2 ecuaciones diferencias imi 2009 utsoe manual

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL SUROESTE DE GUANAJUATO

INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS

AUTOR:

M. EN C. EMANUEL MORENO VILLANUEVA

REVISIÓN TÉCNICA:

M. EN I. JESÚS ZARATE FLORES

SEPTIEMBRE DE 2010

2

Índice

Introducción

Unidad Temática I: Conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales.

Objetivo de la asignatura

Objetivo de la unidad

Resultado de aprendizaje

Secuencia de aprendizaje

Instrumentos y tipos de reactivos

Tema 1.1 Definiciones y terminología. 09

Orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria

Ejercicios

Métodos de solución general, particular y singular de una ecuación diferencial

Ejercicios

Tema 1.2 Teorema de existencia y unicidad. 14

Ejercicios

Tema 1.3 Problema del valor inicial y de valor en la frontera. 18

Ejercicios

Tema 1.4 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos. 20

Ejercicios

Unidad temática II: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Tema 2.1 Ecuaciones de variables separables. 40

Ejercicios

Tema 2.2 Ecuaciones homogéneas y exactas. 42

Ecuaciones homogéneas

Ejercicios

Ecuaciones exactas

Ejercicios

3

Tema 2.3 Solución de ecuaciones por sustitución. 46

Factores de integración

Ejercicios

Tema 2.4 Ecuaciones lineales y de Bernoulli. 48

Ecuaciones solubles para P

Ecuaciones solubles para Y

Ecuaciones solubles para X

Ecuación de Clairaut

Ecuación de Bernoulli

Ejercicios

Tema 2.5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden. 55

Ejercicios

Evaluación del conocimiento. Parcial #1

Evaluación del producto

Evaluación del desempeño y actitud

Unidad Temática III: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden

superior.





Tema 3.1 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas.77

Ejercicios

Problema del valor inicial

Teorema de existencia y unicidad

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Dependencia e independencia lineal

4

Wronskiano

Ejercicios

Tema 3.2 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.86

Ecuación auxiliar con raíces distintas

Ecuación auxiliar con raíces repetidas

Ecuación auxiliar con raíces complejas

Tema 3.3 Ecuación diferencial lineal no homogénea. 91

Método de superposición (coeficientes indeterminados)

Método del operador anulador

Ejercicios

Tema 3.4 Aplicación de las ecuaciones de diferenciales de segundo orden.103

Clasificación de las vibraciones

Ejercicios




Unidad temática IV: Transformada de Laplace.





Tema 4.1 Definición de la transformada de Laplace. 113

Transformadas de Laplace de funciones básicas

Transformadas de Laplace de funciones definidas por tramos

Propiedades de la transformada de Laplace

Linealidad

Traslación en el eje s

5

Traslación en el eje t

Transformada de la derivada

Transformada de la integral

Ejercicios

Tema 4.2 Transformada inversa de Laplace. 120

Propiedades importantes de la transformada de Laplace

Linealidad

Ejercicios

Tema 4.3 Teoremas de traslación y derivada de una trasformada. 123

Fracciones parciales

Traslación

Traslación en el eje s

Traslación en el eje t

Tema 4.4 Transformada de derivadas, integrales y funciones periódicas. 126

Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos

Transformada de derivadas

Transformada de integrales

Teorema de convolución

Transformada de Laplace de funciones periódicas

Ejercicios

Tema 4.5 Aplicaciones. 131

Función Delta de Dirac

Aplicaciones

Ejercicios

Tema 4.6 Sistemas de ecuaciones lineales. 140

Obtención de una segunda solución a partir de otra ya conocida

Ejercicios

6

Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes

Ejercicios




Unidad temática V Series de Fourier.





Tema 5.1 Funciones ortogonales. 155

Funciones ortogonales definición

Ejercicios

Tema 5.2 Series de Fourier. 158

Definición de una serie de Fourier

Ejercicios

Convergencia de las series de Fourier

Ejercicios

Tema 5.3 Series de Fourier de senos y cosenos. 166

Funciones par e impar

Ejercicios

Series de Fourier de funciones par e impar

Desarrollo de una serie de cosenos

Desarrollo de una serie de senos

Ejercicios

Tema 5.4 Aplicaciones. 173

Ejercicios en general

7

Aplicaciones en señales




Bibliografía

Anexos

Introducción

El presente trabajo expone los fundamentos de la materia Ecuaciones

Diferenciales Aplicadas de la currícula correspondiente a la Ingeniería en

Mantenimiento Industrial, que ofrecen algunas Universidades Tecnológicas del

país correspondiente al nivel 5A.

El manual incluye los puntos de la currícula de la materia mencionada y los

desglosa a través del tratamiento básico de ecuaciones diferenciales ordinarias

y parciales. El desarrollo de la materia de ecuaciones diferenciales aplicadas

en el presente manual, se fundamenta en el Enfoque por Competencias, como

una respuesta a mejorar la calidad educativa de la enseñanza-aprendizaje.

“Diseñar estrategias de mantenimiento mediante el análisis de factores

humanos, tecnológicos, económicos y financieros, para la elaboración y

administración del plan maestro de mantenimiento que garantice la

disponibilidad y confiabilidad de planta, contribuyendo a la

competitividad de la empresa”, es la competencia que se propone en el plan

curricular de la asignatura, a través del seguimiento de cada una de sus cinco

unidades temáticas, con la finalidad de contribuir al desarrollo social, poniendo

en práctica los conocimientos, habilidades y actitudes cultivados durante el

cuatrimestre.

Es por ello que el manual pretende ser una guía para el trabajo conjunto del

docente y el alumno, se presentan los temas de las cinco unidades temáticas

que contiene el plan curricular de la materia. En cada unidad temática se cita el

objetivo, resultados de aprendizaje y los saberes de cada tema (saber, saber

hacer y saber ser). Además, se presentan ejercicios tanto resueltos como

propuestos en cada capítulo, un examen de autoevaluación bajo el principio

taxonómico de Bloom, así como ejemplos de aplicación a manera de estudio

de caso emanados de necesidades reales del contexto.

Por último, en los anexos se presentan tablas de derivadas, integrales y

transformadas de Laplace (anexos 1-5) con la finalidad de brindar un apoyo

más a los usuarios, además de incluir diferentes formatos ejemplificados para

la evaluación del conocimiento (anexo 6) y un formato propuesto para la

8

planeación curricular cuatrimestral de la materia (anexo 7). Al tratarse de una

materia integrada por competencias, no podían faltar la programación curricular

de la materia y los instrumentos de evaluación; formatos basados en

competencias para la evaluación del conocimiento, producto, desempeño y

actitud sin querer decir con ello que estos tengan que aplicarse así, existe la

libertad para que el docente adapte el manual, lo enriquezca y adecue como

una función de su diseño dentro del plan curricular.

9

UNIDAD TEMÁTICA I

Conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales.

Objetivo de la asignatura

El alumno aplicará las ecuaciones diferenciales, las transformadas de Laplace

y las series de Fourier para mejorar las condiciones de operación de la

empresa, mediante la modelación y evaluación de condiciones de los

fenómenos eléctricos, electrónicos y mecánicos en los equipos que intervienen

en los procesos productivos de la misma.

Objetivo de la unidad temática I

Comprender qué es una ecuación diferencial, su origen, sus tipos, su solución y

su interpretación en problemas de ingeniería, para modelar sistemas

electromecánicos, mediante el estudio de casos.


El alumno elaborará un mapa conceptual en el que identificará los tipos (orden,

grado, linealidad, ordinaria, parcial) y aplicaciones de las ecuaciones

diferenciales.


1.- Identificar las ecuaciones diferenciales y sus tipos.

2.- Comprender el proceso de verificación de soluciones de ecuaciones

diferenciales.


Ejercicios prácticos.

Lista de verificación.

Tema 1.1

Definiciones y terminología.

Saber: Describir los criterios de clasificación de las ecuaciones diferenciales.

Saber hacer: Identificar los tipos de ecuaciones diferenciales, grado, y

linealidad. Comprobar soluciones de ecuaciones diferenciales.

Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.

Introducción

10

Se puede considerar a una ecuación diferencial, como aquella que contiene

diferenciales (derivadas). En el caso de que la ecuación involucre una sola

variable independiente, las derivadas y diferenciales son derivadas totales, a

este tipo de ecuación se le conoce como; ecuación diferencial ordinaria.

Ahora, si en la ecuación están involucradas dos o más variables

independientes, se presentan derivadas parciales llamándosele a la ecuación;

ecuación diferencial parcial (que no serán consideradas en el presente

manual).

A continuación se presentan ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias

(ejemplos 1 al 5) y de ecuaciones diferenciales parciales (ejemplos 6 al 9):

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

Orden y grado de una ecuación diferencial ordinaria

El orden de una ecuación diferencial; es el orden de la mayor derivada

expresada. Refiriéndose a los ejemplos anteriores, se observa que las

ecuaciones (1), (4) y (5) son ecuaciones diferenciales de primer orden, y las

ecuaciones (2) y (3) son ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden

respectivamente. Por otro lado, el grado de una ecuación diferencial ordinaria

es el grado algebraico de su mayor derivada ordenada. Considerando los

ejemplos referidos, se deduce que las ecuaciones (1), (2), (4) y (5) son de

primer grado, y la ecuación (3) es de segundo grado. Para mayor claridad se

enfatiza que no es lo mismo tener:

y

11

Ejercicios

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Métodos de solución general, particular y singular de una ecuación

diferencial.

Introducción

Método se entiende como el procedimiento riguroso de orden lógico, cuyo

propósito es determinar el valor de verdad de ciertos enunciados. El método es

la vía para llegar a la meta. Por una solución se entiende lo mismo que el

término utilizado para cualquier ecuación matemática. La diferencia que deberá

percibir el estudiante, será que la solución estará expresada ahora como una

relación funcional en vez de una expresión algebraica o número. Si la solución

de una ecuación diferencial en las variables x y y, presenta la forma:

Se transformará en una identidad cuando y sus correspondientes

derivadas sean sustituidas por y las derivadas de en la ecuación diferencial

dada. En esos casos se llama integral, o una primitiva de la diferencial.

Ejemplo 1.1.1 Demostrar que es una solución de

Solución:

Puesto que :

Se tiene:

12

y;

Finalmente sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial inicial, se

tiene:

que es una identidad.

La solución de una ecuación diferencial puede estar dada en una forma

implícita: y por la solución queda demostrado que todas las

funciones , pueden ser obtenidas resolviendo

explícitamente en términos de que son integrales de una ecuación

diferencial dada.

Ejemplo 1.1.2 Demostrar que la ecuación de una circunferencia de centro en el

origen y radio r: es una solución de la ecuación diferencial

.

Solución:

Dividiendo entre , se escribe la ecuación diferencial en la forma:

Diferenciar implícitamente la solución propuesta, se obtiene:

Resolviendo para ,

Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene:

Satisfaciendo de esta manera la ecuación diferencial propuesta.

Existe la posibilidad de tener más de una solución en una ecuación diferencial

dada. Por ejemplo haciendo referencia al ejemplo 1.1.1, se puede demostrar

que también es una solución de dicha ecuación. Por otro lado, está

claro que una constante arbitraria puede ser considerada en la ecuación

diferencial obteniéndose una ecuación diferente; . Por tanto, se

pueden presentar soluciones particulares y soluciones generales.

Una solución particular de una ecuación diferencial es cualquier relación que

satisfaga dicha ecuación. La solución general de una ecuación diferencial de

13

orden , es una relación de constantes arbitrarias (linealmente

independientes), que satisfacen la ecuación diferencial.

Ejemplo 1.1.3 Encontrar la ecuación diferencial que tiene como solución

general:

Solución:

Por algebra, eliminamos las constantes , sustituyendo en la segunda

derivada el valor de , se tiene: que es la ecuación diferencial

deseada.

Ejemplo 1.1.4 Encontrar la ecuación diferencial que tiene como solución

general:

Solución:

Aplicando propiedades de los determinantes para obtener se obtiene:

, que es la ecuación diferencial

deseada.

Ejercicios

Demostrar que cada ecuación dada, es una solución de las ecuaciones

diferenciales siguientes:

14

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Tema 1.2

Teorema de existencia y unicidad.

Saber: Enunciar el teorema de existencia y unicidad.

Saber hacer: Emplear el teorema de existencia y unicidad en solución de

ecuaciones.


Introducción

Al incursionar en la parte medular de la aplicación de las ecuaciones

diferenciales, interesa de manera particular obtener su solución que está

sujeta a condiciones iniciales, o condiciones preestablecidas. De tal manera

que al enfrentarse a problemas de valor inicial, es natural hacerse las

siguientes preguntas:

¿Cuándo un problema de valor inicial tiene solución?

¿Cuándo un problema de valor inicial que tiene solución, tiene una

solución única?

Recuérdese que no todas las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden

resolverse directamente, por tal motivo es de gran utilidad saber si existen sus

soluciones. Como se mencionó inicialmente, una ecuación diferencial tiene un

gran número de soluciones, de las cuales solo una satisface las condiciones

iniciales, es decir, solo hay una curva que pasa por la condición inicial. Una

forma de garantizar la existencia y unicidad de la solución de una ecuación

diferencial es a través del siguiente teorema:

15

Teorema 1.2.1: Sea una región rectangular en un plano , definida por

que contiene al punto en su interior. Si y

son continuas en , entonces existe un intervalo con centro en y

contenido en , y una única función que satisface el problema de

valor inicial.

Para toda .

Uno de los teoremas de Giuseppe Peano (1858-1932), asegura que la

continuidad de en es suficiente para garantizar la existencia de al

menos una solución del problema sujeto a la condición inicial

, si está en el interior de , ver figura 1.2.1.

Figura 1.2.1 Función continúa en la región R.

Ejemplo 1.2.1 Determine la región del plano que garantice la existencia de

por lo menos una solución de la ecuación diferencial dada:

Solución:

La función , donde se sabe que su dominio en el plano es;

cuando , a su vez (derivada parcial de ,

también tiene como dominio cuando , por lo que en todo el

y

x

d

c

a b

R

(x0, y0)

16

plano excepto en donde , se garantiza que existe al menos una

solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1.2.2 Indicar si la siguiente ecuación diferencial tiene solución.

, sujeta a:

Solución:

Según el teorema 1.2.1, debe ser continua tanto como

, en la vecindad de , se denota que son funciones continuas para

todo y , por lo que se garantiza la existencia de una solución para este

problema de valor inicial.

Resolviendo la ecuación por variables separables:

, considerando el valor inicial;

Resolviendo para , se tiene:

Sin embargo considerando el dominio de la función, esta no está definida para

todo valor de , ya que se vuelve indeterminada en . El teorema

mencionado garantiza al menos una solución de la ecuación diferencial que

satisfaga una solución inicial, pero no indica que esa solución está definida

para cualquier valor de .

Ejemplo 1.2.3 Analizar el comportamiento de la solución de la siguiente

ecuación diferencial dado el valor inicial .

Solución:

Aplicando el teorema se tiene que: y , que son dos

funciones continuas para todo . Considerando el valor inicial para ,

el teorema no garantiza la existencia de una solución única.

17

Ejemplo 1.2.4 Resolver el problema de valor inicial dado por:

, sujeta a: ; es decir cuando

Solución:

Considerando la sustitución: , se tiene:

Considerando: y sustituyendo en , tenemos: o

, resolviendo por el método de variables separables:

Regresando a la sustitución original:

Finalmente se obtiene la solución general:

Sustituyendo los valores iniciales: , se tiene:

, resolviendo para c;

La solución general ahora se particulariza sustituyendo el valor de c en la

ecuación diferencial:

Ejemplo 1.2.5 Resolver el problema de valor inicial dado por:

, sujeta a

Solución:

Resolviendo por variables separables:

Considerando la condición inicial:

La solución particular será entonces:

18

(Se deja al estudiante graficar la familia de soluciones e identificar la curva

correspondiente).

Ejercicios:

Resolver el problema de valor inicial dado en las siguientes ecuaciones

diferenciales.

a) , sujeta a

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) ,

g) , 0

Tema 1.3

Problema de valor inicial y de valor en la frontera.

Saber: Identificar una ecuación diferencial sujeta a valores iniciales y de

frontera.

Saber hacer: Resolver problemas con ecuaciones diferenciales sujetas a

condiciones prescritas.

Introducción

Un problema en el que se busca una solución de una ecuación diferencial

tal que satisface condiciones prescritas, es decir, condiciones impuestas

sobre una desconocida o sus derivadas. En algún intervalo que contiene

a el problema:

Resolver

Sujeto a:

Donde son constantes reales arbitrarias dadas se llama

problema con valores iníciales. Los valores de y de sus primeras

19

derivadas en un solo punto , se

llaman condiciones iníciales.

Un problema del valor inicial es un problema que busca determinar una

solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función

desconocida, y sus derivadas específicas en un valor de la variable

independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iníciales.

Para el caso de ejercicios de dominio de concepto y aplicación principalmente

en los proyectos finales (contextualización del conocimiento), el educando

habrá de identificar el problema del valor inicial de cada estudio de caso del

proceso industrial en consideración, a través de los datos iniciales obtenidos.

Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una

solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función

desconocida, especificadas en dos o más valores de la variable independiente.

Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Ejemplo 1.3.1 El problema de valores iníciales:

Tiene la solución trivial . Como la ecuación de tercer orden es lineal con

coeficientes constantes, se satisfacen todas las condiciones; en consecuencia,

es la única solución en cualquier intérnalo que contenga .

Ejemplo 1.3.2 Resolver el problema del valor inicial dado por:

, sujeta a:

Solución:

Integrando:

, considerando el valor inicial:

, la solución correspondiente es:

20

es decir:

Ejemplo 1.3.3 Resolver el problema del valor inicial dado por:

sujeta a:

solución:

Agrupando: e integrando:

, considerando el valor inicial:

, la solución correspondiente es:

Ejercicios:

Encuentre la solución singular a la ecuación diferencial según las condiciones

iniciales dadas.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Tema: 1.4

Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos.

A través de la historia de la tecnología, el ser humano se ha preocupado por

conocer e interpretar con mayor exactitud el mundo cambiante que lo rodea.

Los fenómenos naturales y el funcionamiento de sistemas reales han sido

interpretados a través de la generación de modelos matemáticos; dichos

sistemas pueden ser físicos, sociológicos, e incluso económico-financieros. A

continuación se describen algunos modelos matemáticos a manera de ejemplo,

para considerarlos en el desarrollo de ejercicios de aplicación real, propuestos

en el manual o a través de los diferentes proyectos de fin de cuatrimestre,

derivados del análisis operacional de una empresa que presente una mejora

operativa en los mismos:

21

a) Crecimiento y decrecimiento.

b) Capitalización continúa del interés.

c) Reacciones químicas.

d) Diseminación de una enfermedad.

e) Ley de Newton del enfriamiento.

f) Mezclado.

g) Vaciado de un tanque.

h) Segunda ley de Newton del movimiento.

i) Caída libre.

j) Caída libre de los cuerpos y resistencia del aire.

k) Circuito en serie.

Antes de la formulación de un modelo matemático de un sistema, se

recomienda atender las siguientes consideraciones:

i. Identificar las variables causantes del cambio del sistema o proceso.

ii. Especificar el nivel de resolución del modelo.

iii. Plantear la(s) hipótesis(s) razonable(s) acerca del sistema definido.

iv. Considerar las posibles leyes empíricas aplicables al sistema.

1) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO.

El modelo definido por (Thomas Malthus 1798) establece básicamente la

hipótesis siguiente: “la tasa de crecimiento de la población de un país aumenta

de manera proporcional a la población en ese país en cualquier tiempo

, en términos matemáticos.”

(1)

Donde:

22

El modelo no toma en cuenta la emigración y la inmigración.

La ecuación diferencial (1) aún se sigue utilizando con mucha frecuencia para

modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos

intervalos.

Ejercicio 1.4.1 Un caldo de cultivo tiene una cantidad inicial de bacterias.

Cuando , la cantidad medida de bacterias es . Si la razón de

reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el

tiempo necesario para cuadruplicar la cantidad inicial de microorganismos

(4 .

Solución:

= número de bacterias para 4 en un tiempo

Condiciones iníciales

Cuando:

23

Cuando: ,

.

Desintegración radioactiva

En el modelado de desintegración radioactiva, se supone que la tasa con que

los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen), es proporcional al

número de núcleos de la sustancia que queda cuando el tiempo (o en

el momento ).

(2) condición

El modelo de desintegración en (2), tiene su campo de aplicación en el terreno

de la biología; por ejemplo, la determinación de la vida media o periodo de una

medicina. Es decir el tiempo que tarda el organismo al eliminar 50% de ella,

sea por excreción o metabolización.

Ejemplo 1.4.2 Considerando el modelo matemático de la ecuación (1),

determinar una ecuación diferencial que describa la población , de un país,

cuando se presenta una inmigración a tasa contante .

Solución:

De la ecuación (1)

Considerando el aumento constante de población por inmigración :

24

Ejemplo 1.4.3 Se aplica una inyección en el torrente sanguíneo de un paciente

a una razón constante de . Al mismo tiempo, el medicamento se diluye a

una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento .

Formular una ecuación diferencial que describa la cantidad .

Solución:

Flujo:

Razón de dilución:

Modelo matemático de donde

Pero como se trata de dilución del medicamento (decaimiento) por tanto:

2) CAPITALIZACIÓN CONTINÚA DEL INTERÉS.

El interés que genera una cuenta de ahorros, a menudo se capitaliza o se

compone mensualmente o trimestralmente, el interés también podría

componerse cada día, hora, minuto, etc.; es decir, se podría componer

continuamente. Para modelar el concepto de la composición continua del

interés se supondrá que , es la cantidad de dinero acumulada en una

cuenta de ahorros al cabo de años, y que es la tasa de interés anual,

compuesto continuamente por lo tanto:

(3)

Ejemplo 1.4.4 Se deposita una cantidad en libreta de ahorro que paga un

interés anual, compuesto en forma continua.

Se depositan en una cuenta de ahorro que paga 5 % de

interés anual, compuesto en forma continua.

Encuentre:

a) La cantidad en la cuenta luego de años.

25

b) El tiempo requerido para que la cuenta duplique su valor, asumiendo que no

hay retiros ni depósitos adicionales.

Solución:

Indica el balance en la cuenta en cualquier tiempo . Inicialmente,

. El balance de la cuenta crece por medio de los pagos de intereses,

que son proporcionales a la cantidad de dinero en la cuenta. La constante de

proporcionalidad es la tasa de interés. En este caso, y la ecuación se

convierte en:

Esta ecuación diferencial es tanto lineal como separable. Su solución es:

(4)

En , que cuando se sustituye en (4) queda como:

Con este valor de , (1) se convierte en:

(5)

La ecuación (2) proporciona el balance de la cuenta en un determinado tiempo

.

a) Sustituyendo en (5), encontramos que el balance luego de tres

años es:

b) Buscando el tiempo t en el que el balance se . Sustituyendo

estos valores en (5) y resolviendo para , se obtiene:

3) REACCIONES QUÍMICAS.

26

La desintegración de una sustancia radioactiva, caracterizada por la (2), es una

reacción de primer orden. En química hay algunas reacciones que se apegan a

la siguiente ley empírica: “si la moléculas de la sustancia se descomponen

y forman partículas más pequeñas, es natural suponer que la rapidez con la

que se lleva a cabo la descomposición, es proporcional a la cantidad de

sustancia que no ha sufrido la conversión”; esto es sí es la cantidad

de sustancia que queda en cualquier momento, entonces , donde

es una constante negativa ( porque es decreciente).

Si representa la cantidad de sustancia que se forma, y son las

cantidades dadas de las dos primeras sustancia, y , las cantidades

instantáneas que no se han convertido en son: y

respectivamente; por lo tanto, la razón de formación esta expresada por:

(6) reacción de segundo orden.

4) DISEMINACIÓN DE UNA ENFERMEDAD.

Al analizar la diseminación de una enfermedad contagiosa por ejemplo: la

gripe; la tasa o razón con que se difunde no solo es proporcional a la cantidad

de personas que la han contraído en el momento , sino también a la

cantidad de sujetos que no han sido expuestos al contagio. La tasa de

contagio:

(7)

Por ejemplo, si se introduce una persona infectada en una población constante

de personas, entonces y se relacionan mediante la expresión

Usando esta ecuación para eliminar a en (7), se obtiene el

modelo siguiente:

(8)

27

Ejemplo 1.4.5 En una cierta comunidad una cuarta parte de personas de la

población total estable , se infectan con una enfermedad muy contagiosa, si la

teoría de diseminación de una enfermedad establece: “la tasa de cambio en la

población infectada, es proporcional al producto del número de personas que

tienen la enfermedad, con el número que está libre de ésta.” Asumiendo que la

teoría es correcta, ¿Cuánto tiempo le tomará a la mitad de la población adquirir

la enfermedad?

5 personas de una población estable de 500, son infectados intencionalmente

con una enfermedad contagiosa para probar una teoría de difusión de epidemia

que postula:”la tasa de Asumiendo que la teoría es correcta, ¿Cuánto tiempo le

tomará a la mitad de la población adquirir la enfermedad?

