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Física I para Licenciaturas de Física y Matemáticas Facultad de Ciencias - Instituto de Física

FÍSICA I -Licenciaturas de Física y MatemáticasPRÁCTICO Nº 6 - Trabajo y energía. Principios de conservación

Ejercicio 1.- Para empujar una caja de 25 kg por un plano inclinado a 27º, un obrero ejerce una fuerza de 120N, paralela al plano. Cuando la caja se ha deslizado 3,6 m, ¿cuánto trabajo se efectuó sobre la caja por: a) el obrero, b) la fuerza de gravedad, y c) la fuerza normal del plano inclinado?

Ejercicio 2.- Mediante consideraciones de trabajo y energía cinética demuestre que la mínima distancia que requiere para detenerse un automóvil de masa m que se mueve con una velocidad v0 en un camino a nivel es

, siendo el coeficiente de rozamiento dinámico entre las ruedas y el asfalto.

Repartidos de ejercicios -2011 rev1 1


Ejercicio 3.- Una partícula de 4,0 kg se mueve a lo largo del el eje x. Su posición varía con el tiempo de acuerdo con x(t) = t + 2,0 t3; donde x se mide en metros y t en segundos. Encuentre a) la energía cinética en cualquier instante t,b) la aceleración de la partícula y la fuerza que actúa sobre ella en el tiempo t,c) la potencia instantánea que se entrega a la partícula en el tiempo t, yd) el trabajo efectuado sobre la partícula en el intervalo t = 0 a t = 2,0s.



Ejercicio 4.- Un bloque de granito de 1380 kg es arrastrado hacia arriba por un plano inclinado a una velocidad constante de 1,34 m/s por un malacate de vapor (véase la figura). El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano inclinado es de 0,41. ¿Qué potencia debe suministrar el malacate?

Ejercicio 5.- Dos niños están jugando a tratar de golpear una pequeña caja que está en el suelo con una canica que disparan con un rifle de resorte montado sobre una mesa. La caja blanco está a 2,20 m de distancia horizontal desde el borde de la mesa, véase figura. Robertito comprime el resorte 1,10 cm, pero a la canica le faltan 27,0 cm para dar en el blanco. ¿Qué tanto tendrá que comprimir Juanito el resorte para darle al blanco?

Ejercicio 6.- (Examen 2007 Marzo) - Dos bloques, uno de masa m y otro de masa M (M = 2m) se conectan entre si por medio de una cuerda, como se muestra en la figura. La polea no presenta fricción y su masa es despreciable. El coeficiente de fricción cinético entre m y el plano inclinado es c. ¿Cuánto vale el cambio en la energía cinética de m cuando se mueve de A a B, una distancia d?



KM0 + UM0+ Km0 +Um0 + WFNC = KMF + UMF+ KmF +UmF

KMF + UMF+ KmF + UmF = WFNC

WFNC = -FROZ d = -N d = -mg cos d

Como m y M están unidos por la cuerda, ambas masas tienen la misma velocidad

KM + Km = = = = 3KmF

KM + Km = WFNC - UM - Um = -mg cos d – (-Mgd) –( mgd sen)

3KmF = gd (M- m cos m sen) = mgd (2- cos sen)



Ejercicio 7.- Una partícula de masa m se suelta desde una altura h, desliza sobre una rampa sin rozamiento y entra en un rulo de radio R como indica la figura.a) Halle la normal en función de .b) Determine h mínimo para que la partícula no despegue del rulo.c) Si la altura inicial es 4/5 de hmin hallada en b), determine el ángulo en que se despega.

Se encontró que: N() = pero v se puede determinar a partir de las condiciones iniciales.

Conservación de la energía entre el punto de lanzamiento (O) y P:


m

Rh


EO = E mgh = mgh + v2 = 2g(h- h ) pero h = R –R cos = R(1- cos)

Sustituyendo: N() = =

N() =

El ángulo de desprendimiento está dado por el para el cual N se anula, es decir:

3cos = 2 - cos = =

Ángulo de despegue =

Para la parte c). h =2R : = =

Ejercicio 8.- (Examen Febrero 2007) - Considere una pista sin fricción ABC como la que se muestra en la figura. Un bloque de masa m1 se suelta desde el punto A, situado a una altura h0 = 5,00m, y choca frontalmente y en forma elástica en el punto B con otro bloque de masa m2 = 2 m1, inicialmente en reposo. ¿Cuánto vale la altura máxima h, a la cual se eleva m1 después del choque?

