2 parte guia asignatura matematicas ii (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

GRADO

GUÍA DE ESTUDIO DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICAS II

2ª PARTE | PLAN DE TRABAJO Y ORIENTACIONES PARA SU DESARROLLO

2015-2016

|Alfonso Herrero de Egaña Espinosa de los Monteros

ÁlvaroRuíz Gómez Alberto Muñoz Cabanes Angel Muñoz Alamillos

GRADO EN ADE

MATEMÁTICAS II

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2

1.- PLAN DE TRABAJO Durante la preparación de la asignatura el alumno deberá, en cada tema, seguir los siguientes pasos Realizar una lectura rápida del temario que nos permita identificar los conocimientos previos

necesarios para poder abordar los nuevos contenidos. Repasar, si es necesario, dichos conocimientos previos. Estudiar los conceptos teóricos ayudándose de la realización de esquemas y resúmenes. Desarrollar detalladamente los ejemplos de aplicación planteados en cada tema Resolver los ejercicios propuestos al final de cada apartado comprobando las soluciones de los

mismos. .

CRONOGRAMA

Incluimos a continuación un cuadro en el que se detalla la forma en la que se debe distribuir el tiempo de estudio entre los distintos temas que componen el programa de la asignatura, utilizando el libro básico de la asignatura.

PERIODO TRABAJO DEL ALUMNO CONTENIDOS

Semana 1 Realizar la prueba de nivel a través del curso cero disponible en la página web de la UNED.

http://ocw.innova.uned.es/ocwuniversia/biologia/matematicas

Repasar los conocimientos previos en los cuales no se haya obtenido un nivel mínimo. Realizar una lectura detallada del capítulo I del libro básico de la asignatura. Las cuestiones tratadas en este capítulo no son objeto de examen, pero son necesarias y útiles para comprender el resto de los capítulos. Utilizar los 47 ejemplos del capítulo para comprender los conceptos teóricos.

Conocimientos previos

Concepto de Función. Funciones básicas. Valor absoluto y sus propiedades. Regla de Ruffini. Aplicaciones de la Función en ADE.

Semana 2 Se debe hacer una lectura detallada los contenidos del capítulo 2 con análisis de los ejemplos y ejercicios propuestos.

Realizar un resumen con las propiedades de los límites y sus reglas de cálculo.

Resolver los ejercicios sobre cálculo de límites propuestos en el texto base. Es muy importante hacerlo de forma autónoma, es decir, no limitarse a seguir el desarrollo de la solución de los ejercicios propuestos, sino

Concepto de limite de una función Generalización del concepto de límite. Reglas de cálculo de los límites. Identificación de las



intentar resolverlos sin consultar la solución hasta el final. indeterminaciones y resolución de los límites en cada uno de los casos.

Semana 3 Siguiendo con el capítulo 2, hay que hacer una lectura detallada los puntos 2.3, 2.4., y 2.5. Resolver el mayor número posible de ejercicios relacionados con este tema. Resolver los ejercicios sobre cálculo de asíntotas, continuidad y aplicaciones económicas propuestos en el texto base. Es muy importante hacerlo de forma autónoma, es decir, no limitarse a seguir el desarrollo de la solución de los ejercicios propuestos, sino intentar resolverlos sin consultar la solución hasta el final. Como actividad final se pueden resolver las autoevaluaciones del aula virtual con el fin de decidir si el nivel de conocimientos adquiridos es el adecuado.

Asíntotas verticales

Asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas.

Continuidad

Discontinuidad evitable

Discontinuidad inevitable

Aplicaciones económicas.

Semana 4 Lectura del texto del capítulo 3 y realización de los ejercicios propuestos en él.

Más concretamente el alumno deberá:

Saber que este capítulo se centra la atención en el concepto de derivada como idea fundamental del cálculo y de las matemáticas superiores.

Comprender la definición de derivada. Saber calcular la derivada como un límite.

Conocer el significado de la derivada como tasa de variación y como pendiente de la tangente a la curva.

Entender el concepto de función derivada y su diferencia con la derivada.

