1m iq/qb hqb + bqb- b2 tb/2 +qmi2bi ` ` xqm / k2mi2 x g ... · 1m iq/qb hqb + bqb- b2 tb/2 +qmi2bi...

Parcial 1 — Ampl. de Cálculo — 2015/2016 — Grupo D — EPI Gijón

En todos los casos, se pide contestar razonadamente.La puntuación depende del modo de resolución.

Ejercicio 1 (1.5 puntos). Calcular el centro de masas de la figura: es un cua-drado de lado 2 con la esquina inferior derecha en (0, 0) al que se ha perforado uncírculo de radio 1/4 con centro en (1/2, 1/2) y del que se ha recortado la partey > 1/x. Se supone que la densidad es constante.

Ejercicio 2 (1.5 puntos). Se considera un sólido limitado por el hiperboloidex2 + y2 − z2 = 1, desde z = 0 hasta z = +1. Su densidad es proporcional a z.Se desea taladrarlo cilíndricamente con eje de giro el OZ, desde la parte superiorhasta la inferior de modo que el momento de inercia respecto al eje OZ sea 9/10del que tiene. Calcular el radio del taladro.

Ejercicio 3 (0.5 puntos cada apartado). Considérese el campo X =(

−yx2+y2 , x

x2+y2

).

Se pide:• Dada la curva

γ1 ≡{

x =2 + cos θy = sen θ

θ ∈ [0, 2π],

calcular el trabajo de X a lo largo de γ1 sin realizar ninguna integral.• ¿Puede hacerse el mismo razonamiento para la curva siguiente?

γ1 ≡{

x = cos θy = sen θ

θ ∈ [0, 2π].

Ejercicio 4 (1 punto). Calcular la masa del arco de cardioide ρ = 1 + cos θpara θ ∈ [0, π] si la densidad lineal es √

ρ. Utilícese (para más facilidad) que:2 sen θ cos θ = sen 2θ y cos2 θ − sen2 θ = cos 2θ.

Ejercicio 5 (1 punto por apartado). Considérese el hiperboloide x2+y2−z2 = 1para z ∈ [0, 1]. Se pide:

• Parametrizar su superficie y calcular el vector normal. La parametrizaciónrequiere (ciertamente) dar los límites adecuados de las variables.

• Calcular el flujo del campo X = (x, y, z) en dicha superficie.

Ejercicio 6 (1 punto). Calcular el área delimitada por las rectas y = x, y = 2xy las hipérbolas y = 1/x, y = 2/x haciendo una sola integral. Indicación: cámbiesede variables usando las expresiones y = ax, y = b/x.

Ejercicio 7 (1 punto por apartado). Un objeto está compuesto por dos esferasde radios R1 y R2 unidas a distancia R menor que R1 + R2. Se pide:

• Calcular el área de dicho objeto.• Calcular su volumen.

Para el segundo apartado, puede usarse la fórmula del volumen de un cono: 1/3πr2hdonde r es el radio de la base y h la altura.



Ejercicio 1 (1.5 puntos). Se corta la esfera sólida de radio 1 con el plano z =√2/2. Calcular el centro de masas del sólido que queda por encima de dicho plano

si la densidad es proporcional a la altura.

Ejercicio 2 (1.5 puntos). Calcular la temperatura media de un muelle metálicodescrito por las ecuaciones

x = r cos ty = r sen tz = 1/2t

, t ∈ [0, 6π]

si hay un foco de calor en el eje OZ a temperatura constante de 200◦C y la tem-peratura disminuye proporcionalmente a la distancia a dicho eje.

Ejercicio 3 (1 punto). Considérese el campo X = (x2, y2, z2) y la curvaγ(t) = (t6 sen(πt), (1 + cos(πt))((t − 1)2 + 1), (t − 1)4), para t ∈ [0, 2].

Calcúlese el trabajo realizado por X a lo largo de γ.

