2º Premio Mercados Financieros 2009

Premio Nacional de Derivados

Categoría: Investigación

Por

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Modelo de valuación de opciones bajo múltiples cambios de régimen y asimetría de la volatilidad: proceso GARCH-M de

coeficientes flexibles aplicado a opciones sobre futuros del IPC

Agosto, 2009

 

Índice General

Resumen Ejecutivo ii

Introducción iv

1 Modelo de múltiples regimenes y asimetría 1

1.1 Comportamiento límite bajo la distribución neutral al riesgo. . . . . . . . . . 12

2 Análisis empírico y aplicación a opciones sobre futuros del IPC 15

2.1 Descripción de los datos y análisis exploratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Calibración del modelo de múltiples regimenes de volatilidad . . . . . . . . . 17

2.3 Valuación de una opción sobre futuros del IPC . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Conclusiones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

A Apéndice: Modelos GARCH univariados 29

A.0.1 Estimación de los modelos GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A.0.2 Extensiones del modelo GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

i

 

Resumen

El presente trabajo de investigación propone una nueva metodología de valuación de

opciones cuando la dinámica de la volatilidad del activo subyacente es conducida por un

proceso estocástico con múltiples cambios de régimen y efectos de asimetría (modelo base).

Especí�camente, la media condicional de los rendimientos se modela como un proceso tipo

GARCH en la media, en tanto que la varianza condicional se de�ne mediante un proceso

general que incorpora dos o más regimenes y captura los llamados hechos estilizados presentes

en las series �nancieras. La fórmula de valuación obtenida queda dada en términos de la

función generadora de momentos neutral al riesgo y del nivel actual del precio del subyacente.

Para tal efecto, se derivó una expresión de dicha función generadora calculada a partir de

los parámetros del modelo neutral al riesgo.

Los objetivos principales de este trabajo de investigación son: (i) estudiar las principales

propiedades del modelo base y su comportamiento límite a algún proceso de difusión, (ii)

derivar una fórmula o procedimiento de valuación para opciones, (iii) evaluar su desempeño

en la modelación del comportamiento de la volatilidad frente a las especi�caciones más

comunes y ampliamente documentadas en la literatura para series de tiempo. Así pues, el

principal objetivo es contar con un modelo general y �exible, que capture adecuadamente

las características estilizadas de las serie de los rendimientos, al tiempo de proporcionar un

método de valuación robusto.

La metodología desarrollada comprende esencialmente la calibración de la expresión

analítica para la función generadora de momentos y la estimación estadística de los parámet-

ros del modelo base de series de tiempo. Para llegar a la fórmula de valuación, se emplearon

las relaciones de inversión entre la función característica y la densidad de variables aleatorias.

Dicha fórmula de valuación, contempla como caso particular el precio teórico obtenido bajo

el enfoque de Heston y Nandi[29] (2000). La estimación de los parámetros se realiza maxi-

mizando la función de quasi-verosimilitud (QML) bajo un método iterativo de los algoritmos

numéricos BHHH (ver Bollerslev[3], 1986) y Nelder-Mead, y donde los valores iniciales de los

parámetros son establecidos con la relación de varianza incondicional y algoritmos genéticos.

Una de las principales bondades del modelo propuesto es su �exibilidad ya que admite

estructuras generales para la asimetría y naturaleza intermitente de los rendimientos y su

ii

Resumen Ejecutivo iii

volatilidad.

El desempeño del modelo es evaluado mediante su capacidad predictiva de la volatilidad

frente a las especi�caciones más importantes de modelos de heteroscestaticidad ampliamente

empleados en �nanzas. Los modelos utilizados como benchmark comprenden desde el caso

básico GARCH, hasta las extensiones asimétricas EGARCH, TGARCH, PGARCH, con y

sin efectos de apalancamiento. Adicionalmente, se probaron las especi�caciones de volatil-

idad empleadas en el modelo de Heston y Nandi[29].(2000), así como para el desarrollado

por Duan[13] (1995). Las diversas pruebas de especi�cación y diagnóstico del pronóstico

evidenciaron la superioridad del modelo propuesto.

Como resultado del ejercicio empírico de valuación de una opción de compra Europea

sobre los futuros del Índice de Precios y Cotizaciones (IPC), quedó en evidencia el costo de

las restricciones que impone la metodología de Heston para simpli�car el proceso de cálculo,

en contraste con un modelo más robusto que permita describir adecuadamente la dinámica

del precio del subyacente.

El contenido de este trabajo está organizado como sigue. El documento contiene dos

capítulos y un apéndice. El primer capítulo presenta una descripción formal del modelo de

valuación, el cual comienza con la propuesta formal del modelo, el análisis de las propiedades

del proceso de cambios de la varianza condicional y la determinación de su límite a tiempo

continuo. Posteriormente, se demuestra la existencia de la distribución neutral al riesgo y

se obtiene una fórmula de valuación de opciones. El contenido del capítulo dos se centra en

aplicar el modelo establecido a una opción de compra Europea sobre los futuros del IPC,

así como una comparación con varios modelos existentes en la literatura. El ejercicio provee

de resultados su�cientemente alentadores para realizar mayor investigación empírica en el

tema. Por último, se presentan las conclusiones generales así como las futuras líneas de

investigación. Al �nal del documento se incluye un apéndice con los modelos de series de

tiempo y resultados adicionales que fueron utilizados.

Introducción

La valuación de opciones requiere de conocimientos sobre la distribución neutral al riesgo

de los rendimientos. Dado que las formas analíticas de dichas distribuciones son desconocidas,

los procesos de valuación generalmente emplean métodos numéricos computacionalmente

intensivos. Heston y Nandi[29] (2000) consideran una estructura particular del GARCH

la cual permite obtener soluciones analíticas para valuar opciones europeas, al tiempo de

imponer varias restricciones sobre los parámetros. En vista de lo anterior, el modelo base

propuesto en este trabajo ofrece una solución general y �exible que es capaz de incorporar

múltiples cambios en la dinámica intermitente de la volatilidad mediante un modelo de series

de tiempo que es lo su�cientemente general, a diferencia de los modelos existentes que sólo

permiten la inclusión de un solo régimen.

Las series de rendimientos de activos �nancieros poseen regularidades empíricas que,

en la mayoría de los casos, se encuentran presentes sin importar el mercado en que sean

negociados o el tipo de activo. Estas características empíricas se conocen en la literatura

especializada como "hechos estilizados" y han sido documentadas por diversos autores como

Cont[6] (2001). Entre estos hechos estilizados, está el de volatilidad no constante y agrupada

(clusters de volatilidad) en donde se ha observado que la desviación de los rendimientos con

respecto a su media es cambiante y además tiende a agruparse, ya que los episodios de gran

volatilidad son seguidos por periodos de alta volatilidad y viceversa. Adicionalmente, las

malas noticias (shocks negativos) tienen mayor impacto sobre la volatilidad que las buenas

noticias (shocks positivos). Black[1] (1973) atribuyó este efecto al hecho de que las malas

noticias tienden a impulsar los precios a la baja, incrementando el apalancamiento (razón de

deuda capital) de la acción y provocando, por ende, que el precio del activo sea más volátil.

Estas propiedades de las series de tiempo de la volatilidad deben de ser modelados en las

diferentes especi�caciones de la dinámica de los precios a lo largo del tiempo. Duan[13]

(1995) presenta una valuación de opciones bajo procesos GARCH intentan incorporar di-

chos hechos estilizados. Duan y Simonato [14] (1998), por su parte, presentan métodos de

simulación para martingalas utilizando expansiones de Edgeworth para obtener aproxima-

ciones analíticas de opciones Europeas en donde el subyacente sigue un proceso NGARCH;

Duan, Gauthier, Sasseviille y Simonato[17] (2006) extendieron este enfoque al aproximar

iv

Introducción v

la valuación de opciones bajo especi�caciones GARCH de Glosten, Jannathan y Rungle[24]

(1993) así como la especi�cación del GARCH exponencial (EGARCH) de Nelson[36] (1991).

Por último, Heston y Nandi[29] (2000) desarrollaron una expresión "cerrada" para valuar

opciones Europeas bajo un esquema muy especí�co de GARCH(1,1) con apalancamiento.

Existen diversos estudios empíricos que demuestran que la utilización de modelos GARCH

para la descripción del precio de las opciones es adecuada. Particularmente, Heston y

Nandi[29] (2000), Christo¤ersen y Jacobs[11] (2004) y Bollerslev y Mikkelsen[4] (1996) real-

izan una aplicación a las opciones sobre el índice S&P500. Lehar, Scheicher y Schittenkoph[30]

(2002) comparan el desempeño del pronóstico de modelos GARCH y de volatilidad es-

tocástica del índice FTSE 100 concluyendo que los modelos GARCH se desempeñan mejor.

Stentoft[39] (2005) analiza la valuación de opciones Americanas sobre acciones individuales

y sobre el índice S&P500 a través de modelos GARCH con métodos de simulación Monte

Carlo.

El presente trabajo de investigación propone una nueva metodología de valuación de

opciones cuando la dinámica de la volatilidad del activo subyacente es conducida por un

proceso estocástico con múltiples cambios de régimen y efectos de asimetría (modelo base).

Especí�camente, la media condicional de los rendimientos se modela como un proceso tipo

GARCH en la media, en tanto que la varianza condicional se de�ne mediante un proceso

general que incorpora dos o más regimenes y captura los llamados hechos estilizados presentes

en las series �nancieras. La fórmula de valuación obtenida queda dada en términos de la

función generadora de momentos neutral al riesgo y del nivel actual del precio del subyacente.

Para tal efecto, se derivó una expresión de dicha función generadora calculada a partir de

los parámetros del modelo neutral al riesgo.

Los objetivos principales de este trabajo de investigación son: (i) estudiar las principales

propiedades del modelo base y su comportamiento límite a algún proceso de difusión, (ii)

derivar una fórmula o procedimiento de valuación para opciones, (iii) evaluar su desempeño

en la modelación del comportamiento de la volatilidad frente a las especi�caciones más

comunes y ampliamente documentadas en la literatura para series de tiempo. Así pues, el

principal objetivo es contar con un modelo general y �exible, que capture adecuadamente

las características estilizadas de las serie de los rendimientos, al tiempo de proporcionar un

Introducción vi

método de valuación robusto.

El presente documento se encuentra dividido en dos capítulos y un Apéndice. En el primer

capítulo se propone el modelo central que describe el proceso que siguen los rendimientos y

volatilidad del subyacente. En la primera sección se propone el modelo de series de tiempo

que caracteriza a la dinámica de la media y la varianza condicionales del proceso. Se lleva a

cabo un análisis de las propiedades y características principales del proceso de incrementos

de la volatilidad, y se caracteriza su comportamiento límite. Como parte medular del doc-

umento, para �nes de valuación, se establece el sistema neutral al riesgo que corresponde al

modelo. La segunda sección contiene el análisis del comportamiento límite del proceso bajo

la distribución neutral al riesgo.

El segundo capítulo muestra la implementación de la metodología de valuación. La

primera parte se centra en modelar los rendimientos del subyacente en cuestión (precios de

futuros del IPC) con el modelo propuesto, el cual se compara contra especi�caciones cono-

cidas de los procesos GARCH, a saber, el modelo GARCH simple y las versiones asimétricas

EGARCH, TGARCH y PGARCH, contemplando también los casos en que se incluye un

parámetro de apalancamiento en las especi�caciones. En su segunda sección, se implementa

la valuación de la opción de compra Europea sobre el futuro del IPC con la metodología

propuesta y se compara el resultado con la obtenida a través de la metodología de Heston

de acuerdo con la Metodología para el cálculo de precios de liquidación por medio de la

metodología de Heston[35] de utilizada en el Mercado Mexicano de Derivados (Mexder).

