ESTADISTICA DESCRIPTIVA

1. DEFINICION

La estadística es una ciencia que facilita la toma de decisiones:

� Mediante la presentación ordenada de los datos observados en tablas y gráficos

estadísticos.

� Reduciendo los datos observados a un pequeño numero de medidas estadísticas que

permitirán la comparación entre diferentes series de datos.

� Y estimando la probabilidad de éxito que tiene cada una de las decisiones posibles.

2. RAMAS DE LA ESTADISTICA

� ESTADISTICA DESCRIPTIVA: la cual se encarga de la recolección, clasificación y

descripción de datos muéstrales o poblacionales, para su interpretación y análisis.

� ESTADISTICA MATEMATICA O INFERENCIAL: que desarrolla modelos teóricos que se

ajusten a una determinada realidad con cierto grado de confianza. Basada en la Teoría

de Probabilidades, también conocida como Estadística Deductiva o Inferencia

Estadística.

3. CONCEPTOS BASICOS

3.1 POBLACION, COLECTIVO O UNIVERSO

“cualquier conjunto de personas, objetos, ideas o acontecimientos que se someten a la

observación estadística de una o varias características que comparten sus elementos y que

permiten diferenciarlos”.

Son poblaciones por ejemplo, los diferentes automóviles que se encuentran en un

concesionario o las diferentes religiones de un país.

3.2 VARIABLE

Las variables se clasifican en continuas o discretas, según admitan o no infinitos valores

intermedios entre dos valores próximos respectivamente. En la practica, la distinción entre

variable discreta y continua no es fácil, ya que todas las variables pueden ser consideradas

discretas, porque los instrumentos de medida no permiten pasar de un cierto limite de

precisión.

4. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

4.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLE

4.1.1 Frecuencia absoluta simple

Es el número de veces que se presenta un determinado dato de un carácter en los diferentes

elementos de una población. Se presenta por na .

La frecuencia absoluta es, por tanto, el número de repeticiones de un determinado valor de la

variable o una determinada modalidad del atributo. La frecuencia absoluta también representa

el número de elementos de la población que tienen el mismo valor o modalidad. La suma total

de todas las frecuencias absolutas es el tamaño de la población de elementos observados. Se

representa por N.

4.1.2 Frecuencia relativa simple

Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de un determinado dato entre la suma de las

frecuencias absolutas de todos los datos observados, es decir, entre el tamaño de la población.

Se representa por fr = na / N

La frecuencia relativa es, una proporción entre el número de veces que se repite un dato y el

tamaño de la población.

Las frecuencias relativas se suelen presentar en porcentaje (%fr) que se obtiene al multiplicar

por 100 el valor correspondiente de la frecuencia relativa. En este caso, la suma total de todas

las frecuencias relativas porcentuales será 100.

4.1.3 Frecuencia absoluta acumulada

La frecuencia absoluta acumulada de un dato es igual a la frecuencia absoluta de este dato

más la suma de las frecuencias absolutas de los datos anteriores. Se representa por Na. Esta

frecuencia representa, cuando existe una relación de orden, el número de elementos de la

población que quedan por encima o por debajo del elemento cuyo valor o modalidad se

observa.

4.1.4 Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia relativa acumulada de un dato es igual a la suma de las frecuencias relativas de

todos los datos menores o iguales de dicho valor. Se representa por Fa. Al igual que las

frecuencias relativas simples, se suelen presentar en porcentajes (%Fa).

EJEMPLO:

Se ha realizado un estudio del numero de empleados de 15 ferreterías de una zona de Madrid

con los siguientes resultados: 4; 5; 4; 3; 3; 6; 4; 5; 3; 3; 4; 5; 3; 6. Construir la tabla estadística

empleando frecuencias absolutas simples y acumuladas y, también, frecuencias relativas en

porcentaje, simples y acumuladas.

