2 conjuntos numericos
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Conjuntos Numéricos
CCONJUNTOS NUMÉRICOS ONJUNTOS NUMÉRICOS
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad de elementos (existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas (3,2 metros, 5,7 kg, –4ºC, etc.), etc. Números naturales
Al conjunto de los números que sirven para contar {1, 2, 3, 4, ...} los llamaremos números naturales y lo notaremos con la letra N.
Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta del siguiente modo: 1 2 3 4 5 6
Como podemos observar en la recta numérica, el conjunto N tiene primer elemento, el 1; y ¿cuál es su último elemento? ................................................................................................................. Actividad:
• ¿Puedes afirmar que todo número natural tiene un antecesor? ¿Por qué? Ejemplifica.
..........................................................................................................................................................
• ¿Puedes afirmar que todo número natural tiene un sucesor? ¿Por qué? Ejemplifica.
..........................................................................................................................................................
Como ya sabemos, sobre este conjunto de números se pueden definir ciertas operaciones como suma, resta, multiplicación y división. Observa lo siguiente:
2 + 5 = 7 5 + 2 = 7 3 + 20 = 23
2 . 7 = 14
5 . 8 = 40 10 . 3 = 30
8 – 3 = 5
20 – 7 = 13
La suma de dos números naturales da siempre como resultado un número natural
La resta de dos números naturales no siempre da un número natural.
La multiplicación de dos números naturales da siempre como resultado un número natural.
7 – 20 = ? 5 – 5 = ?
Conjuntos Numéricos
Números Enteros
Para solucionar el problema de la resta, se crean los números negativos –1, –2, –3, etc. como opuestos de los números naturales. Además se incorpora el cero para dar solución a la resta de un número consigo mismo. El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z. Notemos que N ⊆ Z.
Su representación sobre la recta numérica es la siguiente:
–2 –1 0 1 2 3
…es opuesto de… Veamos algunos ejemplos: El opuesto de 2 es –2. El opuesto de 5 es –5, es decir –(–5) = 5. El opuesto de 0 es ...............
De esta manera, podemos redefinir la resta de dos números naturales como la suma de dos enteros. Ejemplo: Calcular 1) 23 + (–12) = ?
Solución: sumar –12 es lo mismo que restar su opuesto, o sea 12, es decir: 23 + (–12) = 23 – 12 = 11.
2) 9 – (–20) = ? Solución: restar –20 es lo mismo que sumar su opuesto, o sea 20, por lo tanto: 9 – (–20) = 9 + 20 = 29.
Actividad:
Completar: • La suma de dos enteros da siempre un número ...............................
Dar dos ejemplos.
• La multiplicación de dos números enteros da siempre un número ............................... Dar ejemplos.
Veamos qué ocurre con la división. Observemos lo siguiente:
4 : 2 = 2 ya que 2 . 2 = 4 6 : 3 = 2 ya que 2 . 3 = 6
En general a : b = c, b ≠ 0 si se verifica que b . c = a.
¿Cuál será el resultado de 4 : 3 ? Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo
por 3 dé como resultado 4. ¿Qué número entero cumple con esta condición? ......................................
Conjuntos Numéricos Números Racionales
Para resolver esta situación habrá que introducir otro conjunto numérico, el conjunto de los números racionales al que denotaremos con la letra Q. Un número racional es el cociente de dos
números enteros m y n, siendo n ≠ 0 . Por lo tanto: Q = {nm , m, n ∈ Z, n ≠ 0}, donde m es el
numerador y n el denominador. Notemos que Z ⊆ Q. ¿Por qué?
- ¿Por qué en la definición se excluye al 0 en el denominador?
......................................................................................................................................................... Representemos en la recta numérica algunos números racionales:
3
2 31− 0 1 3
4
Veamos algunos ejemplos de números racionales: 5
7 es racional pues 7 es entero y 5 es entero. 3
4− es racional pues –4 es entero y 3 es entero. 4 es racional pues 1
4 = 4 y 4 y 1 son enteros. 0,3 es la expresión decimal de un número racional porque 0,3 = 10
3 y 3 y 10 son enteros. 0 5,
) es la expresión decimal de un número racional porque 0 5,
) = 9
5 y 5 y 9 son enteros. ) )
0 51, es la expresión decimal de un número racional porque 51,0 = 90115− = 90
14 y 14 y 90 son enteros.