Aplicar las distintas técnicas de derivación. Saber el concepto de diferencial. Conocer algunas de las muchas aplicaciones de la derivada

en Matemáticas, en Economía y en la Administración y Dirección de Empresas. De especial importancia es la aplicación de la derivada a la resolución de límites. En este capítulo se completa es estudio de las indeterminaciones de los límites y la forma de resolverlas.

Usar los treinta y ocho ejemplos del capítulo para aprender los distintos conceptos y métodos.

Resolver los ejercicios propuestos al final del capítulo en el texto base.

.

La Derivada.

Idea intuitiva y definición.

Ecuaciones de la recta tangente y normal.

Relación entre continuidad de derivabilidad.

Función Derivada.

Definición.

Propiedades de la derivada.

Tabla de derivadas.

Derivación de funciones compuestas. Regla de la cadena.

Derivada logarítmica.

Derivadas implícitas.

MATEMÁTICAS II


Derivadas sucesivas.

La diferencial.

Definición.

Interpretación geométrica del diferencial

Aplicaciones de la derivada.

Aplicación a la resolución de límites.


Semana 5 Lectura del texto del capítulo 4 y realización de los ejercicios propuestos en él. En este capítulo se aplica todo lo estudiado en el capítulo anterior sobre derivadas para obtener la representación gráfica de funciones y cómo se puede usar lo aprendido para calcular los valores extremos de funciones.


Aprender a utilizar la derivada para el cálculo de los valores extremos de una función.

Un primer paso es distinguir entre funciones crecientes y decrecientes.

Comprender que los valores extremos, máximos o mínimos, pueden ser absolutos o relativos.

Aprender los criterios aplicables para el cálculo de máximos y mínimos, absolutos o relativos.

Estudio de la concavidad, convexidad y de los puntos de inflexión.

Una vez completado el punto anterior, el alumno estará en condiciones de realizar un estudio completo de funciones.

Utilizar los ejemplos para fijar los conceptos teóricos y aprender los métodos de resolución de problemas.

Para terminar el alumno utilizará todos los conceptos anteriores para aplicarlos a la resolución de problemas de economía, de dirección y administración de empresas.

Funciones crecientes y decrecientes

Definición

Propiedades

Valores extremos de funciones continuas

Definición de extremos locales.

Definición de extremos absolutos.

Condición necesaria para la existencia de extremos relativos.

Condición suficiente para la existencia de extremos relativos.

Cálculo de extremos relativos.

Cálculo de extremos absolutos.



Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.

Definición de una función cóncava y convexa

Criterio de concavidad

Definición de punto de inflexión.

Estudio completo de funciones.

Dominio.

Intersecciones con los ejes coordenados.

Intervalos de positividad y negatividad.

Paridad.

Asíntotas.

Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Extremos relativos.

Intervalos de concavidad y convexidad.

Puntos de inflexión.

Gráfica.


Apéndice

MATEMÁTICAS II


Semana 6 Lectura del texto del capítulo 5, dedicado a la integración, y realización de los ejercicios propuestos en él.


Aprender qué es una función primitiva. Concretar qué es una integral indefinida. Comprender que la integración es el proceso inverso a la

derivación. Instruirse en los distintos métodos de integración.

.

Integrales Indefinidas

Función primitiva.

Definición.

Propiedades.

Tabla de integrales .

Métodos de integración.

Aplicaciones económicas

Apéndice

Semana 7 . El alumno continuará estudiando el capítulo 5. Más concretamente el alumno deberá:

Aprender qué es una integral definida. Aplicación de la integral al cálculo de áreas Conocer las aplicaciones económicas de la integral

. Integral Definida

Definición de integral definida.

Propiedades de la integral definida.

Teorema del valor medio del Cálculo Integral.

Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral (Regla de Barrow).

Calculo de Áreas.




Integrales Impropias

Integrales con Límites Infinitos

Integral de una función discontinua

Convergencia.


Semana 8 Lectura del texto del capítulo 6, dedicado a las funciones de varias variables, y realización de los ejercicios propuestos en él.


Estudiar las funciones de dos variables independientes.

