7

7

2. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA Y PERDIDAS DE CALOR EN 2. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA Y PERDIDAS DE CALOR EN 2. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA Y PERDIDAS DE CALOR EN 2. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA Y PERDIDAS DE CALOR EN SISTEMAS TUBERIASSISTEMAS TUBERIASSISTEMAS TUBERIASSISTEMAS TUBERIAS

· El calor se define como la energía que se transfiere como resultado de la

diferencia de temperatura. ···· En un proceso de inyección de vapor, parte del calor que se transporta

en forma de vapor, en líneas y tuberías, se pierde antes de llegar a su destino final en el fondo del pozo. Se requieren, entonces, cuantificar el calor que se pierde y que permanece en el vapor en un tiempo dado.

···· 2.1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR.2.1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR.2.1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR.2.1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR. Se han caracterizado tres formas de transferencia de calor bien diferenciadas aunque interrelacionadas: conducción, convección y radiación. · CONDUCCIÓN. CONDUCCIÓN. CONDUCCIÓN. CONDUCCIÓN. Transferencia de calor que ocurre a través de un

cuerpo y desde la zona de mayor temperatura a la de menor temperatura ó entre dos cuerpos en contacto con diferente temperatura. La distribución de temperatura en un cuerpo a través del cual fluye calor se representa por:

t

T

Dq

z

T

y

T

x

T

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ 1

2

2

2

2

2

2

=+++ (1)

la constante D de la ecuación (1) representa la difusividad térmica del material. Para flujo continuo, en el cual la temperatura de los cuerpos no cambia con el tiempo, la solución de la ecuación (1) conocida como la ley Fourier 3 se relaciona como:

X

T A q∂∂

λ−= (2)

en la ecuación ( 2 ) se tiene:

q : flujo de Calor. Btu / hr.

A : Area efectiva a través de la cual ocurre la transferencia.

λ : Conductividad Térmica del material. F.Pie.hr

Btu°

x

T

∂∂

: Gradiente de temperatura a través del cuerpo.

Para flujo radial la ecuación (2) se convierte en:

)r/r( ln

T h q r

12

2 ∆λπ= (3)

CONVECCIÓN. CONVECCIÓN. CONVECCIÓN. CONVECCIÓN. Relaciona la transferencia de calor desde una superficie hacia un fluido en movimiento en contacto con ella, ó desde este hacia ella. La convección se modela de acuerdo a la ecuación siguiente:

( )21 TTAhq c −= (4)

en la ecuación anterior se tiene: q : Flujo de calor por convección, Btu / tiempo.

A : Área a través ocurre la transferencia.

ch : Coeficiente de transferencia por convección.

1T : Temperatura mayor.

2T : Temperatura menor.

El coeficiente de transferencia ch depende de la geometría de la superficie,

de la temperatura de los cuerpos y el tipo de convección forzada ó libre. Para inyección de vapor, la convección puede ser:

8

8

· Convección Interna: El vapor fluye al interior de la tubería y calienta las

paredes internas de esta. En este caso ch tiene un valor fijo conocido.

· Convección Libre: la superficie de la tubería, a mayor temperatura, entrega calor al aire circundante del medio ambiente. De acuerdo a la velocidad del viento, esta convección puede ser libre ó forzada. Para

cada caso se tienen, en literatura, expresiones para obtener ch . RADIACIÓN. RADIACIÓN. RADIACIÓN. RADIACIÓN. Transferencia de energía térmica por fenómenos electromagnético. Calor que fluye entre dos cuerpos con distinta temperatura pero sin contacto físico. También se define como el color que irradia un cuerpo en virtud de su temperatura. La radiación se obtiene de acuerdo a la ecuación de de Stefan - Boltzman 3 , la cual se escribe como:

( )424

1 TTAq −≠= σ (5)

en la ecuación anterior se tiene: q : Flujo de calor por radiación, Btu / tiempo.

A : Área a través ocurre la transferencia. ≠ : Factor de Forma.

1T : Temperatura mayor. (°R)

2T : Temperatura menor. (°R)

σ : Constante de Boltman, de magnitud conocida definida como:

σ : constante de Stefan - Boltzman. = 0.1714 x10- 8. (. .

)Btuhr ft R

2 4o

≠ : Factor que depende de la geometría del área y de la emisividad del material.