En definitiva todo número racional puede escribirse como una expresión decimal
cuya parte decimal puede ser periódica, pura o mixta, con un número finito de cifras, o puede tener un número finito de cifras.
Así, por ejemplo:
12,1121212,13337 == K es una expresión decimal periódica pura.
53,0355,09032
)K == es una expresión decimal periódica mixta.
45,0209 = es una expresión decimal finita.
Definimos el inverso de un número a ≠ 0 como el número racional que multiplicado por a nos
dé 1, es decir: 11=⋅
aa .
Conjuntos Numéricos Ejemplos: El inverso de 5
2=a es 251 =a pues 12
552 =⋅ .
El inverso de 227−=a es 27
21 −=a pues ( ) 1272
227 =−⋅− .
De esta manera, redefinimos la división de dos enteros como la multiplicación de dos
racionales. Además, podemos extender esta idea a la división de dos racionales, definiéndola como la multiplicación del primero por el inverso del segundo. Ejemplos: 2 : 5 = 2 . 5
1 = 52 es decir a “2 dividido 5” lo pensamos como la multiplicación de los números
racionales 2 y 51 .
3 : 21 = 3 . 2 = 6 es decir a “3 dividido 2
1 ” lo pensamos como la multiplicación entre 3 y el inverso de 2
1 , que es 2. Actividad:
Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar. 1) 5
151
51
51
53 3 ++=⋅=
2) 31
32 2 ⋅−=−
− 3) La quinta parte de 7
1 es 351
71
51 =⋅ .
4) 83
83
83
−− ==−
• Como vimos anteriormente, el sucesor inmediato de un número natural n es n + 1, por ejemplo
el sucesor inmediato de 5 es 5 + 1 = 6. Si consideramos el conjunto de los racionales, ¿podrías decir cuál es el sucesor inmediato de 2
1 ?
..........................................................................................................................................................
• ¿Podrías determinar cuántos números racionales hay entre 51 y 2?
..........................................................................................................................................................
c
Observemos que entre dos números racionales, a y b, a < b, existe el racional (a + b) / 2 queverifica:
a < (a + b) / 2 < b Conclusión: si existe un racional entre los racionales a y b, existen infinitos.
Esta propiedad se expresa diciendo que el conjunto Q es un conjunto denso, en ontraposición a los naturales N y los enteros Z, que son conjuntos discretos.
Conjuntos Numéricos
Números Reales
NÚMEROS IRRACIONALES
¿Puedes representar a todos los números que conoces mediante una expresión decimal
periódica o limitada? Para contestar a esta pregunta, pensá en un número muy conocido, el número . ¿Cuál es el
valor de ? Si te fijás en una calculadora con 8 dígitos el valor de π
π π que te dará es el siguiente: 3,141593; si te fijás en una calculadora con 10 dígitos el valor de π que te dará es 3,14159264. En algún libro de matemática se puede encontrar, por ejemplo: π = 3,14159265358979323846. ¿Será
un número racional? ¿Por qué? π
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A los números reales cuya expresión decimal no es periódica ni limitada los llamaremos números irracionales, conjunto que denotaremos con I. Algunos ejemplos: , π 2 , 5− , e = 2,7182....
Observemos que la suma de dos números irracionales no siempre da un número irracional y
que el producto de dos números irracionales no siempre da un número irracional. Buscar ejemplos en donde se verifiquen dichas afirmaciones.
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Observar que si n ∈ Z, entonces 2ny2.n + son también irracionales. Se puede generalizar para r ∈ Q y t ∈ I, r + t y r . t son números irracionales. Obviamente I también es un conjunto infinito de números.
El conjunto formado por los racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales,
y se designa por R. Notemos que por esta definición Q ⊂ R. Los números reales llenan por completo la recta numérica, por eso se la llama recta real. Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un número real y, a cada número real, le corresponde un punto de la recta. Resumiendo Naturales {0} Enteros Opuestos de los naturales Racionales Fraccionarios Reales Irracionales
Conjuntos Numéricos
Propiedades de las operaciones en R SUMA Y PRODUCTO
Las operaciones de suma y producto definidas en R cumplen ciertas propiedades. Veamos algunas de ellas: Sean a, b y c números reales cualesquiera.