Sea v10 la velocidad del bloque 1, antes del choque:

Conservación de p (considerando que m1 rebota) m1v10 = m2v2 – m1v1

Conservación de K :

Sustituyendo m2 = 2m1

=

Como v10 debe ser positivo =



Ejercicio 9.- (Examen 2005 Agosto)- Un resorte sin masa cuya constante es k = 90 N/m está fijo al lado izquierdo de un carril horizontal. Un bloque de masa m = 0,45 kg se oprime contra el resorte y lo comprime una distancia d, como se muestra en la figura. En ese momento se libera el bloque (inicialmente en reposo), el cual avanza hacia un rizo circular de radio R = 1,50 m. Todo el carril y el rizo carecen de fricción salvo en la sección del carril comprendida entre los puntos A y B. Si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el carril a lo largo de AB es C = 0,30, y la longitud de la parte rugosa AB es L = 2,50 m, ¿cuánto debe valer la compresión mínima, d, del resorte que permite que el bloque pueda dar una vuelta completa del rizo? Sugerencia: esto equivale a que el bloque alcance a llegar apenas al punto C del rizo.

Para que el bloque alcance apenas al punto C del rizo, la fuerza normal en ese punto debe ser cero.

Por tanto:

Suponiendo que sobre el piso la energía potencial gravitatoria es nula, se tiene que en el punto C, la energía

mecánica será:

La energía que debe suministrar el resorte es EMC, más la que se pierde en el tramo AB (de longitud L) por el trabajo de la fuerza de fricción (trabajo de las fuerzas no conservativas)

=mgL

= 0,66408 m



Ejercicio 10- Dos péndulos, de longitud L cada uno, están inicialmente situados como se muestra en la figura. El primer péndulo se suelta desde una altura d y golpea al segundo. Suponga que la colisión es completamente inelástica y desprecie la masa de los cordones y cualquier efecto de fricción. ¿A qué altura se eleva el centro de masa después de la colisión?

Ejercicio 11.- Calcule el momento de inercia (inercia de rotación) de una regla de un metro cuya masa es de 0,56 kg, en torno a un eje perpendicular a la regla y que está situado en la marca de 20 cm.

Ejercicio 12.- En Europa se utilizan en algunos casos camiones de entrega que operan haciendo uso de la energía almacenada en un volante giratorio. Los camiones son cargados haciendo uso de un motor eléctrico para llevar el volante a su velocidad máxima de 624 rad/s. Este volante es un cilindro sólido, con una masa de 512 kg y un radio de 97,6 cm.a) ¿Cuál es la energía cinética después de la carga?b) Si el camión opera con un requerimiento de potencia de 8,13 KW en promedio, ¿durante cuántos minutos puede operar entre cargas?



Ejercicio 13.- Una masa m1 de 15,0 kg y una m2 de 10,0 kg están suspendidas por una polea con forma de disco uniforme de radio = 10,0 cm y masa = 3,00 kg. El eje de la polea es horizontal y que gira sin rozamiento. El hilo no desliza en la polea. Inicialmente el sistema está en reposo y la masa m1 está a 3,00 m por encima de la masa, como se muestra en la figura.

a) Determinar la aceleración lineal de las masas y las tensiones T1 y T2 que actúan sobre las masas.

b) Determinar la velocidad de las masas cuando se encuentran a la misma altura, y las energías cinéticas de cada uno de los cuerpos.

Como el hilo no desliza ni se estira, las aceleraciones lineales son iguales: a1 = a2 = a. Además será igual a la aceleración tangencial de la polea. Diagramas de cuerpos libres

La masa m2 asciende: m2a = T2 – m2g T2 = m2 (a + g)La masa m1 desciende: -m1a = T1 – m1g T1 = m1 (g - a)

La polea rota con aceleración angular , tomando momentos respecto al eje: IO a = T1R – T2R

IO a = (T1– T2) R. Como , y sustituyendo T1 y T2

= 1,849056 m/s2 a = 1,85 m/s2

T1 = m1 (g - a) = 15,0 (9,8 -1,85) = 119,26 N T2 = m2 (a + g) = 10,0 (9,8 + 1,85) = 116, 49 N

T1 = 119 N T2 = 116 N

b) m1 desciende 1,50 m (ya que m2 asciende otros 1,50 m) con una a =1,85 m/s2, como vf

2 = v02 +2a x = 2a x = = 2,36 m/s.