La ecuación de radiación también se puede escribir de la siguiente forma 3:

( )21 TT hr A q −= (10)

donde el coeficiente hr se conoce coeficiente de transferencia de calor por radiación y al comparar las expresiones (9) y (10) se nota que está dado por:

( )( )[ ]2122

21

81017140 TTTT.)..( hr ++≠×= − (11)

El término ≠ se calcula de la siguiente forma: · Para flujo en tuberías: ≠ es igual a la unidad (1) · Para flujo en anular de tuberías concéntricas :

·

−+=

≠1

111

22

1

1 ςς r

r

(12)

donde: r1 y r2 identifican los radios menor ó interno y mayor ó externo respectivamente; y ςi y ς2 las emisividades correspondientes.

Observación. Observación. Observación. Observación. Se puede notar de las expresiones anteriores, que para obtener

ch y rh se requiere conocer tanto la temperatura mayor 1T como la

superficie menor 2T .

2.22.22.22.2 PERDIDAS DE CALOR EN SISTEMAS TUBERÍAS.PERDIDAS DE CALOR EN SISTEMAS TUBERÍAS.PERDIDAS DE CALOR EN SISTEMAS TUBERÍAS.PERDIDAS DE CALOR EN SISTEMAS TUBERÍAS. 2.2.12.2.12.2.12.2.1 Perdidas De Calor en Lineas De Superficie. Perdidas De Calor en Lineas De Superficie. Perdidas De Calor en Lineas De Superficie. Perdidas De Calor en Lineas De Superficie. Considere el flujo de un fluido a alta temperatura el cual fluye en un sistema de tuberías concéntricas – tubería y aislante – el cual entrega calor al medio ambiente. Se considera: · Convección Interna. El fluido calienta las paredes internas de la tubería. · Conducción en tubería: A través de las paredes de la tubería. · Conducción en aislante. A través de las paredes del aislante. · Convección y radiación hacia el medio. La corriente de aire circundante

recoge calor de las paredes de la tubería y esta irradia calor al medioi ambiente en virtud de su temperatura.

9

9

Los flujos de calor considerados, se describen como: · Convección Interna. La corriente de fluido calienta las paredes internas

de la tubería.

( )1112 TThcLrq s −= π

( )11

12 hcLr

qTTs π=− (13)

· Conducción en la Tubería. El El calor atraviesa las paredes de la tubería.

( ))/ln(

2

12

21

rr

TTLq t −=

λπ

( ) )r/r(LnL

qTT

t

12212 λπ

=− (14)

· Conducción a través de las paredes del aislante.

( ) )r/r(LnL

qTT

a

23322 λπ

=− (15)

· Conducción y radiación de las paredes del aislante hacia el medio ambiente.

( )( )rc

ahhLr

qTT

+=−

3

32π

(16)

Además se puede descomponer:

( ) aas TTTTTTTTsTT −+−+−+−=− 332211 (17)

En flujo continuo, el flujo de calor que atraviesa el sistema completo de tuberías concéntricas equivalen al flujo de calor que atraviesa un componente del sistema en particular. Con las ecuaciones (13), (14),m (15) y (16), se obtiene:

( ) ( ) ( )( )

++++=−

hr.hcr

r/r Lnr/r Ln

rhc q

L

qTT

3as

11

2 2

23

1

12

11 λλπ

(18) Al resolver de la expresión (18) para el flujo de calor, se obtiene:

( )

)hrhc(r

)r/r(ln)r/r(ln

hcr

TT Lq

ai

as

++++

−=

3

23

1

12

1

11

2

λλ

π (19)

10

10

La expresión para el flujo de calor, que atraviesa un sistema de tuberías concéntricas se suele escribir de la forma siguiente.

( )as* TTULrq −= π2 (20)

En expresión anterior, la variable U se conoce como coeficiente de transferencia de calor total. Al comparar las expresiones (19) y (20) se observa una expresión para el coeficiente U.