Solución:

Nº

empleados

por tienda

Frecuencia

absoluta

simple (na)

Frecuencia

absoluta

acumulada (Na)

Frecuencia relativa

simple en % (%fr)

Frecuencia

relativa

acumulada

en % (%Fa)

3 5 5 5/ 15 = 0.33(x 100)

= 33.3%

33,3

4 4 9 4/15 = 0.26 (x 100)

= 26.6%

60

5 3 12 3/15 = 0.2 (x 100) =

20%

80

6 3 15 3/15 = 0.2 (x 100) =

20%

100

� En primer lugar, se ordenan las tiendas de menor a mayor número de empleados,

segunde detalla en la primera columna de la tabla inferior. En la segunda columna

figuran las veces que se repite un mismo valor (la frecuencia absoluta). La suma de las

frecuencias absolutas (15) es el número de elementos de la población.

� En la tercera columna aparecen las frecuencias absolutas acumuladas, cuyos valores se

obtienen sumando al valor de la frecuencia absoluta correspondiente, la suma de

todas las frecuencias absolutas anteriores.

� En la cuarta columna están las frecuencias relativas simples en porcentaje, obtenidas

al dividir el valor de la frecuencia absoluta correspondiente entre el numero de

elementos de la población, y multiplicadas por 100.

� En la quinta columna están las frecuencias relativas acumuladas en porcentaje,

resultado de la suma del valor de la frecuencia relativa en porcentaje correspondiente

mas, la suma de todas las frecuencias relativas en porcentaje anteriores.

4.2 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS POR INTERVALOS O DATOS CONTINUOS

Usualmente los valores de los datos no permiten un agrupamiento de ellos en una tabla de

frecuencias simple, debido a que se encuentran distribuidos a través de todo el recorrido y el

número de veces que se repite cada observación no es significativo en todos los casos, y en la

mayoría de ellos su frecuencia es baja.

5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central, llamadas así porque tienden a localizarse en el centro de la

información, son de gran importancia en el manejo de las técnicas estadísticas, sin embargo,

su interpretación no debe hacerse aisladamente de las medidas de dispersión, ya que la

representatividad de ellas está asociada con el grado de concentración de la información.

Las principales medidas de tendencia central son:

5.1 MEDIA ARITMÉTICA

Cotidiana e inconscientemente estamos utilizando la media aritmética. Cuando por ejemplo,

decimos que un determinado fumador consume una cajetilla de cigarrillos diaria, no

aseguramos que diariamente deba consumir exactamente los 20 cigarrillos que contiene un

paquete sino que es el resultado de la observación, es decir, dicho sujeto puede consumir 18,

un día; 19 otro; 20, 21, 22; pero según nuestro criterio, el número de unidades estará

alrededor de 20.

Matemáticamente, la media aritmética se define como la suma de los valores observados

dividida entre el número de observaciones.

�� � �� � �� ��� � ��� � � ∑ ��

Donde:

��: ���� �������� �� �� �������� �

�: ������� �� �� �������� �

:������ �� ���������� ��

!"������ �� ���������, $� � ���� %�� �� ���� �����

EJEMPLO

Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana.

Lunes: 18

Martes: 21

Miércoles: 22

Jueves: 21

Viernes: 20

Sábado: 19

Domingo: 19

Solución: Entonces la media aritmética es

�� � �� � �� ��� � ��� � � ∑ ��

�� � ∑ �&�&

�� � �' � �� � �� � �� � �( � �) � �)& � �(

El fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios.

Cuando la variable está agrupada en una distribución de frecuencias, la media aritmética se

calcula por la fórmula:

�� � ��*� � ��*� ��� �* ��� �+*+ � ∑ �*+�

Ejemplo:

1. Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana dada

Cantidad � Frecuencia * 18 1

19 2

20 1

21 2

22 1

7

�� � ∑ �*+� � �',�- � �),�- � �(,�- � ��,�- � ��,�-& � �(

�� � �( ./011223450

2. Calculo de La Media Aritmética. El Salario/día de 50 Operarias.

MILES $/DIA Xi fi Xi fi

50 1 50

51 3 153

52 5 260

53 9 477

54 12 648

55 10 550

56 5 280

57 3 171

58 2 116

SUMAS O TOTAL 50 2705

�� � ∑ �*)� � �&(66( � 67. �

�� � 67. �(( 9:434/50

3. Si la información está relacionada en una distribución de frecuencias por intervalos,

se toman como valores de la variable las marcas de clase de los intervalos,

entiéndase por marca de clase el punto medio entre los límites de cada clase o

intervalo.