Solución:

Sea lo que indique el número de personas con la enfermedad en

tiempo . Se dijo que , de lo que se desprende que es el

número de personas sin la enfermedad en el tiempo . La teoría predice que:

Donde es una constante de proporcionalidad. Esta ecuación diferencial es

diferente porque la tasa de cambio, ya no es más proporcional al número justo

de personas que tiene la enfermedad. La ecuación tiene la forma diferencial:

Que es una ecuación separable. Utilizando la descomposición en fracciones

parciales, se tiene que:

Por lo tanto:

La solución:

28

O bien:

Que se puede rescribir como:

Pero:

Estableciendo se escribe como:

En . Sustituyendo estos valores, encontramos que:

De modo que y se tiene:

Se podría resolver para , pero esto no es necesario. Se identifica un valor de

, donde , la cuarta parte de la población.

5) LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO.

La rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su

temperatura y la del medio que la rodea, que es la temperatura ambiente. Sí

representa la temperatura del objeto en el momento , es la

temperatura constante del medio que la rodea, y es la rapidez de

enfriamiento del objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el

enunciado matemático siguiente:

29

(9)

Condición: y que

Ejemplo 1.4.6 Una pieza metálica a se enfría en un cuarto cuya

temperatura constante es de . Si después de minutos, la temperatura de

la pieza , encuentre el tiempo que tomará para que la barra alcance la

temperatura de .

Solución:

Utilizando la ecuación con ; el medio aquí es el cuarto que está

manteniendo a una temperatura de . De este modo:

Cuya solución es:

Puesto que la temperatura inicial de la pieza es en (la temperatura

inicial de la pieza metálica); se tiene que o bien .

Sustituyendo este valor se obtiene que:

En

Se dijo que ; por lo tanto:

de la cual

Sustituyendo este valor, se obtiene la temperatura de la barra en un momento

como:

Se requiere cuando

Sustituyendo ,

30

6) MEZCLADO.

Al mezclar dos soluciones salinas de diferentes concentraciones, se genera

una ecuación diferencial de primer orden, sea la cantidad de sal en en

el tanque en cualquier momento . En este caso, la rapidez que cambia

es la tasa neta siguiente:

Es decir: (10)

Donde:

.

.

Ejemplo 1.4.7 Un tanque contiene inicialmente de una solución de

salmuera con de sal. En se vierte otra solución de salmuera que

contiene de sal por galón a un ritmo de , en tanto que la salmuera

bien agitada abandona el tanque al mismo ritmo. Encuentre:

31

a) La cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo ,

b) El ritmo en el cual la mezcla en el tanque contiene de sal.

Solución:

a) Aquí,

La ecuación se convierte en:

Es decir:

La solución a esta ecuación diferencial es:

En . Sustituyendo estos valores en la ecuación, se tiene que:

, o bien . Entonces se puede volver a escribir como:

b) Obtención de cuando .

Sustituyendo se tiene:

O bien:

De lo cual:

7) VACIADO DE UN TANQUE.

32

En hidrodinámica, la ley de Toricelli establece que la velocidad de flujo (o

salida) del agua a través de un agujero de bordes aguados en altura o

profundidad es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota

de agua) que cae libremente desde una altura . Esto es,

(11)

Donde:

Es la velocidad con se sale el agua.

Es la aceleración de la gravedad.

Es la altura del agua en el tanque.

Si el área transversal del agujero es en pies cuadrados, la velocidad del

agua que sale del tanque es , , el

volumen que sale de agua del tanque es . Sí representa

el volumen de agua en cualquier momento , se llega a la siguiente ecuación

diferencial:

Donde el signo menos indica que el volumen está disminuyendo. Si el tanque

es tal que el volumen del agua en cualquier momento se expresa como;

, donde es el área constante del espejo (superficie superior del

agua sustituyendo esta última expresión en la ecuación, se llega a la

ecuación diferencial para expresar la altura del agua en cualquier momento (t).

(12)

Esta ecuación es válida cuando no sea constante en este caso, se debe

expresar el área del espejo del agua en función de : por ejemplo

si el recipiente tiene forma cónica.

Ejemplo 1.4.8 Se pretende vaciar un tanque de forma cúbica con agua. Para

ellos se hace un agujero circular de área en su fondo. Debido a la fricción y

33

a la contracción de la corriente al salir del agujero, el flujo de agua por segundo

se reduce a , donde . Deducir una ecuación diferencial que

represente la altura del agua en cualquier momento que hay en el tanque, si

el radio del agujero es de dos pulgadas. Considerar el valor de la gravedad

como .

Solución:

El flujo (gasto) está definido por: , donde

Modelo:

Entonces: con ,

Sustituyendo

8) SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO.

La segunda ley de movimiento de Newton indica cuando la fuerza neta que

actúa sobre un cuerpo no es cero, la fuerza neta es proporcional a su

aceleración , es decir:

(13)

Donde:

Es igual a la masa de un cuerpo.

Ejemplo 1.4.9 Cuando se fija una masa a un resorte, este se estira

unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio. Al poner en

movimiento el sistema resorte y masa, sea la distancia dirigida desde el

punto de equilibrio hasta la masa. Suponga que la dirección hacia abajo es

positiva y el movimiento se efectúa en una línea recta vertical que pasa por el

centro de gravedad de la masa. También suponga que las únicas fuerzas que

34

actúan sobre el sistema son; el peso de la masa y la fuerza de restauración

del resorte alargado que, según la ley de Hooke, es proporcional a su

alargamiento total. Deduzca una ecuación diferencial del desplazamiento

en cualquier momento .

Solución:

9) CAÍDA LIBRE.

Supóngase que se arroja una pelota hacia arriba, desde la azotea de un

edificio. ¿Cuál será su posición en un momento ?, considerar que la posición

del objeto respecto al suelo es y la aceleración de la pelota es la segunda

derivada del desplazamiento. Si suponemos que si la dirección es hacia arriba

es positiva, que la masa de la pelota es y que no hay otra fuerza además

de la gravedad actuando sobre la pelota, la segunda ley de Newton dice

que:

Es decir, (14)

Donde:

Es la aceleración de la gravedad.

Es el peso de la pelota.

35

Se usa el signo menos por que el peso de la pelota es una fuerza que dirige

hacia abajo, opuesta a la dirección , si la altura del edificio es y la

velocidad de la pelota es: .

Entonces queda determinada mediante el problema de valor inicial.

,

Ejemplo 1.4.10 Un cuerpo que tiene una masa de se deja caer desde

una altura de partiendo del reposo. Asumiendo que no hay resistencia

del aire, encuentre:

a) Una expresión para la velocidad del cuerpo en un determinado tiempo .

b) Una expresión para la posición del cuerpo en cualquier tiempo .

c) El tiempo requerido para llegar al suelo.

Solución:

Se escoge el sistema de coordenadas; dado que no hay

resistencia del aire se aplica la formula .

Esta ecuación diferencial es lineal o en forma diferencial,

separable.

Su solución es:

cuando ,

De aquí que:

De este modo:

Asumiendo que:

36

Recordando que la velocidad es la razón de cambio en el tiempo del

desplazamiento, designado aquí por , por eso se convierte en

. Esta ecuación diferencial es tanto lineal como separable.

Su solución es:

Pero en ,

De este modo: .

O bien .

Sustituyendo este valor se requiere cuando

10) CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS Y RESISTENCIA DEL AIRE.

En ciertas circunstancias, un cuerpo que cae con una masa , se encuentra

con una resistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantánea .

En este caso, si consideramos que la dirección es hacia abajo, la fuerza

neta que actúa sobre la masa es: , en la que el peso del cuerpo

es una fuerza que actúa en dirección positiva y la dirección del aire es en

dirección contraria, esto es hacia arriba. Como se relaciona con la

aceleración . La segunda ley de Newton se relaciona como:

,

si

y

Aquí es una constante positiva de proporcionalidad. Si es la distancia

que un cuerpo ha caído a un tiempo desde un punto inicial o de liberación,

37

entonces y . En términos de , la ecuación es diferencial de

segundo orden.

o (15)

Ejemplo 1.4.11 Una ecuación diferencial que describe la velocidad de una

masa en caída, sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad

instantánea, entonces:

a) Resuelva la ecuación, sujeta a .

b) Calcule la velocidad límite (o terminal) de la masa.

b) velocidad límite de la masa en cualquier tiempo

11)CIRCUITO EN SERIE.

38

Considerando un circuito en serie simple que contiene un inductor, resistor, un

capacitor y con el interruptor cerrado, la corriente se representa con y la

carga en el capacitor cuando al tiempo se denota por . Las letras

, son denominadas inductancia, resistencia y capacitancia

respectivamente.

De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje aplicado a un

circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje en el mismo.

Como la corriente se relaciona con la carga en el capacitor mediante

, sumando las caídas de voltaje se tienen que:

Inductor : Henris (h)

Caída de voltaje:

Resistor R: Resistencia ( )

Capacitor C: Capacitancia [faradio ( )]

Caída de voltaje:

Igualando la suma al voltaje total para llegar a la ecuación diferencial de

segundo orden:

(16)

Ejemplo 1.4.12 Formular una ecuación diferencial para un circuito RL para

calcular la corriente , si la resistencia es , la inductancia y el voltaje

aplicado es .

Solución:

39

Modelo , pero no se tiene un capacitor, por tanto el

tercer miembro del modelo matemático se hace cero, es decir;

Entonces:

Pero

Finalmente se tiene:

Ejemplo 1.4.13 Un circuito RL tiene una f.e.m. (en voltios) dada por ,

una resistencia de , una inductancia de , y una corriente inicial

de . Encuentre la corriente en el circuito para cualquier tiempo

Solución.

, y ; por lo tanto se convierte en:

Esta ecuación es lineal, con solución:

Llevando a cabo las operaciones de integración, obtenemos

En ;

por lo tanto:

De donde .

La corriente en cualquier tiempo es:

La corriente es la suma de una corriente transitoria, dada por y una

corriente de estado estacionario,

40

Ejercicios:

1. Se tiene una pieza metálica la cual se somete a un proceso de templado

con una temperatura inicial de 852 ° C y con una temperatura ambiente

de 21 ° C, ya han pasado 15 minutos y la temperatura disminuyo a 85°C.

Para un proceso de templado es necesario saber cuánto tiempo tardará

en alcanzar la temperatura necesaria para terminar el proceso.

¿Cuánto tiempo demorará en alcanzar los 21°C?

2. Un tanque contiene de agua en que se han disuelto de sal y le

entran de solución con de sal por litro, y de él sale líquido con

el mismo flujo . Calcule la cantidad de gramos de sal que

hay en el tanque en cualquier momento t.

3. Se coloca una barra de bronce con una temperatura inicial de en un

horno de arco eléctrico, a una temperatura constante de , después

de 25 min. la temperatura de la barra es de . Determine tiempo que

tardará en alcanzar su temperatura de fusión .

4. Pb-209 isotopo radioactivo del plomo se desintegra con una razón

proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un

periodo medio de vida en 3.3 h. Si al principio había un de plomo

¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%?

5. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es

de 70°F y se lleva al exterior donde la temperatura es de 10°F, pasando

minuto el termómetro indica 50°F. ¿Cuál es la lectura cuando

41

? ¿Cuánto tiempo se necesita el termómetro para llegar a

15°F?

UNIDAD TEMÁTICA II

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Objetivo: El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la

solución de ecuaciones diferenciales de primer orden, para su aplicación a

modelos relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante

las técnicas básicas de solución y el uso de software para matemáticas.

Tema 2.1

Ecuaciones de variables separables.

Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones exactas.

Saber hacer: Resolver ecuaciones exactas.


Introducción

El desarrollo sistemático de las diferentes técnicas utilizadas para la resolución

de ecuaciones diferenciales se origina, según la parte inicial del capítulo, con

una ecuación que es de primer orden y de primer grado. A continuación se

desarrollaran algunas técnicas a través de su ejemplificación.

2.1 Ecuaciones de variables separables.

42

Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones de variables separables.

Saber hacer: Resolver ecuaciones de variables separables.


Introducción

La técnica más simple es la aplicación en una ecuación diferencial que puede

ser reducida a la forma: , en la que es una función de

únicamente. De tal forma han sido separadas las variables, siempre que esto

sea posible se considerará el método de solución por VARIABLES

SEPARABLES. La solución general es obtenida por integración directa:

.

Ejemplo 2.1.1 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial:

Solución:

Reescribiendo la expresión: cada diferencial con su correspondiente variable

en la forma:

Por integración se obtiene:

Finalmente:

Nota: Recordar que la solución general de una ecuación diferencial de primer

orden contiene una constante arbitraria, misma que puede ser expresada:

, , etc. Dependiendo de las condiciones algebraicas

desarrolladas se escoge la forma que derive la solución más simple.


Solución:

Agrupando los diferenciales con sus correspondientes variables:

43

Integrando:

Haciendo , se puede multiplicar la ecuación por (2) y aplicar las

propiedades de los logaritmos para obtener:

Aplicando la propiedad de la diferencia de logaritmos y consecuentemente la

ley de la herradura se tiene:

Ya que dos números que tienen logaritmos equivalentes son iguales, se tiene:

O bien sin manejar fracción:

Nota: Se recomienda en el presente manual, en lo posible, manejar exponentes

positivos y sin fracciones.


Solución:

Separando las variables resulta:

E integrando

Resolviendo las integrales:

Ya que la diferencia de constantes es una constante, podemos escribir

, obteniendo:

Así, al momento de integrar solo se considerará una constante de integración.

Ejercicios:

Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

44

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Tema 2.2

Ecuaciones homogéneas y exactas.

Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones homogéneas y exactas.

Saber hacer: Resolver ecuaciones homogéneas y exactas.


Ecuaciones homogéneas.

Para determinar una solución si es homogénea de la forma:

Se sustituye por , y por ,

Si en ambas ecuaciones el exponencial de es el mismo en ambos lados de

la igualdad, se determina que la ecuación diferencial es homogénea y su grado.

Ejemplo 2.2.1 Demostrar que las expresiones siguientes son homogéneas, y

determinar el grado.

Es homogénea de segundo grado.

45

Cualquier ecuación diferencial homogénea y de primer grado puede reducirse

al tipo de variables separables por sustitución de ó .

Así mismo, o .

Ejemplo 2.2.2

Sustituyendo y

Es homogénea de 1er. grado. Haciendo y , se tiene:

Ejercicios:


1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

46

Ecuaciones exactas.

Recordando del cálculo, se sabe que una diferencial total de una función

está dada por:

Cualquier expresión que es exactamente la diferencial total de alguna función

de las variables x e y se llama diferencial exacta.

Teorema 2.2.1 Una condición necesaria y suficiente para que:

(1)

Se considerada como exacta, es que:

(2)

Para establecer la suficiencia de (2), considérese la función:

Donde indica una integración con respecto a manteniendo a

constante, y es la constante arbitraria de integración, misma que puede

ser una función de , dado que la integración es con respecto a .

Considerando ahora las derivadas parciales de con respecto a y , se

tiene:

(3)

(4)

Puesto que es una función de únicamente: . Igualando la Ec. (4)

a y resolviendo para , se obtiene: .

Para una ecuación diferencial exacta se tiene entonces: ,

la solución puede ser obtenida por una integración: , o bien

considerando:

Ejemplo 2.2.3 Demostrar que la ecuación diferencial es exacta, y determinar

su solución general. .

Solución:

y

47

; por tanto es exacta.

Hacer: .

Ya que , se tiene: .

Resolviendo para , se obtiene: , y .

Ahora que la función está completamente determinada:

, por tanto la solución final sería:

.

Ejemplo 2.2.4 Demostrar que la ecuación diferencial es exacta, y determinar

su solución general. .

Solución:

, por tanto es exacta.

Haciendo: .

Entonces:

Por tanto: .

Finalmente: .

Ejercicios:


1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

48

Tema 2.3

Solución de ecuaciones por sustitución.

Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones por sustitución.

Saber hacer: Resolver ecuaciones mediante sustitución.


Factores de integración

La ecuación diferencial se puede transformar en

una ecuación diferencial exacta multiplicando ésta por una expresión

apropiada, Ω , dicha expresión que hace la ecuación exacta es

denominada factor de integración. A continuación se presenta una tabla de

diferenciales exactas para ser utilizadas como factores de integración.

I.-

II.-

III.-

IV.-

V.-

VI.-

VII.-

VIII.-

IX.-

X.-

XI.-

XII.-

49

Ejemplo 2.3.1 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando un

factor de integración apropiado.

Solución:

Considerando el factor integrante de la diferencial (XI) :

O bien:

Integrando ambos miembros:

Resolviendo: , por lo tanto: .

b)

Solución:

Factorizando :

Multiplicando por:

Del factor integrante de (V):

Integrando:

c)

Solución:

Multiplicando por:

De los factores (III y I):

Integrando:

Finalmente:

Ejercicios:


1.-

2.-

50

3.-

4.-

5.-

Tema 2.4

Ecuaciones lineales y de Bernoulli.

Saber: Explicar el proceso de solución de ecuaciones lineales y de Bernoulli.

Saber hacer: Resolver ecuaciones lineales y de Bernoulli.


En este tema se discute la ecuación diferencial de primer orden ,

en la cual es de grado mayor que el primero. La solución de estas

ecuaciones produce más de una curva integral que pasa por el mismo punto

. Se considerarán cuatro tipos de ecuaciones con sus técnicas de

solución.

a) Ecuaciones solubles para p.

b) Ecuaciones solubles para y.

c) Ecuaciones solubles para x.

d) Ecuación de Clairaut.

e) Ecuación de Bernoulli

a) Ecuaciones solubles para P.

La solución es obtenida al igualar cada factor lineal a cero y resolviendo las

ecuaciones diferenciales de primer orden resultantes que son de primer grado.

Para la solución de los cinco métodos antes citados se hará uso de la notación:

.

Ejemplo 2.4.1 Resolver la siguiente ecuación diferencial.

Solución:

51

Factorizando:

Igualando cada factor a cero: ;

Pero ,

Integrando: I.- y II.-

Las soluciones I y II representan la solución general de una familia de rectas.

Se deja al estudiante grafique esta familia de rectas.


Solución.

La solución de esta ecuación cúbica en se efectúa haciendo referencia al

Teorema Factorial del Álgebra y la división sintética. Los posibles divisores de

ecuación son:

, factores del término .

Para :

Por tanto es una raíz solución del sistema. El resultado cuadrático se

puede factorizar fácilmente.

Igualando cada factor a cero se obtiene la solución general.

; ;

b) Ecuaciones solubles para .


Solución:

Resolviendo para : (a)

52

Diferenciando con respecto a : (derivando como

producto)

Factorizando :

o

o

y

Sustituyendo en (a)

(I).- y (II).-

Donde la solución II no contiene una constante, y no es por lo tanto, una

solución general, sino una solución particular. En tanto que (I) si representa una

solución general y ambas soluciones satisfacen la ecuación diferencial.


Solución:

Resolver para : (a)

Diferenciando:

Reacomodando:

Resolviendo:

Sustituyendo de (a)

Se tiene la solución general:

c) Ecuaciones solubles para .

Este método es llamado también, método de eliminación de variable

dependiente. Si la ecuación diferencial de primer orden puede ser resuelta para

, esta puede ser escrita . La derivada de la ecuación con respecto

a es entonces:

53


Solución:

Resolviendo para :

Diferenciando:

Simplificando:

Aplicando algebra:

Integrando:

La solución general de forma paramétrica de la ecuación diferencial viene a

ser:

d) Ecuación de Clairaut (Alexis 1713-1765).

Una ecuación diferencial de la forma , en la que no contiene

explícitamente, está ya resuelta para y por tanto puede aplicarse

directamente el método (b), solubles para .

Ejemplo 2.4.6 Encontrar la solución general de la siguiente ecuación

diferencial.

Solución general:

Solución singular:

Como

54

Así que:

Eliminando el parámetro :

Finalmente la solución singular:

Ejercicios:

Determinar la solución general y singular (de existir), en las ecuaciones

diferenciales siguientes.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

e) Ecuación de Bernoulli (Daniel 1700-1782).

Hasta este punto se han desarrollado siete técnicas para resolver una ecuación

diferencial de primer orden y de primer grado. La siguiente técnica reduce una

ecuación diferencial dada a otra de los tipos ya considerados previamente. La

reducción se realiza por una sustitución.

La ecuación de la forma:

(1)

Donde es cualquier número real, se conoce como ecuación de Bernoulli.

Observe que si , (1) se transforma en:

(2)

Que es una ecuación diferencial lineal. Si , se recomienda (1) de tal

manera que se tiene:

55

(3)

La cual es también una ecuación diferencial lineal. Por tal razón, se

consideraran casos para cuando La forma de resolver (1) es a través

de una sustitución: (4)

Que permite la reducción de la ecuación (1) a una ecuación diferencial.

Ejemplo 2.4.7 Resolver la ecuación diferencial .

Solución:

Identificamos a , por tanto la sustitución a emplear es según (4):

O bien con:

, sustituyendo en :

, dividiendo entre :

La cual es una ecuación diferencial lineal, con factor integrante: .

Al sustituir el factor integrante en , se tiene:

Resolviendo por partes, haciendo , se obtiene:

Reemplazando a por se tiene:

56

Ejemplo 2.4.8 Resolver el siguiente problema de valor inicial ,

sujeta a

Solución:

Ordenando la ecuación para identificar a

Con

Sustituyendo esta expresión en se tiene:

Ordenando

Que es una ecuación lineal, cuyo factor integrante sería:

Así

con

Resolviendo para ;

Considerando la condición inicial

, , finalmente:

Ejemplo 2.4.9 Resolver la siguiente ecuación de Bernoulli, sujete a la condición

inicial que se especifica. sujeta a

Solución:

Ordenando la ecuación a la forma de Bernoulli:

57

Con , con y , por tanto al sustituir

en se obtiene: , ordenando:

Obteniéndose la linealidad de la ecuación con factor integrante:

Con y la última integral se resuelve de manera directa

; sustituyendo con

, con la condición inicial

; y finalmente:

Ejercicios:

Resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli.

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.- sujeta a

7.- , sujeta a

Tema 2.5

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

58

Saber: Explicar las aplicaciones en cinemática de mecanismos y circuitos en

serie RC y RL.

Saber hacer: Resolver modelos de sistemas mecánicos y eléctricos que

requieren de ecuaciones diferenciales (circuitos RC, RL), ley de enfriamiento,

entre otros.

Saber ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad, motivación.

Introducción:

Para finalizar la presente unidad se considera fundamental incluir el punto de

aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales, máxime si se está integrando

el plan curricular de la misma en base a competencias. De ahí la importancia

del tema, una vez que el alumno ha practicado los temas previos, está en

condición de interpretar diversos fenómenos del contexto a través del

modelado matemático. Se recomienda que al final de la asignatura, los

alumnos presenten un proyecto derivado de un estudio de caso de la región,

donde pongan en práctica las habilidades adquiridas en la asignatura durante

el cuatrimestre.

A continuación se presentan algunos ejercicios resueltos y propuestos para

fortalecer la competencia prioritaria de la materia.

Ejercicio 2.6.1 Un cultivo tiene una cantidad de bacterias. Cuando ,

la cantidad medida de bacterias es . Si la razón de reproducción es

proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario

para triplicar la cantidad inicial de microorganismos (3 , ver figura 2.5.1.

Figura 2.5.1 Crecimiento y decrecimiento.

59

Solución:

N= número de bacterias para 3 en un tiempo

t=?

60

1) Para modelar el fenómeno de desintegración radioactiva, se supone que

la tasa con que los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen)

es proporcional al número de núcleos de la sustancia que queda

cuando el tiempo (o en el momento t).

Ec. ( 2), condición

El modelo de desintegración (2) también se aplica a sistemas biológicos; por

ejemplo, la determinación de la vida media o periodo de una medicina. Es decir

el tiempo que tarda el organismo al eliminar 50% de ella, se por excreción o

metabolización.

Ejercicio 2.6.2 Un reactor de cría convierte el uranio 238 relativamente estable

en plutonio 239, un isótopo radioactivo. Al cabo de 15 años, se a desintegrado

0.43% de la cantidad inicial . De una muestra de plutonio calcule el periodo

medio de ese isótopo , si la razón de desintegración es proporcional a la

cantidad presente, ver figura 2.5.2.

Figura 2.5.2 Crecimiento y decrecimiento de partículas.

Solución:

Modelo de decaimiento radioactivo.

Solución:

61

Ejercicio 2.6.3 Una persona deposita en una cuenta de ahorro que

paga 5 por ciento de interés anual, compuesto en forma continua. Encuentre a)

la cantidad en la cuenta luego de tres años y b) el tiempo requerido para que la

cuenta duplique su valor, asumiendo que no hay retiros ni depósitos

adicionales, ver figura 2.5.3.

Figura 2.5.3 Capitalización continua del interés.

Solución:

Aquí, indican el balance en la cuenta en cualquier tiempo . Inicialmente,

. El balance de la cuenta crece por medio de los pagos de

62

intereses, que son proporcionales a la cantidad de dinero en la cuenta. La

constante de proporcionalidad es la tasa de interés. En este caso, y la

ecuación se convierte en:

Esta ecuación diferencial es tanto lineal como separable. Su solución es

(1)

En , que cuando se sustituye en (1) da

Con este valor de , (1) se convierte en:

(2)

La ecuación (2) da el balance de la cuenta en un determinado tiempo .

a) Sustituyendo en (2), se encuentra que el balance luego de tres

años es

b) Buscando el tiempo t en el que el balance se S(t)=$40,000.