En el último apartado del capítulo, se incluye un balance general con las conclusiones más

importantes obtenidas del presente trabajo de investigación. Al �nal del documento se in-

cluye un Apéndice con los modelos de series de tiempo y resultados adicionales que fueron

utilizados a lo largo del documento.

Una de las principales bondades del modelo propuesto es su gran �exibilidad, ya que es

admite estructuras generales para la asimetría y naturaleza intermitente de los rendimientos

y su volatilidad. El desempeño del modelo es medido mediante su capacidad predictiva de

la volatilidad frente a las especi�caciones más importantes de modelos de heterocestaticidad

ampliamente empleados en �nanzas. Los modelos utilizados como benchmark compren-

den desde el caso básico GARCH, hasta las extensiones asimétricas EGARCH, TGARCH,

Introducción vii

PGARCH, con y sin efectos de apalancamiento. Adicionalmente, se probaron las especi�ca-

ciones de volatilidad empleadas en el modelo de Heston y Nandi[29] (2000), así como para el

desarrollado por Duan[13] (1995). Las diversas pruebas de especi�cación y diagnóstico del

pronóstico evidenciaron la superioridad del modelo propuesto.

El estudio de las propiedades del proceso que rige a la media y varianza condicionales,

hizo posible determinar el comportamiento límite de los incrementos de la volatilidad, así

como garantizar la existencia de la distribución neutral al riesgo asociada. Además, fue

posible caracterizar el proceso de difusión límite correspondiente bajo el sistema el esquema

neutral al riesgo.

Como una aportación adicional, en el documento se deriva una fórmula para la llamada

función generadora neutral al riesgo, con la que fue posible determinar el precio del derivado

a partir de la relación existente entre la función característica neutral al riesgo y su densidad

correspondiente. Dicha fórmula de valuación, contempla como caso particular el precio

teórico obtenido bajo el enfoque de Heston y Nandi[29] (2000).

Como resultado del ejercicio empírico de valuación de una opción de compra Europea

sobre los futuros del IPC, quedó en evidencia el costo de las restricciones que impone la

metodología de Heston para simpli�car el proceso de cálculo, en contraste con un modelo

más robusto que permita describir adecuadamente la dinámica del precio del subyacente.

Los resultados obtenidos en este trabajo de investigación abren las puertas a futuros análi-

sis empíricos para evaluar la contribución del modelo propuesto a otros activos �nancieros,

así como el análisis del desempeño de estrategias de cobertura y la medición de riesgos. Como

una posible línea de investigación adicional, se encuentra la aplicación del modelo base para

la valuación de opciones exóticas.

1

Modelo de múltiples regimenes y

asimetría

Este documento propone un nuevo modelo de valuación de opciones para los rendimientos

de un subyacente cuya media condicional sigue un proceso tipo GARCH en la media y la

dinámica de su varianza condicional permite la existencia de múltiples cambios de régimen y

la inclusión de coe�cientes de apalancamiento para describir el signo y tamaño de las asime-

trias de la volatilidad. El modelo permite capturar las interacciones entre los rendimientos

y el nivel de riesgo medido por la volatilidad. Se demuestra que el límite a tiempo continuo

de la dinámica intermitente de la volatilidad contiene al modelo de Heston[28] (1993), mien-

tras que la fórmula de valuación derivada incluye como caso particular a la obtenida por

Heston y Nandi[28].(2000). Contrario a la mayoría de los modelos GARCH no lineales, la

especi�cación utilizada para modelar la varianza condicional permite el uso de más de dos

regímenes límite y captura las propiedades empíricas estilizadas características de las series

�nancieras.

De�nición 1 Se St al precio del activo subyacente al tiempo t, y denotemos por �2t a la

varianza condicional del rendimiento logarítmico entre t�4 y t, la cual se supone conocida

dada la información disponible al tiempo t � 4. La dinámica para el proceso de precios

logarítmicos xt = log (St) está dada por

1

1 MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES Y ASIMETRíA 2

xt = xt�4 + rf + ��2t + �tzt; (1.1)

�2t = �0 + �0�2t�4 + �0 (zt�4 � 0�t�4)

2

+m�1Pi=1

��i + �i�

2t�4 + �i (zt�4 � i�t�4)

2� gi ��2t�4� ; (1.2)

donde fztg es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente dis-

tribuidas normal estándar, y

gi (s) � g (s; ai; bi) =1

1 + e�ai(s�bi); i = 1; : : : ;m� 1; (1.3)

es la función logística.

La varianza condicional de�nida por (1:2) incorpora la presencia de m regímenes límite.

El caso simple m = 1, aunque distinto del modelo clásico GARCH(1; 1) de Bollerslev[3]

(1986), es del tipo de los modelos NGARCH y VGARCH de Engle y Ng[19] (1993). Al igual

que en el modelo de Heston y Nandi[28].(2000), la varianza condicional �2t tiene el efecto de

prima por riesgo en la ecuación de la media (1:1), permitiendo que el rendimiento promedio

del subyacente dependa del nivel de riesgo. El rendimiento esperado excede a la tasa libre

de riesgo por una cantidad proporcional a �2t , por lo que la prima por riesgo resulta también

proporcional a �t, tal como sucede en el modelo de Cox, Ingersoll y Ross[8] (1985).

Las ecuaciones (1:1) y (1:2) permiten determinar �2t+4 como función de precio del suby-

acente mediante la relación

�2t+4 = �0 + �0�2t + �0

(xt � xt�4 � rf � ��2t � 0�2t )2

�2t

+m�1Pi=1

�i + �i�

2t + �i

(xt � xt�4 � rf � ��2t � i�2t )2

�2t

!gi��2t�

(1.4)

Para determinar la correlación entre los precios logarítmicos y su volatilidad utilizamos

la forma recursiva dada por (1:2) y propiedades básicas del operador covarianza1,

1A lo largo del documento, se denota por Et (�) al operador de la esperanza condicional dada la información

disponible al tiempo t, y similarmente se utiliza V art (�) y Covt (�) para denotar la varianza y covarianza

condicionales.

3

Covt�4��2t+4; xt

�=�0�2t

�Covt�4

�x2t ; xt

�� 2

�xt � xt�4 � rf � ��2t � 0�

2t

�V art�4 (xt)

�+Pm�1

i=1

�i�2t

�Covt�4

�x2t ; xt

�� 2

�xt � xt�4 � rf � ��2t � i�

2t

�V art�4 (xt)

�gi��2t�:

De la de�nición de xt en (1:1) se sigue que

Covt�4�x2t ; xt

�= 2�2t

�xt + rf + ��2t

�y V art�4 (xt) = �2t

Entonces la covarianza puede reescribirse como

Covt�4��2t+4; xt

�= �2

��0 0 +

Pm�1i=1 �i igi

��2t���2t (1.5)

En el caso en que �0 0+Pm�1

i=1 �i ig (�2t ; ai; bi) > 0, el modelo implica correlación negativa

entre los rendimientos y su varianza, hecho consistente con el efecto de apalancamiento

documentado en la literatura.

No obstante que los procesos de la media y la varianza condicionales de la De�nición 1

están dados en tiempo discreto con intervalo 4, es posible determinar su comportamiento

límite a tiempo continuo. Para ello, calculamos primero la esperanza y varianza condicionales

de �2t+4. Usando la expresión (1:2) y notando que �2t es conocida al tiempo t, la esperanza

y varianza condicionales toman las formas

Et�4��2t+4

�= �0 + �0 + (�0 + �0 0)�

2t +

Pm�1i=1

��i + �i + (�i + �i i)�

2t

�gi��2t�

(1.6)

y

V art�4��2t+4

�= �20

�2 + 4 20�

2t

�+Pm�1

i=1 �2i�2 + 4 2i�

2t

�g2i��2t�

(1.7)

Si denotemos al proceso de la varianza por unidad de tiempo como �2t =14�

2t , de la

ecuación(1:2) tenemos que

�2t = ��0 + ��0�2t�4 + ��0

�zt�4 � �0�t�4

�2+Pm�1

i=1

���i + ��i�

2t�4 + ��i

�zt�4 � �i�t�4

�2�gi���2t�4

�(1.8)

donde

��j =1

4�j; ��j = �; ��j =1

4�j; �0 = 0p4;

1 MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES Y ASIMETRíA 4

para j = 1; : : : ;m� 1: Entonces a partir de las ecuaciones (1:6) y (1:7), el valor esperado y

varianza condicionales de los incrementos para �2t en el intervalor de t a t +4 están dados

por

Et�4��2t+4 � �2t

�= ��0 + ��0 +

���0 + ��0 �0 � 1

��2t

+Pm�1

i=1

���i + ��i +

���i + ��i �i

��2t�gi���2t

�(1.9)

V art�4��2t+4 � �2t

�= V art�4

��2t+4

�= �2�0

�2 + 4 2�0�

2t

�+Pm�1

i=1 �2�i�2 + 4 2�i�

2t

�g2i���2t

�(1.10)

Para determinar el comportamiento límite del proceso estocástico de incrementos��2t+4 � �2t

�podemos proceder de varias manera. Por ejemplo, si de�nimos

�0 (4) = 42;

0 (4) =�

24 ; (1.11)

�i (4) = ci43;

i (4) =di4 ;

ai (4) = bi (4) = 0;

para cualesquiera valores reales ci, di, i = 1; : : : ;m� 1 y coe�cientes �j (4) = �j, �j (4) =

�j, j = 0; : : : ;m� 1, � (4) = � tales que

�0 + 0 +12

Pm�1i=1 (�i + i) = ���2 (1.12)

�0 + �0 20 +

12

Pm�1i=1

��i + �i

2i

�= 1� �� (1.13)

es fácil veri�cas que las ecuaciones (1:9) y (1:10) se simpli�can como

Et�4��2t+4 � �2t

�= �

�� � �2t

�4 (1.14)

V art�4��2t+4 � �2t

�= �2�2t4+

�2 +

1

2

Pm�1i=1 c2i +

Pm�1i=1 c2i d

2i �2t4�42 (1.15)

5

Por los resultados de las ecuaciones (1:5) y (1:10), el coe�ciente de correlación entre el

proceso de la varianza condicional y el rendimiento del subyacente queda dado por

Corrt�4��2t+4; xt

�=

�2���0 �0 +

Pm�1i=1 ��i �igi (��

2t )��tq

�2�0�2 + 4 2�0�

2t

�+Pm�1

i=1 �2�i�2 + 4 2�i�

2t

�g2i (��

2t ): (1.16)

En particular, bajo la elección de la forma de los parámetros del modelo, ésta se puede

reescribir como

Corrt�4��2t+4; xt

�=

�2��2�+ 1

2

Pm�1i=1 cidi4

��tq

2 + 12

Pm�1i=1 c2i +

��2

�+Pm�1

i=1 c2i d2i

��2t

: (1.17)

El cociente de la expresión obtenido en (1:17) tiene como límite a -1 cuando � ! 0. Este

hecho es consistente con el postulado de Black[2] (1976) y el efecto de apalancamaiento

documentado por Christie[9] (1982).

Los resultados que hemos obtenido sobre el proceso de la varianza condicional �2t permiten

demostrar que éste tiene como límite al caso continuo a un proceso de raíz cuadrada derivado

por Feller (1951), Cox, Ingersoll Ross (1985) y Heston (1993). En efecto, cuando en las

ecuaciones (1:14) y (1:15) se toma � ! 0, el proceso estocástico (Vt) de�nido por Vt = �2t

satisface

d logSt = (rf + �Vt) dt+pVtdWt (1.18)

dVt = � (� � Vt) dt+ �pVtdWt (1.19)

donde (Wt) es un proceso Browniano estándar. El comportamiento límite del proceso de�nido

por el modelo de las ecuaciones (1:1) y (1:2) es diferente al del modelo GARCH(1; 1) derivado

por Duan[13] (1995) y muchos otros GARCH asimétricos en los que son dos los procesos

brownianos que conducen la dinámica del subyacente y su varianza.