)hrhc(r

r)r/rln(r)r/r(lnr

hcr

rU

*

a

*

t

*

ii

*

++++

=

3

2312

1

λλ

(21)

En la expresión anterior, la variable *r se conoce como radio de referencia y puede tomar el valor de cualquiera de los radios que intervienen en las áreas de flujo de calor denotadas en el esquema inicial. Si solo se considera el flujo de calor hasta la superficie externa del aislante, entonces, el flujo de calor se obtiene con la expresión (20), escrita como:

( )32

*

2 2 TTULrq s −= π (22)

En este caso, el coeficiente de transferencia 2U se calcula como:

a

*

t

*

ii

* )r/rln(r)r/r(lnr

hcr

rU

λλ2312

2

1

++

= (23)

Procedimiento para obtener el flujo de calor en un Sistema de Tuberías Procedimiento para obtener el flujo de calor en un Sistema de Tuberías Procedimiento para obtener el flujo de calor en un Sistema de Tuberías Procedimiento para obtener el flujo de calor en un Sistema de Tuberías concéntricas en superficie. concéntricas en superficie. concéntricas en superficie. concéntricas en superficie. Cuando se quiere aplicar la ecuación (20) para obtener el flujo de calor se requiere obtener el coeficiente .U Sin embargo, para hallar el coeficiente de transferencia total implica conocer la temperatura de la superficie externa del aislante, en este caso desconocida. El procedimiento propuesto se compone:

· Suponer la temperatura 3T .

· Hallar los coeficientes de transferencia ch y rh .

· Obtener el coeficiente total U con expresión. (21). · Hallar el flujo de calor con expresión (20).

· Hallar el coeficiente de transferencia 2U con (23).

· Resolver para 3T de (22) y comparar con el valor supuesto.

2.2.2 CALCULO DE 2.2.2 CALCULO DE 2.2.2 CALCULO DE 2.2.2 CALCULO DE PERDIDAS DE PERDIDAS DE PERDIDAS DE PERDIDAS DE CALOR EN EL POZO. CALOR EN EL POZO. CALOR EN EL POZO. CALOR EN EL POZO. Willhite plantea el siguiente esquema para desarrollar su propuesta de cálculo de pérdidas de calor en el pozo en el cual se inyecta un fluido con temperatura Ts. Suposiciones: · Se desprecian pérdidas por efectos de energía cinética (Ek), energía

potencial ( Ep) y fricción.

11

11

· La temperatura del fluido permanece constante en la tubería. · La conductividad (λ) y difusividad (D) térmica de la formación se

consideran términos constantes. Se requiere el planteamiento de dos ecuaciones para el flujo de calor, primero para el sistema de tuberías concéntricas y segundo para el flujo de calor por conducción a través del medio poroso. · Flujo De Calor A Través Del Sistema De TuberíasFlujo De Calor A Través Del Sistema De TuberíasFlujo De Calor A Través Del Sistema De TuberíasFlujo De Calor A Través Del Sistema De Tuberías. l calor que fluye

desde la tubería de inyección hasta la cara de la formación se obtiene como:

( )hs TTUZrq −= *2π (24)

El coeficiente de transferencia de calor total (U)(U)(U)(U). se obtiene como:

sc

ati

rrhrrrr

hrhcr

rrrrrrr

hcr

rU

λλ

λλ

)/ln()/ln(

)(

)/(Ln )/ln(

5

*

54

*

3

*

23

*

12

*

*

*1

++

++++=−

La tubería presenta una conductividad térmica alta comparada con el aislante, el cemento y la formación. Por lo tanto, de desprecia las pérdidas de calor a través de ellas para disminuir el número de variables.

sa

rrhr

hrhcr

rrrrU

λλ)/ln(

)(

) / ln( 5

*

3

*

23

*1 +

++=− (25)

Para encontrar los coeficientes de transferencia por convección y radiación señalados en la ecuación (25) se requiere conocer la temperatura del casing

(T4) y del aislante 3T .

· Flujo De Calor A Traves De Un Medio Poroso. Flujo De Calor A Traves De Un Medio Poroso. Flujo De Calor A Traves De Un Medio Poroso. Flujo De Calor A Traves De Un Medio Poroso. El flujo de calor a través de la formación se puede modelar utilizando la ecuación de difusividad del calor para flujo radial continuo, a saber:

t

T

Dr

T

rr

T

∂∂

∂∂

∂∂ 11

2

2

=+

Una solución de la ecuación anterior la plantea Ramey 8 para calcular el flujo de calor a través de la formación y se presenta a acontinuación.

)(

)( 2

tf

ZTrThq r −=

λπ (26)

En la ecuación anterior la función de tiempo f(t) en el denominador tiene la siguiente forma:

0.29r

D.t2lnf(t)

h

−

= (27)

donde hr se expresa en pies, en tiempo ( t ) y la difusividad D se expresan en unidades compatibles. La expresión (27) se utiliza siempre y cuando el

tiempo ( )t sea mayor que siete dias. Para tiempos menores el valor

correspondiente de ( )tf se obtiene de una correlación gráfica8.