Sustituyendo estos valores en (2) y resolviendo para te, obtenemos

Ejercicio 2.6.4 Cuando se combinan dos sustancias , se forma un

compuesto . La reacción entre ambas es tal que, por cada gramo de se

usan . Se observa que en 10 minutos se han formado de producto

c. Calcule la cantidad de c en función del tiempo si la velocidad de la reacción

es proporcional a las cantidades de A y B, que quedan al principio hay de

A y de B. ¿Qué cantidad de compuesto c hay a los 15 minutos? Interprete

la solución cuando , ver figura 2.5.3.

63

Figura 2.5.3 Reacciones químicas.

Solución:

Sean los gramos del compuesto en c presentes cuando el tiempo es t.

Está claro que y .

Si, por ejemplo, hay 2 gramos del producto , se han de usar, digamos,

gramos de y , de tal modo que y ; por

consiguiente, debemos emplear de la sustancia A y

de . En general, para obtener x gramos de c debemos emplear

y

Entonces, la cantidades de que quedan en cualquier momento son

y ,

Respectivamente.

Se sabe que la rapidez de formación del compuesto c está definida por

Para simplificar las operaciones algebraicas, se saca a como factor común

del primer término, del segundo y se introduce la constante de

proporcionalidad:

Separando variables y por fracciones parciales se obtiene:

Al integrarla:

64

o sea

Cuando , y en consecuencia .

, se tiene que Con

estos datos resolviendo de la última de las ecuaciones:

Se muestra el comportamiento de en función del tiempo. Según está claro

que . Esto quiere decir que se forma 40 g de la sustancia c

y quedan.

y .

Ejercicio 2.6.5 Cinco personas de una población estable de 500, son

infectados intencionalmente con una enfermedad contagiosa para probar una

teoría de difusión de epidemia que postula; la tasa de cambio en la población

infectada es proporcional al producto del número de personas que tienen la

enfermedad, con el número que está libre de ésta. Asumiendo que la teoría es

correcta, ¿Cuánto tiempo le tomará a la mitad de la población adquirir la

enfermedad? ver figura 2.5.4.

Figura 2.5.4 Diseminación de una enfermedad.

Solución:

Sea lo que indique el número de personas con la enfermedad en tiempo .

Se dijo que , de lo que se desprende que es el número de

personas sin la enfermedad en el tiempo t. La teoría predice que:

(1)

Donde k es una constante de proporcionalidad. Esta ecuación diferencial es

diferente porque la tasa de cambio, ya no es más proporcional al número justo

de personas que tiene la enfermedad. La ecuación (1) tiene la forma diferencial

65

(2)

Que es separable. Utilizando la descomposición en fracciones parciales, se

obtiene:

Por lo tanto, (2) se puede escribir como

Solución es

O bien

Que se puede rescribir como

(3)

Pero Estableciendo se puede escribir (3) como

(4)

En . Sustituyendo estos valores (4) se encuentra que:

De modo que y (4) se convierte en:

(5)

66

Resolviendo (5) para x, pero esto no es necesario. Buscando un valor de

donde , la mitad de la población sustituyendo y resolviendo

para t:

O bien unidades de tiempo. Sin tener información adicional, no

se puede obtener un valor numérico para la constante de proporcionalidad o

bien ser más efectivos con respecto a

Ejercicio 2.6.6 Se coloca un barra de metal en un cuarto a temperatura

constante de Si después de 20 minutos la temperatura de la barra es de

, encuentre a) el tiempo que tomará para que la barra alcance la

temperatura de y b) la temperatura de la barra luego de 10 minutos, ver

figura 2.5.5.

Figura 2.5.5 Proceso de templado.

Solución:

Usando la ecuación (7) con ; el medio aquí es el cuarto que está

manteniendo a una temperatura de . De este modo:

Cuya solución es:

67

Puesto que (la temperatura de la barra es inicialmente

), de (1) se tiene que o bien . Sustituyendo este

valor en (1) se genera:

En , se dijo que ; por lo tanto, de (2),

de lo cual

Sustituyendo este valor en (2), se obtiene la temperatura de la barra en un

momento como:

a) Se requiere cuando . Sustituyendo en (3):

o bien

Resolviendo, se tiene que

b) Obtener cuando en (3). Sustituyendo y luego

resolviendo para , se encuentra que:

Los cálculos anteriores representan solamente una primera

aproximación a situación física.

Ejercicio 2.6.7 Un tanque contiene inicialmente 300 gal de una solución de

salmuera con 1lb de sal. En se vierte otra solución de salmuera que

contiene 1lb de sal por galón a un ritmo de 3 gal/min, en tanto que la salmuera

bien agitada abandona el tanque al mismo ritmo. Encuentre a) la cantidad de

sal en el tanque en cualquier tiempo t, y b) el ritmo en el cual la mezcla en el

tanque contiene 2 lb de sal, ver figura 2.5.6.

68

Figura 2.5.6 Tanque de mezclado.

Solución:

a) Aquí, La ecuación (10) de mezclado se

transforma en:

La solución a esta ecuación diferencial es:

(1)

En . Sustituyendo estos valores en (1), encontramos que

, o bien . Entonces (1) se puede volver a escribir como:

(2)

b) Calcular cuando . Sustituyendo en (2), se obtiene

De lo cual:

Ejercicio 2.6.8 Un tanque semiesférico tiene un al está

lleno de agua. En este momento se abre un agujero circular de , en el

fondo del tanque. ¿Cuánto tiempo tardara el tanque en vaciarse por completo

cuando se abre el agujero? ver figura 2.5.7.

Figura 2.5.7 Vaciado de un tanque.

Solución:

69

De la fórmula para vaciado de un tanque:

Sustituyendo:

Ejercicio 2.6.9 Un cuerpo que tiene cinco unidades técnicas de masa se deja

caer desde una altura de 100 pies con velocidad cero. Asumiendo que no hay

resistencia del aire, encuentre a) una expresión para la velocidad del cuerpo en

un determinado tiempo t, b) una expresión para la posición del cuerpo en

cualquier tiempo t y c) el tiempo requerido para llegar al suelo, ver figura 2.5.8.

70

Figura 2.5.8 Caída libre.

Escoger el sistema de coordenadas, luego dado que no hay resistencia del aire

se aplica la formula . Esta ecuación diferencial es lineal o, en forma

diferencial, separable; su solución es cuando

(inicialmente el cuerpo tiene velocidad 0); de aquí que o bien

. De este modo, o bien, asumiendo ,

Recuerde que la velocidad es la razón de cambio en el tiempo del

desplazamiento, designado aquí por , por eso se convierte en

. Ésta ecuación diferencial es tanto lineal como separable; su solución

es:

Pero en de este modo, 0= (16) + . O bien . Sustituyendo

este valor tenemos

Se requiere el valor de cuando de

Ejercicios: Resolver los siguientes ejercicios de aplicación propuestos.

1.- Se tiene un engrane el cual se somete a un proceso de templado con una

temperatura inicial de 752°C y con una temperatura ambiente de 22°C, ya han

pasado 10 minutos y la temperatura disminuyo a 80°C. Para un proceso de

templado es necesario saber cuánto tiempo tardara en alcanzar la temperatura

necesaria para el terminar el proceso. ¿Cuánto tiempo le llevará en alcanzar

los 22°C? ¿Encontrar el tiempo que tarda la pieza en alcanzar la temperatura

ambiente?

2.- La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la

población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15%

en 10 años ¿Cuál será la población pasados 30 años?

3.- Un tanque contiene 200 litros de agua en que se han disuelto 20 de sal y

le entran de solución con 1 de sal por litro y de él sale líquido con el

71

mismo flujo ( ). Calcule la cantidad de gramos de sal que hay en el

tanque en cualquier momento .

4.- Cuando un rayo vertical de luz pasa por una sustancia transparente, la

razón con que decrece su intensidad es proporcional a donde

representa el espesor en pies (ft), del medio. En agua de mar clara la

intensidad a 3 ft bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial Io del rayo

incidente ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 ft bajo la superficie?

5.- Un reactor de cría convierte el uranio 238, relativamente establece en

plutonio 239, un isotopo radiactivo al cabo de 15 años se ha desintegrado el

0.050% de la cantidad inicial de una muestra de plutonio. Calcule el periodo

medio de ese isotopo , si la razón de desintegración es proporcional a la

cantidad presente.

6.- Una barra de bronce se saca del horno a una temperatura de 300°F.

Después de 3 minutos su temperatura es de 200°F ¿En cuánto tiempo se

enfriara esta a la temperatura ambiente de 70°F?

7.- Se aplica una fuerza electromotriz de 30 V a un circuito en serie LR de 1.0

h de inductancia y 50 Ω de resistencia. Determine la corriente , si

. Halle la corriente cuando .

8.- Una ecuación diferencial del movimiento de una partícula que se mueve

sobre el eje x se rige por la ecuación:

Si la partícula se encuentra inicialmente ubicada 7 m a la derecha del origen y

se sabe que para se proyecta a la derecha con una velocidad de

. Determine:

a) El tiempo en que la partícula llega a .

b) El máximo desplazamiento logrado por la partícula.

9.- Se sabe que cierto material decae en un ritmo proporcional a la cantidad

presente. Si inicialmente hay presente 50 mg de material después de 2 horas

se observa que el material a perdido el 10% de su masa original. a) Encuentre

una expresión para la masa del material en un tiempo , b) la masa del material

luego de 4 horas, c) el tiempo en que la masa del material a caído hasta la

mitad de su masa inicial.

72

10.- Una resistencia de 4 y un inductor de 1 h se conectan en serie con un

voltaje dado por . Encontrar , si en .

11.- Un tanque semiesférico tiene un radio máximo de y al tiempo ,

está lleno de agua. En ese instante se abre un agujero circular (homogéneo) de

5.08 cm de diámetro en su fondo. ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en

vaciarse por completo?¿En cuánto tiempo estará a un tercio de su capacidad?

12.- Una masa de , forzada a moverse horizontalmente, está sujeta a

una fuerza periódica , si la fuerza de fricción que retarda su movimiento

es igual a dos veces su velocidad y el cuerpo inicia del reposo ¿Cuál es su

velocidad como una función del tiempo?

13.- Una avalancha y sus ocupantes pesan 500 Lbs. Esta se desliza en una

pendiente cuya inclinación es de , la fuerza de fricción es de 20.2 Lb; y la

resistencia del aire (arrastre) es dos y medio veces la velocidad en .

Encuentre una expresión para la velocidad después de segundos del reposo,

la velocidad después de 7 s, así como la velocidad final.

14- Graneros Cedillo, está interesado en saber si el tiempo que tarda una

muestra de maíz blanco en llegar al 14% de su humedad (la cual es aceptable)

es de 17.5 minutos como lo asegura su operador, para ello ha solicitado a un

grupo de estudiantes de la UTSOE que demuestren analíticamente el valor

registrado por el operador de la deshidratadora. La empresa proporcionó los

siguientes datos: se introduce la muestra de maíz blanco a la deshidratadora a

temperatura constante, con una humedad inicial de 16.5%, misma que

disminuye al 15.5% en un lapso de 7 minutos. ¿En cuánto tiempo llegará al

porcentaje de aceptación que es de 14%?¿Qué se puede comentar del valor

registrado por el operador?, ver figura 2.5.9.

Figura 2.5.9 Dibujo de la deshidratadora para maíz.

15.- El laboratorio de Procesos Agroindustriales (PAI), cuenta con un tanque

termo mezclador de acero inoxidable con una capacidad de 150 galones que

73

está lleno de leche. Leche pura cae al tanque a razón de . Una solución

azucarada que contiene ¼ kilos de azúcar por galón, entra al tanque a una

razón de . La mezcla de la leche con la azúcar fluye al exterior a una

razón de , considerando una mezcla perfecta ¿Cuál es el tiempo en el

cual las dos soluciones están disueltas por completo?, ver figura 2.5.10.

Figura 2.5.10 Mezcladora de productos lácteos.

16.- El calentador solar diseñado por alumnos de IMEM (ver figura), registra en

un día caluroso una temperatura de 35 °C, se desea obtener el tiempo

estimado en tener una temperatura ambiente (19°C), una vez que el sol se

haya ocultado, si se registra una temperatura de 30°C en 60 min de los datos

obtenidos durante el día, ver figura 2.5.11.

Figura 2.5.11 Calentador solar 360.

17.- PEMEX Salamanca está interesado en determinar el tiempo de

enfriamiento del intercambiador de calor tipo haz de tubos a una temperatura

de 27° después de haber parado su operación, esto para ahorrar tiempo de

mantenimiento y optimizar la producción, reduciendo tiempos muertos,

contemplando una cierta holgura para imprevistos. Para ello se dispone de los

siguientes datos.

Primer intercambiador gas licuado y vapor de alta.

1 t=0 2 t=10hrs 3 t=?

74

T=1100°C T=700°C T=27°C

Cálculo de enfriamiento de tubería de vapor de alta.

t=0 t=10hrs t=?

1 2 3

T=800°C T=350°C T=27°C

Segundo Intercambiador hidrogeno y vapor de alta.

t=0 t=10hrs t=?

1 2 3

T=1250°C T=800°C T=27°C

18.- La empresa "Muebles y tubulares Valdepeña” se dedica a la manufactura

de muebles hechos de tubo y su acabado es en pintura en polvo, el

endurecimiento o secado de la pintura se lleva a cabo en un horno a 200 °C,

ver figura 2.5.12. Existe un problema con los encargados del horno, puesto que

han ocurrido accidentes de quemaduras por no saber el tiempo en que los

muebles ya están a temperatura ambiente. Por ello se desea determinar el

tiempo de enfriamiento de un mueble hasta la temperatura ambiente (20°C), si

se retiró el mueble del horno a una temperatura de 200°C, y después de 3

minutos su temperatura era de 100°C. ¿En cuánto tiempo estará a temperatura

ambiente?

75

Figura 2.5.12 Horno de secado.

Evaluación del conocimiento. Parcial # 1

Seleccione la respuesta correcta de las siguientes preguntas.

1.- Es aquella expresión que contiene una o más derivadas de una o más

variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

a) Ecuación diferencial parcial

b) Ecuación diferencial ordinaria

c) Ecuación diferencial

d) Ecuación diferencial lineal

2.- Es la ecuación diferencial que contiene derivadas de una o más variables

dependientes con respecto a una sola variable independiente.

a) Ecuación diferencial parcial

b) Ecuación diferencial ordinaria

c) Ecuación diferencial

d) Ecuación diferencial lineal

3.- Las ecuaciones diferenciales se clasifican por su:

a) Tipo, orden y grado

b) Orden, tipo y parcialidad

c) Grado, derivación e integración

d) Tipo, linealidad y curvatura

4.- Completa apropiadamente el siguiente enunciado: “Una solución particular

de una ecuación diferencial es cualquier relación que satisfaga la ecuación, en

tanto la solución general de una ecuación diferencial de orden , es una

relación que contiene constantes arbitrarias linealmente independientes y

satisface la ecuación diferencial.”

5.- Relacionar apropiadamente las siguientes columnas.

76

a) Permite que una ecuación diferencial

de la forma ,

pueda resolverse como una ecuación

exacta.

ECUACIÓN HOMOGÉNEA

b) Es la técnica aplicada a una ecuación

diferencial que puede ser reducida a la

forma .

FACTOR INTEGRANTE

c) Considera como condición necesaria y

suficiente que VARIABLES SEPARABLES

d) Es una expresión de grado ,

cuando estás son sustituidas por ,

resultando una expresión multiplicada

por de la forma

ECUACIÓN DIFERENCIAL

EXACTA

6.- Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

Sol. 3° orden, 1° grado.



7.- Demostrar que la ecuación diferencial es una solución

de la ecuación: .

8.- Encontrar la ecuación diferencial de la primitiva Sol.

9.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales según corresponda por

cualquiera de los métodos expuestos en la unidad temática I.

10.- Suponer que un tanque en forma cilíndrica inicialmente contiene galones

de agua se vacía al hacerle un orificio circular en el fondo en minutos. Utilizar

77

la Ley de Torricelli para demostrar que el volumen de agua en el tanque

después de minutos está dada por: .

Evaluación del producto.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA

Logotipo del programa

educativo

LISTA DE COTEJO

EVIDENCIA DE DESEMPEÑO

Práctica de estudio de casos

DATOS GENERALES

NOMBRE DEL ALUMNO:

GRUPO:

FECHA:

ASIGNATURA: Ecuaciones diferenciales aplicadas.

UNIDAD TEMÁTICA: Ecuaciones diferenciales de primer orden.

NOMBRE DEL PROFESOR:

INDICACIONES: Organizar grupos de trabajo de 5 integrantes como máximo para realizar la siguiente actividad.

Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) Categorizar las ecuaciones diferenciales presentadas en cuanto su orden y grado.

b) Resolver cada ecuación diferencial por el método correspondiente visto en clase (variables separables,

homogéneas, exactas o factor integrante), sujetas a condiciones prescritas de valor inicial.

c) Demostrar el teorema de existencia y unicidad derivado del inciso b).

d) Plantear un estudio de caso mediante la aplicación de un modelo matemático relacionado con un problema

detectado en una empresa del entorno: a) propuesta por el asesor b) identificado por el alumno.

78

CUMPLIÓ

CONTENIDO FORMATIVO SI NO

1) Categorizó apropiadamente las ecuaciones diferenciales propuestas.

2) Identificó y resolvió acertadamente cada ecuación diferencial según el método considerado.

3) Demostró el teorema de existencia y unicidad de cada ecuación diferencial en cuestión.

4) Contextualizó adecuadamente el modelo matemático a través de las dos aplicaciones del estudio de caso.

5) Entregó en tiempo y forma la actividad realizada.

6)

7)

ACTITUDES

1) Adapto una postura de liderazgo en el equipo.

2) Su desempeño fue activo durante la práctica.

3) Intuyó diferentes aplicaciones del modelo matemático además de los ya asignados.

4) Interactuó con los demás compañeros de la mesa de trabajo en la ejecución de la actividad.

5) Respetó los aspectos del DOLPP (Disciplina, orden, limpieza, participación y puntualidad) durante el

desarrollo de la actividad.

OBSERVACIONES

Domina el contenido

Todavía no domina el contenido

Profesor Alumno

Evaluación del desempeño y actitud.

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA

Logotipo del

programa educativo GUÍA DE OBSERVACIÓN


ACTIVIDAD

79

Grupo: Asignatura: Ecuaciones diferenciales aplicadas Fecha:

Actividad: Aplicación del conocimiento. Generación de diez modelos matemáticos de aplicación industrial en función de los diferentes

procesos manejados, ramo metal-mecánica.

Unidad temática: Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Nombre del Alumno:

Nombre del Profesor:

Instrucciones:

Se presentan los aspectos que debe considerar en el desempeño del estudiante durante el desarrollo de la actividad. Marque con una “ X” en la escala atendiendo a los siguientes parámetros:

Excelente: Se desempeña en el rasgo de una manera superior a lo esperado.

Muy bien: Se desempeña en el rasgo de la manera esperada.

Bien : Se desempeña en el rasgo de una manera inferior a lo esperado.

Mejorable: Se inicia en el logro del rasgo.

Sin realizar: No se observo el rasgo o tuvo dificultades para lograrlo.

Criterio Rasgos E MB B M SR

Establece una

analogía entre la

aplicación del

proceso y el modelo

generado.

Manipulación del modelo matemático con las variables

consideradas.

Planteamiento y resolución del modelo matemático considerado.

Interpretación de los resultados obtenidos.

Describe de manera

clara la aplicación del

modelo como función

del proceso realizado.

Dominio de modelo (conocimiento, comprensión), así como de las

herramientas algebraicas para su desarrollo.

Expresa las ideas de manera clara y convincente ante sus

compañeros.

Presenta una

analogía clara de

relación entre el

modelo matemático y

la aplicación

contextual (ramo

metal-mecánica).

Viabilidad de la aplicación propuesta del modelo matemático y el

estudio del caso propuesto.

Argumentación sobre el desarrollo del prototipo relacionado con el

modelo matemático.

Observaciones:

Nivel de Dominio

E MB B M SR

Firma Profesor: Firma Alumno:

80

Unidad Temática III

Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden Superior.

Objetivo

El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de

ecuaciones diferenciales de orden superior, aplicándolas a modelos

relacionados con la ingeniería en mantenimiento industrial, mediante el análisis

de los casos más representativos.

Resultado de Aprendizaje

El alumno solucionará problemas orientados al mantenimiento, aplicando las

ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior en cinemática, circuitos

eléctricos (RLC), enfriamiento y resistencia de materiales.


1.- Identificar los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

2.- Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

3.- Analizar las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de

orden superior relacionadas con mantenimiento (circuitos RLC, sistemas

amortiguados).




Tema 3.1

Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas.

Saber: Explicar los conceptos de:

- Ecuaciones homogéneas y no homogéneas.

- Principio de unicidad.

- Dependencia e independencia lineal.

- Wronskiano.

81

Saber hacer: Resolver problemas de valor inicial y de frontera. Utilizar el

criterio de funciones linealmente independientes. Dependencia lineal e

independencia lineal y principio de superposición.


Introducción.

Anteriormente se definió una ecuación diferencial lineal de orden como:

(1)

Donde los coeficientes son funciones de o

constantes, mientras que y todas sus derivadas están elevadas a la primera

potencia.

Para el caso de una ecuación diferencial lineal de primer orden (1) se reduce a:

(2)

Misma que se puede expresar en la forma estándar:

(3)

Considerando:

(4)

Obtenemos finalmente:

(5)

La ecuación lineal (4) se transforma en una ecuación exacta buscando un

factor integrante. La ecuación lineal (4) se compone de dos soluciones, una

homogénea (complementaria) y otra particular, por tanto:

(6)

Se puede verificar que por sustitución directa la ecuación (6) satisface a (5),

representa la solución de la parte homogénea de (5), que se obtiene la

resolver:

(7)

82

Por su parte , representa la solución particular de (5), se obtiene

resolviendo (7) por el método de variables separables:

Integrando:

(8)

Pasos para la solución de ecuaciones diferenciales lineales:

1.- Representar la ecuación diferencial en su forma estándar, ecuación , e

identificar .

2.- Determinar el factor de integración .

3.- Multiplicar a (5) por el factor integrante

, e integrando:

.

Ejemplo 3.1.1 Encontrar la solución general de cada una de las siguientes

ecuaciones diferenciales.

a)

Solución.

(1)

(2)

(3)

Simplificando:

b)

Dividiendo entre :

83

c)

Intercambiar las funciones de y dado que

y

Ejercicios. Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones

diferenciales.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Problema del valor inicial

La ecuación diferencial (1) puede estar sujeta a condiciones iniciales, como se

muestra a continuación:

Sujeta a:

84

Donde: , , ,…, son constantes arbitrarias.

Ejemplo 3.1.2 Resolver la siguiente ecuación diferencial

Sujeta a: y

Solución:

En este caso se trata de una ecuación diferencial no homogénea de segundo

orden, cuya solución general es: , al utilizar las

condiciones iniciales, se obtienen los valores de las constantes :

, se obtiene , además:

Ejemplo 3.1.3 Obtener la solución de la ecuación diferencial sujeta a:

Solución:

La solución general de la ecuación diferencial se puede obtener fácilmente:

Considerando las condiciones iniciales se tiene:

85

Finalmente sustituyendo las constantes en la solución general se tiene:

Teorema de existencia y unicidad

En el tema 1.2 se mencionó un teorema que especifica las condiciones

suficientes que garantizan la existencia y unicidad de una solución de un

problema de valor inicial de primer orden. El siguiente teorema describe las

condiciones suficientes de existencia de un problema de solución única para un

problema de valores iniciales derivada de la ecuación (1):

Sujeta a.

Donde: , , ,…,

Teorema 3.1.1: Sean continuas en

un intervalo J, y sea para toda en dicho intervalo. Si es

cualquier punto en el intervalo, entonces existe una solución única, , en el

intervalo del problema del valores iniciales dado por:

Ejemplo 3.1.4 Demostrar que , es una solución única de

, sujeta a:

Solución:

86

La ecuación diferencial es lineal, con continuas para toda

además para Con ello se cumplen las condiciones expresas

en el teorema 3.1.4, con lo que es una solución única de la

ecuación diferencial.

Ejemplo 3.1.5 Determinar si la solución es única para la ecuación

diferencial .

Sujeta a: .

Solución:

Dado que se trata de una ecuación diferencial lineal de tercer orden con todos

sus coeficientes constantes, incluyendo a , se cumple con lo

considerado en el teorema 3.1.4 por lo tanto, es una solución única para

cualquier intervalo J que contenga a

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene la forma:

(1)

Donde el miembro de la derecha de la ecuación (1) es CERO. Si el miembro de

la derecha es diferente de cero entonces se trata de una ecuación

diferencial lineal no homogénea.

Dependencia e independencia lineal.