Ejercicio 4 (2 puntos). Se considera un cuadrado sólido de lado 2 cuya esquinainferior izquierda está en el punto (−1, 0) y cuya densidad es proporcional a laaltura. Se perfora con un taladro de radio 1/2, haciendo un agujero centrado sobreel eje OY a altura h = 4/3. Calcular el centro de masas del sólido que queda.

Ejercicio 5 (0.5 puntos cada apartado). Dado el paraboloide −z2 +x2 +y2 = 1:• Parametrizar la superficie de dicho paraboloide que queda sobre el plano

z = 0. Esto requiere no solo dar unas ecuaciones paramétricas sino tambiénlos límites de las variables.

• Calcular la masa de la superficie del apartado anterior si la densidad esproporcional a z.

• Calcular el flujo del campo X = (−y, x, z) sobre la superficie anterior.• Calcular, sin realizar ninguna integración, el flujo del campo (−y, x, 0) sobre

la superficie anterior.

Ejercicio 6 (1 punto cada apartado). Dado el paraboloide sólido −z2+x2+y2 ≤1 en la zona z > 0 y una esfera sólida de radio 1/2 centrada en el punto (0, 0, r),para cierto r entre 1 y 3/2, calcúlese:

• El área del volumen intersección de ambos sólidos.• La masa de la curva formada por la intersección de las superficies exteriores

de ambos sólidos si la densidad sigue la fórmula (x, y, z) = x2 + y2 + z.

Fecha: 6 de noviembre de 2015.



Ejercicio 1 (2 puntos). Un semiesfera de radio R de densidad proporcional ala altura se quiere taladrar alrededor del eje de simetría para que el momento deinercia respecto de dicho eje sea el 90% del que es actualmente. Calcúlese el radiodel taladro.

Ejercicio 2 (1 punto por apartado). Sin hacer integrales:• Calcúlese el trabajo del campo X = (x, y, 0) en la curva γ(t) = (2 cos t, 2 sen t, 3t).• Calcúlese el flujo del campo (−y, x, 3) sobre la superficie del cilindro x2 +

y2 = 1.

Ejercicio 3 (1 punto por apartado). Considérese la superficie dada por la ecua-ción x2 + y2 − z2 = −1 (un hiperboloide de dos hojas) para z ∈ [1, 2]. Se pide:

• Parametrizar dicha superficie y calcular el vector normal (por tanto, hayque dar los límites de las variables bien).

• Calcular el flujo del campo (−y, x, z) sobre dicha superficie.

Ejercicio 4 (2 puntos). Una tienda de campaña de forma semiesférica y deradio 2m se calienta con un punto de calor en el centro y a altura 0. Dicho punto decalor está a 100◦C. Si la temperatura disminuye proporcionalmente a la distancia,con constante 0.2, calcúlese la temperatura media de la tienda.

Ejercicio 5 (2 puntos). Se desea que una espiral metálica que sigue la ecuación(2 cos t, 2 sin t, 3t) tenga densidad media 1 (en las unidades adecuadas). La densidadreal de un punto es 0.1 por la altura. Calcúlese la altura que ha de tener la espiral.




Ejercicio 1 (1 punto). Dados una curva cerrada simple γ que rodea a un con-junto S, y el campo X = (−y, x), se sabe que∫

γ

X dγ = 23.

¿qué puede decirse del área del conjunto encerrado por la curva γ?

Ejercicio 2 (1 punto). Plantear (sin calcular la integral resultante) cómo secalcularía el área de la cardioide ρ = 1 + cos θ utilizando integrales de línea.

Ejercicio 3 (1 punto). ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a 20◦ una taza de téque comienza a 100◦C que se deja en la ventana (que está a 0◦C) si la constante deenfriamiento es 0.1/s?

Ejercicio 4 (2 puntos: uno por apartado). Se invierte un capital de 2000 eurosa un interés (en tiempo continuo) del 5%. Se pide:

• Explicar cuál es la ecuación diferencial que describe la evolución del capital.• Calcular el capital al cabo de 10 años.

