerando   t=1  correspondiente   al   primero   de   enero.   Trace   la   gráfica   de   esta   función   e   indique   período,  amplitud  y  ángulo  de  fase.    

29) Exprese  la  amplitud  A  y  el  período  T  de  cada  función  en  los  problemas  siguientes  y  grafique  la  función  sobre  el  intervalo  indicado:  a)    𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥,−2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋  b)    𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥,−2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋  c)    𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛4𝑥,−𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋  d)    𝑦 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠 !"

!,−4 ≤ 𝑥 ≤ 4  

e)  𝑦   = 4 − 2𝑐𝑜𝑠 !!,−4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4𝜋  

 

30) Un   peso   de   6   libras   cuelga   del   final   de   un   resorte   que   se   estira   1/3   de   pie   debajo   de   la  posición  del  equilibrio  y  entonces  se  libera.  Si  la  resistencia  del  aire  y  la  fricción  se  desprecian,  la  distancia  𝑥,  que  el  peso  se  desplaza  con  respecto  de  su  posición  de  equilibrio  en  un  tiempo  𝑡,  medido  en  segundos,  está  dada  por  𝑥 = !

!cos  (8𝑡).  Exprese  el  período  T  y  la  amplitud  A  de  

esta  función,  y  grafique    para  0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.    

31) Un  generador  de  corriente  alterna  genera  una  corriente  dada  por  𝐼 = 30𝑠𝑒𝑛 120𝑡  donde    t  es  el  tiempo  en  segundos.  ¿Cuál  es  la  amplitud  A  y  el  período  T  de  esta  función?    ¿Cuál  es  la  frecuencia   de   la   corriente?;   es   decir,   ¿Cuántos   ciclos   (períodos)   se   completarán   en   un  segundo?  

 

32) Si  el  voltaje  E  en  un  circuito  eléctrico  tiene  una  amplitud  de  110  voltios  y  un  período  de  1/60  segundos,  y  si  𝐸 = 110  𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠    cuando  𝑡 = 0  𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠,  encuentre  una  ecuación  de  la  forma  𝐸 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝐵𝑡  que  entregue  el  voltaje  para  cualquier  valor  de  𝑡 ≥ 0.  

 

33) La  cantidad  de  bióxido  de  azufre,  obtenido  de  la  combustión  de  hidrocarburos,  liberado  hacia  la   atmósfera   en   una   ciudad,   varía   durante   el   año.   Suponga   que   el   número   toneladas   de  bióxido  de   azufre   liberado  hacia   la   atmósfera,   en  una   ciudad,   durante   la   semana  𝑛  del   año  está  dada  por:              𝐴 𝑛 = !

!+ 𝑐𝑜𝑠 !"

!"     ;            0 ≤ 𝑛 ≤ 104  

Grafique  la  función  en  el  intervalo  indicado  y  describa  lo  que  muestra  la  gráfica.  

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 34) En  los  problemas  siguientes,  encuentra  la  ecuación  de  la  forma  𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥 ,  que  produzca  

la  gráfica  mostrada.  a)    

 b)    

 c)    

   d)  

   

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35) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función:     f x( ) = sgn cos 2x( )( ) x ∈ −2π ,2π#$ %&  

 

36) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función:     f x( ) = sen x2!

"#$

%& x ∈ −2π ,2π)* +,  

 37) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función:     f x( ) =1− tan π − x( ) x ∈ −2π ,2π#$ %&  

 

38) Bosqueje  la  gráfica  de  la  función:     f x( ) = µ sec x( )( ) x ∈ −2π ,2π#$ %&  

 4.4  Funciones  trigonométricas  inversas    39) Determine  el  ángulo  𝜃 ∈ [0,2𝜋)  en  cada  caso:  

a)  𝑠𝑒𝑛 𝜃 = !!; 𝑐𝑜𝑠 𝜃 < 0                                  b)  𝑡𝑎𝑛 𝜃 = !