Por energía: Sea el 0 de energía potencial, la posición final, en la que ambas masas están enfrentadas.Energía mecánica inicial: KT0 + KR0 + m1gh/2 - m2gh/2= 0 + 0 + (m1-m2) h/2

Energía mecánica final: KT0 + KR0 + 0 =

= = =

=2,36 m/s


m2

m2g

T2

a m1

m1g

T1

a

T1 T2

R


Ejercicio 14.- Un cilindro de masa M y radio R se encuentra sujeto con los dos cordones ideales. Cada cordón tiene longitud L, y está arrollado en el cilindro.

Si éste se suelta, a) ¿cuánto tiempo tarda en llegar al extremo de las cuerdas? b) ¿Cuáles son su velocidad del centro de masa y su velocidad angular en ese momento? c) ¿Cuáles son sus energías cinéticas de traslación, de rotación y total?


R


Ejercicio 15.- (Examen Febrero 2007) - Una varilla de longitud L y masa M se sostiene verticalmente articulada por su extremo inferior como se muestra en la figura. Si se deja caer con un impulso inicial despreciable, determinar la velocidad angular de la barra en función del ángulo que forma la varilla con la horizontal.

El sistema es conservativo, y gira alrededor de un punto fijo. En la posición inicial (vertical, = 90º ) su energía cinética es nula y consideraremos que su energía potencial gravitatoria también es cero.

Cuando la varilla está a un ángulo de la horizontal, su energía cinética es de rotación, y vale:

Siendo IO el momento de inercia de la varilla respecto al extremo alrededor del cual gira

El centro de masa de la varilla ha descendido una cantidad h, siendo , siendo a el

ángulo complementario a (es decir que es el que forma con la vertical).

0 = Krot –Mgh = - = =

=



Ejercicio 16.- Una esfera sólida de diámetro 26,0 cm y masa 4,50 Kg se deja caer desde una altura h = 8,45m por un plano inclinado que forma 25,0º con la horizontal.

a) Calcular la velocidad del centro de masa de la esfera al llegar al pie del plano (h = 0) si ésta rueda sin deslizar.

b) Calcular la las energías cinéticas de translación y de rotación de la esfera en dicho punto.

c) Calcular la velocidad de la esfera si ésta se desliza por un plano, en las mismas condiciones que las anteriores, pero sin fricción.



Ejercicio 17.- Una masa m está unida a una cuerda que pasa por un pequeño agujero en una superficie horizontal sin fricción. La masa inicialmente orbita con una velocidad vi en un círculo de radio ri. La cuerda se jala después lentamente desde abajo, disminuyendo el radio del círculo a r. a) ¿Cuánto vale el momento angular inicial? ¿Se conserva? b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando el radio es r?c) Encuentre la tensión de la cuerda como una función de r. d) ¿Cuánto vale el trabajo W que se efectúa al mover m de ri a r?e) Calcule la variación de energía cinética de la masa m. ¿Qué concluye a

partir del resultado obtenido en d)?

a) L = r p = r mv = m(rv) como rv entonces L = mrv y es al plano determinado r y v (es decir perpendicular al plano de la mesa)

Li = mrivi

Como N = mg, y T ║ r = 0 (siendo O el agujero) por tanto

L = Li = mrivi = cte. y por tanto L se conserva.

b) L = mrivi = mrv v =

c) Aplicando la segunda ley de Newton a la dirección radial: ma = T

pero a es la aceleración centrípeta, a = = por tanto: T =

d) dW = F.ds pero F = T = T y ds =-dr por tanto: dW = F.ds = T .(-dr ) = -Tdr

W = = = = = =

W =

e)K = K – Ki = = =

Se concluye que W = K , lo cual corresponde a lo que establece el teorema trabajo-energía.


mg

N

T

r


Ejercicio 18- Dos patinadores, cada uno de 51,2 kg de masa, se aproximan uno al otro a lo largo de trayectorias paralelas separadas por 2,92 m. Tienen velocidades iguales y opuestas de 1,38 m/s. El primer patinador lleva en sus manos una barra ligera de 2,92 m de longitud, y el segundo patinador toma el extremo de ésta al pasar; véase la figura. Suponga que el hielo carece de fricción. a) Describa cuantitativamente el movimiento de los patinadores después que están unidos por la barra. b) Ayudándose al jalar la barra, los patinadores reducen su separación a 0,940 m. Halle su velocidad angular entonces. c) Calcule la energía cinética del sistema en las partes (a) y (b). ¿De dónde proviene el cambio?



Ejercicio 19. – (Examen Agosto 2008)- Una bolita de masa M y radio R, rueda sin deslizar hacia abajo por la pista de la izquierda desde la altura h1, como se indica en la figura La bolita sube entonces por la pista sin rozamiento de la derecha hasta una altura h2. Determinar h2.