PROPIEDADES SUMA PRODUCTO
Ley de cierre a + b ∈ R a . b ∈ R
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c * a . (b . c) = (a . b) . c *
Conmutativa a + b = b + a a . b = b . a
Existencia de elemento neutro Es el 0: a + 0 = 0 + a = a
Es el 1: a . 1 = 1 . a = a
Existencia de inverso Es el opuesto aditivo: a + (–a) = (–a) + a = 0
Es el inverso multiplicativo: 111 =⋅=⋅ aa aa si a ≠ 0
Distributiva del producto con respecto a la suma (a + b) . c = a . c + b . c
* Observación: La propiedad asociativa nos permite prescindir del uso del paréntesis y escribir simplemente a + b + c ó a . b . c. Actividad:
1) Compruebe con ejemplos las propiedades anteriormente mencionadas.
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..........................................................................................................................................................
2) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser verdaderas, mencionar las propiedades utilizadas.
a) 3
534
31 )45( +=+⋅
b) 5)2()5(2 98
98 −⋅−=−⋅−
c) 2 + c = c + 2
d) 2 + [8 . (–9)] = (2 + 8) . [2 + (–9)]
e) 11 =⋅ aa para todo a real.
f) Existe un número real x para el cual π5 + x = 0.
Conjuntos Numéricos POTENCIACIÓN
Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que an se obtiene multiplicando n veces el factor a, es decir:
an = a . a . a … a
n veces Ejemplo: a6 = a . a . a . a . a . a
Decimos entonces que an es una potencia que tiene a como base y n como exponente. Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠ 0:
a0 = 1 a–n = (a–1)n con n ∈ N
Actividad:
Decir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos: a) 28 = 22 . 26 = 25 . 23 g) -32 = (-3)2 b) (8 + 3)2 = 82 + 32 h) 54 = 45 c) (8 . 3)2 = 82 . 32
d) (23)2 = 25 i) ( ) 2
21
22
2−
−−
1
55=
e) (23)2 = 26 f) 5–2 = –10
La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia:
Sean a, b números reales, m, n números enteros, excluyendo los casos 00.
PROPIEDAD POTENCIA
Distributiva con respecto al producto (a . b)m = am . bm
Distributiva con respecto a la división m
mm
ba
ba
=
Producto de potencias de igual base an . am = an + m
División de potencias de igual base mnm
n
aaa −=
Potencia de potencia ( ) mnmn aa ⋅=
Observación: Como se vio en el ejercicio anterior la potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. • ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del
resultado?
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Conjuntos Numéricos • ¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por qué?
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RADICACIÓN
La radicación es una operación inversa de la potenciación. Se llama raíz enésima de un número a, al número b tal que la potencia enésima de b es igual a a. En símbolos:
abba nn =⇔= , con n ∈ N..
n es el índice de la raíz y a es el radicando.
Ejemplos: 216 =4 ya que 24 = 16. 28 −=−3 ya que (–2)3 = –8. =−16 ?
Se presenta el problema ante una raíz de índice par de un número negativo, pues ningún
número real elevado a una potencia par da como resultado un número negativo. Debemos advertir que las raíces de índice par, cuando tienen solución, tiene dos soluciones y se
trata de dos números opuestos. Por ejemplo 64 = ± 8 pues 82 = (–8)2 = 64. En lo sucesivo, salvo aclaración expresa, se indicará solamente la solución positiva, llamada solución aritmética.
Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación.
Sean a, b números reales positivos y n, m números naturales:
PROPIEDADES RADICACIÓN
Distributiva con respecto al producto nnn baba .. =
Distributiva con respecto a la división n
nn
ba
ba
=
Raíz de raíz mnn m aa .=
Observaciones: • Al igual que con la potenciación, la radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la
resta. Proponga contraejemplos que muestren que esta afirmación es verdadera.
..........................................................................................................................................................
• ¿Qué sucede si aplicamos la propiedad distributiva al siguiente radical: )16).(4( −− ?