!;𝐶𝑜𝑠(𝜃) < 0  

c)  𝑠𝑒𝑐 𝜃 = 3; 𝑐𝑜𝑠(𝜃) > 0         d)  𝑠𝑒𝑐 𝜃 = − !"!";𝐶𝑠𝑐(𝜃) < 0  

e)  𝑠𝑒𝑛 𝜃 = !!; 𝜃  𝑒𝑛  𝑒𝑙  𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜  𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒      

f)  𝑐𝑜𝑠 𝜃 = − !!"; 𝜃  𝑒𝑛  𝑒𝑙  𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟  𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒  

 40) Si   𝑓: −1,− !

!→ −𝜋,𝜋   tal   que   𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2),   determine   la   regla   de  

correspondecia  de  su  función  inversa  𝑓!!.  Luego  grafique  la  función  identidad,  𝑓y  𝑓!!  en  el  mismo  plano  cartesiano.  

Respuesta:  𝑓!! 𝑥 = !!𝑠𝑒𝑛 !

!− 2 ;    𝑥 ∈ −𝜋,𝜋  

 

41) Si  𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 !!

     y  𝑧 ∈ !!,𝜋 ,  calcule   𝑐𝑜𝑠 𝑧 + 𝑡𝑎𝑛(𝑧)  

Respuesta:  !!!! !!

   

42) Al   considerar   dos   ángulos   en   el   primer   cuadrante,   el   valor   numérico   de   la   expresión  trigonométrica:  

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛32

31 arcsenarcsensen  

es  igual  a:  

a) 9

245 +  

b) 9

245 −  

c) 24−  d) 5  e) 1  

Respuesta:  a)    

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43) Sea   la   función   de   variable   real   f x( ) =

e−2x−3, x ≤ − 32

sen π x( ), −32< x < − 1

2

log1 2 2x +3( ), x ≥ − 12

$

%

&&&

'

&&&

,   la   regla   de  

correspondencia  de  su  función  inversa  es:  

a) f −1 x( ) =

−3− ln x( )2

, x ≥1

arcsen x( )π

, −1< x <1

12#

$%&

'(

x

−3

2, x ≤ −1

*

+

,,,,,

-

,,,,,

 

b) f −1 x( ) =

ln x +3( )2

, x ≥ 32

arcsen x( )2π

, −1< x < 32

2( )x−12

, x ≤ −1

$

%

&&&&

'

&&&&

 

c) f −1 x( ) =

arcsen π x( )2

, x ≥1

12#

$%&

'(

x

−3

2, x <1

)

*

+++

,

+++

 

d) f −1 x( ) =

ln x( )2, x ≥ 2

arcsen x( )2

, −1< x < 2

2x +12, x ≤ −1

$

%

&&&&

'

&&&&

 

Página                  de    14  9    

e) f −1 x( ) =

−3− ln x( )2

, x ≤ − 32

arcsen x( )π

, −32< x < − 1

2

12#

$%&

'(

x

−3

2, x ≥ − 1

2

*

+

,,,,,

-

,,,,,

 

Respuesta:  a)      44) Sean   dos   ángulos   de   medidas   α   y   β   que   están   en   el   primer   cuadrante,   donde  

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

52arccosα  y   ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

103arccosβ ,  entonces  la  medida  del  ángulo   βα +  es:  

a)  6π

    b)  4π     c)  

3π

    d)  2π     e)  

32π

 

Respuesta:  b)      

45) Defina  un  dominio  adecuado  y  bosqueje  la  gráfica  de  la  función   f x( ) = arcsen 2x − 4( )  

Respuesta:   dom f = 32, 52

!