Cálculo de La Media Aritmética de la Resistencia de 100 Baldosas

�� � ∑ �*&� � 77'((�(( � 77'

La resistencia promedio de las 100 baldosas es de 448 Kg/Cm².

5.2 LA MEDIANA

No se basa en la magnitud de los datos, como la media aritmética, sino en la posición central

que ocupa en el orden de su magnitud, dividiendo la información en dos partes iguales,

dejando igual número de datos por encima y por debajo de ella.

5.2.1 La Mediana Cuando los datos no están Agrupados en Intervalos.

Partiendo de la información bruta, ordenamos los datos ascendente o descendentemente:

<=, <>, <?……… . . <A ………<B �� ��C� �

D:500 � D: � �EF�� G, 4 :4 +901 ò

D:500 � D: � �E�G � �,�F�-� 4 :4 901 Ejemplo:

1. En el ejercicio de los cigarrillos, consumidos por un fumador tenemos lunes 18, martes

21, miércoles 22, jueves 21, viernes 20, sábado 19, y domingo 19. Ordenando

ascendentemente:

<= � 18, <> � 19, <? � 19, <L � 20, <O � 21, <P � 21, <Q � 22

n, es impar, entonces

D:500 � D: � �EF�� G � �,&F�� - � �7 � �(

2. Consumo mensual de agua, en m3, por la fábrica de confecciones “la hilacha”

Enero= 10

Febrero = 12

Marzo= 15

Abril = 18

Mayo= 14

Junio= 19

Julio= 17

Agosto= 18

Septiembre = 18

Octubre = 22

Noviembre = 15

Diciembre = 13

<= � 10, <> � 12, <? � 13, <L � 14, <O � 15, <P � 15, <Q � 17, <V � 18, <W � 18,<=X � 18, <== � 19, <=> � 22

D:500 � D: � �E�G � �,�F�-� � �E��� G � �,��� F�-�

D: � �,Y- � �&� � �6 � �&� � �Y Como se puede observar, en este caso la mediana no es un dato perteneciente a la

información, es un parámetro que divide la información dejando el 50% por encima y el 50%

por debajo de ella.

5.2.2 La Mediana Cuando la Información se Encuentra Agrupada en Intervalos

Si la información esta agrupada en intervalos iguales, entonces la mediana se calcula según la

siguiente expresión:

� � Z[ � 2 \ C�,A]=-CA ^

Me: Mediana

LI: Limite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana (intervalo mediano), el cual se

determina observando en que clase se encuentra la posición n/2.

n: Numero de observaciones

C�,A]=-: _����� ��� ��������� � ������ �� � ������� �����

CA: _����� ��� ��� � ������� ����� �

A: Amplitud del intervalo.

EJEMPLO

En la columna de frecuencia acumulada advertimos que la observación número 50 se halla en

el cuarto intervalo 4.

D: � `a � � \ *0,]�-* b c D: � �((� \ d6d6 �(( � 776. 76 e//f+�

Se concluye que el 50% de las baldosas resiste menos de 445.45 Kg/Cm2 y el 50% resiste mas

de 445.45 Kg/Cm2.

5.3 LA MODA

La moda, como su nombre lo indica, es el valor más común (de mayor frecuencia dentro de

una distribución. Una información puede tener una moda y se llama unimodal, dos modas y se

llama bimodal, o varias modas y llamarse multimodal. Sin embargo puede ocurrir que la

información no posea moda.

5.3.1 La Moda Cuando los datos no están Agrupados en Intervalos

El valor que más veces se repite es 54 con una

frecuencia de 12, entonces decimos que la moda

es Mo = 54.000.00 pesos diarios.

Los valores de mayor frecuencia corresponden a 19 y

21, por lo tanto se trata de una distribución bimodal

con Mo1=19 y Mo2=21.

5.3.2 Cálculo de la Moda Cuando la Información está Agrupada en Intervalos

Cuando la información se encuentra agrupada en intervalos de igual tamaño la moda se calcula

con la siguiente expresión.