Como consecuencia directa del límite obtenido, tenemos que el modelo base de valuación

propuesto en el documento, contiene como caso particular al modelo de volatilidad estocás-

tica a tiempo continuo de Heston[28] (1993), el cuál admite una forma cerrada para valuar

opciones.

El siguiente paso consiste en derivar la distribución neutral al riesgo para el precio del

subyacente. Notemos primero que la distribución condicional de xt dada la información al

1 MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES Y ASIMETRíA 6

tiempo t �� es lognormal. Para asegurar que la distribución de z�t es normal estándar, se

supone entonces que el valor de una opción call con un periodo para expirar obedece la fór-

mula de Black-Scholes-Rubinstein (BSR). En nuestro contexto, este supuesto de valuación

resulta natural y equivalente al empleado por Duan[13] (1995).

Siguiendo argumentos del tipo de los usados por Rubinstein[38] (1976) y Brenan[5] (1979),

si la fórmula BSR se sigue para un sólo periodo, entonces la distribución neutral al riesgo del

precio del activo St es lognormal con media St��erf , por lo que entonces existe una variable

aleatoria z�t que tiene distribución normal bajo las probabilidades nuetrales al riesgo. La

siguiente proposición formaliza esta propiedad.

Proposición 2 Bajo probabilidad neutral al riesgo, el proceso de la dinámica de xt toma la

misma forma que las ecuaciones (1:1) y (1:2) con � reemplazada por �1=2 y cada j por

�j = j + �+ 12, j = 1; : : : ;m� 1.

Demostración. Procediendo de manera análoga a las fórmulas de valuación de opciones

tipo lognormal, las fórmulas (1:1) y (1:2)se puede reescribir como

xt = xt�4 + rf � 12�2t + �tz

�t (1.20)

�2t = �0 + �0�2t�4 + �0

�z�t�4 � �0�t�4

�2+Pm�1

i=1

��i + �i�

2t�4 + �i

�z�t�4 � �i�t�4

�2�gi��2t�4

�(1.21)

donde z�t = zt +��+ 1

2

��t y �j = j + � + 1

2para j = 0; : : : ;m � 1. Entonces si � se

reemplaza por �1=2 el rendimiento de un periodo de invertir en el activo subyacente es igual

a la tasa libre de riesgo ecuación (1:20).

La proposición anterior permite realizar la valuación de opciones para el caso en que el

plazo al vencimiento es de un periodo. Para el caso general de más de un periodo, dado que

la opción es función de St y �2t+4, y la ecuación (1:4) permite obtener �2t+4 como función de

St, entonces podemos valuar derivados a cualquier plazo.

Los parámetros j que in�uyen en la correlación entre el rendimiento del subyacente y la

varianza condicional del sistema actual, y que por ende afectan la forma de la distribución de

los rendimientos, di�eren de los correspondientes parámetros �j del sistema neutral pueden

diferir debido como consecuencia del parámetro de la prima por riesgo �.

7

Con el propósito de derivar una fórmula de valuación de opciones bajo el modelo prop-

uesto, se determina la función generadora de momentos de xT = logST condicional a la

información disponible al tiempo t � T , la cual denotaremos como

(�) � (t;T; �) = Et (e�xT ) : (1.22)

El siguiente resultado proporciona una expresión cerrada para (!).

Proposición 3 La función generadora de momentos condicional de�nida en (1:22) está

dada por

(�) = S�t exp�A (t;T; �) +B (t;T; �)�2t+�

�; (1.23)

donde

A (t;T; �) = �rf + A (t+�;T; �) + !1B (t+�;T; �)� 12log (1� 2!2B (t+�;T; �))

B (t;T; �) = ��+ (!3 + !4)B (t+�;T; �) +(2!5B (t+�;T; �)� �)2

2� 4!2B (t+�;T; �)!1 = �0 +

Pm�1i=1 �ihi

!2 = �0 +Pm�1

i=1 �ihi

!3 = �0 +Pm�1

i=1 �ihi

!4 = �0 20 +

Pm�1i=1 �i

2ihi

!5 = �0 0 +Pm�1

i=1 �i ihi

hi = gi��2t+�

�con condiciones �nales

A (T ;T; �) = 0 = B (T ;T; �) : (1.24)

Demostración. Supóngase que (t;T; �) está dada por la forma funcional

(t;T; �) = exp��xt + A (t;T; �) +B (t;T; �)�2t+�

�: (1.25)

Como xT es conocida al tiempo t = T , las ecuaciones (1:22) y (1:25) requieren que los

coe�cientes A (�) y B (�) satisfagan la condición �nal (1:24).

1 MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES Y ASIMETRíA 8

Por la de�nición (1:22) y usando propiedades de la esperanza condicional tenemos que

(t;T; �) = Et (E (e�xT j=t+� )) = Et ( (t+�;T; �))

= Et�exp

��xt+� + A (t+�;T; �) +B (t+�;T; �)�2t+2�

��:

Dados a y b reales, se de�ne Q1 = �xt+�+ a+ b�2t+2�, así como las cantidades auxiliares

!1 = �0 +Pm�1

i=1 �ihi;

!2 = �0 +Pm�1

i=1 �ihi;

!3 = �0 +Pm�1

i=1 �ihi;

!4 = �0 20 +

Pm�1i=1 �i

2ihi;

!5 = �0 0 +Pm�1

i=1 �i ihi;

donde hi = gi��2t+�

�. Como resultado de aplicar sobre xt+� y �2t+2� las ecuaciones recursivas

(1:1) y (1:2) se tiene

Q1 = ��xt + rf + ��2t+� + �t+�zt+�

�+ a+ b

��0 + �0�

2t+4 + �0 (zt+4 � 0�t+4)

2�+bPm�1

i=1

��i + �i�

2t+4 + �i (zt+4 � i�t+4)

2�hi= � (xt + rf ) + a+ b!1 + (��+ b!3)�

2t+4 +Q2

donde

Q2 = ��t+�zt+� + b��0 (zt+4 � 0�t+4)

2 +Pm�1

i=1 �ihi (zt+4 � i�t+4)2�

= b�!2z

2t+4 � 2

�!5 � �

2b

��t+�zt+� + !4�

2t+�

�= b

�!2

�zt+4 � 2b!5��

2b!2�t+�

�2+�!4 � (2b!5��)2

4b2!22

��2t+�

�:

Entonces

Q1 = � (xt + rf ) + a+ b!1 +���+ b

�!3 + !4 � (2b!5��)2

4b2!22

���2t+� +Q3; (1.26)

donde

Q3 = b!2

�zt+4 � 2b!5��

2b!2�t+�

�2:

Utilizando el resultado E�exp

�r (Z + s)2

��= exp

��12log (1� 2r) + rs2

1�2r

�, válido para

v.a. normales estándar Z se llega a que

Et�eQ3�= exp

��12log (1� 2b!2) +

(2b!5��)2�2t+�4b!2(1�2b!2)

�: (1.27)

9

Así que a partir de (1:26) y (1:27) se obtiene que

Et�eQ1�= exp

�� (xt + rf ) + a+ b!1 � 1

2log (1� 2b!2) +

���+ b (!2 + !3) +

(2b!5��)2�2t+�2�4b!2

��:

Si en la expresión anterior se toman a = A (t+�;T; �) y b = B (t+�;T; �), se llega a

la identidad (t;T; �) � Et�eQ1�. Dada la forma funcional (1:25) que se ha supuesto sobre

la función generadora, los coe�cientes A y B deben satisfacer que

A (t;T; �) = �rf + A (t+�;T; �) + !1B (t+�;T; �)� 12log (1� 2!2B (t+�;T; �))

B (t;T; �) = ��+ (!3 + !4)B (t+�;T; �) +(2!5B (t+�;T; �)� �)2

2� 4!2B (t+�;T; �):

Observación 4 El resultado anterior permite estimar recursivamente los coe�cientes A y

B a partir de la condición �nal (1:24), si embargo, para el caso de dos o más periodos,

podemos utilizar los pronósticos para �2t+2�; : : : ; �2T��. En la siguiente sección se aborda el

problema de estimación de los parámetros del modelo (1:1) (1:2) que rige la dinámica de la

media y varianza condicionales del rendimiento del subyacente, así como el procedimiento de

pronóstico para la volatilidad de los rendimientos.

Como (�) es la función generadora de momentos del logaritmo del precio del subyacente,

se tiene que (i�) es la función característica para el logaritmo del precio. Denotemos por

� (�) a la función generadora de momentos para el proceso neutral al riesgo (1:20) y (1:21).

Entonces las probabilidades neutrales al riesgo pueden ser calculadas simplemente invirtiendo

la función característica neutral al riesgo � (i�).

Si se denota por ft (x) a la función de densidad de xT , condicional a la información

disponible al tiempo t � T , defínase

qt (x) =1

(1)exft (x) (1.28)

Dado que R +1�1 qt (x) dx =

1 (1)

R +1�1 exft (x) dx =

1 (1)

Et (ex) = 1;

y qt (x) � 0, se tiene que (1:28) es propiamente una densidad, y su correspondiente función

generadora está dada por

' (�) � Et (e�x) =

R +1�1 e�xqt (x) dx =

1 (1)

R +1�1 e(�+1)xft (x) dx =

(�+1) (1)

:

1 MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES Y ASIMETRíA 10

Entonces, dado K > 0 se tiene

Et (max (exT �K; 0)) =

R +1�1 max (ex �K; 0) ft (x) dx =

R +1log(K)

(ex �K) ft (x) dx

=R +1log(K)

exft (x) dx�KR +1log(K)

ft (x) dx

= (1)R +1log(K)

qt (x) dx�KR +1log(K)

ft (x) dx; (1.29)

donde la última igualdad se tiene simplemente por la de�nición de la densidad qt (x). Las

dos integrales resultantes se pueden obtener a partir de las correspondientes funciones car-

acterísticas de ft (x) y qt (x) (a saber, (i�) y ' (i�), respectivamente) como

R +1log(K)

ft (x) dx =12+ 1

�

R +10

Re

�e�i� log(K) (i�)

i�

�d� (1.30)

y

R +1log(K)

qt (x) dx =12+ 1

�

R +10

Re

�e�i� log(K)' (i�)

i�

�d�

= 12+ 1

� (1)

R +10

Re

�K�i� (i� + 1)

i�

�d�; (1.31)

donde Re (�) denota la parte real de un número complejo.

La ecuación (1:29) se en términos de las funciones características es

Et (max (exT �K; 0)) = (1)

�12+ 1

� (1)

R +10

Re

�K�i� (i� + 1)

i�

�d�

��K

�12+ 1

�

R +10

Re

�K�i� (i�)

i�

�d�

�: (1.32)

La fórmula de inversión anterior coincide con la obtenida por Heston[29] (2000) :

Como ejemplo particular, se calcula el precio justo Ct (al tiempo t) de una opción europea

de compra (call) con precio de ejercicioK y fecha de vencimiento T . Como Ct es simplemente

el valor esperado de la función de pago max (ST �K; 0), descontado a la tasa rf , bajo las

probabilidades neutrales al riesgo, es decir, bajo la función característica � (i�).