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Conjuntos Numéricos
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Efectúa las siguientes operaciones: • 4 82 y 42 y 22: ............................................................................................................................ • 10 203 y 43 y 32: ...........................................................................................................................
• 6)2(− y (–2)3: ...............................................................................................................................
Observemos que se puede dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número sin alterar el resultado. A esta propiedad la llamaremos simplificación de radicales.
• ¿Es posible simplificar radicales en cualquier caso?
.........................................................................................................................................................
Si el índice de la raíz es impar se puede simplificar siempre sin tener en cuenta el signo de la base del radicando. Por ejemplo:
2)2(5 5 −=− (dividimos índice y exponente por 5) 3
7
21
32
32
=
(dividimos índice y exponente por 3)
Si el índice de la raíz es par, sólo se puede simplificar si la base es positiva, ya que si la base fuera negativa podría presentarse el siguiente caso:
216)2( 44 4 ==−
2)2(4 4 −=− (si dividiéramos índice y exponente en 4) Observamos que los resultados no coinciden. Por lo tanto:
Cuando el índice es par y el radicando es negativo no se puede simplificar...
Notemos que la única diferencia en el resultado es el signo y que las raíces de índice par dan como resultado siempre un número positivo. Podemos entonces escribir: 22)2(4 4 =−=− ,
donde el valor absoluto a de un número a se define de la siguiente manera:
<−≥
=0 si0 si
aaaa
a
CONCLUSIÓN:
Si n es impar, aan n = .
Si n es par, aan n = .
Conjuntos Numéricos Actividad:
1) Descubra los dos errores cometidos en el siguiente desarrollo:
943
92542
92516
24
35)8)(2(
212
5382
)2(12
22
2
8 8
4 8
=++−=++−
=
=
−+−−+
−⋅=
=
−+−⋅−+
−⋅
−
2) ¿Podría decir en qué casos vale la igualdad: 22 )( aa = ?
..........................................................................................................................................................
Racionalización de denominadores
Sabemos efectuar divisiones cuando el divisor es un número racional, pero ¿qué sucede si
quisiéramos calcular 2
3 ? ¿Cómo efectuaríamos dicha operación?
Podríamos solucionar este inconveniente si encontráramos una fracción equivalente a la anterior cuyo denominador fuera un número racional. Al procedimiento que nos permite hallar tal fracción equivalente se lo denomina racionalización de denominadores.
Veamos algunos ejemplos:
21357
212117
2121
2117
2117
2=
⋅=⋅= ♦
353
53535
53535
5353535
5353
535
535 7 467 46
7 77
7 46
7 463
7 46
7 46
7 46
7 37 3
⋅=
⋅⋅⋅
=⋅
⋅⋅=
⋅⋅⋅
⋅⋅=
⋅
⋅⋅
⋅=
⋅ ♦
En ambos casos, para racionalizar una expresión del tipo n mb
a con m y b ∈ Rn< +, lo que se
hizo fue multiplicar y dividir dicha expresión por n mnb − . De esto resulta una expresión cuyo
denominador es n nnm bbb =⋅ −n m , y así podemos simplificar índice y exponente para eliminar la raíz del denominador. Actividad:
¿Cómo racionalizaría los denominadores de las siguientes expresiones?
• 5
312
8⋅
− =
• 43 35
7⋅
=
Conjuntos Numéricos Potencias de exponente fraccionario
Observemos las siguientes analogías:
236
aa = y 2aa =3 6 ♦ 35
15
aa = y 35 aa =5 1 ♦ Estos ejemplos nos inducen a adoptar la siguiente definición para el caso de potencias de
exponente fraccionario: m naa m
n
= , donde a ∈ R+, n ∈ Z y m ∈ N • ¿Cuándo será posible calcular una potencia de exponente fraccionario de base negativa?
..........................................................................................................................................................