D3 � `a � *+ \ *,+]�-�*+ \ *,+]�- \ *,+F�- b

Donde:

Mo: Moda

LI: Limite inferior del intervalo modal

*+: Frecuencia de la clase modal

*,+]�-: Frecuencia de la clase premodal.

*,+F�-: Frecuencia de la clase posmodal.

A: Amplitud de los intervalos.

EJEMPLO

D3 � `a � *+ \ *,+]�-�*+ \ *,+]�- \ *,+F�- b

c D3 � 7(( � dd \ ���,dd- \ �� \ �'�(( � 777. 77 e//f+�

A pesar que el valor 444.44 no es un dato real de la información asumimos ese parámetro

como el de mayor ocurrencia.

6. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Para medir el grado de dispersión de una variable, se utilizan principalmente los siguientes

indicadores:

6.1 RANGO O RECORRIDO

Es la medida de dispersión mas sencilla ya que solo considera los dos valores extremos de una

colección de datos, sin embargo, su mayor utilización está en el campo de la estadística no

paramétrica.

R = Xmax – Xmin

Xmax, Xmin son el máximo y el mínimo valor de la variable X, respectivamente.

En el ejemplo introductorio, vemos que el rango para la primera información es R1=95-5=90,

mientras que R2=51-49=2, se hace pues manifiesta la gran dispersión de la primera

información contra la homogeneidad de la segunda.

6.2 DESVIACIÓN MEDIA

La desviación media, mide la distancia absoluta promedio entre cada uno de los datos, y el

parámetro que caracteriza la información. Usualmente se considera la desviación media con

respecto a la media aritmética:

gD � ∑ |� \ ��|*+�

Donde,

DM: Desviación media

�: Diferentes valores de la variable X

*: Numero de veces que se repite la observación � ��: Media aritmética de la información

n: tamaño de la muestra

m: Numero de agrupamientos o intervalos.

EJEMPLO:

gD � ∑ |� \ ��|*+� � &(6( � �. 7

1.400.00 es el error promedio que se

comete al remplazar los ingresos

diarios de cada una de las 50 obreras

por 54.100 pesos.

6.3 VARIANZA

La varianza obvia los signos presentes en la desviación estándar elevando las diferencias al

cuadrado, lo cual resulta ser más elegante, aparte de que es supremamente útil en el ajuste de

modelos estadísticos que generalmente conllevan formas cuadráticas.

Numéricamente definimos la varianza, como desviación cuadrática media de los datos con

respecto a la media aritmética:

i� � ∑ ,j \ j�+� -�*

Donde,

i>: Varianza

<A: valor de la variable x

<k: Media aritmética de la información

CA: Frecuencia absoluta de la observación <A n: Tamaño de la muestra

m: Numero de agrupamiento o intervalos.

EJEMPLO: 1)

i� � ∑ ,j \ j�+� -�* � �Y(. 6(6( � d. ��

Como los datos están expresados en miles de pesos y la varianza se encuentra en forma

cuadrática obtenemos una varianza de 3’210.000 pesos. Sin embargo para una mejor

comprensión debemos recurrir a la desviación típica o estándar definida como la raíz cuadrada

de la varianza:

i � li� � m∑ ,j \ j�+� -�* c i � √d. �� � �. &)�

El error estándar es de 1.791 pesos/diarios.

2) En el ejemplo de las baldosas:

i � li� � m∑ ,j \ j�+� -�* c i � √�)6)Y � �7( e//f+�

6.4 COEFICIENTE DE VARIABILIDAD

El coeficiente de variabilidad tiene en cuenta el valor de la media aritmética, para establecer

un número relativo, que hace comparable el grado de dispersión entre dos o mas variables, y

se define como:

fo � i� � �((

Comparemos la homogeneidad de las dos informaciones anteriores, las cuales tienen diferente

unidad de medida.

Ejemplo:

1) para el salario:

fo � �. &)�9:4345067. �9:43450 � (. (dd c fo � d. d%

2) para la resistencia

fo � �7( e//.+�77' e//.+� � (. d��6 c fo � d�. �6%

Concluimos que es mucho más dispersa la información correspondiente a la resistencia de las

baldosas.