Ejercicio 5 (2 puntos: uno por apartado).Parte 1: de un muelle (sujeto por la parte superior) cuelga un peso de masa

m. Suponiendo que el rozamiento es proporcional a la velocidad con constanter y que la gravedad g, es constante, escribir la ecuación diferencial que describeel movimiento del cuerpo. (Es muy importante explicar dónde está el origen decoordenadas y hacia dónde van las coordenadas positivas).

Parte 2: el apartado anterior da lugar a una ecuación diferencial ordinaria desegundo orden. Explicar si las raíces del polinomio característico pueden ser 3 ± 2i.

Ejercicio 6 (1.5 puntos: 1+0.5). Calcular la velocidad límite (nada más) deun cuerpo de masa 1kg que se deja caer a velocidad de 0m/s desde una altura de10000m si la gravedad es constante e igual a 10m/s2 y el rozamiento es proporcionala la velocidad (y de sentido contrario) con constante 0.1kg/s. ¿De qué parámetrosdepende?

Ejercicio 7 (1.5 puntos). Describir la ecuación (angular) del movimiento deun péndulo sujeto a la gravedad y a una fuerza de rozamiento proporcional a lavelocidad angular (en sentido contrario).

Final diciembre — Ampl. Cálculo — 2015/2016 — Grupo D — EPI Gijón — Primera parte


Ejercicio 1 (2 puntos). Calcular el momento de inercia de un cilindro con radiode la base r y altura h respecto de un eje que es paralelo al del cilindro (pero queestá en cualquier lugar).

Ejercicio 2 (2 puntos: 1 por apartado). Se considera un sólido limitado porel hiperboloide x2 + y2 − z2 = 1, desde z = 0 hasta z = +1. Su densidad esproporcional a z. Se pide:

• Calcular su centro de masas.• Calcular su área (ojo: hay dos caras circulares y una hiperbólica).

Ejercicio 3 (2 puntos: 1 por apartado). Considérese un conjunto acotado S deR3, de volumen V (S) > 0, y dos funciones f y g, definidas en S e integrables. Sesabe que en todos los puntos de S, f(x) ≤ g(x). Contestar:

• ¿Es verdad que el valor medio de f(x) en S es menor o igual que el valormedio de g(x) en S?

• ¿Puede decirse lo mismo del valor medio de |f(x)| y el de |g(x)|?

Ejercicio 4 (2 puntos: 1 por apartado). Considérese el campo X = (x, y, z)definido en R3. Se pide:

• Calcular el flujo de X en la semiesfera de radio 1 y centro (0, 0, 0) contenidaen z ≥ 0.

• Explicar si X es o no un gradiente y, si lo es, calcular su potencial. Si nolo es, decir por qué.

Ejercicio 5 (2 puntos). Una esfera de radio R se posa sobre el hueco circularde un cono (invertido) de radio de la base r < R y altura h. Calcular el área delsólido resultante.

2

Ejercicio 6 (2 puntos). Una piscina de 1000l tiene un aliviadero por el que salen2l/s y una tubería por la que entra la misma cantidad. La piscina, que está llena,contiene una solución de alcohol en agua al 3% en volumen. Por la tubería entraagua pura. Calcular en qué momento la concentración será del 2%.

Ejercicio 7 (1 punto). Se ha calculado una solución particular de una ecuacióndiferencial lineal con coeficientes constantes y ha salido t3 sen t. ¿Quiere esto decirque hay raíces del polinomio característico de la ecuación homogénea asociada queson complejas?

Ejercicio 8 (1 punto). Se considera una curva γ que rodea a un conjunto S delplano. Se sabe que ∫

γ

(y, −x) dγ = 41.

¿Qué puede decirse de γ y S?

Ejercicio 9 (2 puntos). Un elemento tiene un periodo de semidesintegración de1 año. Si se tiene una masa de 1kg, calcular en cuánto tiempo se tendrán 900gutilizando la ecuación diferencial correspondiente.