Con ayuda de la Proposición 2, la expresión para � (�) está dada por

� (�) = S�t exp�A� (t;T; �) +B� (t;T; �)�2t+�

�; (1.33)

11

donde

A� (t;T; �) = �rf + A� (t+�;T; �) + !�1B� (t+�;T; �)

�12log (1� 2!�2B� (t+�;T; �)) (1.34)

B� (t;T; �) = �12� + (!�3 + !�4)B

� (t+�;T; �) +(2!�5B

� (t+�;T; �)� �)2

2� 4!�2B� (t+�;T; �)(1.35)

y las cantidades !�i son calculadas bajo �i = i + � � 1

2. Para el caso particular � = 1,

la ecuación recursiva para B� se simpli�ca como

B� (t;T; �) =

�!�3 +

!�4 � 2!�5 + !�2 + 2 (!�25 � !�2!

�4)B

� (t+�;T; �)

1� 2!�2B� (t+�;T; �)

�B� (t+�;T; �) ;

y entonces por la condición �nal (1:24) B� (t;T; �) = 0 para toda t � T . De esta manera el

coe�ciente A� queda dado por A� (t;T; �) = rf+A� (t+�;T; �), lo cual implica directamente

que A� (t;T; �) = (T � t) rf . Entonces

� (1) = Sterf (T�t): (1.36)

La ecuación (1:36) es consistente con el resultado básico de valuación neutral al riesgo para

el precio futuro del subyacente, ya que por de�nición de la función generadora neutral al

riesgo, la podemos reescribir como

E�t (ST ) = Sterf (T�t): (1.37)

Finalmente, usando (1:32) y (1:36) tenemos que

Ct = e�rf (T�t)E�t (max (ST �K; 0)) = e�rf (T�t) � (1)

�12+ 1

� �(1)

R +10

Re

�K�i� � (i� + 1)

i�

�d�

��e�rf (T�t)K

�12+ 1

�

R +10

Re

�K�i� � (i�)

i�

�d�

�= 1

2St +

1

�e�rf (T�t)

R +10

Re

�K�i� � (i� + 1)

i�

�d�

�Ke�rf (T�t)�12+ 1

�

R +10

Re

�K�i� � (i�)

i�

�d�

�; (1.38)

donde E�t denota la esperanza bajo la distribución neutral al riesgo (dada la información

disponible al tiempo t). Es conveniente notar que para implementar la estimación recursiva

de los coe�cientes de (1:33) se requiere contar con

1 MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES Y ASIMETRíA 12

La expresión para Ct, así como la fórmula de inversión (1:32) corresponden a las obtenidas

por Heston[29] (2000), pero en nuestro caso la función característica neutral al riesgo � (i�)

donde � (�) queda determinada por los coe�cientes en (1:33) y parámetros del proceso gen-

eral (1:20) y (1:21) que siguen los precios logarítmicos del subyacente que modela múltiples

cambios de régimen en la dinámica de la varianza condicional. A diferencia de la fórmula de

Black-Scholes, el precio de la ópción es función no sólo del precio actual St del subyacente,

sino también de la varianza condicional �2t+�.2

1.1 Comportamiento límite bajo la distribución neu-

tral al riesgo.

En este apartado estudiamos el comportamiento del límite a tiempo continuo del modelo

propuesto bajo la distribución neutral al riesgo. Para ello, basta notar que los parámetros

�j toma la forma

��j (�) = �j (�)p� = j

p�+

��+ 1

2

�p�; j = 0; : : : ;m� 1; (1.39)

Entonces las expresiones de la media y la varianza de los incrementos para �2t bajo la

medida de probabilidad neutral al riesgo están dadas por

Et�4��2t+4 � �2t

�=���� � �2t

�+ �

��+ 1

2

��2t�4

+h��+ 1

2

�Pm�1i=1 cidi +

��+ 1

2

�2 �1 + 1

2

Pm�1i=1 ci4

�i42 (1.40)

2Como se mencionó en la Observación 4, los coe�cientes de la función generadora de momentos son

obtenidos recursivamente a partir de los coe�cientes estimados para el modelo dado por (1:1) y (1:2), y los

pronósticos de volatilidad para periodos futuros. La estimación y pronóstico del modelo se detalla en la

siguiente sección. Dado que �2t+� es función del precio observado del subyacente, tenemos que la fórmula de

valuación es función de la historia existente del precio del subyacente. La volatilidad futura estimada en el

procedimiento de pronóstico es obtenida directamente a partir de los parámetros estimados del modelo y su

desempeño es también evaluado en la siguiente sección.

1.1 COMPORTAMIENTO LíM ITE BAJO LA DISTRIBUCIÓN NEUTRAL AL RIESGO . 13

V art�4��2t+4 � �2t

�= �2�2t4+

�2 + 1

2

Pm�1i=1 c2i

�42 + 1

2

��+ 1

2

� ��2+Pm�1

i=1 c2i di��2t42

+14

�Pm�1i=1 c2i d

2i4+

��+ 1

2

�2 �1 + 1

4

Pm�1i=1 c2i

�4��2t42 (1.41)

Entonces se sigue que los procesos para los rendimientos y su varianza en tiempo continuo

bajo la distribución neutral al riesgo están dados por

d logSt =�r � 1

2Vt�dt+

pVtdW

�t (1.42)

dVt =�� (� � Vt) + �

��+ 1

2

�Vt�dt+ �

pVtdW

�t ; (1.43)

donde (W �t ) es un proceso Browniano estándar bajo la medida neutral al riesgo. Al igual

que en el sistema actual, el mismo proceso Browniano describe tanto a los rendimientos del

subyacente como a su varianza. Los procesos a tiempo continuo obtenidos son equivalentes

a los procesos neutrales al riesgo de Heston[28] (1993) para el caso en que los dos procesos

Brownianos que intervienen perfectamente correlacionados. Sin embargo, el parámetro �

de la prima por riesgo del subyacente aparece en el drift de la varianza neutral al riesgo,

a diferencia del modelo de Heston[28] (1993) en el que se tiene una prima por riesgo de

volatilidad. Por otro lado, � puede in�uir en el precio de la opción como consecuencia

de que el proceso de precios resultante no es de Markov. Aunque en el modelo a tiempo

continuo los rendimientos y la volatilidad están perfectamente correlacionados, la ecuación

(1:16) muestra que esto no sucede intervalos de tiempo discreo �.

En el modelo a tiempo continuo, dado que los dos procesos Brownianos están perfecta-

mente correlacionados, la valuación de opciones se puede realizar por ausencia de oportu-

nidades de arbitraje simplemente utilizando argumentos de cobertura.de Black and Scholes[1]

(1973) y Merton[33] (1973) o equivalentemente, demostrando la existencia de una única me-

dida neutral al riesgo como en Cox y Ross[7] (1976), Harrison y Kreps[26] (1979), Harrison

y Pliska[27] (1981).

2

Análisis empírico y aplicación a

opciones sobre futuros del IPC

Es esta sección se lleva a cabo la calibración del modelo base establecido en la De�nición 1

y se aplica para valuar opciones sobre futuros del Índice de Precios y Cotizaciones (IPC) de

la Bolsa Mexicana de Valores (BMV).

Como primer paso del análisis, realizamos una comparación sobre el desempeño de la

capacidad predictiva de los pronósticos de la volatilidad del subyacente (futuros del IPC) bajo

el modelo general de cambio de régimen propuesto y las principales especi�caciones GARCH

existentes en la literatura ampliamente utilizadas en �nanzas. Como criterio de comparación,

se utilizan el error cuadrático medio (RMSE) y el error absoluto medio (MAE), así como

las pruebas estadísticas propuestas por Christo¤ersen[10] (1998) para evaluar la estimación

de la volatilidad sobre intervalos de con�anza.

Enseguida, se realiza la calibración del modelo de valuación desarrollado en este trabajo

de investigación, y los resultados de valuación se comparan con la metodología de Heston y

la fórmula de Black para la valuación de opciones sobre futuros del IPC.

2.1 Descripción de los datos y análisis exploratorio

Se utilizan precios diarios de los futuros sobre el IPC, obtenidos directamente de la base de

datos histórica del Mercado Mexicano de Derivados (MexDer). La muestra completa consta

15

2 ANÁLISIS EMPíR ICO Y APLICACIÓN A OPCIONES SOBRE FUTUROS DEL IPC 16

de 2546 precios diarios para un período de 10 años (1 de Julio de 1999 al 31de julio de 2009).

Los contratos de futuros sobre el IPC se encuentran sobre una base trimestral con fechas

de vencimiento en los meses de marzo, junio, septiembre y diciembre. La construcción de

los niveles de los precios de los futuros se llevó a cabo considerando el precio del contrato

con vencimiento más cercano, y hasta una semana antes de su fecha de expiración (tercer

viernes del mes de vencimiento, o el día hábil anterior si dicho viernes es inhábil), con el �n

de evitar efectos de la semana de expiración (Puttonen[37], 1993).

Las estadísticas descriptivas de los rendimientos para la serie completa que resultan son:

media x = 0:0006, desviación estándar s = 0:0159, sesgo sK = 0:1458 y kurtosis K = 7:053,

con valores mínimo de �0:08034 y máximo de 0:1095. La siguiente �gura (de izquierda

a derecha) contiene cinco grá�cas descriptivas que nos permiten hacer un primer análisis

exploratorio de la muestra de los rendimientos del precio del futuro sobre el IPC. La primera

subgrá�ca muestra la serie de tiempo de los rendimientos logarítmicos, en donde podemos

apreciar los periodos de alta volatilidad, como es el caso de la reciente crisis �nanciera. La

segunda es una grá�ca que contrasta los cuantiles empíricos de los rendimientos contra los

implícitos bajo una distribución Normal (estandarizada por la media y varianza muestrales),

la fuerte separación una línea recta en los extremos evidencia la pesadez de las colas respecto

a la normal. La tercera y quinta, muestran las funciones de autocorrelación parcial (ACF)

para los rendimientos y sus cuadrados, respectivamente; la persistencia de la ACF en las

observaciones al cuadrado evidencia la fuerte correlación serial en los segundos momentos de

la serie, y una menor autocorrelación para el caso en niveles. La cuarta subgrá�ca, por su

parte, contiene el histograma de los rendimientos, cuya forma parece ser leptokurtica con un

2.2 CALIBRACIÓN DEL MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES DE VOLATILIDAD 17

ligero sesgo y observaciones extremas en ambas colas.

Rendimientos del precio del Futuro sobre IPC

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

­0.0

80.

000.

08

Cuantiles empíricos vs Normal

­2 0 2

­0.0

50.

00.

05

0.1

0

ACF de los rendimientosLag

ACF

0 10 20 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Histograma de los rendimientos

­0 .0803 ­0.0402 0.0 0.0548 0.1095

ACF rendimientos al cuadradoLag

ACF

0 10 20 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura1. Análisis descriptivo de los rendimientos logarítmicos del precio del futuro del IPC

2.2 Calibración del modelo de múltiples regimenes de

volatilidad

El siguiente paso del análisis se centra en modelar la varianza condicional de los datos,

atendiendo por supuesto también el problema menor de la media. Para tal efecto, la serie es

�ltrada ajustando algún proceso ARMA-GARCH, donde la especi�cación para la varianza

condicional es alguna de las especi�caciones: el modelo básico GARCH desarrollado por

Engle[18] (1982) y Bollerslev[3] (1986), así como las extensiones EGARCH de Nelson[36]

(1991), TGARCH (o GJR) de Glosten et al[23] (1993) y los modelos PGARCH desarrollados

por Ding et al[12] (1993). Para las últimas tres extensiones, son analizados también los casos

2 ANÁLISIS EMPíR ICO Y APLICACIÓN A OPCIONES SOBRE FUTUROS DEL IPC 18

con y sin inclusión de efecto de los coe�cientes de apalancamiento. Las especi�caciones de

estos modelos se encuentran a manera de resumen en el Apendice.