"#

$

%&  

 

46) Calcule  el  valor  solicitado  en  el  primer  cuadrante:   cos arcsen x( )( )    

47) Calcule  el  valor  solicitado  en  el  tercer  cuadrante:   cos arctan x( )( )    

48) Calcule  el  valor  solicitado  en  el  segundo  cuadrante:  sen arctan −

53

"

#$

%

&'

"

#$

%

&'  

 

49) Calcule  el  valor  solicitado  en  el  cuarto  cuadrante:   arccos cos − π6

"

#$

%

&'

"

#$

%

&'  

 

50) El  valor  aproximado  de   ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+−+− .....1286432

coslog 6ππππππ

π

arcsen  es:  

a)  0     b)  1     c)  –1     d) log 6π

12

!

"#$

%&     e) log π

6

12

!

"#$

%&  

Respuesta:  c)        

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51) Considere  que  los  ángulos  están  en  el  primer  cuadrante:  

€

x = sec arccos32

"

# $

%

& '

"

# $ $

%

& ' '    

€

y = csc arccos32

"

# $

%

& '

"

# $ $

%

& ' '  

El  resultado  de  la  suma   x + y( )  es  igual  a:  a)

€

233+ 3( )  

b)

€

123+ 2( )  

c)

€

322 + 2( )  

d)

€

132 + 3( )  

e)

€

123+ 3( )  

Respuesta:  a)    

52) Sea   f : −2,2"# $%! 0,π3

"

#&

$

%'  definida  por   f x( ) = 13arcsen −

x2

!

"#

$

%&+

π6  

La  regla  de  correspondencia  de   1−f ,  es:  

a) f −1 : 0,π3

"

#$

%

&'! −2,2"# %& / f

−1 x( ) = −2sen 3x − π2(

)*

+

,-  

b) f −1 : 0,π3

"

#$

%

&'! −2,2"# %& / f

−1 x( ) = −2sen 3x( )  

c) f −1 : 0,π3

"

#$

%

&'! −2,2"# %& / f

−1 x( ) = −cos 3x( )  

d) f −1 : 0,π3

"

#$

%

&'! −2,2"# %& / f

−1 x( ) = 3sen 2x( )  

e) f −1 : 0,π3

"

#$

%

&'! −2,2"# %& / f

−1 x( ) = −2sen 3x + π2(

)*

+

,-  

Respuesta:  a)    

53) Si    α = arctan −724

"

#$

%

&'    y     β = arccot

34

!

"#$

%& ,      

π2<α < π , π < β <

3π2

,    entonces  el  valor  de  

cos α + β( ) ,  es  igual  a:  

a) 45     b)  

45

−     c)  54     d)  

54

−     e)  12544

 

Respuesta:  c)      

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4.5  Identidades  trigonométricas    54) Al  simplificar  la  expresión  trigonométrica:  

−2cot 2x( )cos3 x( )csc x( )− sen3 x( )sec x( )

 

se  obtiene:  a) –4     b)  –1     c)  –1/4     d)  1     e)  2    

Respuesta:  b)    55) Demuestre  que:  

1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑠𝑒𝑐(𝜃)

=𝑐𝑜𝑠!(𝜃)

1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃)  

 56) Demuestre  que:  

𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(4𝜃)𝑐𝑜𝑠 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠(4𝜃)

= 𝑡𝑎𝑛(3𝜃)  

 57) Demuestre  las  siguientes  identidades:  

a)      !!" !! !!!"(!!)!!" !! !!!"(!!)

= 𝑡𝑎𝑛(6𝑥)         b)  𝑐𝑜𝑠! !!= !

!1 + 𝑐𝑜𝑠 !!

!  

 58) Demuestre  que:  

1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

=2𝑐𝑜𝑠(𝑥)

2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1  

 59) Si  𝛼  y  𝛽  son  ángulos  interiores  de  un  triángulo  rectángulo,  y  𝑐𝑜𝑠 𝛼 = !

!  ,    calcule:  

𝑠𝑒𝑛 2𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠(2𝛽)𝑡𝑎𝑛 𝛽 + 𝑐𝑜𝑡(𝛼)

 

Respuesta:   !!"  