Actividad:
Llevar a exponente fraccionario y resolver.
a) 2
8
13113
−
⋅ =
b) =
⋅
−
−
3 5
2
7
717
c) =⋅3 a
aa
d) =−
⋅4
216 325.0
LOGARITMACIÓN
Dada la siguiente potencia x3 = 8, ya hemos visto la operación de radicación que nos permite calcular x como 3 8 . Ahora nos interesa resolver la ecuación 2x = 8, es decir a qué exponente debo elevar el número 2 para obtener 8 como resultado. Para esto definimos otra operación inversa de la potenciación, la logaritmación, de la siguiente manera:
si y sólo si bcab =log c = a, donde a, b ∈ R+, b ≠ 1..
De esta forma, en el ejemplo anterior, x = log = 3. 82
Conjuntos Numéricos Ejemplos:
291
31 =log pues ( ) 9
1231 =
31251
5 −=log pues 125135 =−
21
10 10 =log pues 1021
=10
log pues 016 = 160 =
Actividad:
• ¿Existe ? ¿Por qué? 2log4 −
..........................................................................................................................................................
• ¿Por qué en la definición se aclara que la base b sea distinta de 1?
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Observación: En la práctica hay dos bases de interés especial: 10 y e = 2,7182... El logaritmo en base 10 de un número a se denota log a, es decir = log a, mientras que el logaritmo en base e de a, llamado logaritmo natural o neperiano, se denota ln a, es decir log = ln a.
a10logae
El logaritmo cumple con las siguientes propiedades, compruébelo con ejemplos:
Para valores b, c, x, y, n que tengan sentido: log yxyx bbb loglog)( +=⋅
yxyx
bbb loglog −=log
log xnx bn
b log⋅=
bx
xc
cb log
log=log
Actividad:
Resolver: 1) 5
444
54 loglog +
2) log (10 . 100)2 3) ee ln2ln 1 − . 4) Sabiendo que log x = 8
5 y 32=xblog , calcule log b.
Conjuntos Numéricos
Relación de orden en R
Hasta ahora hemos definido ciertas operaciones en los números reales y analizado sus propiedades. En esta sección lo que haremos es establecer un orden entre dos números reales cualesquiera.
Dados dos números reales a y b, se tiene sólo uno de los siguientes casos:
a < b (se lee “a es menor que b”, o “b es mayor que a”) ♦ ♦ ♦
b < a (se lee “b es menor que a”, o “a es mayor que b”) a = b (se lee “a es igual a b” o “b es igual a”)
Ejemplo: –8 < 1; 5
1 > 0, 32 < .
Observaciones:
a < b y b > a son expresiones equivalentes. ♦ ♦ a ≤ b (se lee “a es menor o igual que b”) significa que a < b o bien a = b. Por ejemplo: 7 ≤ 9 y
también 7 ≤ 7.
Responder: ¿Es a < a? ¿Es a ≤ a? ¿Por qué?
..........................................................................................................................................................
¿Cómo ubicamos a los números reales en la recta numérica? Para ello debemos tener en cuenta que dados dos números reales el menor siempre deberá estar
ubicado a la izquierda del mayor. De esta manera:
8− –1 0 23
Una vez establecido un orden entre los números reales, podemos preguntarnos:
• ¿Cuántos números naturales hay entre –5 y 7?
..........................................................................................................................................................
• ¿Cuántos números enteros hay entre –5 y 7?
..........................................................................................................................................................
• ¿Cuántos números racionales hay entre –5 y 7? ¿Y cuántos números reales?
..........................................................................................................................................................
Como, dados 2 números naturales (enteros), existe una cantidad finita de números naturales (enteros) entre ellos, decimos que el conjunto de los números naturales (enteros) es DISCRETO.
Por otra parte, la propiedad que tienen los números racionales y reales de que entre dos de ellos existan infinitos más se explica debido a que tanto Q como R son conjuntos DENSOS.
Conjuntos Numéricos Intervalos de números reales
DEFINICIÓN: A un subconjunto de la recta real le llamamos intervalo si contiene por lo menos dos números y también todos los números reales entre dos de sus elementos. Ejemplo: A = {x ∈ R: 6 < x < 8} es un intervalo.