Ejercicio 10 (2 puntos). Calcular cuánto tiempo tarda en caer un objeto que selanza hacia arriba desde 1000m con una velocidad inicial de 1m/s si la gravedad esde 10m/s2 y el rozamiento es proporcional a la velocidad con constante r = 0.1kg/s.

Ejercicio 11 (2 puntos). Escribir una ecuación diferencial que describa la curvatrazada por un cable que se deja colgar de dos extremos si se sabe que la densidaddel cable es constante.

Fecha: 21 de diciembre de 2015.

Final diciembre — Ampl. Cálculo — 2015/2016 — Grupo D — EPI Gijón — Segunda parte


Ejercicio 1 (2 puntos: 1 por apartado). Un muelle con constante de Hookek = 0.1 está estirado en horizontal 1m y se mueve (estirando más el muelle) a1m/s. Si el rozamiento del aire es proporcional a la velocidad con constante 0.1, sepide:

• Plantear la ecuación diferencial del movimiento.• Calcular en qué momento se alcanza una velocidad de 0m/s por vez primera.

Ejercicio 2 (1 punto). Una ecuación diferencial lineal con coeficientes con-stantes tiene como soluciones de su polinomio característico los números 2 + 3iy 2 − 3i. ¿Puede corresponderse con un problema físico mecánico real?

Ejercicio 3 (1 punto). Plantear el cálculo del área de la curva ρ = cos 2θ paraθ ∈ [−π/4, π/4] utilizando una integral de línea.

Ejercicio 4 (2 puntos). Un elemento tiene un periodo de semidesintegración de1 año. Calcular cuánta masa se ha de tener al principio para que al cabo de 2 mesesse tengan 3g.

Ejercicio 5 (2 puntos: 1 por apartado). Se invierte un capital de 1000 euros al5% de interés (a tiempo continuo) anual. A esa inversión se le añade (de maneracontinua) un capital anual de 2000 euros. Se pide:

• Enunciar la ecuación diferencial del proceso del capital.• Calcular el capital al cabo de 20 años.

Ejercicio 6 (2 puntos). Describir la ecuación diferencial del péndulo con roza-miento, con longitud l, masa m, gravedad g y constante de rozamiento r.

Fecha: 15 de enero de 2015.



Ejercicio 1 (2 puntos). Calcular el momento de inercia de una esfera respectode un eje que pasa por su centro.

Ejercicio 2 (2 puntos: 1 por apartado). Se considera un sólido limitado porel hiperboloide x2 + y2 − z2 = 2, desde z = −1 hasta z = +1. Su densidad esproporcional a z2. Se pide:


Ejercicio 3 (2 puntos: 1 por apartado). Considérese un conjunto acotado S deR3, de volumen V (S) > 0, y una función f definida en S e integrable. Contestar(razonadamente):

• ¿Es verdad que si f(x) ≤ 10 entonces su valor medio es menor o igual que10?

• ¿Es verdad que si f(x) ≤ 10 entonces∫|f(x)| dx

V (S)< 10?

Ejercicio 4 (1 punto). Considérese el campo X = (2x+yz, 2y+xz, xy) definidoen R3. Se pide calcular el trabajo de X en la curva (t2 + 1, 1, cos(2πt)) parat ∈ [−1, 1].

Ejercicio 5 (1 punto). Dado el campo X = (x2, y2, z2), calcular su flujo en lasuperficie del cilindro x2 + y2 = 3, −1 ≤ z ≤ 1. Solo en la parte curva del cilindro,no en las “tapas.”

Ejercicio 6 (2 puntos). Una esfera de radio R se posa sobre un cilindro hueco(un canuto) de radio r < R y altura h. Calcular el área del sólido resultante.

Final de mayo, parte 1 — Ampl. de Clculo — 2015/2016 — Grupo D — EPI Gijon

En todos los casos, se pide contestar razonadamente.

La puntuacin depende del modo de resolucin.