Se dice que un conjunto de funciones es linealmente

dependiente en un intervalo J, si existen constantes no todas cero

tales que:

Para todo en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente

dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

87

Clarificando; si las funciones son linealmente dependientes en un

intervalo donde ambas estén definidas, existen constantes y diferentes

de cero tales que , entonces se puede escribir:

Es decir, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es

múltiplo constante de la otra. Así que dos funciones son linealmente

independientes si ninguna es múltiplo constante de la otra en un intervalo.

Ejemplo 3.1.6 Demostrar que las funciones y son

linealmente dependientes.

Solución:

Puesto que:

Además entonces una función es múltiplo de la otra.

Ejemplo 3.1.7 Demostrar que las funciones

son linealmente

dependientes.

Solución:

Las funciones anteriores son linealmente independientes debido a que se

puede escribir como una combinación lineal de y , como se muestra a

continuación:

Con lo que queda demostrada la dependencia lineal, puesto que es

múltiplo constante de la combinación de las otras dos funciones.

88

Ejemplo 3.1.8 Demostrar si y son dos soluciones de

son linealmente independientes o dependientes.

Solución:

Al considerar la razón:

Se obtiene una función que no es constante, con lo que se demuestra que son

un par de funciones linealmente independientes.

Wronskiano

Para el caso en que se manejen dos o más funciones se vuelve más difícil

identificar si se trata de un conjunto de funciones linealmente independientes o

dependientes, por lo que se recurre como herramienta al cálculo del

Wronskiano.

Sean funciones que admiten derivadas hasta al

menos del orden entonces el determinante:

En donde las primas representan las derivadas, se llama Wronskiano.

Teorema 3.1.2: Criterio para soluciones linealmente independientes.

Sean soluciones de la ecuación diferencial (1),

que es lineal, homogénea y de orden , en un intervalo J, entonces el conjunto

de soluciones es linealmente independiente, si y solo si:

Para toda en el intervalo.

89

Ejemplo 3.1.9 Dado el siguiente conjunto de funciones, que son solución de

, indicar si son linealmente independientes, utilizando el

Wronskiano.

Solución:

Para el caso de tres funciones, el Wronskiano está definido por:

Por tanto se tiene

Como entonces se tiene un conjunto de funciones linealmente

independientes.

Ejercicios.

1.- Demostrar que y

son soluciones de .

2.- Obtener por lo menos tres soluciones de la ecuación diferencial

, sin una de las soluciones es: .

3.- Proponer al menos dos soluciones de la ecuación diferencial

dado que

4.- Determinar si las siguientes funciones son linealmente dependientes o

independientes.

a)

b)

c)

Tema 3.2

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes.

90

Saber: Explicar los conceptos de: método de coeficientes constantes, (raíces

reales, raíces reales repetidas y raíces complejas conjugadas).

Saber hacer: Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con

coeficientes constantes mediante los métodos de: raíces reales, repetidas y

complejas conjugadas.


Introducción

Recordando que el grado de una ecuación diferencial es el grado de la mayor

derivada ordenada en la ecuación. En algebra elemental, el término lineal está

asociado con las palabras “primer grado”. En la presente materia, se dice que

una ecuación diferencial es lineal; si cada término de la ecuación es de primer

grado en todas las variables dependientes y sus correspondientes derivadas, o

no contiene alguna de ellas. Por ende, una ecuación diferencial que no es lineal

se dice que es no lineal.

Es importante dejar bien en claro que aunque toda ecuación diferencial lineal

es de primer grado, no toda ecuación diferencial de primer grado es

necesariamente lineal.

Ejemplo 3.2.1 Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales en cuanto a su

linealidad.

Ecuación Tipo

1.- yy’ No lineal

2.- No lineal

3.- Lineal

4.- Lineal

La ecuación diferencial lineal general de orden puede ser escrita en la forma:

91

Las funciones y son funciones únicamente de la variable

dependiente . Si todas las funciones (x) son constantes, se dice que la

ecuación es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

Si , se dice que la ecuación es diferencial lineal homogénea o

reducida.

Si , se dice que la ecuación es diferencial completa, no homogénea.

Solución de una ecuación diferencial lineal.

Considerando primero la ecuación diferencial homogénea.

Si y son soluciones de la ecuación anterior y si y

son constantes arbitrarias, entonces:

Es una solución de la ecuación, para probar lo expuesto se sustituye primero

cada solución en la ecuación, ya que , son soluciones de la misma.

Se obtiene:

Estos valores satisfacen a la ecuación, entonces:

Ya que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas, se tiene:

Para . De este modo la ecuación anterior se puede ordenar como:

92

Antes de iniciar a analizar las diferentes técnicas de solución de ecuaciones

diferenciales homogéneas de orden , se debe considerar el siguiente

teorema.

Teorema 3.2.1: La solución general de una ecuación diferencial lineal

completa, es igual a la suma de su función complementaria y cualquier integral

particular.

a) Ecuación auxiliar con raíces distintas.

Cualquier ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes puede ser

representado en la forma:

En la que se ha usado la notación: haciendo la sustitución

se obtiene un polinomio en de grado

igualado a cero, se tiene una

ecuación algebraica de grado que tiene raíces. Esta ecuación , es

conocida como la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial.

Teorema 3.2.2: Si es una raíz de ecuación auxiliar, esto es:

Entonces es una solución de la ecuación diferencial homogénea.

Donde

Ejemplo 3.2.2 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.

93

Solución:

Ecuación auxiliar:


Solución:

La ecuación auxiliar es:

Empleando la división sintética:

2 -5 -1 6

-2 7 -6

_______________

2 -7 6 0

Por tanto se obtiene

La cuadrática resultante:

Resolviendo por fórmula general:

y

La solución de la ecuación diferencial:

b) Ecuación auxiliar con raíces repetidas.

-1

94

Si una de las raíces de la ecuación auxiliar es una raíz doble, esto es ,

dos veces, entonces en la solución se tendrán dos términos:

Para atender la solución de una ecuación auxiliar con raíces repetidas en toda

su extensión se cita el siguiente teorema.

Teorema 2.2.3: Si la ecuación auxiliar de una ecuación diferencial lineal

homogénea contiene como una raíz doble entonces establece que:

(solución particular)

Donde


Solución:

La ecuación auxiliar correspondiente es:

Resolviendo por división sintética, las raíces de esta ecuación son:

La solución general de la ecuación diferencial:

c) Ecuación auxiliar con raíces complejas.

Si la ecuación auxiliar con coeficientes reales contiene una raíz compleja,

y que viene a ser su conjugado. La función complementaria

entonces, involucra los términos: ; por lo tanto se llegaría

a la siguiente sustitución:

Ejercicio 3.2.5 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.

95

Solución:

La ecuación auxiliar:

Por división sintética se obtiene la raíz: , es decir:

1 -3 +7 -5

1 -2 5

_______________

1 -2 5 0

La ecuación cuadrática resultante:

Resolviendo por fórmula general:

Se obtiene: , con y .

La solución general está dada por:

Ejercicio 3.2.6 Encontrar la solución general de la ecuación diferencial.

Solución:

La ecuación auxiliar es: , o bien:

Las raíces correspondientes son: , de tal forma que cada raíz,

y , se presentan dos veces con y , ya que

, la solución general: .

Tema 3.3

Ecuación diferencial lineal, no homogénea.

Saber: Explicar los conceptos del método de coeficientes indeterminados.

Saber hacer: Resolver problemas de ecuaciones diferenciales lineales no

homogéneas con coeficientes indeterminados por medio de los métodos:

superposición y anulador.


-1

96

Introducción

La solución de una ecuación diferencial no homogénea (completa), se

compone de la suma de la función complementaria y una integral particular

como ya se ha mencionado, de tal manera que después de haber visto las

técnicas para obtener la función complementaria , resta proporcionar la

técnica para encontrar la integral particular (coeficientes indeterminados) y

obtener la solución completa de este tipo de ecuaciones. En el anexo 3 se

presenta una tabla de soluciones particulares propuesta para ecuaciones

diferenciales con coeficientes indeterminados.

Considerar el procedimiento general de solución.

Suponer una integral particular de una forma similar a la del miembro

derecho, conteniendo coeficientes indeterminados para cada

término.

Obtener las derivadas necesarias de y sustituirse en la ecuación

diferencial dada.

Igualar los coeficientes de la identidad generada en la variable

independiente.

Igualar los coeficientes de cada término.

Determinar los valores de los coeficientes indeterminados del sistema de

ecuaciones y sustituir en la integral particular .

Obtener la solución general con .


Solución:

Ecuación auxiliar:

Factorizando:

Raíces: y

La función complementaria:

97

Se escoge un polinomio de tercer grado para corresponder al término en

y una combinación lineal de y para corresponder a en

.

Por tanto sea la forma de una integral particular:

Se obtiene la primera y segunda derivada (dada la ecuación diferencial original

de segundo orden).

Sustituyendo estos valores en la ecuación diferencial original:

Factorizando términos semejantes:

Dado que se presenta una identidad en , se igualan los coeficientes de los

términos semejantes:

Resolviendo por el método de suma o resta para sistemas de ecuaciones se

obtiene:

Por tanto:

98



Solución:

Ecuación auxiliar:

Factorizando:

Parte complementaria:

Se asume ahora una integral del tipo , obsérvese que no se escogió

la integral del tipo , para no repetir el término de la función

complementaria , es decir; se selecciona una integral particular de la misma

forma que corresponde en y se multiplica por , donde es una unidad

mayor que el exponente del término correspondiente de la función

complementaria. En consecuencia.

Sustituyendo en la ecuación diferencial inicial:

Igualando y resolviendo el sistema: , es decir:


La solución general es:


Solución:

99

Ecuación auxiliar:

Con solución:

Función complementaria:

La integral particular que corresponde a es:

No obstante, ya que estos términos están considerados en la función

complementaria, es necesario multiplicar por cómo se explico en el ejercicio

3.3.2.

Por tanto:

Una vez de sustituir en la ecuación diferencial y agrupar términos:

Por lo tanto: y

La solución general:


Solución:

Ecuación auxiliar:

Por división sintética:

Simplifica a la cuadrática:


La forma inicial de sería:

Sin embargo como ya se ha venido comentando, no debe haber términos que

ya estén contenidos en , así que es necesario multiplicar por los tres

últimos términos propuestos en . De esta manera:

100

Derivando tres veces:

Para la sustitución en la ecuación diferencial dada la extensión de la misma, se

hace referencia al método de tabulación siguiente:

0

4

5

20

O bien:

y

La solución general es:

Método de superposición (coeficientes indeterminados).

Éste método al igual que el anterior será de utilidad para determinar la solución

general de una ecuación diferencial no homogénea. El método aplica en el

caso de que , la parte no homogénea de:

Tenga la forma de:

101

a) Un polinomio, incluyendo (constante).

b) Una forma exponencial .

c) Una función trigonométrica que incluya una combinación de las

funciones seno y/o coseno como .

d) Una combinación de los tres casos anteriores como sumas y productos

finitos.

Algunos ejemplos de estos casos son.

i.-

ii.-

iii.-

iv.-

v.-

vi.-

Por consiguiente puede ser una combinación lineal de funciones de la

forma: y , para entero positivo, y

número real.

Ejemplo 3.3.5 Obtener la solución general de la ecuación diferencial

Solución:

Obteniendo : (ecuación auxiliar)

Resolviendo:

Proponiendo , utilizando el principio de superposición. Para el caso se trata

de una combinación de casos: polinomio y función exponencial.

para

para

Entonces:

Y

102

Sustituyendo en:

Igualando la identidad a cada término correspondiente, se tiene:

Resolviendo el sistema:

Entonces:


Método del operador anulador.

La ecuación diferencial

puede escribirse en notación operacional

Donde el operador diferencial representa la -enésima derivada de la

función, es decir:

103

En el caso de que la ecuación tenga coeficientes constantes, se puede

representar como:

O bien

Donde son constantes, y ésta expresión representa una nueva

forma de escribir las ecuaciones diferenciales lineales.

Por ejemplo, la ecuación , puede escribirse como

o en notación operacional

Factorizando se tiene

Donde la expresión del paréntesis (miembro de la izquierda) indica las

operaciones que se van a efectuar sobre la función .

Ejemplo 3.3.6 Representar la siguiente ecuación diferencial en notación

operacional.

Solución:

Ésta última expresión permite observar que al aplicar la operación del

paréntesis sobre la función , la anula (de ahí el nombre del método), o la hace

igual a cero, lo cual es deseable para simplificar la solución del ejercicio.

Ahora el operador se puede factorizar obteniéndose:

o

104

De acuerdo con lo anterior, se verifica que los operadores lineales con

coeficientes constantes son conmutativos.

Teorema 3.3.3: Si los operadores lineales y tienen coeficientes

constantes se cumple:

a) (propiedad conmutativa de la multiplicación)

b) se puede calcular multiplicando las expresiones de como si

fueran polinomios ordinarios.

Ejemplo 3.3.7 Aplicación de la propiedad conmutativa de los operadores.

Sean

Entonces

Ejemplo 3.3.8 Aplicación de la propiedad conmutativa de los operadores.

Considerar ahora que se tiene la expresión , implica que

primero se considere el binomio a y luego al resultado, por tanto:

Aplicando la propiedad conmutativa término de la izquierda:

Para cualquiera de los dos casos desarrollados se llega al mismo resultado, de

hecho se obtiene lo mismo si se aplica el operador a , obsérvese

que es el resultado de multiplicar:

Operador anular

Si es un operador lineal con coeficientes constantes, que al aplicarlo sobre

alguna función lo suficientemente diferenciable, la anula, entonces es un

operador anulador.

105

Por ejemplo, la función puede ser anulada por el operador , es decir:

Lo cual implica que el operador diferencial , que representa la tercera

derivada de respecto a , anula la función .

Otros ejemplos son:

Una función puede tener más de un anulador, sin embargo se recomienda

elegir el más simple. Por ejemplo todos

anulan a , sin embargo el más simple es De esta forma se llega a la

conclusión de que las funciones pueden ser anuladas por .

Ejemplo 3.3.9 Uso del anulador

Proponer los anuladores de las funciones:

a)

b)

Solución:

El anulador de , con es , así .

Y el anulador de , con es , entonces:

Ejemplo 3.3.10 Obtener el anulador de .

Solución:

Recordando que ambas funciones provienen de la solución de la ecuación

auxiliar:

Que a su vez proviene de la ecuación diferencial:

106

O bien

Ejemplo 3.3.11 Uso del operador anulador .

Proponer los anuladores de las funciones:

a)

b)

Solución:

El operador anulador del inciso a es para y

para , de esta manera , el anulador de la función es:

.

El operador anulador de b es , pues es el exponente de y

es sólo un operador, puesto que es el mismo en ambos términos, así:

Ejemplo 3.3.12 Combinación de anuladores y .

Obtener los anuladores de las funciones:

a)

b)

Solución:

a) El anulador de es y el anulador de es , así el

anulador de es: .

Comprobación:

b) Para este ejercicio es necesario un anulador para , , otro para

, , y otro más para , , así:

A continuación se presenta una tabla de anuladores básica.

Tabla 3.3.1 Tabla básica de anuladores con coeficientes constantes

107

Función Anulador de menor orden

Ejercicios:

Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

Obtener los anulares de las siguientes funciones

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

108

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de operadores

anulares.

17.-

18.-

19.-

20.-

Tema 3.4

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Saber: Explicar los conceptos fundamentales de porqué estas ecuaciones

sirven como modelos matemáticos que facilitan el análisis de fenómenos físicos

y de ingeniería eléctrica, mecánica y química.

Saber hacer: Aplicar las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

en el estudio de: Movimiento armónico simple, movimiento amortiguado,

movimiento forzado, circuitos eléctricos RLC.


Introducción.

Una vez visto el análisis en circuitos eléctricos simples, se considerará el

análisis de sistemas oscilatorios, vibraciones. Cualquier movimiento que se

repite a sí mismo en intervalos de tiempo es considerado oscilación o vibración.

La vibración de un sistema implica la transferencia de su energía potencial a

energía cinética, y la de su energía cinética a energía potencial

alternadamente. Si el sistema está amortiguado, la energía se irá disipando en

cada ciclo de vibración.

Clasificación de las vibraciones.

a. Vibración libre

Si un sistema que es perturbado inicialmente se deja vibrando por si mismo se

dice que está en vibración libre. No existe una fuerza externa actuando en el

sistema. La oscilación de un péndulo simple es un ejemplo de vibración libre.

109

Si , entonces - =

Son raíces reales y desiguales

Si . Entonces

Son raíces repetidas.

Si . Entonces =

. Son complejas conjugadas.

Donde

Ya que

Donde: = frecuencia.

Ejemplo 3.4.1 Considerando el sistema masa-resorte de un banco didáctico

(ver figura 3.4.1), un peso de 8 lb que tensiona un resorte en 6 in es estirado 3

in más, desplazándosele en libertad. Encontrar: a) la ecuación del movimiento,

b) su periodo y su c) frecuencia.

110

Figura 3.4.1 Banco de vibraciones.

Solución:

Efectuando las conversiones necesarias: . Entonces:

resolviendo para ,

Donde son las deformaciones longitudinales del resorte estática y final

respectivamente.

Por lo tanto: , donde dividiendo ambos

miembros entre , se tiene:

, sustituyendo valores: , resolviendo la


Ecuación auxiliar: , las raíces resultantes: .

La ecuación complementaria: .

Para la ecuación complementaria: , por lo tanto:

, para , y

de aquí: , considerando además: , cuando , así

que:

se tiene:

111

, , .

Ejemplo 3.4.2 En la figura 3.4.2 se muestra un péndulo simple cuya longitud

es . Determinar el ángulo después de que transcurrieron , si el

ángulo en . Nota: considerar valores pequeños de

Figura 3.4.2 Péndulo simple.

Solución:

Empleando la ecuación diferencial de segundo orden:

Donde:

Longitud del péndulo.

Ángulo subtendido entre el péndulo y la posición vertical de equilibrio.

Aceleración de la gravedad.

Que es una ecuación lineal homogénea de segundo orden, que se puede

resolver utilizando su ecuación auxiliar, tal como se mostró en la unidad

temática 3, entonces se tiene la siguiente solución:

Para conocer los valores de las constantes y se hace uso de las

condiciones iniciales y en necesario conocer .

112

De donde se obtiene:

y

Por tanto, la solución final está dada por:

Después de transcurridos los , el ángulo mide:

Ejercicios:

1.- Un submarino nuclear de 1,500 ton arranca del reposo bajo un ímpetu de un

propulsor de empuje constante de 3,500 lb. Si la resistencia del agua es 250

lb, determinar la velocidad en pies por segundo como una función del

tiempo, y la velocidad final en millas por hora.

2.- Un peso de 10 lb cuelga de un resorte cuya constante de rigidez es 10. El

peso es jalado 5 ft hacia abajo y dejado en libertad. Encontrar: a) la ecuación

de movimiento, b) su periodo y c) su frecuencia.

3.- Un circuito consta de una inductancia y una resistencia conectadas en

serie con un condensador que tiene una capacidad c y una tensión aplicada .

Considerando que para . Encontrar: a) la corriente

b) la carga en cualquier tiempo si .

4.- El movimiento de un péndulo simple para ángulos pequeños se puede

describir mediante la ecuación diferencial de segundo orden: .

Donde:

longitud del péndulo.

113

ángulo formado entre el péndulo y la posición vertical en equilibrio.

aceleración de la gravedad.

Determinar el ángulo después de que han transcurrido 20 segundos, si el

ángulo es , considerar y y la longitud es de 50 centímetros,

ver figura 3.4.3.

Figura 3.4.3 Péndulo simple.

5.- Considerar el circuito eléctrico de la figura 3.4.4 y verificar las siguientes

ecuaciones:

Resolver las ecuaciones para en función de para cuando .

Figura 3.4.4 Circuito RLC.

114

Evaluación del conocimiento. Parcial #2.

Seleccione la respuesta correcta de las siguientes preguntas.

1.- Es conocido como el método de eliminación de la variable dependiente.

a) Ecuación soluble para .

b) Ecuación soluble para

c) Ecuación soluble para x.

d) Ecuación de Clairaut.

2.- Es el nombre que recibe cualquier curva que en cada uno de sus puntos es

tangente a un miembro de una familia de curvas de un parámetro.

a) Paramétrica.

b) Singular

c) Envolvente.

d) General.

3.- Complete la siguiente oración: “Se dice que una ecuación diferencial el

lineal si cada término de la ecuación es del primer grado en todas la variables

dependientes y sus derivadas varias, o no contiene alguna de ellas.

4.- Cierto o Falso. La solución general de una ecuación diferencial lineal

completa es igual a la suma de sus funciones complementarias y cualquier

integral particular.

Cierto.

Resolver los siguientes ejercicios

5. Encontrar la solución general y’’’

Sol:

6.- Encontrar la solución general y’’

Sol:

7.- Encontrar la solución de la función que sea una solución

del problema con valores iniciales , , y’(1) , en

el intervalo

Sol. .

8.- Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

115

a)

b)

c)

9.- Encontrar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

a)

b)

c)

10.- Demostrar que , son respectivamente

soluciones particulares de:

y


UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA

Logotipo del programa

educativo

LISTA DE COTEJO


Práctica de estudio de casos

DATOS GENERALES

NOMBRE DEL ALUMNO:

GRUPO:

FECHA:

ASIGNATURA: Ecuaciones diferenciales aplicadas.

UNIDAD TEMATICA: Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

NOMBRE DEL PROFESOR:

INDICACIONES: Organizar por equipos de trabajo de 5 integrantes como máximo. Dadas las siguientes ecuaciones

diferenciales:

a) Resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden por solución de la homogénea, solución general.

b) Considerar del modelo matemático previo (U-I), una ecuación diferencial de orden y resolverla según

116

corresponda.

c) Presentar dos modelos matemáticos que involucren dos ecuaciones diferenciales; una homogénea y otra no

homogénea para resolver por el método correspondiente.

d) Proponer un sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes derivados de los diferentes

modelos matemáticos propuestos por el grupo y/o asesor y resolverlo.

CUMPLIÓ

CONTENIDO FORMATIVO SI NO

8) Solucionó correctamente las ecuaciones propuestas.

9) Seleccionó y resolvió acertadamente la ecuación del modelo matemático propuesto según el método

considerado.

10) Aplicó adecuadamente el método de solución de las ecuaciones homogéneas y no homogéneas

correspondientes.

11) Planteó y resolvió apropiadamente el sistema de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes

analizado en los diferentes modelos matemáticos.

12) Entrego en tiempo y forma la actividad realizada.

13)

14)

ACTITUDES

6) Adapto una postura de liderazgo en el equipo.

7) Su desempeño fue activo durante la práctica.

8) Intuyó correctamente la ecuación paramétrica correspondiente para la solución general de la ecuación

diferencial correspondiente.

9) Interactuó con los demás compañeros de la mesa de trabajo en la ejecución de la actividad.

10) Respeto los aspectos del DOLPP (Disciplina, orden, limpieza, participación y puntualidad) durante el

desarrollo de la actividad.

OBSERVACIONES

Domina el contenido

Todavía no domina el contenido

Profesor Alumno

Evaluación del desempeño y actitud.


Logotipo del

programa educativo

117

GUÍA DE OBSERVACIÓN


ACTIVIDAD

118

Grupo: Asignatura: Ecuaciones diferenciales aplicadas Fecha:

Actividad: Aplicación del conocimiento. Integración de los modelos matemáticos de aplicación real propuestos por el docente y por los

alumno (actividad U-I), con la finalidad de cubrir los criterios mencionados en la presente unidad temática.

Unidad temática: Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Nombre del Alumno:


Instrucciones:

Se presentan los aspectos que debe considerar en el desempeño del estudiante durante el desarrollo de la actividad. Marque co n una “ X” en la escala atendiendo a los siguientes parámetros:

Excelente: Se desempeña en el rasgo de una manera superior a lo esperado

Muy bien: Se desempeña en el rasgo de la manera esperada

Bien : Se desempeña en el rasgo de una manera inferior a lo esperado

Mejorable: Se inicia en el logro del rasgo

Sin realizar: No se observo el rasgo o tuvo dificultades para lograrlo

Criterio Rasgos E MB B M SR

Identifica una

ecuación diferencial

de primer orden

homogénea.

Manipulación de los diferentes métodos de solución de ecuaciones

diferenciales de primer orden homogéneas.

Descripción de los componentes de la solución general de una

ecuación diferencial homogénea.

Interpretación de los resultados obtenidos.

Determina la solución

general particular y

singular de una

ecuación diferencial

de primer orden no

homogénea, así como

de sistemas de

ecuaciones.

Muestra seguridad en el desarrollo de la parte complementaria y la

parte paramétrica en la solución de una ecuación diferencial no

homogénea.

Ordena y resuelve sistemas de ecuaciones diferenciales utilizando

el Wronskiano.

Presenta una

analogía clara de

relación entre el

modelo matemático y

la aplicación con

fenómenos físicos y

del contextual (ramo

metal-mecánica).

Viabilidad de la aplicación propuesta del modelo matemático y el

estudio del caso propuesto.

Argumentación sobre el desarrollo del prototipo relacionado con el

modelo matemático físico y/o contextual.

Observaciones:

Nivel de Dominio

E MB B M SR

Firma Profesor: Firma Alumno:

119

Unidad Temática IV

Transformada de Laplace


El alumno desarrollará las habilidades para el planteamiento y la solución de

sistemas de ecuaciones de ecuaciones diferenciales a través de transformadas

de Laplace, aplicándolas a modelos relacionados con la ingeniería en

mantenimiento industrial, mediante la comprensión de los conceptos básicos.