· Calculo De Las Perdidas De Calor. Calculo De Las Perdidas De Calor. Calculo De Las Perdidas De Calor. Calculo De Las Perdidas De Calor. Para hallar el calor q se requiere

hallar el coeficiente total u y la temperatura de la cara de la formación

hT . Se requiere, entonces, el planteamiento de un procedimiento

12

12

iterativo que, en este caso, depende de la presencia ó ausencia del aislante.

⋅ Tubería Inyección Sin Aislante. Tubería Inyección Sin Aislante. Tubería Inyección Sin Aislante. Tubería Inyección Sin Aislante. En este caso la ecuación para obtener U

se transforma a:

( )

+

+=−

s

h

rc

rrr

hh

rU

λ)/(ln 5

**1 (28)

Para obtener ch y rh se requiere la temperatura conocida del fluido y la

temperatura en la cara interna del cemento 4T . Se desarrolla un

procedimiento de la forma siguiente. · Para flujo continuo, el calor que fluye a través del sistema de tuberías

equivale al flujo de calor a través de la formación. Se igualan, luego, la

expresión (21) y (23) y se resuelve para hT .

( )ZTTsUrtf

ZTTh

rhr −=−

* 2)(

)(2π

λπ

)(

)(*

*

tfrUr

rUtfTsTrT rh +

+=

λλ

(29)

En las expresiones anteriores, la variable rT indica la temperatura de la

formación y rλ la conductividad de la formación.

· Para flujo continuo, el calor que fluye a través del sistema de tuberías equivale al flujo de calor por conducción a través del cemento. Se iguala en flujo dado por la expresión (24) con el flujo a través del cemento y se

resuelve para la temperatura en la cara interna del cemento 4T .

( ))/(

)( 2 2

5

5*

rrLn

TTZZTTsUr

h

hsh

−=−

λππ

( ) ( )s

hhsh

rrTTUrTT

λ5

*

4

/ln −+= (30)

Procedimiento para el Cálculo de CalorProcedimiento para el Cálculo de CalorProcedimiento para el Cálculo de CalorProcedimiento para el Cálculo de Calor. El procedimiento usado propuesto de tubería sin aislante, se detalla.

- Suponer 4T y evaluar los coeficientes ch y rh .

- Hallar el coeficiente U utilizando la ecuación (28).

- Hallar hT utilizando la (29).

- Hallar 4T con la ecuación (30) y comparar con el valor supuesto.

- Calcular el flujo de calor q .

Tubería Inyección con Aislante. Tubería Inyección con Aislante. Tubería Inyección con Aislante. Tubería Inyección con Aislante. Para el cálculo de flujo de calor en tubería con aislante se ignoran las pérdidas a través del cemento. Así la expresión para hallar U varía a:

)(

)/(ln

3

*

32

*1

rca hhr

rrrrU

++=−

λ (31)

Para usar la ecuación (31) se requiere conocer la temperatura de la superficie

externo del aislante y la correspondiente a la superficie del casing 4T , en

este caso, equivalente a la temperatura en la cara de la formación hT .

13

13

La expresión para el calor transmitido por conducción a través del aislante, se detalla como:

)/ln(

)(2

23

32

rr

TTZq a −=

λπ (32)

Al igualar esta expresión con la correspondiente al flujo a través del sistema

de tuberías completo y resolver para 3T , se tiene:

( ))/ln(

)(22

23

32*

rr

TTZTTZUr ahs

−=−

λππ

a

rrrUTT

λ)/ln( 32

*

23 −= (33)

Para flujo continuo, el flujo de calor en la formación equivale al flujo de calor en el aislante, luego:

)/ln(

)(2

)(

)( 2

23

32

rr

TTZ

tf

ZTrThq ar −

=−

=λπλπ

Al resolver para hT , igual a 4T , se obtiene:

rTr

tf

rr

TTaT +

−=

λλ )(

.)/ln(

)(.

23

324 (34)

Procedimieno Para Obtener El Flujo De CalorProcedimieno Para Obtener El Flujo De CalorProcedimieno Para Obtener El Flujo De CalorProcedimieno Para Obtener El Flujo De Calor. Un procedimiento propuesto se detalla.

· Suponer la temperatura externa del aislante 3T .

· Hallar la temperatura del revestimiento 4T con (34).