Mientras baja: Mgh1 = Ktrasl + KRot =

=

Cuando sube, sólo la energía cinética de traslación se transforma en energía potencial gravitatoria (la energía

cinética de rotación se mantiene constante:

Pero

(En el punto más elevado, la energía mecánica vale:

)



Ejercicio 20. – a) Si se supone que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es un círculo de 1,496 1011 m de radio, con el período observado de esa órbita, calcule la masa del Sol. Tomar para el período el año sidéreo igual a 365,256 días, y para la masa de la Tierra, MT = 5,98×1024 kg.b) Si tenemos en cuenta que la órbita terrestre en realidad es una elipse con una distancia Tierra-Sol de 1,521

1011 m en el afelio y de 1,471 1011 m en el perihelio, y la velocidad orbital de la Tierra en el perihelio es de

3,027 104 m/s, determinar la velocidad orbital en el afelio y su energía cinética.c) A partir del hecho que la fuerza gravitacional es conservativa, demuestre que la energía potencial gravitacional asociada a cualquier par de partículas de masas M y m, separadas una distancia r, vale

. A partir de este resultado calcule la energía potencial gravitatoria de la Tierra en el afelio.

d) Considerando que la partícula m describe una órbita circular de radio r alrededor de M, determine la energía total en función de G, M, m y r. Calcule dicho valor para el sistema Tierra-Sol.

a) A partir de la ley de Gravitación Universal:

b) Como la fuerza gravitatoria es una fuerza central, el momento angular se conserva

Considerando la Tierra como una partícula:

en particular, para el afelio la

energía cinética vale

La fuerza gravitacional es conservativa, por tanto se puede definir una energía potencial. Trabajo para llevar a m desde el punto a al punto b:

y por definición de energía potencial



finalmente considerando que el punto b está en el infinito

(donde la energía potencial es nula) y el a es un punto genérico:

Para el afelio:

d) Energía total: E=K+U

Para el sistema Tierra-Sol, debemos considerar un radio medio:

=



O.1.- Una partícula de 10 kg parte del reposo en el origen y se mueve en la dirección x bajo la

influencia de una fuerza resultante que varía con x según , donde x es la distancia al

origen en metros. Determine:a) el trabajo realizado por la fuerza resultante cuando la partícula se mueve desde x = 0,0 m a x = 12 m, b) la velocidad vx cuando la partícula ha alcanzado una distancia de 12 m del origen,c) la potencia instantánea que se necesita para mantener el movimiento antes descrito.



O.2.- Una partícula de masa m parte del reposo y va resbalando por la superficie de una esfera sólida sin rozamiento, de radio r. Si los ángulos se miden a partir de la vertical, encuentre: a) La energía potencial en función del ángulo . b) La energía cinética en función del ángulo . c) Determine la reacción normal sobre la partícula, en función del ángulo (utilice la conservación de la energía mecánica para eliminar). d) El ángulo para el cual la partícula se despega de la superficie de la esfera.



O3.- El cordón de la figura tiene una longitud L = 120 cm, y la distancia d a la clavija fija P es de 75,0 cm. Cuando la bola se suelta desde el reposo en la posición mostrada, oscilará recorriendo el arco punteado. ¿A qué velocidad irá: a) cuando llegue al punto más bajo de su oscilación y b) cuando llegue al punto más alto, una vez que el cordón haya topado con la clavija?Demuestre que, si la pesa del péndulo ha de oscilar completamente alrededor de la clavija fija, entonces d > 3L/5. (Sugerencia: La pesa debe moverse en la parte superior de su oscilación; de otro modo, el cordón se vendrá abajo).



O4.- Una piedra de peso w es arrojada verticalmente hacia arriba en el aire a una velocidad inicial v0. Supóngase que la fuerza de arrastre f disipa una cantidad de energía mecánica cuando la piedra recorre una distancia y.

a) Demuestre que la altura máxima alcanzada por la piedra es .

b) Demuestre que la velocidad de la piedra al momento del impacto con el suelo es .



O5.- Se conectan dos bloques por medio de una cuerda sin masa e inextensible que pasa por una polea sin fricción, como se muestra en la figura. El bloque de masa m1 está apoyado sobre una superficie rugosa y se conecta a un resorte cuya constante elástica es k. El sistema se libera a partir del reposo, cuando el resorte no está estirado. Si m2 cae una

distancia h, ( ) antes de quedar en reposo, y m2

= 1,4 m1, ¿cuánto vale el coeficiente de rozamiento cinético entre m1 y la superficie?

La pérdida de la energía mecánica es igual (en valor absoluto) al trabajo de la fuerza de rozamiento.El estiramiento x del resorte es igual a la distancia h que cae la masa m2.