Resultado de Aprendizaje

El alumno solucionará ecuaciones diferenciales aplicadas al mantenimiento

utilizando las transformadas de Laplace como en dinámica, circuitos (RLC),

resistencia de materiales y fluidos.


1.- Comprender los conceptos de transformadas directas e inversa de Laplace.

2.- Analizar las aplicaciones de la transformada de Laplace relacionadas con el

mantenimiento industrial (sistemas amortiguados).




Tema 4.1

Definición de la transformada de Laplace.

Saber: Explicar los conceptos de: transformada de Laplace, linealidad,

funciones continuas por tramos, existencia de la transformada de Laplace.

Saber hacer: Calcular transformadas de Laplace.


Introducción

120

La transformada de Laplace es una herramienta matemática que facilita el

análisis de los sistemas lineales con variación en el tiempo de una manera más

simple. La aplicación de la transformada de Laplace permite modificar el

análisis de las funciones en el dominio del tiempo, a un análisis en el dominio

de la frecuencia con una considerable reducción de los cálculos matemáticos

relacionados con el tiempo.

La transformada de Laplace representa una transformación integral que

convierte las derivadas e integrales en el tiempo, en multiplicaciones y

divisiones en el dominio ; lo que transforma las ecuaciones diferenciales e

integrales en polinomios mucho más fáciles de resolver. Por otra parte, una vez

obtenida la solución en el dominio de la frecuencia, se procede a regresar en el

dominio del tiempo a través de la transformada inversa de Laplace que se verá

más adelante en el presente manual.

La transformada de Laplace de una función , definida para todos los

números reales está representada por la función y definida como la

integral impropia:

Si existe el límite, se dice que la integral existe o que es convergente, si no

existe el límite, la integral no existe y se dice, que es divergente. En general, el

límite anterior existe solo para ciertos valores de la variable . La sustitución:

proporciona una transformación integral muy importante.

Sea una función definida para , entonces la integral de:

(1)

Transformadas de Laplace de funciones básicas.

A continuación se calculan algunas transformadas de Laplace de funciones

básicas empleando la definición integral de la transformada de Laplace.

Ejercicio 4.1.1 Encontrar la trasformada de Laplace de , donde es

una constante.

Solución:

(2)

Ejercicio 4.1.2 Encontrar la trasformada de Laplace de para .

121

Solución:

Ejercicio 4.1.3 Encontrar la trasformada de Laplace de para .

Solución:

Ejercicio 4.1.4 Encontrar la trasformada de Laplace de para y

un número entero.

Solución:

Ejercicio 4.1.5 Encontrar la trasformada de Laplace de para ,

donde es una constante.

Solución:

Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

Si una función puede representarse por tramos con la existencia de saltos

finitos, entonces es razón suficiente para ser considerada como una función

continua por tramos y los saltos son considerados como discontinuidades

ordinarias. La transformada de Laplace de las funciones continuas por tramos

es calculada evaluando la transformación integral de cada uno de los tramos.

122

Ejercicio 4.1.6 Encontrar la trasformada de Laplace de la función definida en

los tramos:

Solución:

Transformada de Laplace de la función escalón unitario.

Dos funciones que con frecuencia son usadas en la representación de

funciones por tramos; son la función escalón unitario (función de Heaviside) y la

función impulso o función delta de Dirac. La función escalón está definida

como:

La transformada de Laplace de la función escalón se calcula de la manera

siguiente:

Propiedades de la Transformada de Laplace.

a) Linealidad.

La transformada de Laplace es un operador lineal. Si se tienen dos funciones

y multiplicadas por las constantes y respectivamente, para las

cuales existe la transformada de Laplace se cumple:

Ejercicio 4.1.7 Encontrar la trasformada de Laplace de para

.

123

Solución:

Aplicando la definición de la transformada de Laplace y utilizando el método de

integración por partes dos veces se obtiene:

b) Traslación en el eje s.

Si se tiene una función para la cual existe una trasformada de Laplace

el objeto de multiplicar por la función es trasladar la función a

unidades en el eje s; es decir, se tendría una nueva función .

c) Traslación en el eje t.

Si es la trasformada de Laplace de la función , entonces es

la transformada de la función:

La transformada de Laplace de la función se calcula de la manera

siguiente:

d) Transformada de derivadas

124

Si se tiene una función continua o por tramos en y para la cual existe

la transformada de Laplace. La transformada resultante de Laplace es:

El procedimiento puede aplicarse repetidamente para encontrar la

transformada de Laplace de una derivada de orden .

Ejemplo 4.1.8 Obtener la transformada de Laplace de para

.

Solución:

;

e) Transformada de integrales

Si es una función integrable en la variable independiente y su

transformada de Laplace entonces aplicando la definición de la

transformada e integrando por partes.

125

El primer término es cero con el límite superior debido al término exponencial y

también es cero con el límite inferior dado el intervalo de integración. Por tanto,

la transformada de la integral de una función viene dada por la ecuación:

Ejercicios de repaso.

Solución de transformadas de Laplace haciendo uso de la tablas de

transformadas de Laplace del anexo 4.

1.- Hallar

Solución:

2.- Hallar

Solución:

3.- Hallar

Solución:

126

4.- Hallar

Solución:

5.- Hallar

Solución:

Ejercicios: Resolver los siguientes ejercicios de transformadas de Laplace.

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

7.- 8.-

9.- 10.-

Tema 4.2

Transformada inversa de Laplace.

Saber: Explicar los conceptos de la transformada inversa de Laplace.

127

Saber hacer: Calcular transformadas inversas de Laplace de funciones

potenciales, exponenciales y trigonométricas.


Introducción

Si la transformada de Laplace de una función es , es decir, si

, entonces se llama transformada inversa de Laplace de

y se representa por , donde se llama: “operador

transformada inversa de Laplace”.

Ejemplo: como se puede escribir

Propiedades importantes de la transformada inversa de Laplace.

a) Linealidad.

La transformada de Laplace inversa es también una trasformada lineal para las

constantes .

Donde son las transformadas de las funciones .

Para la solución de transformadas inversas de Laplace, se recomienda al lector

repasar los métodos de solución por fracciones parciales vistos en evaluación

de integrales.

Ejercicio 4.2.1 Hallar

Solución:


Solución:

128

Aplicando la identidad tanto al numerador como al denominador:

Resolviendo el sistema se tiene:

=


Solución:


Solución:

129

Ejercicio 4.2.5. Hallar

Solución:

Ejercicios: Resolver los siguientes ejercicios de transformadas inversa de

Laplace.

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

7.- 8.-

9.- 10.-

Tema 4.3

Teoremas de traslación y derivadas de una transformada.

Saber: Explicar el teorema de una derivada de una transformada basados en el

primero y segundo teorema de traslación.

Saber hacer: Calcular transformadas de Laplace basados en los teoremas de

traslación y derivada de una transformada.


130

Introducción

Antes de considerar los puntos programados en el presente tema, se

recomienda hacer un repaso de las fracciones parciales, en virtud de su gran

aplicación en la solución de transformadas inversas de Laplace.

Fracciones parciales.

Las fracciones parciales son determinantes en el cálculo de la transformada

inversa de Laplace como se ha mencionado. La descomposición de una

expresión racional en las fracciones componentes se puede hacer rápidamente

usando una sola instrucción en la mayoría de los sistemas algebraicos

computacionales. Independientemente de que se cuente o no con un software,

en el presente capítulo se han desarrollado las técnicas básicas para la

solución de transformadas de Laplace e inversa de la transformada de manera

analítica, y que permitirán al educando tener una mayor contextualización de

los contenidos curriculares de la asignatura.

Una fracción racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones

racionales enteras, es decir, funciones en que la variable no está afectada de

exponentes negativos o fraccionarios. Si el grado del numerador es igual o

mayor al del denominador, la fracción puede reducirse a una expresión mixta

dividiendo el numerador por el denominador, por ejemplo: .

Aprovechando el espacio, se presenta un resumen para la solución de

fracciones parciales racionales según sea el caso de las raíces presentes.

Caso I. Los factores del denominador son todos de primer grado, como ,

una fracción parcial de la forma: , siendo A una constante. La fracción dada

puede expresarse como una suma de fracciones.

Ejemplo: , donde A, B y C son constantes por

determinar.

Caso II. Los factores del denominador son todos de primer grado, y algunos se

repiten. En este caso a todo factor de primer grado repetido veces, como

corresponde la suma de fracciones parciales de la forma:

, donde A, B,…,L son constantes.

Ejemplo: .

131

Caso III. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de

estos factores se repite, la fracción correspondiente es de la forma. .

Ejemplo: .

Caso IV. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de

estos se repiten. A todo factor de segundo grado repetido veces, como

, corresponderá la suma de fracciones parciales, de la

forma: .

Ejemplo: .

Traslación.

En el apartado 4.1 se citaron las técnicas de traslación para la solución de

transformadas de Laplace, sin embargo, aquí se retomarán a manera de

resumen tanto la traslación en s como en t.

Traslación en el eje s.

Si se tiene una función para la cual existe una trasformada de Laplace

el objeto de multiplicar por la función es trasladar la función a

unidades en el eje s; es decir, se tendría una nueva función .

Resolver transformadas de Laplace como se efectúa

de manera directa siempre y cuando se conozcan las transformadas

. En general, si se conoce la transformada de Laplace de una

función , , es posible calcular la transformada de Laplace de un

múltiplo exponencial de , es decir, , sin ningún esfuerzo adicional

que no sea trasladar o desplazar, la transformada a . Este

resultado se conoce como primer teorema de traslación o primer teorema de

desplazamiento, es decir: si y es cualquier número real,

entonces: .

Ejemplo 4.3.1 Hallar

132

Solución:

Traslación en el eje t.

Si es la trasformada de Laplace de la función , entonces es

la transformada de la función:

La transformada de Laplace de la función se calcula de la manera

siguiente:

En aplicaciones ingenieriles, mecánicas y electrónicas primordialmente, es

común encontrar funciones “activadas” o “desactivadas”. Por ejemplo una

fuerza externa que actúa en un sistema masa-resorte, o un potencial aplicado a

un circuito eléctrico, se puede desactivar después de cierto tiempo. Es

conveniente entonces definir una función especial para desactivar (0) para un

tiempo y el número (1) para la activación después de ese tiempo. La

función se le conoce como función escalón unitario o función de Heaviside. La

función escalón unitario se define como: ,

también llamado primer teorema de traslación.

Ejemplo 4.3.2 Expresar en términos de funciones

escalón unitario.

Solución:

Con y , se obtiene .

El segundo teorema de traslación establece:

Si entonces En tanto

que su forma inversa es: .


Solución:

133

De acuerdo con las identidades ,

entonces:


Solución:

De acuerdo con las identidades ,

entonces:

Tema 4.4

Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas.

Saber: Explicar los teoremas de: transformada de una derivada, convolución,

transformada de una función periódica.

Saber hacer: Calcular trasformadas de: derivadas, integrales y funciones

periódicas.


A continuación se retoman las transformadas de funciones periódicas

introducidas en el punto 4.1.

Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

Si una función puede representarse por tramos con la existencia de saltos

finitos, entonces es razón suficiente para ser considerada como una función

continua por tramos y los saltos son considerados como discontinuidades

ordinarias. La transformada de Laplace de las funciones continuas por tramos

es calculada evaluando la transformación integral de cada uno de los tramos.

134

Ejercicio 4.4.1 Encontrar la trasformada de Laplace de la función definida en

los tramos:

Solución:

Transformada de Laplace de la función escalón unitario.

Dos funciones que con frecuencia son usadas en la representación de

funciones por tramos; son la función escalón unitario (función de Heaviside) y la

función impulso o función delta de Dirac. La función escalón está definida

como:

La transformada de Laplace de la función escalón se calcula de la manera

siguiente:

Transformada de derivadas.

Si se tiene una función continua o por tramos en y para la cual existe

la transformada de Laplace. La transformada resultante de Laplace es:

El procedimiento puede aplicarse repetidamente para encontrar la

transformada de Laplace de una derivada de orden .

135

Ejemplo 4.4.2 Obtener la transformada de Laplace de para

.

Solución:

;

Transformada de integrales.

Si es una función integrable en la variable independiente y su

transformada de Laplace entonces aplicando la definición de la

transformada e integrando por partes.

El primer término es cero con el límite superior debido al término exponencial y

también es cero con el límite inferior dado el intervalo de integración. Por tanto,

la transformada de la integral de una función viene dada por la ecuación:

Teorema de convolución

La propiedad de convolución de la transformada de Laplace relaciona el

producto de transformadas y tiene aplicación en el proceso de inversión de la

transformada. Suponer que se tiene el producto de las funciones y de

las cuales se conocen las funciones inversas y y se desea encontrar

la función inversa del producto a partir de las funciones inversas conocidas.

136

Si representa el producto de las trasformadas y la función inversa del

producto de las transformadas, se puede calcular esta última por medio de la

propiedad de la convolución de y , expresa como , donde el

símbolo es empleado para la propiedad de convolución. La siguiente

expresión representa la forma de evaluar la convolución de las funciones

y .

La propiedad de convolución cumple las siguientes leyes:

I.- Conmutatividad: .

II.- Distributivita: .

III.- Asociatividad: .

Se debe tener cuidado al emplear la propiedad de convolución, pues con

frecuencia se confunde con la propiedad de multiplicación.

Ejemplo 4.4.3 Encontrar la transformada inversa de la función

.

Solución:

De tablas (anexo 5): y , aplicando la

propiedad de convolución:

e integrando dos veces por partes:

Transformada de Laplace de funciones periódicas

137

Considerando la función definida para todos los valores positivos de y

con un periodo de manera que ; para valores de

Si es continua por tramos en el intervalo , entonces su

transformada de Laplace existe y la integral puede ser evaluada como se indicó

en las funciones definidas por tramos.

Si se sustituye en las integrales por tramos, la ecuación anterior se

convierte en:

Factorizando los términos que no contienen , se obtiene:

La serie infinita puede ser simplificada de la siguiente manera:

Sea , multiplicando por se obtiene:

, restando estas dos ecuaciones de obtiene:

y finalmente la suma de la serie infinita es:

Al sustituir el resultado de la serie finita en la propiedad de traslación en el eje

s, se obtiene la definición de la transformada de Laplace para funciones

periódicas.

Ejercicios

Encontrar la trasformada de Laplace de las siguientes funciones

1.- 2.-

3.- 4.-

5.- 6.-

7.- 8.-

138

9.- 10.-

11.- 12.-

13.- 14.- .

15.- Encontrar la transformada de Laplace de la función de onda cuadrada

definida como:

Para

16.- Encontrar la transformada de Laplace definida como

Encontrar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones.

17.- 18.-

19.- 20.-

21.- 21.-

Tema 4.5

Aplicaciones.

Saber: Explicar la función delta de Dirac.

Saber hacer: Solucionar problemas relacionados con mecánica de

mecanismos y circuitos en serie RC y RL.


Introducción

Si una función periódica tiene periodo , entonces . El

siguiente teorema muestra que la transformada de Laplace de una función

periódica se obtiene integrando sobre un periodo.

139

Teorema. Si es continua por tramos en , de orden exponencial y

periódica con periodo , entonces: .

Ejemplo 4.5.1 Encontrar la transformada de Laplace de la función de

onda cuadrada con periodo en el intervalo y fuera del definido

por .

Solución:

Ejemplo 4.5.2 La ecuación diferencial para la corriente en un circuito RL

en serie de una sola malla es: . Determine el valor de la

corriente cuando y es la función de onda cuadrada

correspondiente.

Solución:

Considerando el resultado del ejemplo 3.5.1, la transformada de Laplace de la

ecuación diferencial es: , para

determinar la transformada inversa de Laplace de esta última función, es

necesario hacer uso de la serie geométrica. Con la relación , la

serie geométrica:

se obtiene De

, se puede escribir la ecuación como:

140

Aplicando el segundo teorema de traslación a cada término de ambas series se

obtiene:

O de forma equivalente:

Asumiendo por ejemplificación que: , por lo tanto:

, es decir:

Función Delta de Dirac

La función delta es una idealización de situaciones en las que una variable

tiene una extensión en tiempo o espacio muy pequeña y su valor tiene una

distribución en ese espacio o tiempo, que resulta poco considerable frente al

valor total calculado por medio de la integral en el tiempo. Se podría pensar en

esta función como el límite de un escalón de poca duración o impulso que

conservará el área cuando la duración tienda a cero. La definición formal de la

función delata es:

Esta definición implica que es infinita en y cero en todos los otros

valores de , lo que origina que la función sea ideal. Podría pensarse en una

141

aproximación de la función con duración muy pequeña, , y valor constante

durante este intervalo . Si se toma la definición de la función aproximada

como:

La integral de la función sería:

Lo que muestra que tiene las mismas propiedades de . La

figura 4.5.1 muestra la gráfica de la aproximación a la función delta.

Figura 4.5.1 Gráfica de

Aplicaciones

Con frecuencia la fuerza motriz de un proceso natural es periódica: un voltaje

periódico energiza un circuito eléctrico, un campo magnético pulsante actúa

sobre un peso metálico suspendido de un resorte, el medicamento entra en el

tracto gastrointestinal cada seis horas. Cualquier cálculo práctico de

transformadas debe poder manejar funciones periódicas que van desde las

142

sinusoides de contorno suave hasta un tren de ondas cuadradas o triangulares.

Se encontrará la transformada de tales funciones en relación con un circuito

que tiene una entrada de onda cuadrada. A continuación se ilustran algunos

ejemplos.

Ejemplo 4.5.3 Una partícula P de 2 gramos de masa se mueve sobre el eje x y

es atraída hacia el origen con una fuerza numéricamente igual a . si está

inicialmente en reposo en , hallar su posición en cualquier tiempo

posterior suponiendo que a) no actúa otra fuerza externa, b) actúa una fuerza

amortiguadora igual a 8 veces su velocidad instantánea.

Solución:

a) Sea la dirección positiva hacia la derecha, ver figura 4.5.2.

Figura 4.5.2 Movimiento de la partícula.

Cuando x 0, la fuerza neta es hacia la izquierda y estará dada por .

Cuando x 0, la fuerza neta actuará hacia la derecha y estará dada por .

Por tanto, en cualquier caso la fuerza neta es . Por la segunda Ley del

Movimiento de Newton se tiene:

, es decir;

Considerando las condiciones iniciales y la transformada de Laplace de la

ecuación diferencial, tenemos que si :

o

Entonces:

b) Cuando y , está a la derecha y se mueve hacia la derecha.

Entonces la fuerza amortiguada está dirigida hacia la izquierda (es decir es

negativa) y su valor es . Análogamente, cuando y , está a

143

la izquierda y se mueve hacia la izquierda de tal manera que la fuerza

amortiguadora está dirigida hacia la derecha (positiva) y está dada también por

La fuerza amortiguadora es también para los casos , ,

y Entonces:

Es decir:

Bajo las condiciones iniciales y y aplicando la

transformada de Laplace se obtiene:

Resolviendo para ;

Entonces

Ejemplo 4.5.4 Un inductor de 2 henrys, una resistencia de 16 ohmios y un

condensador de 0.02 faradios se conectan en serie con una f.e.m. de voltios.

En tanto la carga del condensador como la corriente del circuito vale cero.

Encontrar la carga y la corriente en cualquier tiempo si a) ,

b)

Solución:

Sean respectivamente la carga y corriente instantáneas en el tiempo .

Por las leyes de Kirchhoff se tiene:

(1)

y como ,

(2)

144

Bajo las condiciones iniciales

a) Si entonces de (2) será:

Entonces, considerando la transformada de Laplace encontramos que:

Por tanto:

b) Si entonces de (2) será:

Tomando la transformada de Laplace se encuentra que:

Así que:

Finalmente:

145

Ejemplo 4.5.5 Una viga fija en sus extremos y (ver figura 4.5.3)

soporta una carga uniforme por unidad de longitud. Hallar la deflexión en

cualquier punto de la viga.

Figura 4.5.3 Viga cargada uniformemente.

Solución:

La ecuación diferencial y las condiciones de frontera son:

(1)

Considerando la transformada de Laplace en los dos miembros de (1), se tiene

que, si

(3)

Empleando en (2) las dos primeras condiciones y las condiciones desconocidas

, se encuentra que:

Invirtiendo términos:

De las dos últimas condiciones de (2) se obtiene:

Finalmente la deflexión buscada es:

Ejercicios.

146

1.- En referencia a la figura 4.5.4, supóngase que sobre la masa m está

actuando una fuerza y que no hay fuerzas de amortiguamiento.

Figura 4.5.4 Banco didáctico de vibraciones.

a) Demostrar que si la masa parte del reposo a una distancia del punto

de equilibrio , entonces se puede determinar el desplazamiento en

cualquier tiempo de la ecuación de movimiento:

b) Hallar en cualquier tiempo si (constante) para .

c) Hallar en cualquier tiempo donde .

2.- Resolver el ejercicio anterior (1) si , considerando los dos

siguientes casos: a) , b) .

3.- Una partícula se mueve sobre una recta de tal forma que su desplazamiento

desde un punto fijo , está dado en cualquier tiempo por:

a) Si para la partícula está en el reposo en , hallar su

desplazamiento en cualquier tiempo .

b) Hallar la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento después de un

largo tiempo.

c) Es éste movimiento sobreamortiguado, subamortiguado, o críticamente

amortiguado.

m

k x(t)

F(t)

147

4.- Se conectan en serie una resistencia de ohmios y un condensador de

faradios con un generador de voltios. En la carga del condensador es

cero. Hallar la carga y la corriente en cualquier tiempo , si: a)

constante, b)

5.- Resolver el ejercicio anterior (4) para el caso en que y la

carga del condensador sea .

6.- Un inductor de henrys y un condensador de faradios están conectados

en serie con una fuente de voltios. En la carga del condensador y la

corriente del circuito son nulas. Hallar la carga del condensador en cualquier

tiempo si: a) constante, b)

7.- Un inductor de 3 henrys está en serie con una resistencia de 30 ohmios y

una f.e.m. de 150 voltios. Suponiendo que en la corriente es cero, hallar

la corriente en cualquier tiempo

8.- Una viga sometida en sus extremos y soporta una carga

uniforme por unidad de longitud. Demostrar que la deflexión en cualquier

punto es .

9.- Resolver el ejercicio anterior , suponiendo que la viga está empotrada en el

extremo y articulada en el extremo .

10.- Una viga cuyos extremos están articulados en y tiene una

carga dada por:

Hallar la deflexión.

Tema 4.6

Sistemas de ecuaciones lineales.

Saber: Explicar los métodos de: Operaciones, transformadas de Laplace.

Determinar sistemas de ecuaciones lineales de primer orden.

148

Saber hacer: Solucionar problemas relacionados con mecánica de

mecanismos, circuitos eléctricos sistemas degradados.


Introducción.

Si un conjunto de funciones tiene la propiedad de ser un

conjunto fundamental de soluciones, considerar lo expresado en el siguiente

teorema.

Teorema 4.6.1: Solución de una ecuación lineal homogénea.

Sea un intervalo abierto de valores de , y sean

soluciones no triviales de la ecuación:

Para en . Entonces la solución completa de (1) para en está dada por:

Donde las son constantes arbitrarias, siempre y cuando se cumplan las

condiciones siguientes:

a) son linealmente independientes, es decir,

, donde;

Las primas representan las derivadas del sistema llamado Wronskiano .

b) son funciones continuas para todo en

.

c) para todo en .

Ejemplo 4.6.1 Solución general de una ecuación diferencial homogénea.

Determinar si ; forman un conjunto de soluciones de

la ecuación diferencial. y’’’

149

Solución:

Se analiza primero si las funciones son linealmente independientes, con la

prueba del wronskiano: .

Con lo que , demostrándose que se trata de un conjunto de

soluciones linealmente independientes. Por tanto, se puede proponer la

solución general de y’’’ como: .

Para determinar si la solución general obtenida en (3) corresponde a la

solución de la ecuación diferencial, derivamos:

(3)

Sustituyendo las derivadas obtenidas en (2):

Con ello queda demostrado que el conjunto fundamental de soluciones

satisface a (2).

Ejemplo 4.6.2 Solución general de una ecuación diferencial homogénea.

Las funciones y satisfacen la ecuación diferencial:

Determinar si forman un conjunto fundamental de soluciones.

Solución:

Se determina primero el Wronskiano:

150

Para cualquier valor real de , con lo que y integran

un conjunto fundamental de soluciones. La solución general puede expresarse:

.

Obtención de una segunda solución a partir de otra ya conocida.

El método de reducción de orden muestra que si se conoce una solución

de una ecuación lineal homogénea de segundo orden, entonces siempre se

puede obtener una segunda solución . Suponer que se desea resolver la


Expresada en forma reducida:

(4)

Donde es una solución conocida de (4). A continuación se demostrará

como obtener una segunda solución de (4) de la forma:

(5)

Por simplicidad se puede expresar como:

Por tanto: y’ (6)

(7)

Sustituyendo (6) y (7) en (4):

Ordenando la ecuación:

(8)

O bien: (9)

Esta última ecuación es de segundo orden y puede reducir a una de primer

orden, considerando el hecho de que siempre el término que multiplica a en

(8) se hace cero, entonces: (10)

(11)

Al sustituir (10) y (11) en (9):

(12)

151

Que es una ecuación diferencial de primer orden que se puede resolver

fácilmente por variables separables, o como una ecuación lineal.