Ejercicio 1 (2 puntos). Calcular el momento de inercia de la figura respectodel eje Y = 0. La figura est delimitada por el arco parablico 0 ≤ y ≤ −x2 + 4 y larecta y = 0 y se le ha perforado un cuadrado de lado 1 y centro (0, 1.5). Se suponeque la densidad es constante.

Ejercicio 2 (1.5 puntos por apartado). Se considera el slido limitado por elplano z = 0 y la funcin z = 4 − x2 − y2, con densidad proporcional a z.

Calcular su masa.Se desea perforarlo con un cilindro de manera que el taladro haga un agujerovertical que atraviesa todo el slido con centro en (x = 0, y = 0) para que lamasa sea justo la mitad. Cul ha de ser el radio del taladro? (Basta con darunas ecuaciones que sirvan para calcular el radio, no hace falta resolverlas).

Ejercicio 3 (1.5 punto por apartado). Considrese la superficie que delimita elslido del ejercicio anterior (es decir, el paraboloide y el crculo inferior, nada deltaladro). Se pide:

Parametrizar dicha superficie (hay dos superficies que parametrizar) y calcu-lar el vector normal (hay dos vectores normales). La parametrizacin requiere(ciertamente) dar los lmites adecuados de las variables.Calcular el flujo del campo X = (0, 0, 1) en dicha superficie (dar dos flujos).

Ejercicio 4 (2 puntos). Se desea que una espiral metlica que sigue la ecuacin(2 cos t, 2 sin t, 3t) (que comienza en t = 0) tenga densidad media 1 (en las unidadesadecuadas). La densidad real de un punto es 0.1 por la altura. Calclese la alturaque ha de tener la espiral.




Ejercicio 1 (1 punto). Se consideran una funcin f(x, y) derivable infinitas vecesy definida en todo el plano y el campo X = ∇f (el gradiente). Escribamos X =(F, G). Sin hacer ninguna integral (ninguna), explicar cunto vale

∫

U

∂G

∂x− ∂F

∂ydxdy

si U es un cuadrado cualquiera.

Ejercicio 2 (1 punto). Considrese el campo

X = (F, G) =

( −y

x2 + y2,

x

x2 + y2

).

Calclense ∂F∂y y ∂G

∂x [Esto no vale ningn punto]. Calclese tambin∫

γ

X dγ

donde γ es la circunferencia unidad recorrida en sentido horario [Esto vale 0.25puntos]. Explicar [Esto vale 0.75 puntos].

Ejercicio 3 (2 puntos). Se invierte un capital inicial de 1000 euros al 10 % deinters anual (en tiempo continuo). Cunto tiempo tardan en convertirse en 2000euros?

Ejercicio 4 (2 puntos: uno por apartado). Un objeto de 1kg cuelga de un muellecuya constante de Hooke es 0.1N/m y que, en reposo (sin ningn peso), mide 2m.Se supone que la aceleracin gravitatoria es g = 9.8m/s2 y que no hay rozamiento.

Expresar la ecuacin diferencial que rige el movimiento del objeto. (Es muyimportante explicar dnde est el centro de coordenadas y en qu direccin van).El objeto se suelta inicialmente desde la posicin de reposo del muelle. Plan-tear en qu momento el muelle medir 2.3m.

Ejercicio 5 (2 puntos: uno por apartado). Calcular, planteando la ecuacin di-ferencial correspondiente, la velocidad lmite (nada ms) de un cuerpo de masa 1kgque se deja caer a velocidad de 0m/s desde una altura de 10000m si la gravedades constante e igual a 10m/s2 y el rozamiento es proporcional a la velocidad (y desentido contrario) con constante 0.1kg/s. De qu parmetros depende en general?

Ejercicio 6 (1.5 puntos). Una ecuacin diferencial ordinaria homognea de coefi-cientes constantes tiene como races del polinomio caracterstico los nmeros 3, 1 + iy 1 − i. Puede ser la funcin f(x) = sen(17x) una solucin?