 60) Demuestre,  de  ser  posible,  que:          !!"(!!!)

!!"(!!!)= !!!!" ! !!"(!)

!!!!" ! !!"(!)  

   

61) La  expresión:  tan 2x( ) 1− sen x( )( )

1+ sec 2x( )1+ sen x( )

− sen 7x( )cos 5x( )+ 12csc 12x( )

,  es  equivalente  a:  

a) 0  b) 1  c) sec 12x( )  d) cos 12x( )  e) cot 12x( )  

Respuesta:  a)    

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62) Una  de  las  siguientes  proposiciones  es  VERDADERA,  identifíquela:  

a) ∀x, y ∈ ! sen x + y( ) = sen x( )+ sen y( )#$

%&  

b) ∀x, y ∈ ! 12sen x − y( )+ sen x + y( )$%

&'= cos x( ) sen y( )

$

%(

&

')  

c) ∀x ∈ ! cos2 x( ) =1− cos 2x( )

2

$

%&&

'

())  

d) ∀x ∈ ! − 2n+1( )π ,n ∈ Z{ } tan x2$

%&'

()=1− cos x( )sen x( )

*

+,,

-

.//  

e) ∀x ∈ ! cos 2x( ) = sen2 x( )− cos2 x( )$%

&'  

Respuesta:  d)    

63) Demuestre,  de  ser  posible,  las  siguientes  identidades:    a)  

𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽

=1 − 𝑡𝑎𝑛𝛼  𝑡𝑎𝑛𝛽1 + 𝑡𝑎𝑛𝛼  𝑡𝑎𝑛𝛽

 

b)  

𝑡𝑎𝑛 𝑥 +𝜋3

=4 tan 𝑥 + 3𝑠𝑒𝑐!𝑥𝑠𝑒𝑐!𝑥 − 4𝑡𝑎𝑛!𝑥

 

c)    𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos  (𝑥)cos  (2𝑥)

−tan  (𝑥)

1 − 𝑡𝑎𝑛!(𝑥)= 0  

 64) Demuestre,  de  ser  posible,  las  siguientes  identidades:  

 a)  

𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)1 + cos  (𝛼) + cos  (2𝛼)

= tan  (𝛼)  

b)  

cos  (2𝛼) =𝑐𝑠𝑐!(𝛼) − 2𝑐𝑠𝑐!(𝛼)

 

c)    cos  (𝛼)

1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)=1 + tan  (𝛼)1 − tan  (𝛼)

 

   4.6  Ecuaciones  e  inecuaciones  trigonométricas    

65) Si  𝑅𝑒 = −𝜋, 2𝜋 ,    determine  el  conjunto  de  verdad  del  predicado:  𝑝 𝜃 : 𝑡𝑎𝑛 2𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0  

Respuesta:  𝐴𝑝 𝜃 = − !!,− !

!,− !!

!, !!, !!!, !!!, !!!!    

 

Página                  de    14  13    

66) Demuestre,  de  ser  posible,  que:   cos−1 3

10

"

#$

%

&'+ cos−1

2

5

"

#$

%

&'=

π4  

 67) Si  𝑅𝑒 = −𝜋,𝜋 ,    determine  el  conjunto  de  verdad  del  predicado:  

𝑝 𝜃 : 𝜇 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 − 1 < 0  Respuesta:  𝐴𝑝 𝜃 = ∅  

 68) Sea   el   conjunto   referencial   𝑅𝑒 = 0,2𝜋   y   los   predicados   𝑝 𝑥 : 1 − 2𝐶𝑜𝑠 !

!= 1     y    

𝑞 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 0.  Determine  el  conjunto  de  verdad  𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ].  Respuesta:  𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ] = 0,𝜋 ∪ !!