La estimación de los modelos anteriores se lleva a cabo utilizando el procedimiento QML

de Wooldridge y el algoritmo de Marquant (Wooldridge[41], 1994). Para evaluar la adecua-

bilidad de estos modelos se implementan las pruebas asimetría sesgo de signo (Sb), sesgo

negativo (Nsb), sesgo positivo (Psb), así como las pruebas conjuntas (Jsb) propuestas por

Engle y Ng[19] (1993). Los resultados de la estimación y pruebas de especi�cación se mues-

tran en las siguiente tabla. Los números en paréntesis debajo de los coe�cientes indican

los errores estándar de Bollerslev-Wooldridge. Se incluyen las estadísticas descriptivas de la

desviación estándar (s), el sesgo (SK), la kurtosis (K) y las estadíticas de Ljung-Box para

los residuales estandarizados (LjB1), sus valores al cuadrado (LjB2) y su valor absoluto

(LjBAbs). los valores que se muestran para las pruebas de asimetría corresponden a los

p-values de las estadísticas de prueba. Por su parte, también se incluyen los p-values de las

pruebas de cobertura no condicional (Pc), independencia (Pi) y cobertura conjunta condi-

cional (Pcc) desarrolladas por Christo¤ersen (1998), para evaluar el desempeño del forecast

de volalitilidad en los intervalos de con�anza del 95%. Adicionalmente, se incluyen los val-

ores de la verosimilitud normalizada (Likelihood) y el criterio de información de Schwartz

Bayesiano (BIC).La tabla 2 incluye los resultados de la estimación para el caso en que la

distribución condicional de los residuales es gaussiana, en tanto que la Tabla 3 contiene los

resultados para el caso t de Student. En todos los casos, los modelos con media condicional

AR (p) y ARMA (p; q) y las diferentes especi�caciones tipo GARCH (p; q) para la varianza

condicional, los modelos se ajustaron para un rezago (p = q = 1). Se dedición evaluar tam-

bién el efecto de la inclusión del parámetro de apalancamiento para los casos GARCH,

EGARCH y PGARCH.

2.2 CALIBRACIÓN DEL MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES DE VOLATILIDAD 19

Especificación c φ1 θ1 a 0 a 1 b1 γ1 d s SK K LjB1 LjB2 LjBAbs Sb Nsb Psb Jsb Pc Pi Pcc BIC Likelihood

GARCH 3.6E­06 0.07 0.91 1.0 ­0.2 1.8 0.00 0.79 0.52 0.33 0.04 0.45 0.00 0.14 0.97 0.25 ­5.81 6.65E+03(2.2E­06) (2.1E­02) (3.1E­02)

GARCH­L 4.7E­06 0.05 0.91 ­0.60 1.0 ­0.1 1.5 0.00 0.72 0.68 0.27 0.80 0.79 0.24 0.02 0.95 0.06 ­5.84 6.69E+03(2.2E­06) (2.0E­02) (3.2E­02) (1.5E­01)

AR­GARCH 1.1E­03 0.10 4.4E­06 0.08 0.90 1.0 ­0.1 1.8 0.32 0.74 0.36 0.26 0.11 0.27 0.00 0.34 0.95 0.20 ­5.82 6.67E+03(2.6E­04) (2.2E­02) (2.9E­06) (3.1E­02) (4.2E­02)

AR­GARCH­L 7.2E­04 0.10 4.8E­06 0.06 0.90 ­0.58 1.0 ­0.1 1.4 0.43 0.65 0.41 0.26 0.93 0.66 0.22 0.02 0.72 0.06 ­5.85 6.70E+03(2.6E­04) (2.1E­02) (2.2E­06) (2.0E­02) (3.2E­02) (1.4E­01)

ARM A­GARCH 1.4E­03 ­0.13 0.24 4.5E­06 0.08 0.90 1.0 ­0.1 1.8 0.38 0.78 0.41 0.25 0.13 0.26 0.00 0.08 0.71 0.19 ­5.82 6.67E+03(4.3E­04) (1.9E­01) (1.9E­01) (3.0E­06) (3.3E­02) (4.3E­02)

ARM A­GARCH­L 9.0E­04 ­0.13 0.23 4.6E­06 0.06 0.90 ­0.58 1.0 ­0.1 1.4 0.49 0.72 0.44 0.24 0.92 0.65 0.19 0.02 0.75 0.06 ­5.85 6.71E+03(3.7E­04) (1.9E­01) (1.8E­01) (2.2E­06) (2.1E­02) (3.3E­02) (1.5E­01)

EGARCH ­3.4E­01 0.12 0.97 1.0 ­0.2 1.7 0.00 0.42 0.16 0.42 0.01 0.80 0.00 0.00 0.44 0.00 ­5.80 6.65E+03(2.0E­01) (3.3E­02) (2.1E­02)

EGARCH­L ­6.0E­01 0.18 0.95 ­0.71 1.0 ­0.1 1.4 0.00 0.31 0.37 0.55 0.83 0.93 0.89 0.00 0.43 0.00 ­5.84 6.69E+03(2.2E­01) (4.4E­02) (2.2E­02) (1.2E­01)

AR­EGARCH 1.2E­03 0.09 ­6.1E­01 0.23 0.95 1.0 ­0.1 1.7 0.26 0.64 0.30 0.33 0.16 0.19 0.00 0.00 0.49 0.00 ­5.82 6.67E+03(2.4E­04) (2.2E­02) (4.4E­01) (8.6E­02) (4.3E­02)

AR­EGARCH­L 5.9E­04 0.10 ­5.4E­01 0.17 0.95 ­0.72 1.0 ­0.1 1.3 0.39 0.32 0.21 0.58 0.96 0.79 0.80 0.00 0.43 0.00 ­5.85 6.71E+03(2.4E­04) (2.1E­02) (1.8E­01) (3.6E­02) (1.8E­02) (1.3E­01)

ARM A­EGARCH 1.4E­03 ­0.11 0.20 ­6.1E­01 0.23 0.95 1.0 ­0.1 1.7 0.30 0.67 0.33 0.31 0.18 0.19 0.00 0.00 0.49 0.00 ­5.82 6.67E+03(6.5E­04) (4.3E­01) (4.0E­01) (4.2E­01) (8.1E­02) (4.2E­02)

ARM A­EGARCH­L 7.3E­04 ­0.07 0.17 ­5.4E­01 0.17 0.95 ­0.72 1.0 ­0.1 1.3 0.47 0.36 0.23 0.56 0.95 0.78 0.78 0.00 0.48 0.00 ­5.85 6.71E+03(3.3E­04) (2.4E­01) (2.3E­01) (1.9E­01) (3.8E­02) (1.9E­02) (1.3E­01)

TGARCH 5.2E­06 0.01 0.90 0.14 1.0 ­0.1 1.5 0.00 0.67 0.66 0.27 0.92 0.77 0.29 0.02 0.97 0.06 ­5.84 6.69E+03(2.4E­06) (9.9E­03) (3.5E­02) (4.6E­02)

AR­TGARCH 6.6E­04 0.09 4.9E­06 0.01 0.90 0.14 1.0 ­0.1 1.4 0.41 0.64 0.41 0.26 0.96 0.64 0.23 0.02 0.88 0.06 ­5.85 6.71E+03(2.6E­04) (2.1E­02) (2.2E­06) (1.1E­02) (3.4E­02) (4.4E­02)

ARM A­TGARCH 8.6E­04 ­0.16 0.25 4.8E­06 0.01 0.90 0.13 1.0 ­0.1 1.4 0.47 0.70 0.45 0.24 0.97 0.62 0.20 0.02 0.77 0.06 ­5.85 6.71E+03(3.7E­04) (1.9E­01) (1.9E­01) (2.2E­06) (1.1E­02) (3.4E­02) (4.4E­02)

PGARCH 9.6E­05 0.08 0.92 1.25 1.0 ­0.2 1.8 0.00 0.72 0.54 0.34 0.05 0.36 0.00 0.05 0.37 0.12 ­5.81 6.65E+03(2.5E­05) (6.9E­03) (8.7E­05) (1.5E­04)

PGARCH­L 3.3E­04 0.08 0.91 ­0.70 1.07 1.0 ­0.1 1.4 0.00 0.47 0.53 0.50 0.89 0.69 0.56 0.01 0.28 0.03 ­5.85 6.70E+03(5.3E­04) (6.9E­02) (1.0E­01) (1.5E­03) (1.4E­04)

AR­PGARCH 1.1E­03 0.09 1.1E­04 0.09 0.90 1.24 1.0 ­0.2 1.8 0.27 0.67 0.31 0.32 0.11 0.21 0.00 0.05 0.23 0.12 ­5.82 6.67E+03(2.6E­04) (2.3E­02) (2.7E­05) (7.4E­03) (2.7E­04) (4.2E­04)

AR­PGARCH­L 6.5E­04 0.10 4.0E­04 0.08 0.91 ­0.73 1.02 1.0 ­0.1 1.4 0.38 0.45 0.29 0.59 0.85 0.58 0.54 0.01 0.21 0.03 ­5.86 6.71E+03(1.9E­04) (2.2E­02) (3.5E­04) (3.7E­02) (5.4E­02) (1.5E­03) (1.0E­04)

ARM A­PGARCH 1.4E­03 ­0.13 0.22 1.0E­04 0.09 0.90 1.27 1.0 ­0.2 1.8 0.31 0.71 0.36 0.31 0.11 0.21 0.00 0.05 0.19 0.12 ­5.82 6.67E+03(3.4E­04) (2.4E­02) (4.1E­04) (4.0E­11) (6.1E­09) (1.1E­07) (8.8E­07)

ARM A­PGARCH­L 8.1E­04 ­0.09 0.19 4.1E­04 0.08 0.91 ­0.72 1.01 1.0 ­0.1 1.4 0.45 0.49 0.31 0.57 0.89 0.54 0.52 0.01 0.31 0.04 ­5.86 6.71E+03(4.2E­04) (2.9E­01) (2.9E­01) (3.4E­04) (3.5E­02) (5.2E­02) (1.5E­03) (1.7E­04)

Tabla 2. Modelos estimados y pruebas de especi�cación y diagnóstico para el caso

en que la distribución condicional de los residuales es Gaussiana

El nivel de los coe�cientes b1 obtenidos en todos los modelos ajustados con�rma la alta

persistencia en la dinámica de la volatilidad. A diferencia de las especi�caciones básicas de

GARCH, la inclusión del coe�ciente de apalancamiento 1 evidencia el efecto signi�cativo que

presenta el signo de los residuales en la modelación de asimetría en la volatilidad condicional

(efecto de apalancamiento), según muestran los p-values de las pruebas de asimetría, ya que

se encuentra evidencia signi�cativa de que este tipo de modelos �itra la serie de manera que

para los residuales estandarizados no es posible rechazar que no existen efectos de asimetria

conjunta (Jsb). Los modelos TGARCH, por de�nición, incluyen en su dinámica al parámetro

1, por lo que también capturan adecuadamente el efecto de apalancamiento en la serie.

Las estadísticas de Ljung-Box tanto para los residuales estandarizados al cuadrado como

para sus valores absolutos con�rman que los efectos autorregresivos en su varianza han sido

2 ANÁLISIS EMPíR ICO Y APLICACIÓN A OPCIONES SOBRE FUTUROS DEL IPC 20

�ltrados adecuadamente. Para el caso de la media condicional, encontramos que basta con

un componente autorregresivo de orden 1 resulta adecuado para capturar los efectos menores

de autocorrelación serial en los rendimientos.