Resolviendo (12) por variables separables:

Integrando y simplificando:

(13)

Sustituyendo: , se tiene:

Integrando nuevamente:

(14)

Finalmente considerando:

(15)

La cual representa la solución general de (4).

Ejemplo 4.6.3 Obtención de una segunda solución.

Dada la ecuación diferencial , con solución , obtener la

segunda solución, , utilizando la técnica de reducción de orden.

Solución:

La segunda solución tiene la forma: , así:

Sustituyendo las expresiones en la ecuación diferencial:

Con la sustitución: y w’

Separando variables:

Integrando: ;

152

Como: , por tanto:

Integrando:

Utilizando la propuesta inicial: se tiene la solución general:

.


Obtener la segunda solución del problema anterior utilizando la fórmula (15).

Solución:

De (15):

Se tiene que y además , entonces:


La ecuación de Cauchy-Euler:

Tiene una de sus soluciones con , obtener la segunda solución

utilizando el método de reducción de orden.

Solución:

Utilizando la fórmula (15) para obtener la segunda solución, se tiene que:

y que , al utilizar la fórmula:

(16)

Considerando la solución de la integral en (16):

La integral del numerador es , de esta forma el numerador se

simplifica a , transformándose en:

153

Cuya solución es , al considerar a y se tiene

entonces que la ecuación (16) se transforma en:

Concluyendo que la solución general contiene a la segunda solución.

Ejercicios.

Obtener la solución general de las siguientes ecuaciones.

1.- Para la ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden se

demostró anteriormente, que dos de sus soluciones son y

, obtener la solución general.

2.- Si y , obtener la solución general de la ecuación de

segundo grado

3.- La ecuación diferencial de Cauchy-Euler de tercer orden

tiene las siguientes soluciones:

y

Obtener la solución general.

Obtener la segunda solución para las siguientes ecuaciones diferenciales,

además comprobar si dichas propuestas satisfacen a la ecuación diferencial

dada.

4.-

5.-

6.-

5.-

6.-

Se recomienda como ejercicio extra resolver los ejercicios anteriores utilizando

la fórmula (15) para obtener , así como su solución general.

154

Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

Introducción.

Sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

Para poder abordar el presente tema se recomienda al lector hacer un repaso

de algebra lineal básica de no estar familiarizado con los conceptos que en el

presente punto se manejan.

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con

incógnitas de la forma:

(1)

Donde: y las son polinomios de diferentes grados en el operador

diferencial . Los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden son

casos especiales de sistemas que tienen la forma normal.

(2)

Un sistema tal como (2) de ecuaciones diferenciales de primer orden se llama

sistema de primer orden.

Sistemas lineales. Cuando cada una de las funciones en (2) es

lineal en las variables dependientes se obtiene la forma normal de

un sistema de ecuaciones lineales de primer orden:

155

(3)

Se supone que los coeficientes así como las funciones son continuas en

un intervalo común . Cuando , se dice que el sistema

lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo.

Forma matricial de un sistema lineal.

Si , , y denotan matrices respectivas:

Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se

puede escribir como:

O simplemente: (4)

Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces:

(5)

Ejemplo 4.6.6 Sistema escrito en notación matricial.

a) Si , entonces la forma matricial

del sistema homogéneo:

es .

b) Si , entonces la forma matricial

del sistema homogéneo:

156

es .

Vector solución.

Un vector solución en un intervalo es cualquier matriz columna:

Cuyos elementos son funciones derivables que satisfacen el sistema (4) en el

intervalo.

Ejemplo 4.6.7 Comprobación de solución.

Comprobar que en el intervalo , y

, son solución de .

Solución:

De y , se tiene que:

y

Ejercicios.

Escriba el sistema lineal en la forma matricial.

1.- 2.-

3.- 4.-

Comprobar que el valor es una solución del sistema dado.

5.- 5.-

157


1.- ¿Cuál de los siguientes enunciados corresponde a la definición de

Transformada de Laplace?

a) Herramienta matemática que permite el análisis de sistemas no lineales con

variación de una manera más fácil.

b) Herramienta matemática que permite el análisis de sistemas no lineales con

variación en el tiempo de una manera más simple.

c) Herramienta matemática que representa una transformación integral que

transforma las derivadas e integrales en multiplicaciones y divisiones en el

dominio x.

d) Herramienta matemática que permite el análisis de sistemas lineales

con variación con el tiempo de una manera más simple,

2.- Representa el signo convencional de una transformada inversa de Laplace.

a)

b)

c)

d)

3.- De las aplicaciones en ingeniería ¿por qué es común encontrar funciones

de escalón unitario (o de Heaviside), principalmente en sistemas mecánicos y

eléctricos?

a) Por la acción de fuerzas externas sobre un sistema mecánico o voltaje

aplicado a un circuito.

b) Por los efectos de los saltos finitos de una función.

c) Debido a las discontinuidades ordinarias de una función.

d) Como consecuencia de la linealidad de la función.

4.- Hallar las siguientes transformadas de Laplace.

a)

b)

158

c)

d)

e)

sol.

5.- Hallar las siguientes transformadas inversas de Laplace.

a) b) c) d)

e)

6.- En el circuito eléctrico de la figura 4.6.1 se tienen los siguientes datos:

Figura 4.6.1 Circuito RLC.

Si la carga del condensador y las corrientes son nulas en hallar la

carga del condensador en cualquier tiempo

7.- Supóngase que para , la masa de la figura, está en reposo en su

posición de equilibrio . Considere además que súbitamente se le aplica

una fuerza que le comunica una velocidad instantánea dirigida hacia la

derecha, fuerza que luego se retira. Demostrar que el desplazamiento de la

masa de su posición de equilibrio es en cualquier tiempo

E

159

.

8.- Desde la superficie de la tierra se lanza hacia arriba una bola de masa

con una velocidad . Demostrar que alcanza una altura máxima igual a

donde es la aceleración debida a la gravedad.

Evaluación del aprendizaje


Logotipo del

programa educativo

RÚBRICA


ACTIVIDAD

Nombre del alumno: Fecha:

Nombre de la asignatura: Ecuaciones diferenciales aplicadas.


Unidad temática: Transformada de Laplace.

Tema: Transformada de Laplace e inversa, traslación y fracciones parciales funciones de fuerzas continuas por partes.

Criterio NIVEL DE DESEMPEÑO

Excelente (10) Bueno (8) Suficiente (7) Insuficiente(5) Puntuación

160

Evaluación de la actitud, desempeño y producto (proyecto final).

Comprende los

conceptos de la

transformada de

Laplace y la

transformada inversa.

Relaciona los

conceptos de

transformada de

Laplace y

transformada inversa

de Laplace con

ejercicios prácticos de

la vida real.

Interpreta la

transformada e

inversa de Laplace.

Aplica las fórmulas

básicas en la

solución de

transformadas de

Laplace y

transformadas

inversas de

Laplace. .

Presenta deficiencias

técnicas en la

aplicación de la

transformada e inversa

de Laplace.

Comprende el método

de solución de una

trasformada de

Laplace y

transformada inversa

de Laplace.

Muestra gran

habilidad y destreza

en la identificación del

método de solución

de la transformada de

Laplace considerada.

Identifica el método

de solución de la

transformada de

Laplace.

Interpreta la

parcialidad de los

diferentes métodos

de solución de la

transformada de

Laplace.

No identifica el método

de solución de la

transformada de

Laplace según

corresponda.

Examina los sistemas

mecánicos y

eléctricos, mediante la

transformada de

Laplace.

Identifica con facilidad

la analogía entre el

modelo matemático

del sistema y su

aplicación real.

Resuelve los sistemas

matemáticos y

eléctricos utilizando la

transformada de

Laplace.

Presenta

dificultades de

interpretación de

sistemas y su

relación con el

entrono además de

su solución.

Las bases sobre

conocimientos

mecánicos y eléctricos

son endebles, por

tanto no resuelve los

sistemas de aplicación.

Predice el

comportamiento del

sistema mecánico o

eléctrico.

Muestra una gran

habilidad para

interpretar el

comportamiento de

fenómenos físicos

(electro-mecánicos)

del contexto.

Predice el

comportamiento de

sistemas mecánicos y

eléctricos de manera

analítica, más no

contextual.

Muestra

dificultades en la

interpretación de

sistemas

mecánicos y

electicos.

Los conocimientos

previos no son

suficientes para la

interpretación y

solución de sistemas

mecanico-electricos.

Puntuación Total

Observaciones:

Firma del profesor Firma del Alumno

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA Logotipo del

161

Alumnos:

Grupo:

Aspecto a evaluar Proyecto / Fecha de evaluación

Actitud

1.- Puntualidad

Los alumnos presentan el avance de

proyecto en tiempo y forma.

2. Trabajo colaborativo

El alumno participa activamente en su

equipo.

Respeta la opinión de sus compañeros.

3. Respeto

El trato hacia los demás es correcto y

respetuoso.

4. Limpieza y orden

El área de trabajo en el aula y talleres se

mantiene limpia y en orden al momento del

desarrollo del proyecto.

5. Compromiso

Los alumnos atienden las observaciones

realizadas por el asesor en el avance

programado.

6.- Equipo y herramientas Cuando se requiere del uso de los talleres

y/o laboratorios se utilizan bajo la supervisión

del asesor o encargado de laboratorio.

7.- Medidas de seguridad

Se siguen las medidas de seguridad en el

uso de máquinas-herramientas dispuesto en

el laboratorio pesado.

EVIDENCIA DE AVANCE DE PROYECTO

ACTIVIDAD

programa educativo

162

Desempeño

8.- Metodología para efectuar el proyecto. La realización del proyecto se fundamenta

en el seguimiento y aplicación de una

metodología bien definida.

9. Cumplimiento del cronograma de

actividades.

El equipo se apegó a la programación

dispuesta en el cronograma de actividades

cuatrimestral.

10. Mejora continua.

Se atendieron las observaciones y

recomendaciones derivadas de las

revisiones de proyecto programadas.

Producto

11. Presentación del proyecto.

El proyecto final se concluyó en tiempo y

forma atendiendo una necesidad del

contexto.

12. Prototipo en funcionamiento.

El prototipo cumple con la función para la

cual fue diseñado y construido.

Resultado

Se recomienda dictaminar C (competente)

cuando se tengan al menos 10 valores C en

la columna.

Observaciones:

Nombre y firma del evaluador

163

UNIDAD TEMÁTICA V

Series de Fourier.


El alumno utilizará las series de Fourier en el modelado y análisis de problemas

relacionados con el mantenimiento industrial, en particular en estudios de calidad de la

energía y vibraciones, mediante la comprensión de los conceptos básicos.

Resultados de aprendizaje

Realizará estudios de generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica,

análisis de comportamiento armónico de señales y estudios de respuesta en el tiempo

de una variable de circuitos eléctricos aplicando las series de Fourier en aspectos

relacionados con el mantenimiento.


1.- Comprender los conceptos de las series de Fourier.

2.- Analizar la aplicación de las series de Fourier en problemas relacionados con

mantenimiento (vibraciones).




Tema 5.1

Funciones ortogonales.

Saber: Explicar el concepto de ortogonalidad de la función.

Saber hacer: Resolver problemas definiendo la ortogonalidad de la función en

el intervalo y por medio de la integral de la función de peso indicada.

Ser: Responsabilidad, puntualidad, proactividad y motivación.

164

Introducción

Las perturbaciones y oscilaciones periódicas desempeñan un papel importante

en una gran cantidad de áreas de la ciencia y la ingeniería. Por ejemplo el

movimiento de un péndulo en un campo gravitacional, el de los cuerpos

celestes y las oscilaciones en un circuito eléctrico. Las oscilaciones que viajan

por el espacio se conocen con el nombre genérico de movimiento de onda.

Algunos ejemplos relacionados con este tipo de movimiento son las olas en la

superficie de la alberca, las ondas de sonido y las vibraciones transversales de

una cuerda.

Para definir una función a través de una serie de Fourier, se requiere tener

presentes algunos conceptos, tal es el caso de lo que son las funciones

ortogonales.

Funciones ortogonales (definición)

Sean y dos funciones de valor real que están definidas en un

intervalo y son tales que la integral del producto existe

sobre ese intervalo, es decir:

Existe. Entonces se dice que las funciones son ortogonales en el intervalo

si:

(1)

Por ejemplo, las funciones y son ortogonales en el

intervalo porque:

Ejemplo 5.1.1 Demostrar si las funciones y son

ortogonales en el intervalo .

165

Solución:

Por lo tanto se trata de un par de funciones ortogonales.

Ejemplo 5.1.2 Demostrar si las funciones y son

ortogonales en el intervalo .

Solución.

La solución de la integral está definida para el caso cuando y otro para

.

Caso I: Si

Para evaluar la integral se hace uso de la identidad trigonométrica:

Observes que si

y

Para y enteros.

Caso II: Si

Para evaluar la integral se hace uso de la identidad trigonométrica:

166

Dado que la definición de ortogonalidad solo requiere que se cumpla

para que la integral sea cero, por tanto, se trata de un par de funciones

ortogonales.

Ejercicios

1.- Demostrar si las funciones y son ortogonales en el

intervalo .

2.- Demostrar si las funciones ,

, son ortogonales en el intervalo .

Tema 5.2

Series de Fourier

Saber: Explicar el teorema de convergencia de una serie de Fourier.

Saber hacer: Solucionar problemas relacionados con la convergencia de una

serie en intervalos dados.


Introducción

La obtención de la serie de Fourier de una función representa una gran

importancia en la solución de ecuaciones diferenciales parciales, ya que la

167

solución de una ecuación diferencial, con el método de variables separables,

produce una función, que es una serie de Fourier.

Definición de una serie de Fourier.

Sea una función que satisface las siguientes condiciones:

1.- está definida en el intervalo .

2.- y son continuas seccionalmente en .

3.- , es decir, es periódica con periodo .

Entonces en cada punto de continuidad se tiene que:

(1)

Donde:

(2)

(3)

(4)

En un punto de discontinuidad el miembro izquierdo de se remplaza por

, es decir, el valor medio de la discontinuidad.

La serie (1) en la cual los coeficientes están dados por (2), (3) y (4) se llama la

serie de Fourier de . En muchos ejercicios de series de Fourier se tiene

que vale o . Si , tiene periodo y las ecuaciones anteriores

de pueden simplificar. Las condiciones hasta aquí enunciadas, se le conocen

como condiciones de Dirichlet y son condiciones suficientes (pero no

necesarias) para la convergencia de una serie de Fourier.

Ejemplo 5.2.1 Obtener la representación en serie de Fourier de la función

en el intervalo .

Solución:

168

La gráfica de la función se muestra en la figura 5.2.1.

Figura 5.2.1 Gráfica de la función

La serie de Fourirer está dada por la ecuación (1):

Se utilizan las ecuaciones (2), (3) y (4) para el cálculo de y , se tiene:

Resolviendo por partes:

169

Resolviendo por partes:

dado que

Finalmente sustituyendo los valores obtenidos en la serie de Fourier:

Ejemplo 5.2.2 Obtener la representación en serie de Fourier de la función

definida a trozos, en el intervalo .

Solución:

Considerando la serie de Fourier:

y determinando las constantes y

, y puesto que se trata de una función definida a trozos, se dividen la

ecuaciones en esos dos intervalos de la siguiente manera:

170

Sustituyendo en la serie de Fourier se tiene:

Ejercicios.

1.- Obtener la representación en serie de Fourier se la siguiente función

definida a trozos, en el intervalo

2.- Obtener la representación en serie de Fourier de la función en el

intervalo .


intervalo .


intervalo .

5.- Obtener la representación en serie de Fourier se la siguiente función

definida a trozos, en el intervalo

171


intervalo .

7.- Obtener la representación en serie de Fourier de la función

en el intervalo .

8.- Obtener la representación en series de Fourier de cada una de las

funciones dadas por las gráficas que se muestra a continuación, en el intervalo

. a)

1

b)

c)

172

d)

Convergencia de las series de Fourier

Sea una función continua definida a trozos en , y un punto de

discontinuidad. Si y las derivadas izquierda y derecha de en

existen, la serie de Fourier de en , converge en a:

(1)

Donde es el límite de cuando se aproxima a por la izquierda y

es el límite de cuando se aproxima a por la derecha. Ver

figurara 5.2.2.

173

Figura 5.2.2 Convergencia de la serie de Fourier

Ejemplo 5.2.3 Obtener la representación en serie de Fourier de la siguiente

función definida a trozos, en el intervalo . Graficar la representación en

serie de Fourier a que converge la función.

Solución:

La serie de Fourier está dada por y la

gráfica de la función tiene la forma que se muestra en la figura 5.2.3.

- 4

1

Figura 5.2.3 Función definida a trozos.

Cálculo de coeficientes:

174

De esta manera la serie de Fourier queda definida por:

Para el caso de la discontinuidad se tiene que la serie converge a:

Entonces la gráfica de la función a la cual converge la serie está dada por la

figura 5.2.4.

- 4

1

Figura 5.2.4 Convergencia de la función.

Ejercicios.

Obtener la serie de Fourier en cada una de las siguientes funciones, e indicar

los puntos de discontinuidad en caso de que existan. Dibujar la gráfica a al cual

converge la serie.

1.-

175

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Tema 5.3

Series de Fourier de senos y cosenos.

Saber: Explicar los conceptos y propiedades matemáticas de las funciones

pares e impares.

Saber hacer: Resolver problemas de las series pares e impares por medio de

las series de senos y cosenos.


Funciones pares e impares.

Recordando de los cursos de Geometría Analítica; se dice que una función

es impar cuando . Así, son

funciones impares. Por otro lado, se dice que una función es par cuando

. Así, son funciones pares.

Las funciones que se muestran en la figura 5.3.1 a y b, son impar y par

respectivamente.

176

a)

b)

Figura 5.3.1 Funciones par (a) e impar (b)

Ejemplo 5.3.1 Indicar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna

de las dos opciones. .

Solución:

Para determinar si es par o impar se evalúa , así:

Por lo tanto se trata de una función impar. Se deja al educando graficar la

función.

Ejercicios.

Indicar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos

opciones.

1.-

2.-

177

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

Series de Fourier de funciones pares e impares

a) La serie de Fourier de una función par, en el intervalo de se calcula

con la serie de cosenos:

Con:

y

b) La serie de Fourier de una función impar, en el intervalo de se calcula

con la serie de senos:

Con:

Ejemplo 5.3.2 Hallar la serie de Fourier de la siguiente función en el intervalo

de y dibujar su gráfica. , ver figura 5.3.2.

Solución:

178

Se verifica si la función es par o impar. , como

, por lo tanto se trata de una función par, lo cual se puede

verificar también con la grafica de la función, la cual presenta simetría respecto

al eje .

Figura 5.3.2 Gráfico de la función

Por tratarse de una función par, se consideran las fórmulas de (a).

Por tanto, la serie de Fourier toma la forma:

Desarrollo de una serie de cosenos.


de . .

Solución:

179

Hacienda que la función presente un comportamiento par en el intervalo de

, por lo que los coeficientes , y la serie se estima con las

ecuaciones de .

Entonces la serie de Fourier toma la forma:

Desarrollo de una serie de senos.


de . .

Solución:

Hacienda que la función presente un comportamiento impar en el intervalo de

, por lo que los coeficientes , y la serie se estima con las

ecuaciones de .

180

Y la serie de Fourier toma la forma:

Ejercicios.

Obtener la serie de Fourier de las siguientes funciones.

1.- en el intervalo .

2.- en el intervalo de .



Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones representadas en las

siguientes gráficas, considerar las simplificaciones que se pueden efectuar si la

función es par o impar.

5.-

6.-

181

7.-

8.-

Obtener la serie de Fourier de las siguientes funciones, en el intervalo que se

indica.


10.- en el intervalo .

11.-

12.-

13.- en

14.- en

182

Tema 5.4

Aplicaciones.

Saber: Explicar las aplicaciones de las series de Fourier en el área

electromecánica.

Saber hacer: Modelar y analizar aplicando las series de Fourier en las

vibraciones mecánicas.


Introducción

La aplicación y la flexibilidad que tienen las series de Fourier se ponen de

manifiesto en el gran número de ramas del conocimiento matemático y físico,

desde teoría de números y geometría, hasta mecánica cuántica. Además de

ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. A

continuación se citan algunas áreas de su aplicación: en la electrónica y la

mecánica (análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y

señales, y comprensión de datos). En ingeniería para el caso de los sistemas

de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de

frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para

la señal portadora del mismo a través del uso de un analizador de espectros.

Considerando primero el movimiento de una masa sujeta a un resorte cuya

constante Hooke es , bajo la influencia de una fuerza externa periódica ,

como se muestra en la figura 5.4.1. Su desplazamiento a partir del equilibrio,

, satisface la ecuación diferencial:

(1)

La solución general de la ecuación (1) es de la forma:

(2)

183

Figura 5.4.1 Sistema masa-resorte con fuerza externa.

Donde es la frecuencia natural del sistema y es una solución

particular de la ecuación (1). Los valores y se determinarán mediante las

condiciones iniciales. Se pretende usar la serie de Fourier para encontrar una

solución particular periódica de la ecuación (1). Se designará como solución

periódica estacionaria

Suponiendo por simplicidad que es una función impar de periodo , por lo

que la serie de Fourier tendría la forma:

(3)

Si para algún entero positivo , se puede determinar una solución

periódica estacionaria de la forma:

(4)

Sustituyendo las series (3) y (4) en la ecuación (1) para encontrar los

coeficientes de la ecuación (4). El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento.

Ejemplo 5.4.1 Se tiene un sistema masa-resorte con y

que es una fuerza periódica impar cuyo periodo es de , y que está

definida para un periodo mediante:

Encontrar el movimiento periódico estacionario .

Solución:

k

m

X(t)

F(t)

184

Recordando para una función impar se tiene para todo y

está definida por:

Sustituyendo esta serie

Considerando los valores de , se obtiene

Igualando los coeficientes de los términos semejantes, se obtiene:

para impar.

.

Ejemplo 5.4.2 Se tiene un sistema masa-resorte con y

que es una fuerza periódica impar cuyo periodo es de , y que está

definida para un periodo mediante:

a)

b)

Solución:

a) La frecuencia natural es y la serie de Fourier está definida por:

Puesto que la serie no contiene el término , no ocurre la resonancia.

b) En este caso, la serie de Fourier es:

La resonancia pura se presenta debido a la presencia del término .

185

Ejemplo 5.4.3 Encontrar una solución periódica estacionaria de la ecuación

diferencial . Donde es la función de periodo , con

para y la serie de Fourier: .

Solución:

Sustituyendo la serie y a en la ecuación diferencial se

obtiene:

Igualando los coeficientes de los términos semejantes y resolviendo para , se

obtiene la solución periódica estacionaria solicitada:

Ejemplo 5.4.4 Supóngase que

y es una

función impar de periodo con Encontrar el

movimiento periódico estacionario .

Solución:

Se determina que la serie de Fourier de es:

Considerando la serie para la condición periódica estacionaria, se tiene:

186

Donde y es el ángulo determinado por , que está definido por:

Así, para par, para impar y sustituyendo en la

condición periódica estacionaria.

Con

Ejercicios.

Encontrar alguna solución periódica estacionaria de cada una de las siguientes


1.- Si , en donde es la función de periodo tal que

.

2.- donde es la función par de periodo y tal que

.

3.- en donde es la función impar de periodo con

.

En los siguientes ejercicios, la masa y la constante del resorte , han sido

dadas para un sistema masa-resorte. Determinar si ocurre o no resonancia

pura o no bajo la influencia de la fuerza externa periódica .

4.- ; es la función impar de periodo con para

.

5.- ; es la función impar de periodo con para

.

6.- ; es la función par de periodo con para

.

En cada uno de los ejercicios siguientes se han dado los valores de

para un sistema amortiguado masa-resorte. Encontrar el movimiento periódico

187

estacionario de la masa bajo la influencia de una fuerza externa . Además

calcular los coeficientes y ángulos de fase para los tres primeros términos no

nulos.

7.- en donde es la función de periodo tal que

.

8.- en donde es la función impar de periodo con

.

9.- en donde es la función de periodo tal que

.

10.- Suponer un sistema amortiguado forzado masa-resorte con ,

. La fuerza externa es una función de periodo , tal

que para y para . Encontrar.

a) La solución periódica estacionaria de la forma .

b) La ubicación de la masa cuando .

Aplicaciones en señales

El procesamiento de señales es el procesamiento, amplificación e

interpretación de señales. Las señales pueden proceder de diversas fuentes.

Hay varios tipos de procesamientos de señales, dependiendo de la naturaleza

de las mismas.

Procesamiento de señales digitales, para señales digitalizadas. El proceso se

hace mediante circuitos digitales, microprocesadores y ordenadores.

Procesamiento de señales analógicas, para señales no digitalizadas.

Procesamiento de señales de audio, para señales eléctricas que representan

sonidos.

Procesamiento de señales de voz, para analizar señales de voz humana.