!, 2𝜋  

 69) Sea   𝑅𝑒 = 0,2𝜋   y   el   predicado   𝑝 𝑥 : 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 1 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 .   Determine   el   conjunto   de  

verdad  𝐴𝑝 𝑥 .  Respuesta:  𝐴𝑝 𝑥 =  !

!, !!, !!!, !!!    

   

70)  Si  𝑅𝑒 = −𝜋, 2𝜋 ,  determine  el  conjunto  de  verdad  del  predicado:  𝑝 𝜃 : 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃)  

Respuesta:  𝐴𝑝 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 !!! !!

,𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 !!! !!

     

71) Si  𝑅𝑒 = −𝜋,𝜋 ,  determine  el  conjunto  de  verdad  del  predicado:  

𝑝 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛𝑥2

≥ 1  

Respuesta:  𝐴𝑝 𝜃 = 𝑥 0 < 𝑥 ≤ 𝜋    

72) Resuelva  para  𝑥  en  el  intervalo  indicado:  a)  1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,  𝑥 ∈ [0,2𝜋)    

Respuesta:  𝑥 = 𝜋    

b)  1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,  𝑥 ∈ ℝ!    Respuesta:  𝑥 = !

!4𝑛 − 3 ; 𝑛 ∈ ℕ  

 c)  1 + 2  𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,  𝑥 ∈ [0,2𝜋)  

Respuesta:  𝑥 ∈ !!!, !!!

   

d)  1 − 2  𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,  𝑥 ∈ ℝ!  Respuesta:  𝑥 ∈  !

!, !!!, !!!, !"!!, !"!!      

73) Resuelva  para  𝑥  en  el  intervalo  indicado:    a)  4𝑐𝑜𝑠! 𝑥 − 3 = 0,  𝑥 ∈ [0,2𝜋)    

Respuesta:  𝑥 ∈  !!, !!!, !!!, !!!!    

Página                  de    14  14    

b)  2𝑠𝑒𝑛! 𝑥 − 1 = 0,  𝑥 ∈ ℝ!  Respuesta:  𝑥 ∈  !

!, !!!, !!!, !!!,…    

 c)  2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 1,  𝑥 ∈ [0,2𝜋)        

Respuesta:  𝑥 ∈  !!, !!!, !!!, !!!!      

d)  2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 3,  𝑥 ∈ ℝ!  Respuesta:  𝑥 ∈  !

!, !!, !!!, !!!   ,…  

 74) Sea   Re = 0,π!" #$   y   p x( ) : tan 2x( )− 2sen x( ) = 0 .   La   suma   de   los   elementos   de   Ap x( )   es  

igual  a:  

a)     0   b)  3π

    c)  π     d)  35π

    e)  37π

 

Respuesta:  d)    

75) Sea  Re = 0,2π( )  y   p x( ) : sen x( ) = cos x( ) .  Determine   Ap x( )    

76) Sea  Re = 0,π!" #$  y   p x( ) : 2cos2 x( )− sen 2x( ) = 0 .  Determine   Ap x( )  Respuesta:  π/4,  π/2  

 

77) Sea  Re = 0,2π( )  y   p x( ) : sen x( ) > 12 .  Determine   Ap x( )    

78) Sea  Re = 0,2π( )  y   p x( ) : cos x( ) < 13 .  Determine   Ap x( )    

79) Sea   Re = 0,2π!" #$   y   p x( ) : 2sen2 x( ) =1− cos x( )   entonces   la   suma   de   los   elementos   de  

Ap x( )  es  igual  a:  

a)    8π3

    b)  3π     c)  4π3

    d)   4π     e)  7π3

 

Respuesta:  d)      

80) Sea   Re = 0,2π!" #$   y   p x( ) : sgn sen x( )cos x( )− 14"

#$

%

&'= 0   entonces   la   suma  de   los  elementos  

de   Ap x( )  es  igual  a:  

a)    π12

    b)   2π     c)  π2     d)  π     e)  3π  

Respuesta:  e)