Simplificando y despejando resulta:

Sustituyendo los valores numéricos: = 0,3 1,4 = 0,42

O6.- Una bola muy elástica que se encuentra a una altura ho se deja caer desde el reposo, y se deja picando. Con cada rebote, una fracción f de su energía se pierde. Calcule el tiempo que la bola estará saltando si ho = 5,00 m y f = 1/10.

Tiempo de caída desde una altura h: t =

1era. caída: t0 = y pierde 10% de su energía energía luego de cada rebote E1 = (1-f)E0 = kE0

con k = 1 - f = 0,92do. rebote: E2 = kE1 = k(kE0) = k2E0 n-ésimo rebote: En = knE0

por tanto las alturas sucesivas de los rebotes será : hn = knh0

1era. caída (desde h0): t0 =

tiempo de ascenso y descenso (h1) luego del primer rebote: t1 = 2 = 2

tiempo de ascenso y descenso (h2) luego del rebote 2: t2 = 2 = 2 = 2

tiempo de ascenso y descenso (hn) luego del rebote n: tn = 2 = 2

=

= = = =

= = = 38,36s. t = 38,4 s



O7.- (Examen Julio 2006)- La figura muestra dos bloques unidos entre sí por medio de una cuerda sin masa que pasa por una polea sin fricción (y también sin masa) y una clavija también sin fricción. Un extremo de la cuerda está unido a una masa m1 que está a una distancia R de la clavija. El otro extremo de la cuerda se conecta a un bloque de masa m2 = 2m1 que descansa sobre una mesa. ¿Desde qué ángulo mínimo mínimo (medido desde la vertical como se muestra en la figura) debe soltarse la masa m1 con el fin de que se levante de la mesa el bloque m2?

Para que se despegue m2, la tensión T de la cuerda debe ser igual o mayor que m2g, y para que el ángulo sea mínimo, la igualdad debe verificarse para el valor máximo de T, es decir en el punto inferior donde m1 tiene el valor máximo de velocidad. Tmax= m2g

Planteando la 2da. Ley de Newton para m1, según la dirección de la cuerda: m1a = T – m1g

m1 = T – m1g T = m1 Tmax = m1 = m2g m1v2max= (m2 - m1)gR

Conservación de energía entre el punto de lanzamiento y el inferior: m1gR(1-cos) = m1v2max

2m1gR(1-cos) = (m2 - m1)gr 2m1-2m1cos= m2 - m1 3m1- m2 = 2m1cos

= =

O.8.-(Examen Julio 2007)- Una bala de masa m y velocidad v atraviesa la lenteja de un péndulo de masa M (M = 11m). El péndulo tiene un hilo de longitud L de masa despreciable. Si la bala sale con una velocidad v/2, una vez que ha atravesado la lenteja, ¿cuánto vale el valor mínimo de v para que el péndulo realice un círculo completo?

Conservación de energía para M entre el punto inferior y el superior del círculo:

Pero en el punto superior se debe verificar: por lo que

De donde =

Conservación de la cantidad de movimiento:

=


m

v

0

L

v/2


O.9.- (Examen Julio 2008)- Un carrito de masa M puede deslizarse sin fricción por unas guías. Dentro del carrito se coloca un péndulo simple constituido de masa m (M = 3m) y longitud l, como se muestra en la figura. Inicialmente el péndulo está apartado un ángulo con respecto a la vertical, y tanto el carrito como el péndulo están en reposo. ¿Cuánto vale la velocidad del carrito cuando el péndulo pasa por su punto más bajo?

Sean V la velocidad del carrito y v la de la masa respecto a los rieles (velocidades absolutas) cuando la masa pasa por el punto más bajo.

Conservación de la cantidad de movimiento: MV + mv = 0 (porque inicialmente están en reposo)

Conservación de la energía mecánica:

=

entonces : V = =

O.10.- (Examen Diciembre 2007)- Una esfera maciza uniforme y un cascarón esférico de la misma masa M y radio R, ruedan sin deslizar por una rampa como se muestra en la figura, partiendo desde una misma altura H, medida desde el piso. Cuando alcanzan la parte horizontal de la rampa, se desprenden de la misma, y alcanzan el piso. Si el alcance del cascarón esférico es L, ¿cuánto vale el alcance L’ de la esfera maciza?

siendo v velocidad del centro de

masas en el momento de despegarse.

K + U = 0 Kf – Ui = 0

con k = para la esfera maciza y k’ = para el cascarón esférico

Ui = mgh =

= =


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