Comprender el concepto de límite de funciones de dos variables.

Funciones de dos variables

Dominio de una función de dos variables

Representación gráfica de una función de dos variables

Curvas de nivel

Aplicaciones económicas

Limites de funciones de dos variables:

Introducción.

Límite doble.

Límite infinito

Cálculo del límite

Semana 9 Lectura del texto del capítulo 6, dedicado a las funciones de varias variables, y realización de los ejercicios propuestos en él.


Conocer las técnicas de resolución de límites de dos variables.

Límites sucesivos o reiterados

Límites radiales

Relaciones entre los

MATEMÁTICAS II


Aprender las condiciones de la continuidad de funciones de dos variables.

distintos límites.

Continuidad:

Definición

Discontinuidad

Propiedades de las funciones continuas

Semana 10 Lectura del texto del capítulo 7, dedicado a derivación y diferenciación de varias variables, y a la realización de los ejercicios propuestos en él.

Más concretamente el alumno deberá estudiar:

Diferenciación.

Derivadas sucesivas.

Desarrollo de funciones de dos variables.

Diferenciación Definición de derivada parcial primera. Interpretación geométrica de la derivada parcial primera. Definición de función diferenciable. Aplicaciones económicas El diferencial total. Aplicaciones económicas. Derivadas sucesivas:

Definición de derivada parcial segunda.

Teorema de Schwarz. Diferenciales sucesivos.

Desarrollo de funciones de dos variables:

Fórmula de Taylor.

Fórmula de Mac Laurin.

Semana 11 Lectura del texto del capítulo 7, dedicado a derivación y diferenciación de varias variables, y a la realización de los ejercicios propuestos en él.


Derivación de funciones compuestas.

Derivación de funciones compuestas.

Ejemplos 20 a 26

Derivación de



Derivación de funciones implícitas.

Funciones homogéneas.

funciones implícitas.

Ejmplos 27 a 29 Funciones homogéneas. Teorema de Euler y ejemplos.

Semana 12 Lectura del texto del capítulo 8, dedicado a la optimización de funciones varias variables, y a la realización de los ejercicios propuestos en él.


Extremos de funciones de varias variables

Extremos locales para funciones de dos variables

Generalización a más de dos variables.

Extremos locales para funciones de dos variables

Definición.

Condición necesaria para la existencia de extremos relativos.

Interpretación geométrica

Condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos.

Búsqueda de extremos paso a paso.

Generalización a más de dos variables.

Semana 13 Lectura del texto del capítulo 8, dedicado a la optimización de funciones varias variables, y a la realización de los ejercicios propuestos en él.


Extremos condicionados para funciones de varias variables

Extremos condicionados para funciones de dos variables

Generalización a más de dos variables y múltiples restricciones.

Localización de extremos absolutos en una región cerrada y acotada.

Semana 14 Preparación del examen. El alumno repasará la teoría y problemas de límites y continuidad. El alumno repasará la teoría y problemas de derivación y diferenciación. El alumno realizará los exámenes de los dos años anteriores. Las preguntas relativas a límites y derivadas.

El examen consta de 10 preguntas tipo test de teoría y problemas Pregunta 1. Resolver un límite de una o varias variables o un problema de

MATEMÁTICAS II


continuidad. Pregunta 2. Conceptos teóricos relacionados con límites o continuidad. Pregunta 3. Resolver una derivada de una o varias variables. Pregunta 4. Concepto teórico sobre derivación o diferenciación. Pregunta 5. Problema de integración. Pregunta 6. Teoría de integración. Preguntas 7,8,9 y 10. Calcular extremos de varias variables y teoría de esta área. Problemas 2 y teóricas 2.

Semana 15 El alumno repasará la teoría y problemas de integración. El alumno repasará la teoría y problemas de optimización de varias variables. El alumno realizará los exámenes de los dos años anteriores. Las preguntas relativas a integración y cálculo de extremos de varias variables.

Se trata de que alumno pueda alcanzar sin dificultad el aprobado conociendo solamente los temas dedicados a una variable.

