Los números naturales y su didáctica. Sistemas de numeración

1. ¿Cuáles son los números naturales? Son los habituales de nuestro entorno. Son los elementos del conjunto N. Reciben el nombre de números naturales porque son los que el hombre encuentra al manejar y comparar los conjuntos que observa en la vida real. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...}.

2. []¿Cómo se representan? Los números naturales se representan mediante grafías: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3. ¿Cómo se nombran? Los numerales son los nombres de los números naturales: cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco…

4. ¿Para qué sirven? En la vida real se emplean los números con distintas finalidades y de diversas formas: secuencia verbal, recuento, cardinar, ordenar, medir, codificar o simbolizar, el número como tecla (máquina de escribir…), operar…

5. ¿Cuándo empezamos a usarlos?El conocimiento de los números comienza a partir de la manipulación de los objetos: el niño compara, relaciona, empareja, cuantifica, clasifica y ordena los objetos y elementos de su entorno. Esto quiere decir que los niños llegan a la escuela con una serie de experiencias e informaciones relacionadas con la aritmética que han obtenido de su entorno familiar y social.

6. ¿Qué es N? ¿Qué propiedades tiene?Es una clase de equivalencia de conjuntos finitos coordinables. A partir de las colecciones de objetos y mediante las correspondencias biunívocas (asociar cada elemento de un conjunto con uno solo de otro conjunto) establecemos la relación de coordinalidad y clasificamos los conjuntos.Por lo tanto es el ente abstracto común a conjuntos coordinables. Es el que expresa cuántos elementos tiene un conjunto, y surge de la percepción de pluralidad de los objetos y de la operación de emparejamiento. Según la teoría de conjuntos es lo que subsiste de la noción de conjunto finito cuando se consideran como idénticos los conjuntos finitos coordinables.

Aplicación biyectiva entre dos conjuntos. Todo elemento de A tiene un solo correspondiente en B, y todo elemento de B es correspondiente de un solo elemento de A.

Los conjuntos unitarios tienen un elemento menos que los que tienen una pareja de elementos, y éstos uno menos que los conjuntos ternarios, etc.

7. ¿Cómo se representa gráficamente? Mediante la recta numérica

0 1 2 3 4 5 6 7

La representación numérica de los cardinales o los ordinales también es una forma de interpretar el número natural de forma gráfica.

8. ¿Cuál es la primera actividad numérica de los niños?

Contar

9. Describe el proceso de contar: -Recitar la secuencia (niveles)Se distinguen cinco niveles distintos en su dominio (Fusón):

• Nivel cuerda: la sucesión de términos se produce comenzando en uno; los términos no están bien diferenciados.

• Nivel cadena irrompible: la sucesión de términos se produce comenzando desde uno; los términos están bien diferenciados.

• Nivel cadena rompible: la sucesión puede comenzar a partir de un término cualquiera.

• Nivel cadena numerable: la sucesión consiste en contar n términos a partir de a; hay que dar otro número, b, como respuesta.

• Nivel cadena bidireccional: la sucesión se puede recorrer hacia arriba o hacia abajo, rápidamente, desde un término cualquiera; se puede cambiar fácilmente de dirección.

Al alcanzar este último nivel el niño establece relaciones entre los términos numéricos del tipo: "y después de", "y antes de"», "delante de tal término va", "detrás de tal término viene", etc.

10. Contar objetos: Principios a tener en cuenta. La experiencia numérica de contar objetos consiste en asignar cada término de la secuencia numérica, empezando por el uno, a un objeto diferente de un conjunto bien definido. El niño realiza recuentos con frecuencia, pero de forma no sistemática. Resulta importante que los términos de la secuencia numérica se utilicen adecuadamente y que el recuento se haga sin error. Hay que lograr cinco

principios en el aprendizaje de la técnica de contar, y que suponen la comprensión de la misma:

• Principio de abstracción: Cualquier colección de objetos es un conjunto contable.

• Principio del orden estable: Las palabras utilizadas al contar deben producirse con un orden establecido entre término y término.

• Principio de la irrelevancia en el orden: El orden en el que se cuentan los objetos es irrelevante.

• Principio de la biunivocidad: Cada objeto debe recibir un y sólo un término.• Principio de cardinalidad: El último término obtenido al contar todos los

objetos indica además el cardinal de la colección.

11. Actividades prenuméricas previas, que ayudan en el proceso de contar objetos. • Cuantificar: utilizando los vocablos pocos, muchos, ninguno, alguno…• Relacionar: clasificar, ordenar, seriar (actividades de series siguiendo un

criterio).• Emparejar• Manipulación de objetos• Observación de objetos

12. Lectura y escritura de números. Sistema de numeración decimal. Un sistema de numeración es un conjunto de signos y de normas que permiten representar y nombrar los infinitos números naturales y las operaciones entre ellos.Características del SND:

a. Adopta un símbolo específico para cada uno de los números inferiores a la base, llamados cifras: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

b. Todo número es suma de potencias de la base: 136 = 102 + 3 ·101 + 6 ·100 =100 + 30 + 6. Esta suma recibe el nombre de descomposición polinómica del número.

c. La base del sistema es diez y se escribe 10.d. Una cifra a la izquierda de otra representa potencias de la base

inmediatamente superiores.e. Cada cifra tiene dos valores, uno según su forma y otro por el lugar que

ocupa, de modo que la primera de la derecha expresa unidades; la segunda, decenas; la tercera, centenas, etc.

f. Cada unidad de un orden equivale a diez unidades del orden inferior:• 1 d = l0u• 1 c = 10d• 1 u. m. = 10 c

g. Para expresar la carencia de unidades de cualquier orden se emplea el cero.

