De los 12 estadios alemanes donde se disputaron los par-

tidos del mundial de futbol 2006, el de Berlín es el de ma-

yor capacidad de espectadores: 74 176.

a. Si las entradas estaban agrupadas en talonarios de 1 000

unidades, ¿cuántos talonarios completos se necesitaron pa-

ra la venta de las localidades? ¿Cuántas entradas sobraron?

b. Si las entradas estaban agrupadas en talonarios de 100

unidades, ¿cuántos talonarios completos se necesitaron pa-

ra la venta de las localidades? ¿Cuántas entradas sobraron?

1

Los números naturales

La tabla de la derecha muestra la capacidad de

cada uno de los 12 estadios del mundial 2006.

a. Construyan una tabla ordenando los esta-

dios según su capacidad, en forma creciente.

b. Redondeen las capacidades a las unidades de

mil.

c. Redondeen a las decenas de mil y calculen

mentalmente cuántos espectadores entran en

los doce estadios al mismo tiempo.

Una empresa de turismo compró 17 talona-

rios de 10 entradas para el partido inicial del

mundial, jugado en Munich. ¿Alcanzaron las

entradas para sus 159 clientes? ¿Cuántas fal-

taron o sobraron?

Estadio Capacidad

Berlín

Colonia

Dortmund

Frankfurt

Gelsenkirchen

Hamburgo

Hannover

Kaiserslautern

Leipzig

Munich

Nüremberg

Stuttgart

40 000 50 000

74 176

46 120

59 000

48 132

53 804

51 055

44 652

41 170

44 199

66 016

41 926

54 267

Escriban un número natural que cumpla con las siguientes condiciones:

que tenga cinco cifras distintas;

que su redondeo a las unidades de mil sea 29 000;

que su cifra de las centenas sea 7;

que su cifra de las decenas sea menor que 3.

¿Hay un único número que cumple con las condiciones, o más de uno?

En el número 74 176, el primer 7 que aparece, leyendo de izquierda a

derecha, ¿cuántas unidades representa? ¿Y el segundo 7?

Representen en la recta numérica los números obtenidos en la actividad

3, punto b.

1

2

3

4

5

6

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Realicen la descomposición decimal de los siguientes números.a. 43 078 c. 305 775 e. 31 884 972b. 125 366 d. 4 023 441 f. 80 019

Copien en sus carpetas y completen los lugares en blanco.a. 35 485 = 3 x 10 000 + 3 x 1 000 + + 4 x 100 + 8 x 10 + 5b. 473 100 = + 4 x 10 000 + 3 x 1 000 + 10 x

El sistema decimal y los números romanos

Escriban en números romanos o en cifras, según corresponda.a. 48 = c. 174 = e. 380 =b. LXV = d. XXIV = f. CDLVII =

En el año 2004 se realizaron los Juegos Olímpicos en la ciudad de Atenas. Fueron losXXVIII Juegos Olímpicos modernos. ¿Cuántos Juegos Olímpicos se habían llevado acabo hasta ese momento, en la era moderna?

Descubran los números romanos que están mal escritos, y escríbanlos correctamente.

a. XIII—

c. XVIIII e. XMLXXXIIIb. d. CI f. CCCIV

Actividad resueltaDescompongan el número 3 257 de tres formas distintas,por 10, 100, 1 000 o 10 000. Solución: 3 257 = 3 x 1 000 + 2 x 100 + 5 x 10 + 73 257 = 32 x 100 + 5 x 10 + 73 257 = 3 x 1 000 + 25 x 10 + 7

Descompongan los siguientes números de tres formas dis-tintas.a. 3 784 c. 33 433 e. 4 194b. 56 812 d. 50 000 f. 87 654

En la caja del banco hay 538 billetes de $100, 1 345 de $10 y 796 mone-das de $1. Escriban una cuenta que permita calcular cuánto dinero hayen la caja y luego realicen el cálculo.