Los cuatro puntos restantes se conseguirán si dominan los tres últimos temas.

2.- ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO DE LOS CONTENIDOS

2.1 Introducción

En este apartado incluimos algunos consejos sobre la forma de preparar la asignatura. Dado que la procedencia de los estudiantes es muy diversa, en esta guía consideramos que el nivel mayoritario es el de los alumnos que han cursado un bachiller de ciencias sociales o similares.

2.2 Materiales



En el texto propuesto como bibliografía básica, Matemáticas II. Grado ADE UNED: Cálculo para Empresarios y Economistas., se encontrará el desarrollo teórico de todos los bloques que componen el programa de la asignatura. En dicho texto se proponen ejercicios para afianzar los conocimientos adquiridos.

Como bibliografía complementaria se propone un libro de ejercicios resueltos, Problemas de Matemáticas para Economía, Administración y Dirección de Empresas Ángel Muñoz Alamillos et Al. Ediciones Académicas. 2ª Edición donde se reúne una colección de ejercicios resueltos ampliamente desarrollos.

2.3 Ejercicios de autoevaluación

Los ejercicios propuestos en el libro recomendado en la bibliografía complementaria van acompañados de sus soluciones. Puede ser un buen sistema de autoevaluación el realizar los ejercicios propuestos y comprobar los resultados obtenidos analizando tanto la corrección del mismo como las posibles formas alternativas de resolver los ejercicios.

2.4 Estrategias del aprendizaje

Como estrategia general para el estudio de toda la asignatura se plantea ir siguiendo en cada bloque temático el desarrollo que se incluye en el cronograma de la asignatura. Podemos no obstante dar unos breves consejos que ayudarán a obtener los mejores resultados: Comprobar si se tiene el nivel de conocimientos previos necesario antes de abordar el estudio de

cada tema. Para ello podemos hacer uso del curso cero, realizando las autoevaluaciones de los apartados cuyos contenidos se correspondan con la unidad didáctica que vayamos a abordar

Una vez conseguido el nivel adecuado, aplicaremos el plan de trabajo propuesto en el cronograma, realizando tanto las actividades teóricas (realización de esquemas y lectura de textos) como practicas (análisis de los ejemplos desarrollados en el texto y resolución de los ejercicios propuestos en cada tema).

Al finalizar el estudio de cada unidad conviene hacer un repaso de aquellos apartados que les hayan resultado de especial dificultad.

Una vez finalizado el estudio de cada unidad didáctica se recomienda realizar ejercicios propuestos en exámenes de cursos anteriores.

Se recomienda reservar un periodo al final del cuatrimestre (una o dos semanas) para hacer un repaso general del temario, encaminado especialmente a la preparación específica del examen.

2.5 Conocimientos previos e introducción: Funciones reales de variable real

2.5.1. Introducción

En esta unidad trabajamos con el concepto de función. Este debe ser conocido para la mayoría de los estudiantes, no obstante se realiza un estudio detallado comenzando por su definición y significado.

2.5.2. Resultados del aprendizaje

Una vez finalizada esta unidad el alumno deberá: Ser capaz de expresar con notación matemática problemas en los que intervienen dos variables, una

dependiente y otra independiente. Ser capaz de interpretar las gráficas de funciones determinando su crecimiento/decrecimiento o los

puntos notables de la misma (máximos, mínimos y puntos de inflexión).

MATEMÁTICAS II


Poder representar la gráfica de una función a partir del estudio analítico de la misma. Saber calcular la elasticidad de cualquier función.

2.5.3. Contextualización

El estudio de las funciones reales de variable real está presente en numerosos temas de economía, ya que muchos de los fenómenos económicos se representan mediante funciones (oferta, demanda, producción…) y su comportamiento se analiza utilizando conceptos como el crecimiento, la monotonía, los extremos,…. Por otro lado, los conceptos estudiados en esta unidad suponen un primer avance para el estudio de funciones de varias variables. Estas se tratan en la siguiente unidad y es una realidad que la mayoría de los fenómenos estudiados en economía necesitan considerar más de una variable.