Procesamiento de señales de video, para interpretar movimientos en escenas.

Procesamiento de matrices, ordenación rectangular de elementos.

Ejemplo 5.4.5 Se tienen tres señales de audio cuyas representaciones en

series de Fourier son las siguientes:

188

Determinar si cada una de ellas es real y par.

Solución:

Si el coeficiente entonces los exponenciales negativo y positivo

se sumarán para producir una componente real. Por lo tanto y son

reales, mientras que no lo es.

Por otra parte, para que la señal sea real solo deben permanecer los cosenos

(parte real de los exponenciales), por lo tanto , y esto solo se

cumple para .

Ejemplo 5.4.6 Considerar un circuito RLC, donde R, L, y C son constantes

positivas, y que la carga en el condensador satisface la ecuación

diferencial . Si tiene un periodo de en el

intervalo , determinar la serie de Fourier de la función .

Solución:

Sea en

Considerando que la ecuación diferencial tiene una solución en el intervalo

definido se tiene:

y

Donde los valores de han de calcularse y los de se conocen, pues se da

. Con las condiciones iniciales de intervalo dadas y la derivación término a

término se tiene:

y

189

Sustituyendo las series de Fourier para

, donde

Puesto que es una base, se deduce entonces que

pero de modo

que para todo Se tiene:

Con ello se demuestra que el circuito RLC tiene una respuesta periódica única

para un voltaje de entrada periódico . La respuesta se conoce

como oscilación forzada periódica.

Ejercicios.

1.- Si , determinar la serie de

Fourier de cada una de las señales.

2.- encontrar la carga de estado estacionario en el condensador de un circuito

RLC, si , medida en volts.


1.- ¿Cuál de las siguientes definiciones corresponde a la definición de serie de

Fourier?

a) Expresión de valor real cuya integral del producto de dos funciones existe

sobre un intervalo dado.

b) Magnitud de un vector que puede ser expresado en términos de su producto

interno.

c) Es aquella función que al multiplicarla por , ésta no se ve alterada, es

decir;

d) Función periódica y continua, que está definida en un intervalo dado.

2.- Expresión que corresponde a una serie infinita de Fourier.

a)

190

b)

d)

3.- Son dos condiciones suficientes para que una función se considere par.

a) Si y además presenta simetría respecto al plano cartesiano.

b) Si y además presenta simetría respecto al plano cartesiano.

c) Si y además es discontinua en el intervalo

d) Si y además es continua en el intervalo

4.- Desarrollar y graficar en serie de Fourier si a) el

periodo es , b) el periodo no se especifica.

b) Si el periodo no se especifica, no es posible determinar unívocamente la

serie de Fourier en general.

5.- Hallar a) la transformada finita de seno de y b) la transformada finita de

coseno de Fourier de la función .

a) b)

6.- En el circuito eléctrico de la figura se tienen los siguientes datos:

E

191

Si la carga del condensador y las corrientes son nulas en hallar la

carga del condensador en cualquier tiempo

7.- Supóngase que para , la masa de la figura, está en reposo en su

posición de equilibrio . Considere además que súbitamente se le aplica

una fuerza que le comunica una velocidad instantánea dirigida hacia la

derecha, fuerza que luego se retira. Obtener el desplazamiento de la masa de

su posición de equilibrio es en cualquier tiempo

8.- Desde la superficie de la tierra se lanza hacia arriba una bola de masa

con una velocidad . ¿Cuál será la altura máxima que alcanza

la bola?



Logotipo del

programa educativo

RÚBRICA


ACTIVIDAD

Nombre del alumno: Fecha:

Nombre de la asignatura: Ecuaciones diferenciales aplicadas.


Unidad temática: Series de Fourier.

Tema: Transformada de Laplace e inversa, traslación y fracciones parciales funciones de fuerzas continuas por partes.

Criterio NIVEL DE DESEMPEÑO

Excelente (10) Bueno (8) Suficiente (7) Insuficiente(5) Puntuación

Relaciona el concepto

de dos funciones

ortogonales con la

apelación en sistemas

motrices.

Interpreta el

concepto de

ortogonalidad de

funciones a través de

una aplicación real.

Interpreta la

ortogonalidad de

funciones.

Aplica la definición

de ortogonalidad

de funciones.

Presenta deficiencias

en la interpretación de

la ortogonalidad de

funciones.

Aprende la serie de

Fourier, así como su

convergencia en

sistemas mecánicos-

eléctricos.

Muestra gran

habilidad y destreza

en la interpretación,

aplicación y definición

de la serie y

convergencia de

Fourier.

Soluciona ejercicios

referentes a la

convergencia de

series a trozos.

Interpreta la

convergencia de

series a trozos.

No identifica el

planteamiento y

solución de ejercicios

de convergencia.

Explica y diferencia de

manera teórico-

práctica las funciones

pares e impares.

Identifica con facilidad

los conceptos y

propiedades de las

funciones par e impar,

así como su solución

e interpretación

gráfica.

Resuelve los ejercicios

referentes a funciones

par e impar en una

aplicación presentada.

Presenta

dificultades de

interpretación y

solución ejercicios

de funciones par e

impar.

Las bases conceptuales

y resolutivas de

funciones par e impar

no son claras.

192

Evaluación de la actitud, desempeño y producto (proyecto final)

Presentación).

Alumnos:

Grupo:

Aspecto a evaluar Proyecto / Fecha de evaluación

Presenta proyecto

final concluido y

validado sobre una

aplicación integral que

involucre la serie de

Fourier.

Muestra una gran

habilidad para

interpretar el

comportamiento de

fenómenos físicos

(electro-mecánicos)

del contexto

relacionado con el

mantenimiento.

Predice el

comportamiento de

sistemas mecánicos y

eléctricos de manera

analítica, más no

contextual.

Muestra

dificultades en la

interpretación de

sistemas

mecánicos y

eléctricos.

Los conocimientos

previos no son

suficientes para la

interpretación y

solución de sistemas

mecánico-eléctricos.

Puntuación Total

Observaciones:

Firma del profesor Firma del Alumno


Logotipo del

programa educativo

EVIDENCIA DE AVANCE DE PROYECTO

ACTIVIDAD

193

Actitud

1.- Puntualidad Los alumnos presentan el avance de

proyecto en tiempo y forma.

2. Trabajo en equipo

El alumno participa activamente en su

equipo.

3. Respeto

El trato hacia los demás es correcto y

respetuoso.

4. Limpieza y orden

El área de trabajo en el aula y talleres se

mantiene limpia y en orden al momento del

desarrollo del proyecto.

5. Compromiso

Los alumnos atienden las observaciones

realizadas por el asesor en el avance

programado.

6.- Equipo y herramientas Cuando se requiere del uso del los talleres

y/o laboratorios se utilizan bajo la supervisión

del asesor o encargado de laboratorio.

7.- Medidas de seguridad

Se siguen las medidas de seguridad en el

uso de máquinas-herramientas dispuesto en

el laboratorio pesado.

Desempeño

8.- Metodología para efectuar el proyecto. La realización del proyecto se fundamenta

en el seguimiento y aplicación de una

metodología bien definida.

9. Cumplimiento del cronograma de

actividades.

El equipo se apegó a la programación

dispuesta en el cronograma de actividades

cuatrimestral.

10. Mejora continua.

Se atendieron las observaciones y

recomendaciones derivadas de las

revisiones de proyecto programadas.

Producto

11. Presentación del proyecto.

El proyecto final se concluyó en tiempo y

forma atendiendo una necesidad del

contexto relacionado con el mantenimiento.

194

12. Prototipo en funcionamiento.

El prototipo cumple con la función para la

cual fue diseñado y construido.

Resultado

Se recomienda dictaminar C (competente)

cuando se tengan al menos 10 valores C en

la columna.

Observaciones:

Nombre y firma del evaluador

195

ANEXO 1

Tabla de fórmulas de derivación

1.- derivada de una constante.

2.- derivada de un monomio a la .

3.- derivada de un polinomio a la .

4.- derivada de la suma.

5.- derivada del producto.

6.- derivada del producto de una constante por variable

7.- derivada de la división.

8.- derivada de la razón constante entre variable.

10.- derivada de la razón variable entre constante.

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

196

22.-

23.-

24.-

25.-

26.-

27.-

ANEXO 2

Tabla de integrales indefinidas.

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

197

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-

21.-

22.-

23.-

24.-

ANEXO 3

Tabla de soluciones particulares propuestas para ecuaciones diferenciales con

coeficientes indeterminados.

Forma de Forma tentativa de

a) (constante) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)

198

n) ( o) p) q) r) s) t)

ANEXO 4

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

199

ANEXO 5

TABLA DE TRANSFORMADAS INVERSAS

200

ANEXO 6

EXAMEN DE DOBLE OPCIÓN Considera los dos primeros niveles del pensamiento crítico (conocimiento y comprensión), está integrado por preguntas, aseveraciones incompletas o definiciones de conceptos con cuatro opciones de respuestas y un nuevo elemento indicado por un número romano, que se emplea para justificar la respuesta elegida.

Ejemplo A:

Ecuación diferencial se define como:

a) Expresión algebraica que involucra integrales finitas.

b) Es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a

una o más variables independientes.

c) Ecuación con variables de primer grado dependientes e independientes.

d) Función definida en un intervalo dado y que tiene al menos n derivadas

continuas en ese intervalo.

Las razones son:

I)

II)

Ventajas

Permite que los estudiantes hagan un esfuerzo argumentativo para describir convincentemente por qué eligieron una respuesta determinada.

Evita la adivinación o respuesta azarosa que caracteriza la selección de respuestas en estos exámenes.

Resulta favorable para el desarrollo de habilidades de análisis, argumentación y reflexión.

Diseño y Análisis de Casos en formato de Opción Múltiple, con doble Respuesta.

201

Desde el diseño de reactivos de doble opción, se pueden trabajar, en lugar de conceptos, casos más completos que permitan al estudiante, decidir sobre las posibles soluciones al problema mismo, propiciando la aplicación de los tres últimos niveles del pensamiento crítico (análisis, síntesis y evaluación) siguiendo el esquema de trabajo anterior. Así, el maestro puede documentar casos que ha resuelto en su práctica profesional en el área de mantenimiento industrial, para proponerlos a sus estudiantes como casos de estudio y análisis.

Ejemplo B (diseño de casos):

En Quesos la Rosita se hace una gran variedad de productos lácteos de

calidad, para ello es fundamental contar con una caldera para la generación de

vapor utilizado en los diferentes procesos de producción de queso.

Sin embargo, la caldera ha sufrido desperfectos continuos desde hace más de

un año, provocando con ello constantes paros en la producción de queso hasta

que el especialista es llamado de Irapuato para programar su visita y repararla.

Desafortunadamente el técnico regresa de un curso en 20 días más.

La caldera es producto del armado de componentes de otras calderas, es decir,

“hechiza”. El dueño está preocupado por los constantes paros de producción

por fallas en la caldera, y solo restan 15 días para cubrir los pedidos de sus

clientes potenciales, así como la llegada del periodo de ventas fuertes.

Preguntas generales

¿Cuáles son los componentes críticos de la caldera? ¿Existe un historial operativo del equipo? ¿Cuáles son las razones de no contar con un operario capacitado en

Quesos la Rosita? ¿Se ha analizado la posibilidad de adquirir otra caldera?

Descripción del

caso.

Componentes

críticos.

Historial

operativo.

Operario

capacitado.

a) a) a)

b) b) b)

c) c) c)

Alternativas de solución

Razones para decidir por la opción de componentes críticos.

Razones para decidir por la opción de historial operativo.

Razones para decidir por la opción del operario capacitado.

202

I) I) I)

II) II) II)

III) III) III)

Soluciones documentadas

Esta forma de evaluación considera principalmente los niveles del pensamiento crítico (aplicación y análisis), ya que concierne a la interrelación de principios y generalizaciones con casos particulares o prácticos, a través de la división de un todo en sus partes.

1ª Parte: Se pide a los estudiantes que, de forma individual, resuelvan un problema y anoten todos los pasos que vayan siguiendo. 2ª Parte: A continuación, se intercambia el protocolo generado y se intenta seguir los pasos dados por el autor para resolver el problema. Una vez usada, esta técnica puede ampliarse y desarrollarse por pares o por grupos de tres o más participantes. Éste último aspecto depende de la meta de aprendizaje propuesta.

Ejemplo C:

Problema de aplicación (ejercicio) Pasos seguidos

Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta.

.

Solución: 1.-

2.-

Como , se trata de una

ecuación diferencial exacta.

3.-

.

4.-

.

5.-

1.- Aplicando la condición necesaria

y suficiente para que:

sea exacta,

es que:

2.- , es decir

3.- Para satisfacer la suficiencia del

paso (2) considerar:

, donde

denota una integración con

respecto a manteniendo a

constante, y es la constante

arbitraria de integración.

4.- Ya que ,

203

6.-

7.-

.

5.- Considerar .

6.- Se sustituye el valor de en el

paso #3.

7.- Solución: .

Ventajas

Permite evaluar el proceso de solución y la forma de documentar el proceso que se siguió para llegar a la solución, así, en la segunda parte de la técnica, se prueba el método a seguir, ya que debería llevarnos a la solución.

Apoya el desarrollo de habilidades del pensamiento, organización de soluciones a problemas de aplicación y ejercicios.

Permite el desarrollo de habilidades para colaborar, y fomenta la metacognición del estudiante.

Evaluación de las Actitudes y Disposiciones de Aprendizaje.

El docente debe decidir de forma individual y colegiada (primero una y luego cotejar con la otra), qué disposiciones de aprendizaje valorará en la asignatura para poder incluirlas en las actividades de aprendizaje integral en lo que al saber ser refiere.

Para lo anterior, debe tener en cuenta que cada disposición consta de tres aspectos básicos: habilidades, inclinación y sensibilidad para la ocasión.

Estar dispuesto a actuar de forma específica involucra ser competente para hacerlo y considerar cuándo es apropiado hacerlo.

Disposiciones de acuerdo con algunos autores: Bonfenbrenner: Describe la competencia educativa en términos de la

disposición para pensar, persistir en la tarea, dar opiniones y contribuir con ideas al trabajo colaborativo.

Goleman: Incluye la disposición en términos de confianza, curiosidad,

intencionalidad, autocontrol, comunicación y cooperación. Claxton: Determina las disposiciones importantes en la capacidad para

aprender a la curiosidad, selectividad, resistencia, experimentación, reflexión y búsqueda de oportunidades de aprendizaje.

Ejemplo D:

Disposiciones Actividades Criterios de evaluación

Persistencia Solución de problemas en Que intente solucionar el

204

la comprensión de temas difíciles.

problema y se mantenga en la actividad hasta resolverlo.

Flexibilidad En la solución de problemas, en el desarrollo de proyectos, en el trabajo colaborativo, en proyectos de investigación.

Intentar varias formas o métodos de solución al problema de manera gráfica, algorítmica, geométrica o aritmética.

Curiosidad En actividades de investigación.

Que el estudiante se oriente a encontrar el tema, indagar, cuestionar, preguntar y reflexionar sobre lo investigado.

Por ejemplo se recomienda aplicar éste tipo de instrumento como parte complementaria en la evaluación conjunta en la realización de prácticas en laboratorios y/o talleres, dinámicas grupales y proyectos de fin de cuatrimestre. Ventajas

Permite evaluar al estudiante no sólo por sus conocimientos, sino

también por su desempeño de la actividad y por la medida en que ésta contribuya al desarrollo de disposiciones de aprendizaje, importantes para la formación integral.

Comentario Las técnicas e ideas analizadas, permiten al docente explorar los procesos de pensamiento de sus estudiantes, así como imprimir a las clases un tono más lúdico y creativo. Además, permiten incluir al alumno en ejercicios de colaboración, reto intelectual y sistematización de los procesos que siguen para resolver problemas y fomentar el aprendizaje a lo largo de la vida.

La evaluación del aprendizaje es, en sí misma, una oportunidad que requiere de un maestro dispuesto a intentar actividades de mayor colaboración, es decir, un desafío intelectual que permita adquirir habilidades de razonamiento y una comprensión profunda, desarrollando al mismo tiempo, habilidades de aprendizaje autónomo, además de contribuir con el fortalecimiento en la aplicación del pasamiento crítico en sus seis niveles taxonómicos. ANEXO 7

PLAN CURRICULAR CUATRIMESTRAL

PROGRAMACIÓN CUATRIMESTRAL DE ASIGNATURA POR COMPETENCIAS

205

Asignatura ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS

Competencia

Genérica

DISEÑAR ESTRATEGIAS DE MANTENIMIENTO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE FACTORES HUMANOS, TECNOLÓGICOS,

ECONÓMICOS Y FINANCIEROS, PARA LA ELABORACIÓN Y ADMINISTRACIÓN DEL PLAN MAESTRO DE MANTENIMIENTO

QUE GARANTICE LA DISPONIBILIDAD Y CONFIABILIDAD DE PLANTA, CONTRIBUYENDO A LA COMPETITIVIDAD DE LA

EMPRESA.

Horas totales 75 Horas

teóricas 30

Horas

practicas 45 Semanas 15

Cuatrimestre

/Periodo

Unidad

Temática

I. Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Competen

cia del

Modulo

COMPRENDER QUE ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL, SU ORIGEN, SUS TIPOS, SU SOLUCIÓN Y SU INTERPRETACIÓN EN

PROBLEMAS DE INGENIERÍA, PARA MODELAR SISTEMAS ELECTROMECÁNICOS MEDIANTE EL ESTUDIO DE CASOS.

Horas

Totales

10 Horas

teóricas

5 Horas

practicas

5 Sema

na

Resultado

de

aprendizaj

e (Tarea

integrador

a)

- Elaborará un mapa conceptual en el que identificará los tipos (orden, grado, linealidad, ordinaria/parcial) y aplicaciones de las


- Identificará las ecuaciones diferenciales.

- Comprenderá el proceso de verificación de soluciones de ecuaciones diferenciales.

- Aplicará los métodos de solución de ECD ordinarias expuestos.

TAREAS DEL CONOCIMIENTO SECUENCIA DIDACTICA EVALUACIÓN

RECURSOS

DIDACTICO

S

BIBLIOGRAFÍA

SABER HACER SER

PRESENCIA

LES CON EL

DOCENTE

AUTONOM

AS DEL

ESTUDIAN

TE

CRITERIO EVIDENCIA

TEMA 1:

DEFINICIO

NES Y

TERMINOL

OGÍA.

Describir

los

criterios de

clasificació

n de las

ecuaciones

diferencial

es.

Identificar

los tipos de

ecuaciones

diferencial

es, grado y

linealidad.

Comprobar

soluciones

de

ecuaciones

*

Responsabi

lidad

*

Puntualida

d

*

Proactivida

Apertura

A:

Presentaci

ón,

informació

n sobre el

modelo de

evaluación,

temario,

objetivos

temáticos.

Desarrollo

D:

Introducció

n,

definición

A:

Presentaci

ón y

expectativa

s del curso.

D:

Resolución

de

ejercicios

propuestos

en clase y

extra clase.

C:

Retroalime

ntación de

*Clasifica e

interpreta

adecuada

mente los

diferentes

tipos de

ECD.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase y

extra clase.

* Carpeta

de

evidencias.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas.

* Zill Dennis G.

Ecuaciones

Diferenciales con

aplicaciones, México

DF, ED Ibero Ámerica.

*Ecuaciones

Diferenciales, Serie

Schaum, cuarta

edición, México 1990.

* www.ejercicios

ecd.com

* Edwards Jr. C.H. y

Penney David E.,

Ecuaciones

Diferenciales

elementales con

http://www.ejercicios/

206

TEMA 2:

TEORIA DE

EXISTENCI

A Y

UNICIDAD.

Enunciar el

teorema

de

existencia

y unicidad.

TEMA 3:

PROBLEM

AS DE

VALOR

INICIAL Y

CONDICIO

diferencial

es.

Emplear el

teorema

de

existencia

y unicidad

en

soluciones

de

ecuaciones

.

d

*

Motivación

de una E.C

diferencial

(ECD),

clasificació

n de una

ECD según

su tipo,

orden y

linealidad.

Cierre C:

Ejercicios

propuestos

y su

relación

con

conocimien

tos previos.

A:

Reforzamie

nto,

gráfica de

una

función.

D:

Explicación

del

teorema de

existencia y

unicidad.

C.

Ejercicios

propuestos

.

A:

Reforzamie

nto y

aclaración

de dudas

conceptos.

A:

Comentari

os de

relación

conceptual

con

saberes

previos del

tema

anterior.

D:

Interpretac

ión de los

conceptos

prácticos

de

existencia

y unicidad.

C: Solución

de

ejercicios

propuestos

y su

relación

con la

geometría

analítica.

A:

Comentari

os de

relación

conceptual

con

*Interpreta

y relaciona

apropiada

mente los

conceptos

de

existencia

y unicidad

de una

función.

*

Desarrolla

e

interpreta

adecuada

mente las

condicione

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase.

* Carpeta

de

evidencias.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase y

extra clase.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

aplicaciones, México,

ED Prentice Hall.

* Isabel Carmona

Jover, Ecuaciones

Diferenciales, México

1998, Ed Pearson.

207

NES DE

FRONTERA

.

Describir

los

problemas

con valores

iniciales y

con

condicione

s de

frontera.

TEMA 4:

LAS

ECUACION

ES

DIFERENCI

ALES

COMO

MODELOS

MATEMÁT

ICOS.

Describir

los

modelos

de

sistemas

que

emplean

ecuaciones

diferencial

es.

Emplear

condicione

s iniciales

de frontera

en

soluciones

de

ecuaciones

.

Interpretar

los

modelos

de

sistemas

que

emplean

ecuaciones

diferencial

es.

del tema

anterior,

objetivo

del tema.

D:

Explicación

de valores

frontera en

la solución

e

interpretac

ión de ECD.

C: Solución

de

ejercicios

en clase.

A:

Reforzamie

nto: ¿Qué

es un

modelo

matemátic

o? ¿Cuáles

son sus

ventajas y

aplicacione

s en el

campo de

la física e

ingeniería?

D:

Planteamie

nto y

solución de

ejercicios

en el

pintarrón.

C:

Ejercicios

propuestos

(mini-

examen de

la unidad).

saberes

previos del

tema

anterior.

D:

Resolución

de

ejercicios

propuestos

en clase y

extra clase.

C:

Retroalime

ntación

conceptual

de los

valores de

frontera en

el

problema

del valor

inicial.

A:

Interpretac

ión y

definición

de modelo

matemátic

o y su

aplicación

en cursos

previos.

D:

Aclaración

de dudas

en el

planteamie

nto y

solución de

ejercicios

propuestos

.

C:

Resolución

de

ejercicios

propuestos

en mini

examen

por

parejas.

s de

frontera en

la solución

de ECD.

* Utiliza y

aplica

apropiada

mente los

métodos

para la

solución de

ECD

ordinarias.

Así como

su

importanci

a en la

interpretac

ión de

fenómenos

físicos e

ingenieriles

.

* Carpeta

de

evidencias.

*

Realización

de

ejercicios

propuestos

por parejas

en el aula.

* Carpeta

de

evidencias.

cómputo.

* Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas.

208

.

Unidad

Temática.

II. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

Competen

cia del

Modulo

DESARROLLAR LAS HABILIDADES PARA EL PLANTEAMINETO Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE

PRIMER ORDEN, PARA SU APLICACIÓN A MODELOS RELACIONADOS CON LA INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO

INDUSTRIAL, MEDIANTE LAS TÉCNICAS BÁSICAS DE SOLUCIÓN Y EL USO DE SOFTWARE PARA MATEMÁTICAS.

Horas

Totales

15 Horas

teóricas

5 Horas

practicas

10 Sema

na

Resultado

de

aprendizaj

e (Tarea

integrador

a)

- Solucionará problemas orientados al mantenimiento, empleando las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

como: cinemática, circuitos eléctricos (RC, RL), enfriamiento y resistencia de materiales.

- Identificará los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

- Comprenderá el procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden relacionadas con

mantenimiento (circuitos RC y RL, dinámica, enfriamiento).


RECURSOS

DIDACTICO

S

BIBLIOGRAFÍA

SABER HACER SER

PRESENCIA

LES CON EL

DOCENTE

AUTONOM

AS DEL

ESTUDIAN

TE

CRITERIO EVIDENCI

A

TEMA 1:

ECUACION

ES DE

VARIABLES

SEPARABL

ES.

Explicar el

Resolver

*

Apertura

A:

Introducció

n a la

solución de

ECD por

variables

separables.

Desarrollo

A:

Derivación

de pasos

secuencial

es de

solución

por

variables

separables.

* Utiliza y

aplica

apropiadam

ente los

métodos

para la

solución de

ECD lineales

por el

método de

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase y

extra

clase.

*

Portafolio

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

*Manual

209

proceso de

solución de

ecuaciones

de

variables

separables.

TEMA 2:

ECUACION

ES

EXACTAS.

Explicar el

proceso

de

solución

de

ecuacione

s exactas.

TEMA 3:

SOLUCIÓN

DE

ECAUCION

ES POR

SUSTITUCI

ÓN.

Explicar el

proceso

ecuaciones

de

variables

separables.

Resolver

ecuaciones

exactas.