XDIII

7

8

9

12

13

14

10

11

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2

¿Cuántos números capicúa (se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda) de dos cifras hay?

¿Cuántos números capicúa de tres cifras hay entre 721 y 889?

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16

Conteo

En un juego se arrojan una moneda y un dado. ¿Cuántosresultados posibles hay? Escriban todos los resultados.

En un juego se arrojan un dado rojo y uno verde. ¿Cuántosresultados posibles hay? Escriban todos los resultados.

En una pequeña ciudad, las patentes de los autos tienenuna vocal y un número del 0 al 9. ¿Cuántos autos puedenpatentarse?

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18

19

Estrategias de conteoEn muchos casos, tenemos que contar elementos de un conjunto. Si estos elementos son mu-

chos, y parecidos entre sí, es muy común que nos olvidemos de alguno, o repitamos otro. Para evi-

tar eso, es importante elegir un procedimiento adecuado. Por ejemplo, si quisiéramos dibujar to-

das las banderas de dos franjas diferentes, disponiendo de cuatro colores para elegir (amarillo,

blanco, rojo y verde), sería conveniente seguir estos pasos:

Por lo tanto, pueden dibujarse 3 x 4 = 12 banderas diferentes.

Sugerencias para estudiar

Paso 2. Elegimos otro color para la franja supe-

rior, por ejemplo el rojo. Para la franja inferior

nos quedan el blanco, el amarillo y el verde.

Paso 4. Finalmente, solo quedan el verde pa-

ra la superior y el blanco, el amarillo y el rojo

para la inferior.

Paso 1. Consideramos todas las banderas que

tengan la franja superior amarilla. Para la franja in-

ferior podemos usar el blanco, el rojo y el verde.

Paso 3. Luego elegimos el blanco para la franja

superior, y quedan el rojo, el amarillo y el verde

para la inferior.

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3

Actividades integradorasJulieta debe pagar $3 847. Muestren tres formas distintas de sumar esa cantidad

utilizando solo billetes de $100 y de $10, y monedas de $1. ¿Hay más posibilidades?

La tabla de abajo muestra la cantidad de usuarios de Internet entre los años 1998

y 2004, en la Argentina:

a. ¿Cuántos usuarios se registraron durante 1998?

b. ¿Cuántos usuarios se registraron durante 2002?

c. ¿Cuántos usuarios más hubo en 2001 respecto de 2000?

Redondeen a las centenas los radios de los siguientes

planetas del sistema solar y luego ubiquen los resul-

tados en una recta como la de abajo.

¿Cuál es el menor número romano que puede escribirse utilizando una sola vez ca-

da uno de los siguientes símbolos: I, V, X, D?

)mk ne(000 10

Usuarios (en miles)

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

700 1 200 2 400 3 500 4 000 5 200 7 000

Radio (en km)

Mercurio

Venus

Tierra

Marte

2 439

6 052

6 378

3 398

Planeta

¿De cuántas formas distintas se pueden llenar los casilleros con I, V, X,

D? ¿Corresponden todas las formas a números romanos? ¿Por qué?

El redondeo de un número a las decenas es 870. ¿Cuál puede ser ese número? Es-

criban todas las posibilidades.

¿Cuál es el mayor número que, al ser redondeado a las centenas, da como resulta-

do 1 300?

¿Cuál es el menor número que, al ser redondeado a las centenas, da como resulta-

do 1 700?

87024

25

26

27

22

23

20

21

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4

Para hacer con mate

Para jugar, se sigue este procedimiento.

Paso 1. Se mezclan las tarjetas y se las coloca boca abajo sobre una me-

sa. El coordinador o coordinadora elige una tarjeta y copia en el pizarrón

la instrucción, para que todos puedan leerla.

Paso 2. El coordinador o coordinadora saca sucesivamente 4 bolillas del

bolillero. Al sacar la primera bolitas, anota el número en el pizarrón. Es-

ta primera bolita debe ser distinta de cero. En caso de que haya salido

el cero, debe repetir la operación hasta que extraiga una bolita con un nú-

mero entre 1 y 9. Luego coloca la bolilla otra vez en el bolillero y realiza

3 extracciones más, de manera que pueda formar un número de 4 cifras.