Ejercicio 1 (1.5 puntos). Calcular el centro de masas de la figura: es un cua-drado de lado 2 con la esquina inferior derecha en (0, 0) al que se ha perforado uncírculo de radio 1/4 con centro en (1/2, 1/2) y del que se ha recortado la partey > 1/x. Se supone que la densidad es constante.

Ejercicio 2 (1.5 puntos). Se considera un sólido limitado por el hiperboloidex2 + y2 − z2 = 1, desde z = 0 hasta z = +1. Su densidad es proporcional a z.Se desea taladrarlo cilíndricamente con eje de giro el OZ, desde la parte superiorhasta la inferior de modo que el momento de inercia respecto al eje OZ sea 9/10del que tiene. Calcular el radio del taladro.

Ejercicio 3 (0.5 puntos cada apartado). Considérese el campo X =(

−yx2+y2 , x

x2+y2

).

Se pide:• Dada la curva

γ1 ≡{

x =2 + cos θy = sen θ

θ ∈ [0, 2π],

calcular el trabajo de X a lo largo de γ1 sin realizar ninguna integral.• ¿Puede hacerse el mismo razonamiento para la curva siguiente?

γ1 ≡{

x = cos θy = sen θ

θ ∈ [0, 2π].

Ejercicio 4 (1 punto). Calcular la masa del arco de cardioide ρ = 1 + cos θpara θ ∈ [0, π] si la densidad lineal es √

ρ. Utilícese (para más facilidad) que:2 sen θ cos θ = sen 2θ y cos2 θ − sen2 θ = cos 2θ.

Ejercicio 5 (1 punto por apartado). Considérese el hiperboloide x2+y2−z2 = 1para z ∈ [0, 1]. Se pide:



Ejercicio 6 (1 punto). Calcular el área delimitada por las rectas y = x, y = 2xy las hipérbolas y = 1/x, y = 2/x haciendo una sola integral. Indicación: cámbiesede variables usando las expresiones y = ax, y = b/x.

Ejercicio 7 (1 punto por apartado). Un objeto está compuesto por dos esferasde radios R1 y R2 unidas a distancia R menor que R1 + R2. Se pide:

• Calcular el área de dicho objeto.• Calcular su volumen.

Para el segundo apartado, puede usarse la fórmula del volumen de un cono: 1/3πr2hdonde r es el radio de la base y h la altura.



Ejercicio 1 (1.5 puntos). Se corta la esfera sólida de radio 1 con el plano z =√2/2. Calcular el centro de masas del sólido que queda por encima de dicho plano

si la densidad es proporcional a la altura.

Ejercicio 2 (1.5 puntos). Calcular la temperatura media de un muelle metálicodescrito por las ecuaciones

x = r cos ty = r sen tz = 1/2t

, t ∈ [0, 6π]

si hay un foco de calor en el eje OZ a temperatura constante de 200◦C y la tem-peratura disminuye proporcionalmente a la distancia a dicho eje.

Ejercicio 3 (1 punto). Considérese el campo X = (x2, y2, z2) y la curvaγ(t) = (t6 sen(πt), (1 + cos(πt))((t − 1)2 + 1), (t − 1)4), para t ∈ [0, 2].

Calcúlese el trabajo realizado por X a lo largo de γ.

Ejercicio 4 (2 puntos). Se considera un cuadrado sólido de lado 2 cuya esquinainferior izquierda está en el punto (−1, 0) y cuya densidad es proporcional a laaltura. Se perfora con un taladro de radio 1/2, haciendo un agujero centrado sobreel eje OY a altura h = 4/3. Calcular el centro de masas del sólido que queda.

Ejercicio 5 (0.5 puntos cada apartado). Dado el paraboloide −z2 +x2 +y2 = 1:• Parametrizar la superficie de dicho paraboloide que queda sobre el plano

z = 0. Esto requiere no solo dar unas ecuaciones paramétricas sino tambiénlos límites de las variables.

• Calcular la masa de la superficie del apartado anterior si la densidad esproporcional a z.