2.5.4. Conocimientos previos

Antes de abordar esta unidad didáctica el alumno deberá: Saber formalizar relaciones funcionales sencillas. Identificar y distinguir las variables dependientes e independientes. Conocer el concepto de dominio y recorrido de una función.

2.6 Unidad Didáctica 1: Limites y continuidad


En esta unidad vamos a tratar el concepto de límite y los métodos de resolución. Posteriormente se introduce el concepto de continuidad


Una vez finalizada esta unidad didáctica el estudiante deberá haber obtenido los siguientes resultados: Comprender el concepto de límite. Dominar los distintos métodos de resolución de límites. Saber qué es una asíntota y su cálculo. Poder determinar la continuidad de funciones, distinguiendo en el caso de las funciones discontinuas

de qué tipo de discontinuidad se trata. Conocer las distintas aplicaciones de los límites y la continuidad en Matemáticas, en Economía y en

la Administración y Dirección de Empresas.


El aspecto más importante de esta unidad es el referido al cálculo de límites y al concepto de continuidad. Conceptos fundamentales para poder entender la siguiente unidad didáctica, en el que la tasa de variación instantánea de una función se define como un límite.


Para abordar el tema es necesario dominar los siguientes aspectos: Usar la notación de subíndices para ordenar e identificar los términos de una sucesión.



Conocer la notación matemática relativa a los sumatorios y sus principales propiedades. Dominio comprensivo del concepto de límite.

2.7 Unidad Didáctica 2: La Derivada.


En este capítulo se centra la atención en el concepto de derivada como idea fundamental del cálculo y de las matemáticas superiores.


Una vez finalizada esta unidad didáctica el estudiante deberá haber obtenido los siguientes resultados: Comprender la definición de derivada. Saber calcular la derivada como un límite. Conocer el significado de la derivada como tasa de variación y como pendiente de la tangente a la

curva. Entender el concepto de función derivada y su diferencia con la derivada. Aplicar las distintas técnicas de derivación. Saber el concepto de diferencial. Aprender a utilizar la derivada para el cálculo de los valores extremos de una función. Aprender los criterios aplicables para el cálculo de máximos y mínimos, absolutos o relativos. Conocer algunas de las muchas aplicaciones de la derivada en Matemáticas, en Economía y en la

Administración y Dirección de Empresas


Es un paso más que va a permitir calcular la tasa de variación de la función en un instante determinado. Es el paso natural del límite y necesario para la próxima unidad didáctica dedicada a la integración..


Para abordar el tema es necesario dominar los siguientes aspectos: Concepto de límite. Concepto de continuidad.

2.8 Unidad Didáctica 3: La Integración


En este capítulo se centra la atención en el concepto de integral como idea fundamental del cálculo y de las matemáticas superiores. El cálculo integral es en esencia un método para encontrar la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acción de una magnitud variable. Evidentemente, este problema es recíproco del problema de cálculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por "integración".


MATEMÁTICAS II


Una vez finalizada esta unidad didáctica el estudiante deberá haber obtenido los siguientes resultados: Aprender qué es una función primitiva. Concretar qué es una integral indefinida. Comprender que la integración es el proceso inverso a la derivación. Instruirse en los distintos métodos de integración. Aprender qué es una integral definida. Aplicación de la integral al cálculo de áreas Conocer las aplicaciones económicas de la integral


Evidentemente, este problema es recíproco del problema de cálculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por "integración".. En esta unidad vemos como obtener una función a partir de su derivada. Es evidente la utilidad de este proceso, ya que a partir de las funciones marginales (por ejemplo los costes marginales) podemos obtener la función total (costes totales). Además su comprensión resulta imprescindible a la hora de estudiar las distribuciones de probabilidad.


Para abordar el tema es necesario dominar los siguientes aspectos: Concepto de límite. Concepto de continuidad. Concepto de derivada.