· Hallar el coeficiente total U de (31). � Hallar la temperatura del aislante con (33) y comparar con el valor

supuesto.

2.3 BALANCE2.3 BALANCE2.3 BALANCE2.3 BALANCE DE CALOR DURANTE LA INYECCIÓN DE UN FLUIDO DE CALOR DURANTE LA INYECCIÓN DE UN FLUIDO DE CALOR DURANTE LA INYECCIÓN DE UN FLUIDO DE CALOR DURANTE LA INYECCIÓN DE UN FLUIDO

MONOFÁSICO.MONOFÁSICO.MONOFÁSICO.MONOFÁSICO. En las secciones anteriores se presentan las ecuaciones y procedimientos para obtener el flujo de calor hacia el medio circundante desde un sistema de tuberías concéntricas en el cual fluye un fluido a alta temperatura. Cuando el fluido se trata de vapor húmedo saturado, la temperatura se mantiene constante é igual a la temperatura de saturación del vapor. Las pérdidas de calor ocurren a expensas del calor latente de vaporización, es decir, la calidad del vapor disminuye en la dirección de flujo. Cuando se trata de agua caliente ó vapor sobrecalentado, las pérdidas de calor permiten la disminución de temperatura debido a la pérdida de calor sensible a lo largo de tubería de inyección y se requiere, entonces, conocer la distribución de temperatura para luego calcular el contenido de calor a la profundidad de inyección. 2.3.1 Distribución De Temperatura Con Distancia. 2.3.1 Distribución De Temperatura Con Distancia. 2.3.1 Distribución De Temperatura Con Distancia. 2.3.1 Distribución De Temperatura Con Distancia. Dada la situación descrita en el siguiente esquema, hallar la distribución de temperatura en función de la posición x.

Blce Energía

∆Ec = 0 ∆Ev = 0 Pérdidas fricción = 0

14

14

donde: Ta = Temperatura ambiente ∆x = Longitud tramo Tf = T2. = Temperatura del fluido al final del tramo T2. T1 = Temperatura del fluido al comienzo tramo

Se obtiene un balance energético entre los dos extremos del tramo ignorando: cambios en energía cinética, cambios en energía potencial, pérdidas de energía por fricción, pérdidas de calor por trabajo involucrado en el flujo, pérdidas energéticas por eventos de depositación etc.

· Ecuación de balance de energía.

qVPVPUU =−+− 112212

( ) ( ) HHHqVPUVPU ∆=−==+−+ 12111222 (32)

donde:

iU : Energía interna del fluido.

iV : Volumen específico.

iH : Entalpía.

q : Calor que atraviesa el sistema.

El flujo de calor hacia el ambiente se representa como:

( )a, TTXUrq −∆π= 2 (33)

De la definición del calor específico se resuelve para pC y se encuentra una

expresión alterna para el cambio de la entalpía H∆ .

( )12 TTCmTCmH p

.

p

.

−=∆=∆ (34)

la comparación las expresiones anteriores se puede encontrar que:

( ) ( )122 TTCmTTXUrq p

.

a

, −−=−∆π=

al considerar el incremento en distancia lo suficiente pequeño de forma que el incremento se iguale al diferencial, se obtiene:

( ) TCmTTxUrq p

.

a

, ∂−=−∂π= 2

Al separar variables, se obtiene:

( )x

Cm

Ur

TT

T

p

.

,

a

∂π

−=−

∂ 2 (35)

Se aplica el siguiente reemplazo para simplificar el desarrollo:

Ur

CpmA

,

.

π=2

(36)

∫∫ −=−

T

T

x

)TaT(

dT

A

dx

00

( )( ) A

x

TaT

TTln a −=

−

−=

0

al resolver para Tf de la ecuación anterior, se encuentra que:

( )

−

−+= A

x

aa TTTT l0 (37)

Con la expresión anterior se obtiene la temperatura del fluido monofásico cuando este fluye a través de un sistema de tuberías concéntricas en superficie. El procedimiento propuesto consiste:

15

15

Procedimiento Propuesto para encontrar el perfil de temperatuProcedimiento Propuesto para encontrar el perfil de temperatuProcedimiento Propuesto para encontrar el perfil de temperatuProcedimiento Propuesto para encontrar el perfil de temperatura.ra.ra.ra. · Fijar un tramo de longitud X∆ · Suponer una temperatura del fluido T al final del tramo considerado.

· Hallar la temperatura promedio en el tramo T .