13. ¿En qué se basa nuestro sistema de numeración? Se basa en el agrupamiento de 10 en 10, es decir, la base del SND es diez

14. ¿Por qué se dice que la base del sistema es 10? Esto quiere decir que el principio de agrupamiento de este sistema es diez, en donde cada 10 unidades se forma otra de carácter superior, la cual se escribe a la izquierda de la primera de las unidades. Esto es ilustrado en el ábaco, en donde cada vez que tenemos 10 fichas en una varilla, las transformamos en una de la varilla inmediatamente izquierda y la ubicamos en ésta, con lo cual obtenemos que 10 unidades equivales a una decena, que 10 decenas equivalen a 1 centena y así sucesivamente.

15. ¿Qué significa que es posicional? Que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así por ejemplo, vemos que el valor del número 2 en 3245 no es el mismo que en el 332, esto debido a que los dígitos actúan como multiplicadores de las potencias de la base. Así tenemos que en el número 3.245 el 2 se ubica en las centenas, por lo que su valor posicional será de 2x100, es decir 200. Sin embargo, en el número 332 su valor equivaldrá a la multiplicación de 2x1, es decir 2, ya que el 2 se encuentra en la posición de las unidades.

16. Busca un sistema de numeración que no sea posicional. El sistema de numeración egipcio

17. ¿Qué tipo de sistema es el sistema romano de numeración? Es un sistema de numeración aditivo, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números.

18. ¿Cuáles son sus características? Los números romanos o el sistema de numeración romana, se basa en la unión de unos símbolos básicos que forman el total de los números romanos.I –> 1 (uno) V –> 5 (cinco) X –> 10 (diez) L –> 50 (cincuenta) C –> 100 (cien) D –> 500 (quinientos) M –> 1000 (mil)

Reglas Números Romanos: Los números romanos I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces a la

hora de escribir un número romano compuesto. Los números romanos V, L y D no pueden repetirse nunca. Si un número romano compuesto tiene un número a la derecha menor

que el de la izquierda entonces se suman ambos. Ejemplo:

o XI: el número de la derecha (I = 1)  es menor que el de la izquierda (X = 10) entonces se suman, es decir XI = 11

Si un número romano compuesto tiene un número a la derecha mayor que el de la izquierda y éste es un I, X o C, entonces se resta el de la izquierda al de la derecha. Ejemplo:

o IX: el número de la derecha (X = 10) es mayor que el de la izquierda (I = 1)  y además este es I luego se resta el de la izquierda al de la derecha, es decir IX = 9

Si un número romano tiene sobre él una raya, entonces su valor se multiplica por mil. Ejemplo:

o IX : el número es 9.000 puesto que es el número romano que representa al 9 y al estar con la raya sobre él se multiplica por mil.

19. ¿Cuáles son las operaciones básicas que podemos realizar con los números naturales? La adición, la sustracción, la multiplicación y la división.

20. ¿Cómo se define cada una, desde el punto de vista matemático? La adición: dados dos números naturales, a y b, (sumandos) se pretende encontrar otro c, denominado suma, de tal manera que coincide con el cardinal de la unión de dos conjuntos, A y B, disjuntos. O sea:a + b = Card (A) + Card (B) = Card (A u B) y A n B = 0La sustracción: la sustracción de dos números naturales, m y s, llamados respectivamente minuendo y sustraendo, tiene por objeto hallar un tercer número denominado diferencia, d, que sumado al sustraendo dé el minuendo. O sea:

m - s = d m = s + d m - d = s.

21. ¿Qué propiedades tienen? Página 61-62

22. ¿Cómo se presentan estas operaciones a los niños?

A través de los problemas de estructura aditiva

23. ¿Qué tipos de problemas de estructura aditiva, debemos considerar? Estrategias de

resolución. Páginas 55-60

Problemas de cambio, de combinación, de comparación y de igualación. Apuntes

fotocopiados.

24. ¿Cuándo procede introducir los algoritmos de las operaciones de sumar y

restar?

Cuando ya se han trabajado problemas de estructura aditiva a través de materiales

didácticos apropiados que justifiquen los algoritmos (Bloques multibásicos de

Dienes, El ábaco, Regletas de Cuissenaire etc).

25. ¿Qué materiales didácticos son apropiados para justificar los algoritmos?

Página 83 y fotocopias.

Bloques multibásicos de Dienes

El ábaco

Regletas de Cuissenaire

26. La multiplicación y la división de números naturales: definiciones. Propiedades.

Página 68-73

27. Los problemas de estructura multiplicativa: clasificación. Estrategias de resolución.

Página 62-78

28. Los algoritmos de multiplicación y división. Página 77

29. Características del sistema de numeración binario (SNB). Página 74-75