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Universidad Andres Bello

Departamento de Matematicas

Facultad de Ingeniera

Calculo I

-PAUTA- PRIMER CONTROL SOLEMNE

1er Semestre, 2007 Lunes 16 de Abril

Jornada Diurna

1. a) Usando axiomas demuestre que:ax+b= c =x = c ba

Solucion.

ax+b= c /+ (b)

ax+b+ (b) =c+ (b)ax+ [b+ (b)] =c b

ax+ 0 =c bax= c b / (a1)

ax a1 = (c b)a1

x= (c b) a1

pero a1 =1

a luego se tiene:

x=c b

ab) Sia, b R+ ;con a

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2. a) Determine el conjunto restriccion y el conjunto solucion de la ecuacion :

x 1 = 3 xSolucion.

En primer lugar examinamos las restricciones

x 10 =x1

por otra parte se tiene que

3 x >0 =x 0Solucion.

En primer lugar reescribimos la inecuacion:

(x+ 1)(x 1)2(x 1)(x 3) >0

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El conjunto restriccion es:R= R {1, 3}ahora resolvemos la inecuacion, lo que equivale a resolver:

x+ 1

2(x 3) >0

x+ 1

2(x

3)

>0[(x+ 1)> 0 (2(x 3)>0)] [(x 1) 0k >2

luego se tiene que la funcion sera creciente si:

k]2, [

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b) Considere las funcionesf(x+ 1) = 2x 6 y g(x) = 2x+ 6 , Encuentre (f g)(2)Solucion.

En primer lugar debemos saber cual es el comportamiento de la funcion f, por lo tantotenemos que:

f(x+ 1) = 2x 6f(x) = 2(x

1)

6

f(x) = 2x 8ahora buscamos la funcion compuesta

(f g)(x) =f[g(x)]=f[2x+ 6]

= 2[2x+ 6] 8= 4x+ 4

luego

(f g)(2) = 125. a) Se desea repartir $380 EntreA , B , C de modo que B tenga a lo sumo $30 mas de lo que

tiene A y C tenga a lo sumo $20 mas que lo que tiene B. Indique el valor mnimo quepuede asumirA

Solucion.

En primer lugar planteamos las ecuaciones y desigualdades correspondientes, esto es:

A+B+C= 380BA+ 30 ; CB + 20

A+ (A+ 30) + (B+ 20)3802A+ 30 +A+ 30 + 20380

se desprende que el mnimo valor para es 100

b) Sif(x) es una funcion lineal, hallar dicha funcion si f(1) = 2 y f(2) = 3Solucion.

La funcion lineal es :

f(x) =ax+b

luego:a+b = 22a+b = 3

resolviendo el sistema se tiene que:

a=1

3 y b=

7

3

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por lo que la funcion es:

f(x) =x

3+

7

3

INSTRUCCIONES

1.- De cada problema debe responder A o B, no ambas2.- No se aceptan consultas3.- Dispone de 90 minutos