· Hallar el coeficiente de transferencia de calor U con T como temperatura del fluido.

· Calcule la variable muda A con ecuación (36). · Calcular la temperatura del fluido T y comparar con el valor supuesto. Observación: · De acuerdo a la expresión (37) la temperatura del fluido se aproxima a la

temperatura ambiente cuando la distancia cuando la distancia X∆ toma un valor alto.

· Se puede diseñar un método alterno que involucre en forma simultánea las pérdidas de calor y presión en flujo monofásico.

2.3.2 Variación De L2.3.2 Variación De L2.3.2 Variación De L2.3.2 Variación De La Temperatura Con La Profundidad.a Temperatura Con La Profundidad.a Temperatura Con La Profundidad.a Temperatura Con La Profundidad.Se considera el siguiente esquema descriptivo en el cual se selecciona un tramo de tubería dado (∆Z): Ecuación de balance de Energía.Ecuación de balance de Energía.Ecuación de balance de Energía.Ecuación de balance de Energía.

2

22

22

21

1122

Qgc

mVZ

gc

mgHQ

gc

mVZ

gc

gmH −++=−++ →

( ) 12

21

22

12122

QQgc

)VV(mZZ

gc

gm)HH( −=

−+−+−

Al asumir el incremento en profundidad igual al diferencial se encuentra que:

dQVdg

mdz

gc

gmdH v =++

al desprecia luego el cambio en energía cinética, se llega entonces a:

dQgc

mgdZdH =+

Ahora de las relaciones fundamentales en termodinámica se conoce que: dH = dU + PdV +VdP pero para fluidos incomprensibles no se presenta cambio en volumen específico (dV = 0) y por lo tanto la ecuación desarrollada se simplifica a:

dQVdPdZgc

gmdU =++

ahora, en flujo flujo vertical, despreciando fricción, las perdidas de presión son equivalentes al efecto gravitacional lo cual permite simplificar aún más la expresión anterior:

dQdZgc

gmdZ

gc

gmdU =−+

dQdU =

se puede utilizar además una expresión equivalente para el cambio en energía interna: dU = -m . Cv dTf

16

16

se reconoce, por lo tanto, al igualar las dos últimas expresiones que: dQ = -m . Cv dTf al dividir la ecuación diferencial anterior por el diferencial de profundidad se obtiene:

dZ

dT. m. Cv

dZ

dQ f.

−= (38)

se conoce igualmente que : dQ = 2πr. U . dZ (Tf - Th) resolviendo para la temperatura en la cara de la formación Th, se obtiene:

Th = .dZ Ur

dqTf π2− (39)

de la expresión (4.23) para hallar el flujo de calor hacia la formación se conoce que:

)t(f

)TrTh.(r.dZ dq

−=

λπ2

dZ)r(r

)t(f .dqTrTh

λπ2−= (4.40)

al operar la ecuación (4.40) menos la ecuación (4.39) se encuentra :

( ) 02

1

2=−+

+ fr TT

Urr

)t(f

dZ

dq

πλπ (41)

al reemplazar la expresión (4.38) en la (4.41), se encuentra:

( ) 02

1

2=−+

+− TfTr

dZ

dTf

Urr

)t(fmCv

πλπ

( ) 02

=−+

+− TfTr

dZ

dTf

Ur

)t(f Ur mCv

r

r

λπλ

(42)

para simplificar el manejo de la ecuación anterior se presenta una variable A:

+=

Ur

)t(f UrmCvA

r

r

λπλ

2 (43)

se puede ahora reescribir la ecuación anterior (42) como:

0=−+− TfTrdZ

dTfA (44)

La temperatura de la formación se podrá escribir como: Tr = Ta + a.Z (45) donde Ta representa la temperatura de superficie y la variable a, el gradiente geotérmico. La ecuación (45) se reemplaza en la ecuación (44) y se llega a:

− + + − =AdTf

dZaZ Ta Tf 0

Al dividir por la constante A, se obtiene dTf

dZ

a

AZ

Ta

A

Tf

A+ + − = 0

dTf

dZ

a

AZ

Ta

A

Tf

A− − − = 0 (46)

la ecuación diferencial (46) permite encontrar una función que determina la temperatura del fluido en fución de la profundidad Z. La siguiente es la