Clasificación de intervalos:
Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto de los x que están entre a y b, sin considerar los extremos a y b. Escribiremos (a, b) = {x ∈ R: a < x < b}. Gráficamente:
( )
ba Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto de los x que están entre a y b, incluyendo los extremos a y b. Escribiremos [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}. Gráficamente:
[ ]
a b Se llama intervalo abierto a la izquierda al conjunto de los x tales que a < x ≤ b. Escribiremos (a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b}. Gráficamente:
](
a b Se llama intervalo abierto a la derecha al conjunto de los x tales que a ≤ x < b. Escribiremos [a, b) = {x ∈ R: a ≤ x < b}. Gráficamente:
)[
a b Llamaremos intervalos infinitos a los siguientes conjuntos de puntos:
- {x ∈ R: x > a} = (a, +∞) (
[a
a
)
]a
a
- {x ∈ R: x ≥ a} = [a, +∞)
- {x ∈ R: x < a} = (–∞, a)
- {x ∈ R: x ≤ a} = (–∞, a]
- R = (–∞, +∞)
Observación: A +∞ y –∞ no se los debe considerar como números; son solamente símbolos convencionales que indican todos los números reales hacia la derecha o izquierda de un número a fijo.
Conjuntos Numéricos Ejemplo: 1) El conjunto A = {x ∈ R: x ≠ 0} es la unión de dos intervalos, o sea, A = (–∞, 0) ∩ (0, +∞). 2) Consideremos los siguientes conjuntos:
A = {x ∈ R: –2 < x ≤ 5} = (–2, 5] y B = {x ∈ R: 0 ≤ x} = [0, +∞)
Gráficamente:
[0
]5
( -2
Podemos ver que A ∩ B = {x ∈ R: –2 < x ≤ 5 o 0 ≤ x} = {x ∈ R: –2 < x} = (–2, +∞). También podemos observar que A ∪ B = {x ∈ R: –2 < x ≤ 5 y 0 ≤ x} = {x ∈ R: 0 ≤ x ≤ 5} = [0, 5]. Actividad:
Consideremos los siguientes intervalos: A = (–5, 0] y B = (2, 4). Expresarlos utilizando desigualdades, representarlos en la recta numérica y hallar:
i) A ∩ B ii) A ∪ B iii) A’ iv) B ∩ ∅ v) A ∪ ∅
Conjuntos Numéricos
TRABAJO PRÁCTICO – NÚMEROS REALES TRABAJO PRÁCTICO – NÚMEROS REALES 1) Completar con los símbolos ∈, ∉, ⊂ o ⊄ según corresponda. 4 ........ N 2 ........ I N ........ R {–2, , 0}........ Z π
21 ........ Q R ........ R
) 0 3. ........ I N ........Z ........Q........R
2) Dado el conjunto }6.0,,571,38,7,,12{ 3
5 π−=S , encontrar: a) S ∪ N b) S ∪ Q
c) S ∪ I d) S ∪ Z
Representar el conjunto S en la recta numérica. 3) Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) La suma de dos números naturales es siempre un número natural. b) La diferencia de dos números naturales es siempre un número natural. c) El cuadrado de un número racional negativo es un racional positivo. d) Existen infinitos números racionales comprendidos entre 0 y ½. e) El conjunto de los números naturales carece de primer elemento.
4) Responde:
a) Si m = 14, ¿cómo pueden representarse los números 13, 15 y 16 en términos de m? b) Sea n un número par cualquiera, ¿cuál es el siguiente entero par? ¿Cuál el anterior? c) Si x representa cualquier entero impar, ¿cuál es el siguiente entero impar? ¿Cuál el anterior? d) Si x es cualquier entero par, ¿x + 1 es un entero par o impar? ¿Y x – 1? e) Si x es cualquier entero, ¿2x es par o impar? ¿Y 2x – 1? ¿Y 2x + 1?
5) Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo, en caso de ser falsa, o enunciando las propiedades aplicadas, en caso de ser verdadera.
a) si a = –2 y b = 0, entonces a : b = 0 b) (–a) . (–b) = –(a . b) c) el cociente entre un número y su
opuesto es igual a –1 d) a + (–b + c) = a – b + c e) el inverso de 2 es 2
1− . f) a : (b + c) = a : b + a : c, siendo b + c
≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0 g) b – [–c . (2 – 1) – 1] = b
h) a – (b + c) = a – b + c i) (b + c) : a = b : a + c, con a ≠ 0 j) para todo a ∈ R, a : a = 1 1−
k) para todo a ∈ R, aa =−− 11 )( l) a . (–b) = a . b m) a . (b – c) = a . b – a . c n) la ecuación 2x = 1 tiene solución en Z o) –(–a) = a
6) Calcular:
a) (5 + 3)2 = .......... 52 + 32 = ..........
b) =
−
4
132 .......... =−
4
4
132 ..........
c) (–2)3 = .......... 3–2 = .......... d) = .......... = ..........