Especificación c φ1 θ1 a 0 a 1 b1 γ1 d s SK K LjB1 LjB2 LjBAbs Sb Nsb Psb Jsb Pc Pi Pcc BIC Likelihood

GARCH 3.2E­06 0.07 0.91 1.0 ­0.2 1.8 0.00 0.77 0.58 0.30 0.08 0.35 0.00 0.22 0.87 0.33 ­5.85 6.70E+03(1.4E­06) (1.6E­02) (2.1E­02)

GARCH­L 5.0E­06 0.06 0.90 ­0.54 1.0 ­0.1 1.5 0.00 0.62 0.62 0.27 0.96 0.67 0.29 0.02 0.93 0.06 ­5.87 6.73E+03(1.5E­06) (1.5E­02) (2.0E­02) (1.1E­01)

AR­GARCH 1.0E­03 0.09 3.1E­06 0.08 0.91 1.0 ­0.2 1.8 0.31 0.72 0.33 0.25 0.15 0.23 0.00 0.34 0.91 0.20 ­5.86 6.72E+03(2.4E­04) (2.1E­02) (1.4E­06) (1.8E­02) (2.1E­02)

AR­GARCH­L 7.5E­04 0.09 4.3E­06 0.07 0.90 ­0.51 1.0 ­0.1 1.5 0.39 0.59 0.39 0.25 0.94 0.51 0.19 0.02 0.63 0.06 ­5.88 6.74E+03(2.4E­04) (2.1E­02) (1.4E­06) (1.5E­02) (2.0E­02) (1.1E­01)

ARM A­GARCH 1.4E­03 ­0.18 0.28 3.0E­06 0.08 0.91 1.0 ­0.2 1.8 0.35 0.76 0.38 0.24 0.16 0.22 0.00 0.34 0.54 0.59 ­5.86 6.72E+03(3.8E­04) (1.5E­01) (1.4E­01) (1.3E­06) (1.8E­02) (2.1E­02)

ARM A­GARCH­L 1.0E­03 ­0.20 0.29 4.2E­06 0.06 0.90 ­0.50 1.0 ­0.1 1.5 0.45 0.66 0.43 0.23 0.93 0.49 0.16 0.14 0.57 0.29 ­5.88 6.74E+03(3.5E­04) (1.4E­01) (1.4E­01) (1.4E­06) (1.5E­02) (2.1E­02) (1.0E­01)

EGARCH ­3.8E­01 0.19 0.97 1.0 ­0.2 1.9 0.00 0.69 0.51 0.30 0.14 0.26 0.00 0.02 0.32 0.07 ­5.85 6.70E+03(1.2E­01) (3.8E­02) (1.2E­02)

EGARCH­L ­5.1E­01 0.16 0.95 ­0.76 1.0 ­0.1 1.4 0.00 0.36 0.45 0.53 0.99 0.95 0.83 0.00 0.34 0.00 ­5.87 6.73E+03(1.3E­01) (2.6E­02) (1.4E­02) (1.2E­01)

AR­EGARCH 1.1E­03 0.08 ­4.1E­01 0.21 0.97 1.0 ­0.2 1.8 0.23 0.64 0.28 0.31 0.22 0.14 0.00 0.01 0.28 0.00 ­5.86 6.72E+03(3.3E­04) (2.1E­02) (1.3E­01) (3.9E­02) (1.2E­02)

AR­EGARCH­L 7.2E­04 0.09 ­4.0E­01 0.14 0.97 ­0.80 1.0 ­0.1 1.4 0.36 0.42 0.29 0.53 0.79 0.81 0.61 0.00 0.44 0.01 ­5.89 6.75E+03(2.1E­04) (2.0E­02) (9.6E­02) (2.1E­02) (1.0E­02) (1.4E­01)

ARM A­EGARCH 1.5E­03 ­0.18 0.27 ­4.1E­01 0.21 0.97 1.0 ­0.2 1.8 0.27 0.68 0.32 0.30 0.24 0.14 0.00 0.01 0.36 0.04 ­5.86 6.72E+03(3.9E­04) (1.7E­01) (1.7E­01) (1.4E­01) (4.2E­02) (1.4E­02)

ARM A­EGARCH­L 9.4E­04 ­0.11 0.20 ­3.9E­01 0.14 0.97 ­0.79 1.0 ­0.1 1.4 0.46 0.48 0.31 0.50 0.82 0.77 0.57 0.00 0.38 0.01 ­5.89 6.75E+03(3.8E­04) (1.7E­01) (1.7E­01) (9.1E­02) (2.2E­02) (9.5E­03) (1.5E­01)

TGARCH 5.2E­06 0.01 0.90 0.14 1.0 ­0.1 1.5 0.00 0.60 0.61 0.27 0.92 0.66 0.31 0.02 0.77 0.06 ­5.87 6.73E+03(1.5E­06) (8.9E­03) (2.1E­02) (3.1E­02)

AR­TGARCH 7.6E­04 0.09 4.4E­06 0.02 0.90 0.14 1.0 ­0.1 1.5 0.40 0.58 0.38 0.25 0.90 0.51 0.20 0.02 0.81 0.06 ­5.88 6.74E+03(2.4E­04) (2.1E­02) (1.4E­06) (9.6E­03) (2.1E­02) (3.1E­02)

ARM A­TGARCH 9.9E­04 ­0.17 0.26 4.3E­06 0.02 0.90 0.13 1.0 ­0.1 1.5 0.46 0.64 0.41 0.24 0.89 0.49 0.17 0.08 0.72 0.19 ­5.88 6.74E+03(3.6E­04) (1.7E­01) (1.7E­01) (1.4E­06) (9.6E­03) (2.1E­02) (3.1E­02)

PGARCH 1.3E­04 0.09 0.91 1.17 1.0 ­0.2 1.9 0.00 0.71 0.52 0.32 0.10 0.27 0.00 0.05 0.21 0.12 ­5.85 6.70E+03(9.0E­04) (2.2E­01) (3.0E­01) # # # # #

PGARCH­L 3.1E­04 0.08 0.91 1.09 ­0.70 1.0 ­0.1 1.4 0.00 0.44 0.49 0.51 0.92 0.60 0.60 0.01 0.18 0.03 ­5.88 6.73E+03(1.9E­04) (2.6E­02) (3.8E­02) (1.3E­04) (1.6E­03)

AR­PGARCH 1.0E­03 0.09 1.1E­04 0.09 0.91 1.21 1.0 ­0.2 1.8 0.26 0.66 0.28 0.32 0.14 0.17 0.00 0.05 0.15 0.12 ­5.86 6.72E+03(2.2E­04) (2.5E­02) (8.9E­04) (2.8E­01) (3.7E­01) (2.1E­05)

AR­PGARCH­L 7.6E­04 0.09 3.5E­04 0.08 0.91 1.02 ­0.70 1.0 ­0.1 1.4 0.37 0.45 0.26 0.59 0.96 0.43 0.51 0.01 0.11 0.03 ­5.89 6.75E+03(2.4E­04) (2.0E­02) (1.7E­04) (1.9E­02) (2.7E­02) # # # # # (1.8E­03)

ARM A­PGARCH 1.4E­03 ­0.19 0.28 8.9E­05 0.09 0.91 1.25 1.0 ­0.2 1.8 0.29 0.71 0.33 0.30 0.15 0.17 0.00 0.14 0.16 0.25 ­5.86 6.72E+03(4.8E­04) (2.2E­01) (2.0E­01) (3.9E­05) (1.0E­02) (1.3E­02) # # # # #

ARM A­PGARCH­L 9.9E­04 ­0.16 0.25 3.4E­04 0.08 0.91 1.03 ­0.70 1.0 ­0.1 1.4 0.45 0.52 0.30 0.55 0.94 0.42 0.45 0.02 0.26 0.07 ­5.89 6.75E+03(2.4E­04) (1.4E­01) (1.4E­01) (1.7E­04) (2.0E­02) (2.8E­02) # # # # # (1.7E­03)

Tabla 3. Modelos estimados y pruebas de especi�cación y diagnóstico para el caso

en que la distribución condicional de los residuales es t de Student

Cuando se evalua el desempeño de todos los modelos ajustados en su capacidad de predic-

ción de la volatilidad, encontramos algunas de�ciencias. Se implementaron pruebas de cober-

tura de los intervalos de con�anza del 95% para las predicciones de volatilidad bajo un fore-

cast dinámico realizado con la muestra de evaluación de pronóstico (último año de datos).

En todos los casos, las especi�caciones tipo EGARCH subestiman los niveles de volatili-

dad futura. De entre las especi�caciones que incorporan el parámetro de apalancamiento,

solamente los modelo ARMA-TGARCH y las especi�caciones GARCH con coe�ciente de

apalancamiento parecen tener un desempeño aceptable en su pronóstico al tiempo de modelar

2.2 CALIBRACIÓN DEL MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES DE VOLATILIDAD 21

razonablemente la asimetría. En general, no existen diferencias considerables los resultados

del ajuste con residuales distribuidos bajo una normal y el caso t de Student, excepto que

los criterios de información BIC y la verosimilitud indican que la t de Student proporciona

un ajuste ligeramente superior. La inclusión de una dinámica que incorpore los cambios

intermitentes de la volatilidad podría ser una alternativa a las especi�caciones clásicas de

GARCH.

Como consecuencia de los análisis anteriores, se requiere modelar la dinámica de la volatil-

idad del rendimiento un modelo más general, que a la vez que incorpore efectos de asimetría,

sea capaz de incorporar los múltiples cambios de regimen que pueda presentar la varianza

condicional. A continuación, se muestran los resultados del ajuste del modelo general de�nido

por (1:1) y (1:2). Como se planteó en la sección anterior, procedimos con la especi�cación

básica de un régimen límite (m = 1) y se aplicó la versión robusta de la prueba LM siguiendo

un proceso similar a Luukkonen et al (1988) y haciendo una expansión de primer orden de la

función de logística (1:3). Los valores de la estadística de prueba de la Tabla 4, así como los

p-values obtenidos en el ajuste secuencial de los modelos indican que el número de regimenes

límite a incluir en el modelo es m = 3. El nivel de signi�cancia inicial es del 5%, y se aplica

un factor de % = 1=2 en cada paso de la implementación (si se usa % = 1=3, el resultado de

la prueba es el mismo)

m LM p­value1 11.62 0.0092 9.43 0.0243 4.01 0.2604 3.28 0.351

Tabla 4. Implementación de la prueba LM secuencial

La estimación de los parámetros se realizó maximizando la función de quasi-verosimilitud

(QML) haciendo uso iterativo de los algoritmos numéricos BHHH y Nelder-Mead, donde los

valores iniciales de los parámetros son establecidos con la relación de varianza incondicional

y el algoritmo evolutivo DEoptim1. En la siguiente tabla se muestran los resultados de

1DEoptim es una variante trasladada al lenguaje R del algoritmo evolutivo diferencial incialmente desar-

rollado por Rainer Storn, International Computer Science Institute (ICSI). La rutina está está disponible en

2 ANÁLISIS EMPíR ICO Y APLICACIÓN A OPCIONES SOBRE FUTUROS DEL IPC 22

estimación y evaluación del desempeño para el modelo básico m = 1 y el elegido m = 3 por

el procedimiento de la estadística LM. Además del benchmark m = 1 (que corresponde al

modelo propuesto por Heston y Nandi[29], 2000), se calibra la especi�cación propuesta por

Duan[13] (1995). Los resultados de la estimación, así como las pruebas de especi�cación y

desempeño se encuentran contenidos en la siguiente tabla.