2.9 Unidad Didáctica 4: Funciones de varias variables


En la unidad anterior hemos estudiado las funciones reales de una variable real. Sin embargo, la mayoría de los fenómenos económicos involucran más de una variable. Por ejemplo, la demanda de un bien depende de su precio, de los precios de los bienes complementarios, de los gustos del consumidor, de los precios de otros bienes,…Por ello se hace necesario estudiar las funciones de varias variables. En una primera aproximación estudiaremos fundamentalmente las funciones de dos variables. De esta forma estamos introduciendo un método de trabajo distinto al usado hasta ahora y que se puede generalizar fácilmente al caso de más de dos variables. A pesar de las diferencias que supone la ampliación del número de variables, las analogías con el estudio de funciones reales de variable real son numerosas. Por ello es conveniente afianzar bien todos los conceptos de cálculo de límites, estudio de continuidad, derivabilidad, etc. que se han estudiado en la unidad anterior.


Una vez finalizado el estudio de esta unidad el alumno deberá: Ser capaz de expresar utilizando notación matemática problemas en los que intervienen mas de dos

variables.



Poder determinar la continuidad de funciones.


Es un paso necesario para la comenzar el estudio de la segunda parte de la asignatura dedicado a varias variables. . En esta unidad aplicamos una buena parte de los contenidos estudiados en las unidades anteriores, funciones, límites y continuidad, como paso previo a la derivación y diferenciación de varias variables y a la optimización.


Para abordar con éxito esta unidad es necesario: Haber estudiado los conceptos relativos a funciones reales de variable real que se han introducido

en el apartado anterior. Concepto de límite y continuidad. Recordar algunos conceptos relativos a álgebra, como el cálculo de determinantes

2.10 Unidad Didáctica 5: Diferenciación y derivación

Trata los mismos conceptos explicados en el Tema 2 para varias variables salvo la optimización de funciones de varias variables.

2.11 Unidad Didáctica 6: Optimización de varias variables.

Explica los conceptos tratados en el Tema 2 en la parte de optimización pero en el caso de varias variables. 3.- ORIENTACIONES PARA LA REALIZACIÓN DEL PLAN DE ACTIVIDADES El plan de actividades se debe desarrollar siguiendo las indicaciones del cronograma incluido en el plan de trabajo del primer apartado de la guía. Debe añadirse a este plan de actividades las propuestas para la evaluación continua que se publicaran a lo largo del curso. Se recomienda la realización de las actividades propuestas en las fechas indicadas. El objetivo de estas actividades es comprobar si se han entendido los conceptos y métodos de resolución de ejercicios estudiados en cada unidad. La información se irá actualizando en cuanto se ponga en marcha el espacio virtual correspondiente a la asignatura. 4.- GLOSARIO

MATEMÁTICAS II


Asíntotas: Son rectas a las que se aproxima la función cuando alguna de las variables tiende a infinito.

Continuidad: es la propiedad de las funciones que intuitivamente podemos expresar como la posibilidad de

representarla de un único trazo.

Derivada: es la función que se obtiene al ir calculando la pendiente de una función dada en cada punto de

su dominio.

Diferencial: En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa la parte principal del

cambio en la linearización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente.

Dominio: Es el conjunto de puntos para los cuales está definida una función.

Elasticidad: es la relación entre las variaciones porcentuales producidas en una función, debidas a

variaciones porcentuales de alguna de sus variables.

Hessiano: Se llama determinante hessiano de una función, al jacobiano de sus derivadas primeras

Infinitésimo: Cantidad infinitamente pequeña que se puede definir como un límite.

Integral: Es el conjunto formado por las primitivas de una función.

Jacobiano: Es un determinante funcional construido con las n derivadas parciales primeras de n funciones

de n variables

Límite: es el punto al cual se acerca una sucesión o una función cuando su variable tiende a infinto o a un

valor dado en el caso de las funciones.

Primitiva: De una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Serie. Es una sucesión cuyos términos son las sumas parciales de los elementos de una sucesión. Sucesión. Es un conjunto de números en correspondencia con el conjunto ordenado de los números reales. Wronskiano. Es un determinante funcional construido a partir de n funciones y sus n-1 derivadas sucesivas.

2 parte guia asignatura matematicas ii (1)

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