17

17

propuesta de solución: al multiplicar por dZ, la ecuación (46) asume la siguiente forma:

dTfa

AzdZ

Ta

AdZ

Tf

AdZ− − + = 0

Se construye el factor integrante l Z / A; luego:

l l l lZ A Z A Z A Z AdTf

Tf

AdZ

aZdZ

A

Ta

AdZ

/ / / /+ = + →

TfaZ

AdZ

To

AdZ

Z A Z A Z A l l l

/ / /= + ∫∫

TfaZ

AdZ To

Z A Z A Z A l l l

/ / /= +∫

Tf T aZ

AdZ

Z AoZ A

Z A

l ll/ /

/

= + ∫ (47)

Al tratar de resolver la integral del término a la derecha en la ecuación (47) se obtiene:

aZ

AdZ

Z A l

/

∫ ⇒ U=Z, dU = dZ, dVAdZ y V

Z AZ A= =

ll

//

aAZdZ a Z dZ

Z AZ A Z Al

l l

// /∫ ∫= −

[ ]= −a Z AZ A Z Al l

/ / (48)

luego se obtiene al reemplazar la ecuación (48) en la (47): Tf l Z/A = Ta l Z/A + aZ l Z/A - aA l Z/ A + C (49)

para encontrar la constante C se nota que cuando Z = 0 ⇒ Tf = Ti = temperatura del Fluido en superficie. Por lo tanto, de la ecuación (49) se obtiene: Ti = Ta ¨-aA + C C = Ti - To + aA (50) Se puede observar de la ecuación (49) y (50) que: Tf l Z/ A = To l Z/A + aZ l Z/A - aA l Z/A + [Ti - To + aA] (51) finalmente se obtiene que: Tf = Ta (t) + a Z - a A + [Ti - To + a A] l -Z/A (52) Tf (z,t) = Ta + a(Z-A) + [Ti - Ta + a A]l -Z/A (53) La ecuación (53) es válida para líquidos a través de la tubería inyección en la cual: Tf(z,t) :Temperatura a cualquier profundidad Z en pies t : tiempo en días luego de iniciar la inyección. a gradiente geotérmico To :temperatura de la tierra en superficie Ti :temperatura inicial ó del fluido en Superficie m :tasa inyección de líquido (lbs/día) Cv :calor específico líquido λr :conductividad de la tierra r* :radio referencia, generalmente radio interno de la tubería. Además, se nota que de la ecuación (40):

( )dq

dZ

Th Tr r

f t=

− − 2πλ( )

(54)

al reemplazar la ecuación (59) en la (44), se obtiene:

18

18

( )Th Tf

r U

Th Tr r

f t= −

−

1

2

2

ππλ

* ( ),

( )Th Tf

Th Tr f

f t r U= −

− λ( ) *

→ Thr

r U f tTf

Tr r

r U f t1+

= −

λ λ* ( ) * ( )

( )Th

r U f t Tf Tr r

r U f t r =

* ( )

* ( )

+

+

λ

λ (55)

Procedimiento propuesto. Procedimiento propuesto. Procedimiento propuesto. Procedimiento propuesto. - Asumir un Tf. - Calcule Tf promedio y Tr - Calcule U - Calcule A. Ecuación (43) - Calcule Tf con ecuación (53) y compare - Calcule Th - Incremente Z. Nota: observar ejercicios planteados del libro 3. 2.3.3 Calculo de la variación de la calidad. (X). 2.3.3 Calculo de la variación de la calidad. (X). 2.3.3 Calculo de la variación de la calidad. (X). 2.3.3 Calculo de la variación de la calidad. (X). Cuando se tiene vapor húmedo saturado la temperatura del fluido permanece constante siempre que la calidad - contenido de vapor - sea mayor que cero a medida que transcurre el flujo ya sea en la línea ó en la tubería. Se presentan a continuación los métodos para obtener la variación de la calidad en la dirección de flujo para la situación descrita. ⋅ Variación De La Calidad en Las Lineas Superficiales. Variación De La Calidad en Las Lineas Superficiales. Variación De La Calidad en Las Lineas Superficiales. Variación De La Calidad en Las Lineas Superficiales. Considere la

situación descrita a continuación y calcule la calidad del vapor al final del tramo:

Al plantear el equilibrio térmico se tiene: H1 = H2 +Q

m.

h1 = m.

h2 + m.

q

m.

(h1-h2) = m.

q = Q

m.