Modelo λ α0 α1 α2 β0 β1 β2 δ0 δ1 δ2 γ0 γ1 γ2 a1 a2 b1

m=3 4.82 2.3E­12 ­1.2E­07 7.2E­04 1.39 ­0.83 ­0.47 0.06 ­0.02 ­0.04 ­0.77 ­0.16 0.12 9.05 2.83 ­1.84(1.19) ­(1.1E­12) (2.4E­08) (4.3E­04) (0.08) (0.13) (0.11) (0.01) (0.01) (0.02) (0.191) (0.05) (0.07) (4.23) (0.81) (0.02)

H­N 2.44 4.3E­06 0.91 0.05 ­0.58(0.92) (6.1E­07) (0.02) (0.02) (0.11)

Duan 2.31 3.7E­06 0.83 0.31 ­0.77(0.87) (7.1E­07) (0.01) (0.01) (0.09)

Modelo s SK K LjB1 LjB2 LjBAbs Sb Nsb Psb Jsb Pc Pi Pcc BIC Likelihood

m=3 0.99 ­0.08 1.51 0.05 0.74 0.59 0.55 0.83 0.96 0.66 0.08 0.43 0.11 ­5.81 6.75E+02

H­N 0.98 ­0.05 1.83 0.07 0.12 0.23 0.86 0.11 0.91 0.19 0.03 0.76 0.07 ­5.84 6.66E+03

Duan 1.00 ­0.02 1.31 0.00 0.28 0.32 0.69 0.38 0.72 0.29 0.02 0.30 0.05 ­5.82 6.73E+03

Tabla 5. Estimación, pruebas de especi�cación y diagnóstico para el modelos propuesto con

3 regimenes de volatilidad, el modelo de Heston y Nandi (H-N) y la especi�cación de Duan

Los resultados obtenidos para el modelo de 3 regimenes de volatilidad evidencian su

mejor desempeño en la predicción de la volatiilidad frente a todos los modelos alternativos

utilizados, al tiempo de �ltrar adecuadamente la dinámica intermitente y asimétrica de la

volatilidad. El modelo resultante muestra persistencia en cada uno sus tres regimenes límite:

�0 + �0 20 = 1:42 ("Malas noticias")

�0 + �0 20 + �1 + �1

21 = 0:59 ("Periodo tanquilo")

�0 + �0 20 + �1 + �1

21 + �2 + �2

22 = 0:12 ("Buenas noticias") :

Como se observa, el modlo es capaz de incorporar comportamientos bien diferenciados de la

intermitencia de la volatilidad condicional, incluso regimenes explosivos como es el caso del

primero de ellos, sin afectar las propiedad de estacionariedad del modelo2.

el sitio http://cran.r-project.org/2Se puede demostrar que una condición su�ciente para que el modelo de la De�nición 1 sea estacionario

es que 12

��0 + �0

20

�+ 1

2

Pm�1i=1

��i + �i

2i

�� 1. La presentación de esta y otras propiedades estadísticas

formales del mismo quedan fuera del alcanze de este documento.

2.2 CALIBRACIÓN DEL MODELO DE MÚLTIPLES REGIMENES DE VOLATILIDAD 23

Como una última medida de diagnóstico, en la Tabla 6 se calculan el error medio ab-

soluto (MAE) y el error cuadrático medio (MSE) entre el pronóstico de volatilidad y los

rendimientos al cuadrado3. Se contrastan el modelo de tres regimes, el de Heston y Nandi[29]

(2000), el de Duan[13] (1995), así como las alternativas ARMA-TGARCH y especi�caciones

GARCH con apalancamiento que resultaron como candidatos para modelar la volatilidad.

GARCH L AR­GARCH­L ARMA­GARCH­L ARMA­TGARCH H­N Duan m=3

MAE 4.78E­04 4.77E­04 4.79E­04 4.76E­04 4.71E­04 4.74E­04 4.59E­04(.01) (.05) (.01) (.01) (.13) (.03) (.38)

MSE 1.43E­03 1.43E­03 1.44E­03 1.41E­03 1.43E­03 1.42E­03 1.36E­03(.04) (.04) (.03) (.06) (.04) (.05) (.72)

Tabla 6. Desemepeño del pronóstico bajo los diferentes modelos

Para veri�car los pronósticos son estadísticamente diferentes utilizamos la prueba de ca-

pacidad de predictividad superior (SPA) desarrollada por Hansen[25] (2005). La hipótesis

nula es que un modelo dado (benchmark) no es inferior a cualquier otra alternativa (com-

petidores) en términos de una función de pérdida4. Cuando se utiliza el error MAE, cada

uno de los modelos GARCH-L, ARMA-GARCH-L, ARMA-TGARCH y el modelo de Duan

son estadísticamente inferiores al resto de sus competidores. Por otro lado, si se utiliza el

error RMSE como criterio, los modelos estadísticamente inferiores son las especi�caciones

GARCH-L, AR-GARCH-L, ARMA-GARCH-L y H-N. El modelo de m = 3 regimenes de

volatilidad propuesto en este documento, resulta estadísticamente superior que todas las al-

ternativas utilizadas, ya que su desempeño para capturar la dinámica de la volatilidad. Es

importante notar que el periodo de evaluación del pronóstico del modelo abarca la actual

crisis �nanciera, incorporando movimientos extremos observado en el precio del futuro del

IPC.

3Los rendimientos realizados al cuadrado, se consideran como "proxy" de la volatilidad realizada.4En nuestro caso, el uso de los criterios MAE y RMSE indujo el uso de las funciones de pérdida valor

absoluto y función cuadrática, respectivamente.

2 ANÁLISIS EMPíR ICO Y APLICACIÓN A OPCIONES SOBRE FUTUROS DEL IPC 24

2.3 Valuación de una opción sobre futuros del IPC

El modelo de dado por las ecuaciones (1:1) y (1:2) es un modelo con forma funcional para

le media condicional del tipo de los modelos GARCH in-the-mean propuesto por Engle et al

(1987) para capturar efectos de prima por riesgo del subyacente. El proceso de la varianza

condicional incorpora múltiples régimenes de volatilidad, así como efectos de asimetría por

movimientos en tamaño y signo de los residuales. En la sección anterior se llevó a cabo la

estimación de los parámetros del mismo. Con ayuda de los resultados obtenidos en la primera

sección en las proposiciones 3 y 2 podemos llevar a cabo la estimación de los coe�cientes de

la función generadora neutral al riesgo � (�) y entonces como resultado de aplicar la fórmula

(1:38) obtenemos el precio de la opción.

Como ejemplo particular, consideremos t al 31 de julio de 2008, una opción sobre el

futuro del IPC con precio de ejercicio K = 30; 000 unidades y fecha de vencimiento T el 19

de diciembre de 2008.

De acuerdo con la Metodología para el cálculo de precios de liquidación por medio de la

metodología de Heston de Mexder (ver [35]), el precio teórico de la opción cuando se utiliza

la fórmula de Black para valuación de opciones sobre futuros de índices

C = e�rf (T�t) (FN (d1)�K (d2)) ;

donde F = St es el precio actual del subyacente (precio actual del futuro del IPC, con

vencimiento en T ), T � t es el tiempo para el vencimiento (en años), rf es la tasa libre

de riesgo al plazo del vencimiento (tasa de interés obtenida a partir de la curva cero de la

TIIE) y � es la volatilidad implícita del subyacente, la cuál es ajustada por la metodología

de Heston. El precio teórico calculado es 994.

Por otro lado, con las estimaciones de los coe�cientes �, �0; �1; �2; �1; �2; �3; �0; �1; �2;

0; 1; 2; a1; a2; b1; b2 obtenidos en la Tabla 5 para al modelo resultante de 3 regimenes

2.3 VALUACIÓN DE UNA OPCIÓN SOBRE FUTUROS DEL IPC 25

límite, se calculan los pesos

!�1 = �0 +Pm�1

i=1 �ihi

!�2 = �0 +Pm�1

i=1 �ihi

!�3 = �0 +Pm�1

i=1 �ihi

!�4 = �0 �20 +

Pm�1i=1 �i

�2i hi

!�5 = �0 �0 +

Pm�1i=1 �i

�ihi

hi = gi��2t+�

�donde �j = j + � + 1

2para j = 0; : : : ;m � 1, y

��2t+�

T�t�1�=1

son los pronósticos de la

varianza condicional para T � t � 1 periodos hacia adelante obtenidos a partir del modelo

neutral al riesgo (1:20) y (1:21). El cálculo de los coe�cientes A� y B� de la fórmula (1:33)

para � se lleva a cabo a partir de las condición �nal (1:24) que satisfacen dichos coe�ciente

en T y la iteración recursiva que de�nen las ecuaciones (1:34) y (1:35). Finalmente, para la

applicación de la fórmula de valuación (1:38) se utiliza alguna rutina de integración numérica,

en nuestro caso se utilizaron rutinas de integración numérica de el lenguaje R. El precio

teórico obtenido es 103:63

El resultado obtenido bajo la valuación del modelo con varios regimenes de la volatilidad

es casi 10% superior, lo cuál indica que la volatilidad implícita en el modelo de Heston es

suestimada. Este hecho es consistente con los resultados del análisis empírico del apartado

anterior, ya que la mayoría de loa modelos considerados presentan un desempeño del pronós-

tico de la volilidad inferior al modelo propuesto en este documento.

Como un ejercicio adicional, si se emplean los valores de los parámetros que fueron utiliza-

dos para la derivación del proceso límite a tiempo continuo (1:42)-(1:43) bajo la distribución

neutral al riesgo, las ecuaciones (1:11), (1:12) y (1:13) permiten calibrar los parámetros k; �

y � del modelo de Heston[28] (1993) en términos de las estimaciones de los parámetros del

modelo de tres regimenes mediante las ecuaciones

� = 2 0

� = 1� �0 + �0 20 +

12

Pm�1i=1

��i + �i

2i

�� =

�0 + 0 +12

Pm�1i=1 (�i + i)

1� �0 + �0 20 +12

Pm�1i=1 (�i + �i 2i )

:

2 ANÁLISIS EMPíR ICO Y APLICACIÓN A OPCIONES SOBRE FUTUROS DEL IPC 26

Entonces, el precio de la opción que se obtiene de aplicar directamente la fórmula de valuación

de Heston es 994:78, resultado bastante parecido al obtenido bajo la metodología actual que

utiliza el Mexder para valuar este tipo de opciones.

2.4 CONCLUSIONES GENERALES 27

2.4 Conclusiones Generales

El presente trabajo de investigación presenta una nueva metodología de valuación de op-

ciones que incorpora adecuadamente las características más importantes de la dinámica de

la volatilidad del activo subyacente. A diferencia de los modelos tradicionales de cambio de

régimen, el modelo desarrollado permite la inclusión de dos o más regimenes, con lo que es

posible capturar las múltiples dinámicas intermintentes de la volatilidad ante los recientes

movimientos extremos en los mercados �nancieros.

Una de las principales bondades del modelo propuesto es su gran �exibilidad, ya que es

admite estructuras generales para la asimetría y naturaleza intermitente de los rendimientos

y su volatilidad. El desempeño del modelo es medido mediante su capacidad predictiva de

la volatilidad frente a las especi�caciones más importantes de modelos de heterocestaticidad

ampliamente empleados en �nanzas. Los modelos utilizados como benchmark compren-

den desde el caso básico GARCH, hasta las extensiones asimétricas EGARCH, TGARCH,

PGARCH, con y sin efectos de apalancamiento. Adicionalmente, se probaron las especi�ca-

ciones de volatilidad empleadas en el modelo de Heston y Nandi[29] (2000), así como para el

desarrollado por Duan[13] (1995). Las diversas pruebas de especi�cación y diagnóstico del

pronóstico evidenciaron la superioridad del modelo propuesto.