• Calcular el flujo del campo X = (−y, x, z) sobre la superficie anterior.• Calcular, sin realizar ninguna integración, el flujo del campo (−y, x, 0) sobre

la superficie anterior.

Ejercicio 6 (1 punto cada apartado). Dado el paraboloide sólido −z2+x2+y2 ≤1 en la zona z > 0 y una esfera sólida de radio 1/2 centrada en el punto (0, 0, r),para cierto r entre 1 y 3/2, calcúlese:

• El área del volumen intersección de ambos sólidos.• La masa de la curva formada por la intersección de las superficies exteriores

de ambos sólidos si la densidad sigue la fórmula (x, y, z) = x2 + y2 + z.




Ejercicio 1 (2 puntos). Un semiesfera de radio R de densidad proporcional ala altura se quiere taladrar alrededor del eje de simetría para que el momento deinercia respecto de dicho eje sea el 90% del que es actualmente. Calcúlese el radiodel taladro.

Ejercicio 2 (1 punto por apartado). Sin hacer integrales:• Calcúlese el trabajo del campo X = (x, y, 0) en la curva γ(t) = (2 cos t, 2 sen t, 3t).• Calcúlese el flujo del campo (−y, x, 3) sobre la superficie del cilindro x2 +

y2 = 1.

Ejercicio 3 (1 punto por apartado). Considérese la superficie dada por la ecua-ción x2 + y2 − z2 = −1 (un hiperboloide de dos hojas) para z ∈ [1, 2]. Se pide:

• Parametrizar dicha superficie y calcular el vector normal (por tanto, hayque dar los límites de las variables bien).

• Calcular el flujo del campo (−y, x, z) sobre dicha superficie.

Ejercicio 4 (2 puntos). Una tienda de campaña de forma semiesférica y deradio 2m se calienta con un punto de calor en el centro y a altura 0. Dicho punto decalor está a 100◦C. Si la temperatura disminuye proporcionalmente a la distancia,con constante 0.2, calcúlese la temperatura media de la tienda.

Ejercicio 5 (2 puntos). Se desea que una espiral metálica que sigue la ecuación(2 cos t, 2 sin t, 3t) tenga densidad media 1 (en las unidades adecuadas). La densidadreal de un punto es 0.1 por la altura. Calcúlese la altura que ha de tener la espiral.




Ejercicio 1 (1 punto). Dados una curva cerrada simple γ que rodea a un con-junto S, y el campo X = (−y, x), se sabe que∫

γ

X dγ = 23.

¿qué puede decirse del área del conjunto encerrado por la curva γ?

Ejercicio 2 (1 punto). Plantear (sin calcular la integral resultante) cómo secalcularía el área de la cardioide ρ = 1 + cos θ utilizando integrales de línea.

Ejercicio 3 (1 punto). ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a 20◦ una taza de téque comienza a 100◦C que se deja en la ventana (que está a 0◦C) si la constante deenfriamiento es 0.1/s?

Ejercicio 4 (2 puntos: uno por apartado). Se invierte un capital de 2000 eurosa un interés (en tiempo continuo) del 5%. Se pide:

• Explicar cuál es la ecuación diferencial que describe la evolución del capital.• Calcular el capital al cabo de 10 años.

Ejercicio 5 (2 puntos: uno por apartado).Parte 1: de un muelle (sujeto por la parte superior) cuelga un peso de masa

m. Suponiendo que el rozamiento es proporcional a la velocidad con constanter y que la gravedad g, es constante, escribir la ecuación diferencial que describeel movimiento del cuerpo. (Es muy importante explicar dónde está el origen decoordenadas y hacia dónde van las coordenadas positivas).

Parte 2: el apartado anterior da lugar a una ecuación diferencial ordinaria desegundo orden. Explicar si las raíces del polinomio característico pueden ser 3 ± 2i.