23)2(− [ 23)2(− ]
Conjuntos Numéricos 7) Completar con = o ≠ y mencionar qué propiedades se cumplen o no se cumplen:
a) (a + b)n .......... an + bn b) ab .......... ba c) .......... (
cba cba )
d) .......... aqp )( ⋅ aa qp ⋅
8) Resolver aplicando propiedades de la potenciación:
a) =
+
2
32
21
b) ( )=
⋅6
332
623
c) =⋅⋅⋅−−−
65
132
aaaa
d) =
⋅−
− 5
13
32
12))(3(2
dbbddb
e) =−−43
125
)5(:2.0
9) En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Se propone indicar cuáles son y corregirlos.
a) ( ) ( ) 16242532 22222 ==⋅⋅ −
b) ( ) ( ) 155:55:5 0662342 === −−
c) ( )( )
( ) 4977
777
77 218
124
29
624
=−=⋅
=⋅
d) ( ) 251427 00 =+−⋅ 10) Aplicando las propiedades de potenciación demostrar que:
a) ( ) ( ) ( ) 412422 22 −=+⋅−−−+ aaa
b) ( ) ( 83:333 32321 =+⋅ +++ nnn )c) ( ) ( ) 10002:210 3131 =⋅ ++ nn
d) ( ) 322222 212 =+⋅⋅ ++− nnn 11) Determinar si han sido resueltos en forma correcta los siguientes ejercicios y justificar:
a) 6329494 =⋅=⋅=⋅ b) 636)9()4(94 ==−⋅−=−⋅−
c) 416)8()2( ==−⋅−
d) 743169 =+=+
e) 525169 ==+
f) 288648:64 3333 ==
−−
=−−
12) Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si x es un número real, entonces .2 xx =
b) Si x es un número real, entonces .2 xx =
c) Si x es un número real, entonces .3 3 xx =
d) Si x es un número real, entonces .3 3 xx =
13) Unir con flechas las expresiones iguales, siendo a, b ∈ R+ : • 3 95 21664 ba ⋅ ab3
• 25
400 4
Conjuntos Numéricos
• 4 879 cba 3 2324 aab
• 4 2242
2
8116
21
355 ba
abaab −− 4 322 abbca
14) Calcular: a) =25.016b) =− 25.016
c) =⋅
61
31
2
22 d) =
⋅
−1
31
32
5
55
e) =
−
−2
21
21
33
f) ( )
=
−−⋅⋅
21
31
21
53
15) Expresar como potencia de exponente fraccionario y calcular: a) =⋅ 4 273
b) ( )=
⋅5
4
822
c) =⋅
⋅27125
35 3
d) =⋅3 a
aa
16) Demostrar que: 21
21
21
21 ba
ba
ba+=
−
− .
17) Calcular:
a) log 1000 =
b) =1211log11
c) log 1 = d) log 3 = 10
e) =− 40log1000log 55
f) ( )
=+
⋅−⋅
9log4log
27log481log3
813
2
21
321
g) =+−
35
66
22
625log216log32log3128log
18) Resuelva las siguientes ecuaciones: a) 65loglog 22 =+xb) 250253 =⋅ xx
19) Exprese el subconjunto de los números reales que satisfacen las condiciones siguientes como un
intervalo o unión de intervalos: a) x ≥ 4 y x < 5 b) x < 2 y x ≥ –3 c) x > –5 o x < –6
d) x ≠ –1 e) x > –2 f) x < 2 o x ≥ 4
20) a) Determine el conjunto de los números naturales que satisfacen –3 ≤ x < 7. b) Determine el conjunto de los números enteros que satisfacen - π ≤ x ≤ e.