20011128 distancia

8/18/2019 20011128 Distancia

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IES LEOPOLDO CANO MATEMÁTICAS 1º BACH. CNS

COMPLEJOS III

Nombre......................................................................................................... Curso-grupo .......... Nº.......

1.- (a) Dado el complejo z=-3+4i, da en forma binómica y representar gráficamente -z, z y 1 /z

(b) Da en forma polar y representa gráficamente el opuesto, el conjugado y el inverso de w=220º.

2.- Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 3+i, la parte real del primero es 2 y su

cociente es imaginario puro.

3.- Calcula: (a) 45

77

2i

ii z

−−= en forma binómica y polar.

(b) 3 z

4.- Dados los números complejos z=1150º , v=9 30º y t = i 31+ , calcula z·v+t 5 .

5.- Halla las razones trigonométricas del ángulo AOB, siendo A el afijo del complejo =12 - 5i y B el

afijo del complejo =8 + 6i.

6.- Halla el módulo y el argumento del complejo)i(

i

º cosº sen z

7575

322

−+

= y da z en forma polar y

binómica.

8/18/2019 20011128 Distancia



SOLUCIONES COMPLEJOS III

1.- (a) Dado el complejo z=-3+4i, da en forma binómica y representar gráficamente -z, z y 1 /z

(b) Da en forma polar y representa gráficamente el opuesto, el conjugado y el inverso de w=220º.

(a) z = -3-4i (b) w =2 - - 20º

- z= 3-4i, -w=2 20º+180º=2 200º

i 25

4

25

3

Z

1 −−= ( )20º 2

1

w

1

−=

2.- Halla dos números complejos sabiendo que su suma es 3+i, la parte real del primero es 2 y su

cociente es imaginario puro.

z = a + bi

w = c + di

z+w=(a+c)+(b+d)i

Re(z)=2⇒ a=2

z+w=3+i⇒

=+=+1

3

d b

ca

id c

ad bc

d c

bd ac)dic()dic(

)dic()bia(

dicbia

w z

2222 +−+

++=

−+−+=

++=

w

z=0+k i⇒ ac+bd=0

Basta resolver el sistema:

=+

=+

=+

=

0

1

3

2

bd ac

d b

ca

a

=−=

⇒=−−⇒=−+⋅

−===

2

1020112

1

1

2

2

12

b

bbb)b(b

bd

c

a

; existen dos soluciones:

−=+=+=−=i1w yi 2 z

2i1w yi 2 z

2 2

11

2

3.- Calcula: (a)45

77

2i

ii z

−−= en forma binómica y polar.

(b) 3 z

(a) 45

77

2i

ii z

−−= 180º 101 i =+−=−

⋅−−

=−

=⋅

−= 10

12

11

2

1

2

1

52

2

745

14

i

i

ii

i

(b) ( ) 210113

36018033

180 , ,k ,r º k º º === ⋅+

W=220º

W=2-20º-W=2200º

1/W

r1

r3

r2

z=-3+4i

-z=3-4iz=-3-4i

1/z

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Existen tres ra í ces c ú bicas:

=+==

−====+==

−+

+

+

i r

1 r

i r

2

3

21

2 3

21

1

)º seniº (cos

)º seniº (cos

º º

º º º

º

30030011

11

606011

240603

180120602

60

4.- Dados los números complejos z=1150º , v=9 30º y t = i 31 + , c alcula z·v+t 5 .

t = i 31 + =260º pues 2=+=+ 31| |i 31 y arg( t )= α ⇔

==

23

3

/ sen

tg

α

α

z·v+t 5 z= 1150º ·9 30º +(2 60º )

5 = 9 180º +32 300º =-9+ 32(cos 300 º + i sen 300 º )= == −+−

−− − ii 316169329

2

3

2

1

i 316 7 −=

5.- Hallar las razones trigonométricas del ángulo AOB, siendo A el afijo del complejo =12 - 5i y B

el afijo del complejo =8 + 6i.

−=

=

−=

⇒−==−+=−=

12

5

13

12

13

5

2251213512512

a tg

a cos

a sen

)i(arga ;)(|i|||α

==

==

==

⇒+==+=+=

4

3

8

6

5

4

10

8

5

3

10

6

2268106868

a tg

b cos

b sen

)i(argb ;|i|||β

sen ( a b − )= 65

56

13

5

5

4

13

12

5

3 =−⋅−⋅=⋅−⋅ a senb cosa cosb sen

cos ( a b − )= 65

33

13

5

5

3

13

12

5

4 =−⋅−⋅=⋅−⋅ a senb sena cosb cos

tg ( a b − )=33

56=

−−

)a b (cos

)a b (sen

Otra forma:

13711411451268 22 =+−=+−=−−+=−= )(|i||)i()i(||| AB α β

Por el teorema del coseno: ) BO Acos(OBOAOBOA AB ⋅⋅⋅−+= 2222

137=169+100 - 2·13·10 ) BO Acos(⋅ 65

33

10132

132

10132

137100169

=⋅⋅=⋅⋅−+

=⇒ ) BOˆ

Acos(

( )65

56

4225

3136

4225

1089422522

65

3311 ===−=−+= −) BO A(cos) BO A(sen

6.- Halla el módulo y el argumento del complejo)i(

i

º cosº sen z

7575

322

−+

= y da z en forma polar y

binómica.

)i(

i

º cosº sen z

7575

322

−+

=)i( º senº cos

º

1515

460

−= = ( )

===−−+−

º

º º

)º (isen)º (cos15

115151

6060 44

475º =

=4(cos 75º + i sen 75º)= ( ) ( )ii 26264

26

4

26

4 ++−=

++−

bˆ

O

B

A

8

12

-5

6

13

10

a b AOB −=

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sen 75º =sen(45º+30º)= sen 45º· cos 30º + cos 45º· sen 30º =4

26

2

1

2

2

2

3

2

2 +=⋅+⋅

cos 75º =cos(45º+30º)= cos 45º· cos 30º - sen 45º· sen 30º = 4

26

2

3

2

2

2

3

2

2 −=⋅−⋅

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