Resolver

ecuaciones

Responsabi

lidad

*

Puntualida

d

*

Proactivida

d

*

Motivación

D:

Pasos

secuenciale

s de

solución de

ECD por

variables

separables.

Cierre C:

Ejercicios

propuestos

y su

relación

con

conocimien

tos previos.

A:

Reforzamie

nto y

aclaración

sobre el

método de

solución de

ECD por el

método de

variables

separables.

D:

Introducció

n al

método de

solución de

ECD por

ecuaciones

exactas.

C:

Aplicación

del método

de solución

de ECD.

A:

Diagnóstico

sobre la

solución de

ECD por

ecuaciones

exactas.

D:

Introducció

n al

método de

D:

Corroborac

ión de

solución de

ECD por el

método de

variables

separables.

C: Solución

de

ejercicios

de ECD por

variables

separables.

A:

Retroalime

ntación

sobre las

tareas

asignadas.

D:

Resolución

de

ejercicios

propuestos

en clase

aplicando

el método

de solución

expuesto.

C:

Ejercicios

propuestos

de la

aplicación

del método

(extra

clase).

A:

Autoanálisi

s sobre

bases

conceptual

es del

tema.

D: Solución

de

ejercicios

propuestos

variables

separables.

Así como su

importancia

en la

interpretació

n de

fenómenos

físicos e

ingenieriles.

* Utiliza y

aplica

apropiadam

ente los

métodos

para la

solución de

ECD lineales

por el

método de

ecuaciones

exactas.

* Identifica y

aplica las

reglas de

solución en

ECD por el

método de

sustitución.

de

evidencia

s.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

(extra

clase) y

solución

de

ejercicios

en clase.

*

Portafolio

de

evidencia

s.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase y

extra

clase.

* Carpeta

de

evidencia

de

ecuaciones

diferencial

es.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

,

210

de

solución

de

ecuacione

s por

sustitución

TEMA 4:

ECUACION

ES

LINEALES Y

DE

BERNOULL

I.

Explicar el

proceso

de

solución

de

ecuacione

s lineales

y de

Bernolli.

TEMA 5:

APLICACIO

NES DE LAS

ECUACION

ES

DIFERENCI

ALES

ORDINARI

AS DE

PRIMER

ORDEN.

Explicar las

aplicacione

s de

cinemática

de

mediante

sustitución.

Resolver

ecuaciones

lineales y

de Bernolli.

Resolver

modelos

de

sistemas

mecánicos

y eléctricos

que

requieren

de

solución de

ECD por

sustitución

C: Solución

secuencial

de ECD por

sustitución.

A:

Diagnóstico

sobre la

solución de

ECD por los

métodos

vistos.

D:

Introducció

n al

método de

solución de

ECD

lineales y

de

Bernoulli.

C:

Ejercicios

muestra

sobre ECD

lineales y

de

Bernoulli.

A:

Metodologí

a para la

selección

de un

proyecto

de

aplicación

contextual

(ingeniería

de

desarrollo).

D:

Presentaci

ón en

PowerPoint

de un

estudio de

caso

en equipos

de trabajo.

C:

Comparaci

ón de

resultados.

A:

Autoanálisi

s sobre

bases

conceptual

es y de

aplicación

de los

métodos

de solución

vistos.

D:

Identificaci

ón de

habilidades

en la

aplicación

de

soluciones

de ECD

lineales

por los

diversos

métodos

vistos.

C:

Aclaración

de dudas.

A:

Integración

de equipos

de trabajo

(cuatro

alumnos).

D: Mesas

de trabajo

en equipo

para la

identificaci

ón del

proyecto a

desarrollar

en el

cuatrimest

re como

función de

una

* Identifica y

aplica las

reglas de

solución en

ECD lineales

y de Bernolli

de manera

apropiada, al

igual que la

aplicación de

los métodos

de solución

vistos en la

unidad

temática.

.

* Identifica y

propone una

necesidad

contextual a

través del

seguimiento

de proyectos

previos o de

la iniciación

de nuevos

proyectos, a

través de la

experiencia

del grupo de

trabajo y

colaboración

del asesor.

* Establece

un plan de

s.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase y

extra

clase.

* Carpeta

de

evidencia

s.

*

Definició

n de

proyecto

y

cronogra

ma de

actividad

es

semanal.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo

(cañón).

211

mecanismo

s y

circuitos en

serie RC y

RL.

ecuaciones

diferencial

es

(circuitos

RC, RL) ley

de

enfriamien

to, entre

otros.

.

surgido en

empresas

de la

región bajo

la

metodologí

a expuesta.

C:

Aclaración

de dudas y

comentario

s.

necesidad

identificad

a (o por

identificar)

en

empresas

del área de

influencia.

C: Proyecto

tentativo

propuesto.

trabajo bien

estructurado

para el

desarrollo y

presentación

final del

proyecto

seleccionado

al final del

cuatrimestre

.

212

Unidad

Temática

III.- ECUACIONES DIFERENCILAES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR

Competen

cia del

Modulo

DESARROLLAR LAS HABILIDADES PARA EL PLANTEAMIENTO Y LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE

ORDEN SUPERIOR, APLICÁNDOLAS A MODELOS RELACIONADOS CON LA INGENIERÍA EN MANTENIMINETO

INDUSTRIAL, MEDIANTE ANÁLISIS DE LOS CASOS MÁS REPRESENTATIVOS, ASÍ COMO LA APLICACIÓN DE LOS

CONOCIMIENTOS EN EL DESRROLLO DEL PROYECTO DE FIN DE CUATRIMESTRE.

Horas

Totales

20 Horas

teóricas

10 Horas

practicas

10 Sema

na

Resultado

de

aprendizaj

e (Tarea

integrador

a)

- Solucionará problemas orientados al mantenimiento, aplicando las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior en

cinemática, circuitos eléctricos (RLC), enfriamiento y resistencia de materiales.

- Identificará los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

- Resolverá ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

- Analizará las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior relacionadas con mantenimiento

(circuitos RLC, sistemas amortiguados).


RECURSOS

DIDACTICO

S

BIBLIOGRAFÍA

SABER HACER SER

PRESENCIA

LES CON EL

DOCENTE

AUTONOM

AS DEL

ESTUDIAN

TE

CRITERIO EVIDENCIA

Unidad

Temática

IV.- TRANSFORMADA DE LAPLACE

Competen

cia del

Modulo

DESARROLLAR LAS HABILIDADES PARA EL PLANTEAMIENTO Y LA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

DIFERENCIALES A TRAVÉS DE TRASNFORMADAS DE LAPLACE, APLICÁNDOLAS A MODELOS RELACIONADOS CON

LA INGENIERÍA EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL, MEDIANTE LA COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS.

Horas

Totales

15 Horas

teóricas

5 Horas

practicas

10 Sema

na

Resultado

de

aprendizaj

e (Tarea

integrador

a)

- Solucionará ecuaciones diferenciales aplicadas al mantenimiento, aplicando la transformada de Laplace, en dinámica,

circuitos eléctricos (RLC), resistencias de materiales y fluidos.

- Comprenderá los conceptos de transformada directas e inversas de Laplace.

- Analizará las aplicaciones de la transformada de Laplace relacionadas con el mantenimiento industrial (sistemas

amortiguados).

213


RECURSOS

DIDACTICO

S

BIBLIOGRAFÍA

SABER HACER SER

PRESENCIA

LES CON EL

DOCENTE

AUTONOM

AS DEL

ESTUDIAN

TE

CRITERIO EVIDENCIA

TEMA 1:

DEFINICIÓ

N DE LA

TRASFOR

MADA DE

LAPLACE.

Explicar los

conceptos

de:

*Transfor

mada de

Laplace

*Linealidad

*Funciones

continuas

por tramos

*Existencia

de la

transforma

da de

Laplace.

TEMA 2:

TRANSFOR

MADA

INVERSA.

Explicar los

conceptos

de

transforma

da inversa

de Laplace.

Calcular

transforma

das de

Laplace

directas

(por

definición

y por

tablas).

Calcular

trasformad

as de

Laplace

inversas de

funciones

potenciales

,

exponencia

les y

trigonomét

ricas.

*

Responsabi

lidad

*

Puntualida

d

*

Proactivida

d

*

Motivación

Apertura

A:

Invitación a

la

participació

n en

congresos

y

seminarios

a través de

los

proyectos

desarrollad

os por los

educandos.

Desarrollo

D:

Definición

de

conceptos,

y

presentaci

ón de

formulas

para la

transforma

da de

Laplace...

Cierre C:

Ejercicios

propuestos

y su

relación

con

conocimien

tos previos.

Apertura

A:

Introducció

n al tema.

Desarrollo

D:

Definición

de

conceptos,

y

presentaci

ón de

A:

Considerac

ión de las

bases

emitidas

por

congresos

para su

posible

participaci

ón.

D:

Aprendizaj

e sobre la

aplicación

ingenieril

de la

transforma

da de

Laplace.

C:

Realización

de

ejercicios

propuestos

.

A:

Cuestiona

mientos

sobre el

tema.

D:

Aprendizaj

e sobre la

aplicación

ingenieril

de la

transforma

*Aplicación

y solución

de

ejercicios

aplicando

la

transforma

da de

Laplace

como

antecedent

e de la

resolución

de

ejercicios

del

contexto.

*Definición

y

programaci

ón sobre

la

Presentaci

ón de

avance de

artículo

para las

diferentes

convocator

ias.

*Aplicación

y solución

de

ejercicios

aplicando

la

transforma

da inversa

de Laplace

como

antecedent

e de la

resolución

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase y

extra clase.

* Carpeta

de

evidencias.

*Cronogra

ma de

actividades

para la

presentaci

ón y envío

de

artículos.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase y

extra clase.

* Carpeta

de

evidencias.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

*

Comparad

or óptico.

*Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

*Manual

de

ecuaciones

diferencial

214

Describir el

concepto

de

transforma

da inversa.

TEMA 3:

TEOREMAS

DE

TRASLACIÓ

N Y

DERIVADA

S DE UNA

TRANSFOR

MADA

Explicar el

teorema

de

derivada

de una

trasformad

a, basados

en el

primero y

segundo

Teorema

de

traslación.

Determinar

la solución

de

transforma

da inversa.

Calcular

transforma

das de

Laplace

basados en

los

teoremas

de

traslación y

derivada

de una

transforma

da.

formulas

para la

transforma

da inversa

de

Laplace...

Cierre C:

Ejercicios

propuestos

y su

relación

con

conocimien

tos previos.

Apertura

A:

Introducció

n al tema.

Desarrollo

D:

Definición

de

conceptos,

y

presentaci

ón de

métodos

de solución

para la

transforma

da de

Laplace

utilizando

el teorema

de

traslación y

su

derivada.

Cierre C:

Ejercicios

propuestos

y su

relación

con

conocimien

tos previos.

da inversa

de Laplace.

C:

Realización

de

ejercicios

propuestos

.

A:

Cuestiona

mientos

sobre el

tema.

D:

Aprendizaj

e sobre la

aplicación

de los

métodos

de solución

de la

transforma

da de

Laplace

utilizando

el teorema

de

traslación y

la

derivación.

..

C:

Realización

de

ejercicios

propuestos

. Aplicación

de la

derivada

de una

transforma

da.

de

ejercicios

del

contexto

(considerar

la analogía

con el

proyecto

grupal de

aplicación).

*Utilizació

n de la

técnica de

fracciones

parciales

para la

solución de

la

trasformad

a inversa.

*Aplicación

y solución

de

ejercicios

aplicando

el teorema

de

traslación,

así como la

interpretac

ión del

teorema

de la

derivada

de una

transforma

da, y sus

diferencias

o

similitudes

con la

derivada

de una

función..

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

(extra

clase) y

solución de

ejercicios

en clase.

* Rubrica.

es

aplicadas

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

*Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas

215

TEMA 4:

TRANSFOR

MADA DE

DERIVADA

S,

INTEGRALE

S Y

FUNCIONE

S

PERIÓDICA

S.

Explicar los

teoremas

de:

*Trasforma

da de una

derivada

*Convoluci

ón

*Transfor

mada de

una

función

periódica.

TEMA 5:

APLICACIO

NES.

Explicar la

Calcular

transforma

das de:

*Derivadas

*Integrales

*Funciones

periódicas.

Solución

de

problemas

relacionad

Apertura

A:

Introducció

n al tema.

Desarrollo

D:

Definición

de

conceptos,

funciones

de fuerzas

periódicas

y continuas

por partes

y su

relación

con señales

eléctricas y

vibraciones

mecánicas.

Derivadas

en

integrales

de

funciones

periódicas.

Cierre C:

Ejercicios

propuestos

en clase y

extra clase.

Mini

proyecto

de

aplicación

con

modelos

matemátic

os

derivados

de equipos

existentes

en un

laboratorio

pesado de

mecánica.

Apertura

A:

Introducció

n al tema.

Desarrollo

A:

Cuestiona

mientos

sobre el

tema.

D:

Generación

de

modelos

matemátic

os en

sistemas

mecánicos

y

eléctricos.

C:

Realización

de

ejercicios

propuestos

.

A:

Cuestiona

mientos

sobre el

tema.

D:

Generación

*Aplicación

y solución

de

ejercicios a

través del

modelado

de

diferentes

equipos

eléctricos y

mecánicos

utilizados

en la

industria.

*Presentac

ión del

mini

proyecto

de

aplicación

sobre

modelado

de equipos

y/o

máquinas

existentes

en el

Laboratori

o pesado

de

Mecánica.

*Aplicación

y solución

de

ejercicios a

través del

modelado

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

(extra

clase) y

solución de

ejercicios

en clase.

*

Exposición

de mini

proyecto

*Lista de

cotejo.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

(extra

clase) y

solución de

ejercicios

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

* Examen

escrito

*Presentac

ión de

proyecto.

*Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo y

cañón de

216

función

delta de

Dirac.

TEMA 6:

SISTEMAS

DE

ECUACION

ES

LINEALES

DE PRIMER

GRADO.

Explicar los

métodos

de:

*Operacio

nes

*Transfor

madas de

Laplace

os con

mecánica

de

mecanismo

s y

circuitos en

serie RC y

RL.

Solucionar

problemas

relacionad

os con

mecánica

de

mecanismo

s, circuitos

eléctricos

sistemas

degradado

D:

Definición

de la

función

delta de

Dirak.

Aplicación

en

mecanismo

s de uno y

dos grados

de libertad

y circuitos

eléctricos

del tipo RC

y RL.

Cierre C:

Ejercicios

propuestos

en clase y

extra clase.

Presentaci

ón de casos

sobre

aplicacione

s de la

función

delta en la

interpretac

ión de

problemas

de

mantenimi

ento

industrial y

su

consecuent

e solución.

Apertura

A:

Introducció

n al tema.

Desarrollo

D:

Definición

y

explicación

conceptual.

Desarrollo

de

ejercicios

con

sistemas

de

ecuaciones

de

modelos

matemátic

os en

sistemas

mecánicos

y eléctricos

utilizando

la función

delta.

C:

Investigaci

ón sobre

un caso

real de

mantenimi

ento

industrial

utilizando

los

recursos

vistos en el

tema 5.

A:

Cuestiona

mientos

sobre el

tema.

D: Solución

de

sistemas

de

ecuaciones

diferencial

es.

C:

Aclaración

de dudas.

de

diferentes

equipos

eléctricos y

mecánicos

utilizados

en la

industria.

*Presentac

ión del

reporte (en

diapositiva

s)

referente

al estudio

de caso

real

encomend

ado (por

equipo).

*Solución

de

sistemas

de

ecuaciones

diferencial

es.

*Validació

n e

interpretac

ión de

resultados

derivados

de la

presentaci

ón final del

en clase.

*

Exposición

de caso

real

proyecto

*Lista de

cotejo.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

(extra

clase) y

solución de

ejercicios

en clase.

*Reporte

impreso y

en medio

magnético

del

proyecto

de

aplicación

final.

*Carta de

aportación

firmada

electrones.

* Examen

escrito

*Presentac

ión de

proyecto.

*Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo y

cañón de

electrones.

* Examen

escrito

*Presentac

ión de

proyecto.

*Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

217

*Determin

ar sistemas

de

ecuaciones

lineales de

primer

orden.

s. .

Cierre C:

Ejercicios

propuestos

en clase y

extra clase.

Programaci

ón de la

presentaci

ón de

proyectos

finales de

fin de

cuatrimestr

e.

proyecto

de estudio

de caso de

fin de

cuatrimest

re.

por el

responsabl

e

empresaria

l del

proyecto.

*Lista de

cotejo.

aplicadas

Unidad

Temática

V.- SERIES DE FOURIER

Competen

cia del

Modulo

UTILIZAR LAS SERIES DE FOURIER EN EL MODELADO Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL

MANTENIMIENTO INDUSTRIAL, EN PARTICULAR EN ESTUDIOS DE CALIDAD DE LA ENERGÍA Y VIBRACIONES,

MEDIANTE LA COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTSO BÁSICOS.

Horas

Totales

15 Horas

teóricas

5 Horas

practicas

10 Sema

na

Resultado

de

aprendizaj

e (Tarea

integrador

a)

- Realizará estudios de generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica, análisis de comportamiento armónico de

señales y estudios de respuesta en el tiempo de una variable de circuitos eléctricos aplicando las series de Fourier.

- Comprenderá los conceptos de las series de Fourier.

- Analizará las aplicaciones de las series de Fourier en problemas relacionados con mantenimiento (vibraciones).


RECURSOS

DIDACTICO

S

BIBLIOGRAFÍA

SABER HACER SER

PRESENCIA

LES CON EL

DOCENTE

AUTONOM

AS DEL

ESTUDIAN

TE

CRITERIO EVIDENCIA

218

TEMA 1:

FUNCIONE

S

ORTOGON

ALES.

Explicar el

concepto

de

ortogonali

dad de la

función.

TEMA 2:

SERIES DE

FOURIER.

Explicar el

teorema

de

convergenc

ia de una

serie de

Fourier.

Resolver

problema s

definiendo

la

ortogonali

dad de la

función en

el intervalo

y por

medio de

la integral

de la

función de

peso

indicada.

Calcular

transforma

das de

Laplace

directas

(por

definición

y por

tablas).

Solucionar

problemas

relacionad

os con la

convergenc

ia de una

serie en

intervalos

dados.

*

Responsabi

lidad

*

Puntualida

d

*

Proactivida

d

*

Motivación

Apertura

A:

Recuerda:

citar el

concepto

de

ortogonalid

ad y su

aplicación

en otras

ramas de la

matemátic

a...

Desarrollo

D:

Definición

del

concepto, y

solución de

ejercicios

de

ortogonalid

ad

utilizando

la integral

de la

función...

Cierre C:

Ejercicios

propuestos

.

Apertura

A:

Introducció

n al tema.

Desarrollo

D:

Interpretac

ión práctica

sobre la

convergenc

ia de series

de Fourier

(banco de

electrónica

y banco de

vibraciones

mecánicas)

.

Cierre C:

Práctica

propuesta

en el banco

de

A: Asociar

el

concepto

de

ortogonali

dad con

otras

materias

curriculare

s vistas.

D: Solución

de

ejercicios

referentes

al tema.

C:

Realización

de

ejercicios

propuestos

.

A:

Cuestiona

mientos

sobre el

tema.

D:

Aprendizaj

e sobre la

aplicación

ingenieril

de la

convergenc

ia de series

de Fourier.

C:

Programaci

ón de la

práctica

propuesta.

*Aplicación

y solución

de

ejercicios

aplicando

el principio

de

ortogonali

dad.

*Aplicación

y solución

de

ejercicios

de

convergenc

ia de series

de Fourier.

Realización

e

interpretac

ión de

resultados

de la

práctica

propuesta.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase y

extra clase.

* Carpeta

de

evidencias.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

en clase y

extra clase.

*Entrega

en impreso

del reporte

de la

práctica de

laboratorio

.

*Carpeta

de

evidencias.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

*

Comparad

or óptico.

*Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Banco de

electrónica

y

vibraciones

mecánicas.

*Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas

219

TEMA 3:

SERIES DE

FOURIER

DE SENOS

Y

COSENOS.

Explicar los

conceptos

y

propiedade

s

matemátic

as de la

función par

e impar.

TEMA 4:

APLICACIO

NES.

Explicar las

aplicacione

s de las

series de

Fourier en

el área

electromec

ánica.

Resolver

problemas

de las

series par e

impar por

medio de

las series

de senos y

cosenos.

Modelar y

analizar

aplicando

las series

de Fourier

en las

vibraciones

mecánicas.

..

electrónica

y

vibraciones

mecánicas.

Apertura

A:

Introducció

n al tema.

Desarrollo

D:

Definición

de

conceptos,

gráfica de

la función

seno y

coseno,

gráfica de

una

función par

e impar,

propiedade

s de las

funciones

par e

impar.

Ejercicios

resaltos...

Cierre C:

Importanci

a

interpretati

va de la

función par

e impar en

aplicacione

s físicas e

ingenieriles

.

Apertura

A:

Introducció

n al tema.

Desarrollo

D:

Aplicacione

s de

Fourier

utilizando

el banco

didáctico

de

A:

Cuestiona

mientos

sobre el

tema.

D: Solución

de

ejercicios

conceptual

es y de

aplicación.

C:

Aclaración

de dudas.

A:

Cuestiona

mientos

sobre el

tema.

D:

Realización

de

prácticas

propuestas

en el banco

didáctico

de

vibraciones

*Interpreta

ción de

series de

Fourier

consideran

do las

propiedade

s de las

funciones

par e

impar.

*Aplicación

y solución

de

problemas

de

mantenimi

ento

menores

en equipos

eléctricos y

dinámicos

(institucion

ales) a

través de la

interpretac

ión gráfica

funcional

de su

espectro.

*Diagnósti

co de fallas

en equipos

dinámicos

mediante

el uso de

series de

Fourier.

*Analogía

contextual

de fallas en

equipos

dinámicos

a través de

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

(extra

clase) y

solución de

ejercicios

en clase.

* Reporte

“maestro”

de

mantenimi

ento a

equipos

considerad

os.

* Entrega

de

ejercicios

resueltos

(extra

clase) y

solución de

ejercicios

en clase.

* Reporte

“maestro”

de

mantenimi

ento a

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

*Manual

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas

*Equipos

eléctricos y

dinámicos.

* Pintarrón

* Cuaderno

de notas.

* Equipo

de

cómputo.

* Banco de

vibraciones

mecánicas.

*Manual

220

vibraciones

mecánicas.

Cierre C:

interpretac

ión de

fallas más

comunes

en

component

es

mecánicos

(rodamient

os,

engranes,

ejes,

sujetadore

s etc.) a

través de la

aplicación

de series

de Fourier.

mecánicas.

C:

Interpretac

ión y

contextuali

zación de

los

resultados.

la

interpretac

ión de

series de

Fourier.

banco de

vibraciones

mecánicas.

*Lista de

cotejo.

de

ecuaciones

diferencial

es

aplicadas

*Manual

del banco

de

vibraciones

mecánicas.

221

La programación cuatrimestral de la asignatura, deberá presentarse por unidad temática, y se desarrollara de manera co legiada

por el grupo de profesores que impartan la asignatura, cada grupo de profesores podrá establecer su planeación y definir las

actividades específicas que estime necesarias para lograr los resultados de aprendizaje, de acuerdo con su experiencia doc ente,

las posibilidades de los alumnos y las condiciones de la Universidad.

222

+ Apertura.- Se recomienda se dirija a explorar y recuperar los saberes previos e intereses del alumno, así como los aspectos del

contexto que resultan relevantes para su formación.

+ Desarrollo.- Debe dirigirse al despliegue de nuevos conocimientos, habilidades y actitudes, mediante la promoción de la

investigación, el trabajo en equipo, la comunicación, la resolución de problemas, el planteamiento de proyectos y las visitas al

sector productivo, es decir empleando las estrategias didácticas.

+ Cierre.- En la fase de cierre se propone elaborar las conclusiones y reflexiones que, entre otros aspectos, permiten advertir los

resultados del aprendizaje y, con ello, la situación en que se encuentra cada alumno.

+ Los criterios deberán ser acordes a la secuencia de aprendizaje indicada en cada uno de los programas de estudios.

ELABORÓ:

NOMBRE Y FIRMA

223

Bibliografía

1.- Borrelli L. Robert, Coleman S. Courtney, Ecuaciones Diferenciales, una

perspectiva de modelación, Alfaomega, Primera edición, México 2002, 828 pp.

2.- Cornejo Serrano Ma. Del Carmen, Villalobos Oliver E.B., Quintana

Hernández P.A., Métodos de Solución, Ecuaciones Diferenciales, Reverté,

Primera edición, México 2008, 285 pp.

3.- Edwards C.H., Penney E.D., Ecuaciones Diferenciales Elementales,

Prentice Hall, Primera edición, México 1986, 681 pp.

4.- G. Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado,

Cengage Learning, Novena edición, México 2009, 362 pp.

5.- Murray R. Spiegel, Transformadas de Laplace, McGraw-Hill, México 1981,

261.

6.- Nielsen Kaj L., Ecuaciones Diferenciales, CECSA, Octava impresión,

México 1985, 311 pp.

10.- www.librosintinta.com

2 ecuaciones diferencias imi 2009 utsoe manual

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