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20131008 – ORT
A la guerra con un tenedor: integrales de funciones
experimentales
Laboratorio de Tecnologías de Información Geográfica
SGM/ORT
Avenida 8 de Octubre 3255 - C.P.11600
Teléfono: (598) 2487 1810 - Fax: (598) 2487 0868
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Carlos López-Vázquez
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Agenda
Breve descripción del problema
Solución matemática
Solución numérica determinista
Solución numérica estocástica (Monte Carlo)
¿Y para el caso real?
En qué andamos
Preguntas
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Caso 1: cultivos que requieren abono
¿Cuánto abono hay que poner?
Pasos:
Establecer requerimientos del cultivo ([K]=K0)
Medir características del terreno
Mediante cateos (i.e. determinación experimental en puntos)
Interpolar los cateos de alguna forma, estimando [K] (x,y)
Calcular una integral
0
0
( ) ( , ) ;
0 [ ]( , ) K( , )
algo-[K](x,y) [ ]( , ) K
abono kg s x y d
si K x ys x y
si K x y
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Caso 2: Movimiento de tierras
Se planifica el nuevo estadio de Peñarol
Piso plano, terreno ondulado
¿Se saca tierra o se trae tierra? ¿cuánta?
Pasos:
Establecer cota de diseño C0
Medir cotas en el terreno natural en puntos
Interpolar la superficie real obteniendo C(x,y)
Calcular una integral
30( ) ( , )Acarreo m C C x y d
LINEA NEUTRA
DESMONTE
TERRAPLEN
PLATAFORMA
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Caso 3: norma de una función Se quiere saber si el interpolante P(x,y) es mejor que el Q(x,y)
Sea R(x,y) la función conocida sólo en un conjunto de puntos {1:N}
( , ) ( , ) ( , )i i i i i i iR x y R P x y Q x y
El mejor interpolante será aquel que tenga un error menor en esta norma
Pero:
¡R(x,y) sólo es conocida en los puntos dato!
22
2
1( , ) ( , ) ( , )Perror x y R x y P x y d
Se define para el interpolante P(x,y):
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Caso 4: lluvia promedio en una cuenca
Se quiere saber cuánta agua llegaría a una represa
Se define una cuenca
Se instalan algunos pluviómetros
Se estima un interpolante P(x,y)
Se integra en la cuenca
1( ) ( , )PM mm P x y d
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¿Cómo se hace en la práctica? Interpolar y luego integrar
Caso popular: Método de los Polígonos de Thiessen
Se determinan “regiones de influencia” por proximidad
Se asigna como lluvia promedio a
1( ) i i
i
PM mm P
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Caso tradicional Dada una función analítica, y un dominio Ω (ambos con
ciertas propiedades)
Solución: hallar función primitiva y aplicar regla de Barrow El resultado es único y exacto
Problemas: No siempre la función está disponible explícitamente
La función puede ser más o menos complicada
La primitiva puede ser difícil de encontrar
El dominio (simple o no) puede agregar alguna complejidad adicional
Solución: usar métodos numéricos
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¿Cómo opera un método numérico?
( , ); 1...i i iP R x y i N Realidad
12.3456...
( , ) ( , )i i iP x y P x y PInterpolante
Resultado numérico (vía cálculo)
¿?
lim 0N
error N
0lim ( ) 0herror h
,I R x y d
12.3456...
Aunque R(x,y) esté disponible, el método numérico lo ignorará y usará solamente Pi, i=1,…,N
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Algunas características del caso de interés… La función a integrar en realidad no es conocida
R(x,y) no está disponible
Sólo hay valores (exactos) en unos pocos puntos ¡N no puede ser infinito!
Consecuencia: el interpolante no convergerá a la función verdadera
El interpolante puede ser aún integrado con exactitud arbitraria
¿Cómo reformular el problema?
Interpolante
Realidad Resultado numérico (vía cálculo)
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Formalizando un poco
Problema matemático: Dada la función R(x,y) y el dominio Ω, calcular I
Problema numérico: Dado un programa que evalúa la función R(x,y), el dominio Ω y
una tolerancia ε, estimar I con error menor que ε
Problema experimental: Dados N valores de la función R(x,y) en puntos arbitrarios y el
dominio Ω, estimar I y el error ε cometido
o
Dados … y un nivel de confianza estimar un intervalo para I
Simplificando, se asume que Pi=R(xi,yi) no tiene error
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Ilustrando un poco para el caso 1D Método del Trapecio
a b
xi xi +h
2
1, 1
( ) ( )
2 12i Ni N
b af a f bI h f x h f
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Versión 1D de los Polígonos de Thiessen N típicamente es moderado
¡Falta la estimación teórica del error!
a b
1,
1¿?i i
i N
I d f x Ob a
d1
d2
d3
d4
d5
d6
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¿Ideas? Dados N valores de la función, tomar al
azar sólo un subconjunto K de M elementos
Evaluar IK
Implica recalcular todos los di
Tomar otro subconjunto J también de M elementos, y evaluar IJ
Estimar el error de IN en función de │IJ-IK│
Problema:
¡falta una expresión teórica para el error!
1
K
K i ii S
I d f xb a
1
J
J i ii S
I d f xb a
K KI I error
¿?
2* 2*K J J NI I error error
J JI I error
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¿Azar? ¡Método de Monte Carlo! Usa números aleatorios
1,
1i
i N
I f xN N
a b
0,1N
22 ( )f x I d
Resultados teóricos válidos para N > Nc grande
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Una diferencia ¿sustancial? Saber la forma del término del
error es útil e importante
Notación:
K KI IM
1,
1N i
i N
I f xN
J JI I
M
0 K J K JI IM
22
0,K J NMM
Tanto IK como IJ son accesibles
Estadísticamente su diferencia es de media nula, y la varianza σ puede estimarse de esta población, pues
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En resumen El procedimiento sería:
Repetir muchas veces
Generar al azar un conjunto K
Calcular promedio de valores
Guardarlo
Fin
Analizar población de diferencias, y estimar desviación estándar
Dado el nivel de confianza, inferir el intervalo para I
K KI IM
95%; 2 , 2I I IN N
Factible, y relativamente barato
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Problemas…
La función no puede evaluarse arbitrariamente
N tal vez demasiado pequeño para que valga la fórmula
El número de datos es siempre limitado
Idea: Remuestreo con reposición (bootstrap) Técnica de los 80’, hoy bien establecida
K={N valores tomados al azar del conjunto 1:N, con repetición}
Ej.: para N=6, usar un dado seis veces consecutivas
¿N pequeño? ¿Tal vez usar algún factor de seguridad para σ?
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Otra idea para el caso de la norma 2
Sea Δ(x,y)=R(x,y)-P(x,y) | Δ(xi,yi) es conocido para i=1:N
Dado que hay que interpolar, en teoría sería equivalente integrar el cuadrado del interpolante
21interp x,yNI d
21interp x,yNI d
que realizar la integral del interpolante del cuadrado
Experimentalmente hemos notado que hay una diferencia numérica importante
¿Puede establecerse una relación entre ella y el error teórico?
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En qué andamos
Simulación numérica, muestreando los puntos dato e integrando funciones analíticas simples
Simulación numérica con datos reales (tipo raster) Se dispone de R(x,y)
Se muestrean puntos dato
Se interpola y luego se realiza la integral
Búsqueda bibliográfica, por teoría que estime errores
¡Lejos de estar todo resuelto!
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¿Preguntas?
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