El descomponedor numéricoEl siguiente es un juego por equipos de 4 o 5 integrantes cada uno. No

es necesario que todos los grupos tengan la misma cantidad de miem-

bros. Cada equipo debe elegir un vocero. Antes de comenzar el juego, de-

be establecerse el puntaje necesario para ganar.

Multiplicaciones por:

10, 100 y 1 000

Multiplicaciones por:

10 y 100

Multiplicaciones por:

10 y 1 000

Para participar en este juego, además de los equipos, debe haber un

coordinador. Necesitan un bolillero con bolitas numeradas del 0 al 9 y tar-

jetas como las que se muestran a continuación:

Paso 3. En cuanto quede escrito el número, cada equipo deberá descomponerlo siguiendo las ins-

trucciones de la tarjeta. Se puede sumar como máximo un múltiplo de 10, un múltiplo de 100 y un

múltiplo de 1 000.

Ejemplo: salen la tarjeta amarilla y los números 5, 5, 3 y 4.

Debe descomponerse el número 5 534 utilizando sumas de múltiplos de 10 y de 1 000. Deben

escribir: 5 x 1 000 + 53 x 10 + 4 (0 x 1 000 + 553 x 10 + 4).

Paso 4. El vocero del grupo levanta la mano y el coordinador o coordinadora lo anota por orden

hasta que todos los equipos hayan terminado.

Paso 5. Los integrantes de cada grupo escriben en el pizarrón sus

resultados.

Cada respuesta correcta tiene un puntaje según el orden en que

completaron el paso 3. Por ejemplo, si juegan 5 equipos, cada res-

puesta correcta vale 5, 4, 3, 2 o 1, respetando el orden en que termi-

naron. Si la respuesta es incorrecta, el equipo no suma puntos.

Gana el equipo que alcanza o supera el puntaje establecido al

comienzo.

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5

El baúl matemático

Los sistemas de numeraciónEl sistema de numeración posicional fue creado y utilizado por los anti-

guos sumerios, un pueblo que vivió hace aproximadamente 6 000 años. Es-

tas ideas fueron luego olvidadas, hasta que los hindúes, hace unos 1 500

años, reformularon el sistema. También se debe a los hindúes la incorpora-

ción del número cero.

Las computadoras y los sistemas de numeraciónEl sistema de numeración en base 2 o binario es un sistema posicio-

nal que utiliza dos símbolos para representar los números: el 0 y el 1.

Los números naturales representados en este sistema se ven de la si-

guiente manera:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, ...

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...

El sistema binario es el que utilizan las computadoras para realizar

sus operaciones. Las computadoras, en su memoria principal, almace-

nan información en celdas de memoria. Para identi�car estas celdas, la

computadora les asigna nombres que se representan mediante una lis-

ta ordenada de ceros y unos, es decir de dígitos binarios. La palabra bits

deriva del inglés binary digits, que signi�ca “dígitos binarios”. Una lista

de 8 bits se denomina byte.

¿Avispas que cuentan?Algunos cientí�cos opinan que ciertos

pájaros e insectos son capaces de contar.

Uno de los casos más asombrosos es el de

las avispas Eumenus , una especie en la que

el macho es bastante más pequeño que la

hembra. La avispa madre deposita sus hue-

vos en celdas y provee a cada huevo de una

cierta cantidad de orugas vivas, de las que

se alimentarán las larvas al nacer. Misterio-

samente, la madre sabe si cada huevo que

puso va a ser un macho o una hembra. Si el

huevo es un macho, le lleva 5 orugas; si es

una hembra, le lleva 10.

Completen los círculos con los nú-

meros del 1 al 9, de manera que la su-

ma de los números de cada lado del

triángulo sea 20.

Un triángulo de sumas

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