El estudio de las propiedades del modelo propuesto que rige a la media y varianza condi-

cionales, hizo posible determinar el comportamiento límite de los incrementos de la volatili-

dad, así como garantizar la existencia de la distribución neutral al riesgo asociada. Además,

fue posible caracterizar el proceso de difución límite correspondiente bajo el sistema el es-

quema neutral al riesgo.

Como una aportación adicional, en el documento se deriva una fórmula para la llamada

función generadora neutral al riesgo, con la que fue posible determinar el precio del derivado

a partir de la relación existente entre la función característica neutral al riesgo y su densidad

correspondiente. Dicha fórmula de valuación, contempla como caso particular el precio

teórico obtenido bajo el enfoque de Heston y Nandi[28].(2000).

Como resultado del ejercicio empírico de valuación de una opción de compra Europea

sobre los futuros del Índice de Precios y Cotizaciones (IPC), quedó en evidencia el costo de

2 ANÁLISIS EMPíR ICO Y APLICACIÓN A OPCIONES SOBRE FUTUROS DEL IPC 28

las restricciones que impone la metodología de Heston para simpli�car el proceso de cálculo,

en contraste con un modelo más robusto que permita describir adecuadamente la dinámica

del precio del subyacente.

Los resultados obtenidos en este trabajo de investigación abren las puertas a futuros análi-

sis empíricos para evaluar la contribución del modelo propuesto a otros activos �nancieros,

así como el análisis del desempeño de estrategias de cobertura y la medición de riesgos. Como

una posible línea de investigación adicional, se encuentra la aplicación del modelo base para

la valuación de opciones exóticas y productos derivados más complejos.

A

Apéndice: Modelos GARCH

univariados

La presente sección presenta los modelos más importantes para series de rendimientos de

factores de riesgo diarios. La correlación serial en los rendimientos al cuadrado, o het-

eroscedasticidad constante, puede ser modelada utilizando un proceso autoregresivo (AR)

de los residuales al cuadrado. Por ejemplo, sea yt una serie de tiempo estacionaria, entonces

yt puede ser expresada como

yt = c+ �t (A.1)

donde c es la media de yt y �t es un proceso iid con media cero. Para permitir het-

eroscedasticidad condicional, supongamos que V art�1 (�t) = �2 donde V art�1 (�) denota la

varianza condicional al tiempo t� 1, y

�2t = a0 + a1�2t�1 + � � �+ ap�

2t�p: (A.2)

dado que �e tiene media cero, V art�1 (�) = Et�1 (�2t ) = �2t . Reexpresando (A:2) tenemos

�2t = a0 + a1�2t�1 + � � �+ ap�

2t�p + ut (A.3)

donde ut = �2t �Et�1 (�2t ) es ruido blanco con media cero. La ecuación anterior representa

un proceso AR (p) para �2t y el modelo en (A:1) y (A:2) se conoce como modelo autoregresivo

29

A APÉNDICE: MODELOS GARCH UNIVARIADOS 30

de heteroscedasticidad condicional (ARCH) desarrollado por Engle (1982), el cual se conoce

comúnmente como modelo ARCH (p).

Una representación alternativa del modelo ARCH es:

yt = c+ �t

�t = zt�t

�2t = a0 + a1�2t�1 + � � �+ ap�

2t�p

donde zt es una variable aleatoria iid con una distribución especí�ca. En el modelo

ARCH básico, zt se asume como normal estándar iid.

Antes de estimar un modelo ARCH; es conveniente realizar una prueba de efectos ARCH

en los residuales. Dado que los modelos ARCH pueden expresarse como un AR en términos

de los residuales al cuadrado como en (A:3), es posible construir una prueba de Multipli-

cadores de Lagrange (LM) de efectos ARCH con base en la regresión auxiliar (A:3) : Bajo

la hipótesis nula de no efectos ARCH: a1 = a2 = � � � = ap = 0; el estadístico de prueba es:

LM = T �R2 v �2 (p)

donde T representa el tama´ño de la muestra y R2 se obtiene a partir de la regresión

(A:3) utilizando los residuales estimados.

Cuando la prueba LM de efectos ARCH es signi�cativa para una serie de tiempo, es

posible estimar un modelo ARCH y obtener los estimadores de la dinámica de la volatilidad

�t con base en la historia anterior. Sin embargo, en la práctica se ha encontrado que ante

un gran número de rezagos p, se requiere estimar un gran número de parámetros. Bollerslev

(1986) propueso un modelo más parsimonioso en donde la ecuación (A:2) del modelo AR es

reemplazado por:

�2t = a0 +

pXi=1

ai�2t�1 +

qXj=1

bj�2t�j (A.4)

donde se asume que los coe�cientes ai (i = 0; : : : ; p) y bj (j = 1; : : : ; q) son positivos para

garantizar que la varianza condicional �2t siempre es positiva. El modelo en (A:4) junto con

31

(A:1) es conocido como ARCH generalizado o GARCH (p; q).

Bajo el modelo GARCH (p; q), la varianza condicional de �t; �2t , depende de los residuales

al cuadrado de los p períodos anteriores y la varianza condicional de los q períodos anteriores.

De la misma forma en que un modelo ARCH puede expresarse como un modelo AR de

los residuales al cuadrado, el modelo GARCH se puede expresar como una modelo ARMA

de los residuales al cuadrado. Sea un modelo GARCH (1; 1),

�2t = a0 + a1�2t�1 + b1�

2t�1: (A.5)

Dado que Et�1 (�2t ) = �2t , es posible reexpresar la ecuación anterior como:

�2t = a0 + (a1 + b1) �2t�1 + ut � b1ut�1 (A.6)

el cual es un modelo ARMA (1; 1) donde ut = �2t � Et�1 (�2t ) es ruido el componente de

ruido blanco.

Del modelo general GARCH (p; q) en (A:4), los residuales al cuadrado �t se comportan

como un proceso ARMA (max (p; q) ; q). Para que el proceso sea estacionario en covarianza,

se requiere quePp

i=1 ai +Pq

j=1 bi < 1 y la varianza no condicional de �t es

V ar (�t) =a0

1� (Pp

i=1 ai +Pq

i=1 bi): (A.7)

Muchos estudios empíricos han demostrado que la volatilidad de las series de tiempo

�nancieras muestra "hechos estilizados"; Bollerslev, Engle y Nelson (1994) presentan una

descripción detallada. Cuando los modelos GARCH se representan como procesos ARMA,

es posible incorporar algunos de estos hechos estilizados en el proceso GARCH: Entre los

más importantes se tienen: clusters de volatilidad, colas pesadas y reversión de la media de

la volatilidad.

A.0.1 Estimación de los modelos GARCH

El proceso general GARCH (p; q) tiene la forma:

yt = c+ �t (A.8)

A APÉNDICE: MODELOS GARCH UNIVARIADOS 32

�2t = a0 +

pXi=1

ai�2t�1 +

qXi=1

bj�2t�j (A.9)

para t = 1; : : : ; T , donde �2t = V art�1 (�t) : Asumiendo que �t sigue una distribución

normal condicionada a su historia, la expresión de la función de verosimilitud en términos

de los errores condicionado a los valores iniciales está dado por:

logL = �T2log (2�)� 1

2

TXi=1

log �2t �1

2

TXt=1

�2t�2t: (A.10)

Los parámetros desconocidos c, ai (i = 0; : : : ; p) y bj (j = 1; : : : ; q) pueden estimarse por

máxima verosimilitud (MLE). Para el modelo propuesto en este documento, dados valores

iniciales x0 y �20 en (1:1) y (??), la ecuación (A:10) de�ne la llamada función de quasi-log-

verosimilitud, la cuál se maximiza para obtener estimaciones de los parámetros del modelo.

A.0.2 Extensiones del modelo GARCH

En muchas ocasiones, el modelo GARCH básico (A:4) representa un buen modelo para

analizar las series de tiempo �nancieras y para estimar la volatilidad condicional. Sin em-

bargo, hay varios aspectos del modelo que pueden ser mejorados de tal forma que capturen

de una mejor manera las características y la dinámica de una serie de tiempo particular.

En el modelo GARCH especi�cado en (A:9), es posible observar que los residuales al

cuadrado �2t�i son los únicos que están presentes en la ecuación lo que implica que los signos

de los residuales no representan ningún efecto en la volatilidad condicional. Sin embargo, un

hecho estilizado de la volatilidad de las series de tiempo �nanceras es que las malas noticias

(shocks negativos ) tienden a tener un mayor impacto sobre la volatilidad que las buenas

noticias (shocks positivos). Black (1976) atribuyó este efecto al hecho de que las malas

noticias tienen a bajar el precio de las acciones, incrementando por ende, el apalancamiento

(razón deuda-capital) de la acción hanciendo que sea más volátil. Con base en esta conje-

tura, el impacto asimétrico de las noticias se conoce como efecto de apalancamiento. Los

principales modelos que incorporan el efecto de apalancamiento son: EGARCH, TGARCH

y PGARCH.

33

Modelo EGARCH

El modelo GARCH exponencial (EGARCH) fue propuesto por Nelson (1991) y permite

efectos de apalancamiento:

ht = �0 +

pXi=1

�ijXt�ij+ iXt�i

�t�i+

qXj=1

�jht�j (A.11)

donde ht = log �2t ó �2t = eht : Nótese que cuando �t�i es positiva (o hay "buenas noticias"),

el efecto total sobre �t�i es (1 + i) j�t�ij; en contraste, cuando �t�i es negativo, el efecto total

de �t�i es (1� i) j�t�ij, lo que implica que las malas noticias tienen un efecto mayor sobre

la volatilidad, y el valor de i puede ser negativo.

Modelo TGARCH

Otra variante de los modelos GARCH que permite incorporar efectos de apalancamiento es

el modelo GARCH de un umbral o TGARCH y tiene la siguiente forma:

�2t = �0 +

pXi=1

�iX2t�i +

pXi=1

iSt�iX2t�i +

qXj=1

�j�2t�j (A.12)

donde

St�i =

8<: 1 if Xt�i < 0

0 if Xt�i � 0

Este modelo también es conocido como GJR por Glosten, Jagannathan y Runkle (1993).

Modelo PGARCH

Representa una extensón del modelo básico GARCH con el �n de permitir la incorporación

de los efectos de apalancamiento. Esto es posible si se trata al modelo básico GARCH como

un caso especial del GARCH potencia (PGARCH) propuesto por Ding, Granger y Engle

(1993)

�dt = �0 +

pXi=1

�i (jXt�ij+ iXt�i)d +

qXj=1

�j�dt�j (A.13)

A APÉNDICE: MODELOS GARCH UNIVARIADOS 34

donde d es un exponente positivo y i denota los coe�cientes del efecto de apalancamiento.

Nótese que cuando d = 2, (A:13) se reduce a la especi�cación básica del GARCH con efectos

de apalancamiento.

La siguiente tabla muestra un resumen de la especi�cación de la varianza condicional de

los procesos GARCH descritos anteriormente

GARCH (p; q) ��2 = a0=h1�

Ppi=1 ai (1 +

2i )�

Pqj=1 bj

iTGARCH (p; q) ��2 = a0=

h1�

Ppi=1 (ai + i=2)�

Pqj=1 bj

iPGARCH (p; q; 1) ��2 = a0=

h1�

Ppi=1 ai

p2=� �

Pqj=1 bj

i2EGARCH (p; q) ��2 = exp

n�a0 +

Ppi=1 ai

p2=��=�1�

Pqj=1 bj

�oTabla 7. Varianza no condicional para diferentes especi�caciones del GARCH

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