(hf1 + X1. hfg1 - hf2 -X 2. hfg2) = 2πr* U L (Tf - Ta) Considerando que las pérdidas de presión son despreciables se puede simplificar: hf1 = hf2, hfg1 = hfg2

m.

hfg (X1 - X2) =2πr* ∆L.U (Tf - Ta) X1 - X2 = 2πr*.L .U(Tf- Ta)

X Xr L U Tf Ta

m hfg2 1

2= −

−π * . ( )

( ).

∆

X XQ

m hfg2 1= −

.

.

( )

(56)

⋅ Cambio de Calidad Del Vapor Con Profundidad. Cambio de Calidad Del Vapor Con Profundidad. Cambio de Calidad Del Vapor Con Profundidad. Cambio de Calidad Del Vapor Con Profundidad. Se presenta la

propuesta de Satter 9 para obtener la pérdida de contenido de vapor - calidad - del fluido inyectado con la profundidad cuando este es vapor saturado húmedo.

Al realizar un balance energético entre los puntos 1 y 2 del gráfico señalado a continuación se puede obtener:

19

19

E2 - E = Q1

.

En cada uno de los puntos señalados se identifican los siguientes estados energéticos: - Energía Interna, Energía Presión, Energía Cinética, Energía Potencial. No obstante, al despreciar los cambios en energía cinética y las pérdidas de fricción y considerando flujo descendente y pérdidas de calor - flujo que sale-:

( )H Hmg

gcZ Z dQ2 1 2 1

778− + − = Sen (270) -

( )dq h hg

gcZ Z dh

g

gcdZ= − + − = − + - ( )2 1 2 1

778 778 (57)

se conoce igualmente que dh se puede aproximar a:

dh = -m.

hfg dX la ecuación (4.57) se transforma al usar el reemplazo anterior como:

dq = -m.

. hfg dx + m.

g

gcdZ

778 (58)

además, se conoce que:

dq = 2πr*U (Tf - Th)dZ

al recordar el procedimiento para obtener las pérdidas de presión y al utilizar la ecuación (4.26) en la anterior se obtiene:

q r U dZ TfrTr r U Tf f t

r r U f t= −

+

+

2πλλ

*.

*. . . ( )

*. ( ) =

+++−)t(f U*rr

)t(fTf U*rrTr)t(fU*rTfrTfdZ.U.*r

λλλ

π2

( )dq r U dZ

rTf rTr

r r U f t

r U dZ r Tf Tr

r r U f t=

++

=

−

+2

2π

λ λλ

π λ

λ

* .

* ( )

* . . .

* ( ) (59)

al igualar la ecuación (58) y la (59), se obtiene:

( ) .m dZ

gc

gdXhfg

)t(fU*rr

TrTfrdZU*r

−−=

+−

778

2

λλπ

( ) ( )[ ]

r.U*r

dZmgc

g)t(f.U*rr

r U*r

dXm.hfg)t(f U*rrTrTfdZ

..

λπ

λ

λπλ

2

778

2

+

++

−=−

para simplificar el manejo algebraico se reemplaza las variables siguientes en la ecuación anterior:

[ ]A

r r U f t hfg m

r U r=

+ ×λ

π λ

* ( ) .

* .

.

2 y

( )B

g

gc hfg=

× × 778 (60)

dZ(Tf - Tr)= - AdX + B . A dZ (61) se reemplaza luego en la ecuación (61); la ecuación (45) para la temperatura de la, formación :

20

20

dZ(Tf - aZ - Trzo) + AdX - B.A dZ = 0 AdX = B. A.dZ - dZ(Tf - aZ - Trzo) = BAdZ - TfdZ + aZ dZ + Trzo dz

( )A X B A T Trzo Za Z

= − + +2

2

( )A X B A T To a Zo Za Z

= − + + +2

2

( ( ) ) ( )A X

To T BA a Zo Z

A

a Z

A=

− + ++

∆ ∆ 2

2

( ( ) ) ( )A

Za

A

ZoaABTTo

Z

XoX

2

∆∆

+++−

=

− (62)

En estas ecuaciones se tiene: X : Calidad del fluido en el pozo. ∆ Z : Incremento en distancia. m : Tasa de inyección. (libm/t)

fgh : Calor latente de vaporización.

G : gravedad. Gc. : constante de conversión. Zo : profundidad a la cual se conoce X.o

0T : temperatura en superficie.

T : temperatura del fluido.

778= Factor de conversión. 1 BTU = 1.055kJ = 778 Pie - Lbf