Ejercicio 6 (1.5 puntos: 1+0.5). Calcular la velocidad límite (nada más) deun cuerpo de masa 1kg que se deja caer a velocidad de 0m/s desde una altura de10000m si la gravedad es constante e igual a 10m/s2 y el rozamiento es proporcionala la velocidad (y de sentido contrario) con constante 0.1kg/s. ¿De qué parámetrosdepende?

Ejercicio 7 (1.5 puntos). Describir la ecuación (angular) del movimiento deun péndulo sujeto a la gravedad y a una fuerza de rozamiento proporcional a lavelocidad angular (en sentido contrario).



Ejercicio 1 (2 puntos). Calcular el momento de inercia de un cilindro con radiode la base r y altura h respecto de un eje que es paralelo al del cilindro (pero queestá en cualquier lugar).

Ejercicio 2 (2 puntos: 1 por apartado). Se considera un sólido limitado porel hiperboloide x2 + y2 − z2 = 1, desde z = 0 hasta z = +1. Su densidad esproporcional a z. Se pide:


Ejercicio 3 (2 puntos: 1 por apartado). Considérese un conjunto acotado S deR3, de volumen V (S) > 0, y dos funciones f y g, definidas en S e integrables. Sesabe que en todos los puntos de S, f(x) ≤ g(x). Contestar:

• ¿Es verdad que el valor medio de f(x) en S es menor o igual que el valormedio de g(x) en S?

• ¿Puede decirse lo mismo del valor medio de |f(x)| y el de |g(x)|?

Ejercicio 4 (2 puntos: 1 por apartado). Considérese el campo X = (x, y, z)definido en R3. Se pide:

• Calcular el flujo de X en la semiesfera de radio 1 y centro (0, 0, 0) contenidaen z ≥ 0.

• Explicar si X es o no un gradiente y, si lo es, calcular su potencial. Si nolo es, decir por qué.

Ejercicio 5 (2 puntos). Una esfera de radio R se posa sobre el hueco circularde un cono (invertido) de radio de la base r < R y altura h. Calcular el área delsólido resultante.

2

Ejercicio 6 (2 puntos). Una piscina de 1000l tiene un aliviadero por el que salen2l/s y una tubería por la que entra la misma cantidad. La piscina, que está llena,contiene una solución de alcohol en agua al 3% en volumen. Por la tubería entraagua pura. Calcular en qué momento la concentración será del 2%.

Ejercicio 7 (1 punto). Se ha calculado una solución particular de una ecuacióndiferencial lineal con coeficientes constantes y ha salido t3 sen t. ¿Quiere esto decirque hay raíces del polinomio característico de la ecuación homogénea asociada queson complejas?

Ejercicio 8 (1 punto). Se considera una curva γ que rodea a un conjunto S delplano. Se sabe que ∫

γ

(y, −x) dγ = 41.

¿Qué puede decirse de γ y S?

Ejercicio 9 (2 puntos). Un elemento tiene un periodo de semidesintegración de1 año. Si se tiene una masa de 1kg, calcular en cuánto tiempo se tendrán 900gutilizando la ecuación diferencial correspondiente.

Ejercicio 10 (2 puntos). Calcular cuánto tiempo tarda en caer un objeto que selanza hacia arriba desde 1000m con una velocidad inicial de 1m/s si la gravedad esde 10m/s2 y el rozamiento es proporcional a la velocidad con constante r = 0.1kg/s.

Ejercicio 11 (2 puntos). Escribir una ecuación diferencial que describa la curvatrazada por un cable que se deja colgar de dos extremos si se sabe que la densidaddel cable es constante.

Fecha: 21 de diciembre de 2015.

Final diciembre — Ampl. Cálculo — 2015/2016 — Grupo D — EPI Gijón — Segunda parte


Ejercicio 1 (2 puntos: 1 por apartado). Un muelle con constante de Hookek = 0.1 está estirado en horizontal 1m y se mueve (estirando más el muelle) a1m/s. Si el rozamiento del aire es proporcional a la velocidad con constante 0.1, sepide:

• Plantear la ecuación diferencial del movimiento.• Calcular en qué momento se alcanza una velocidad de 0m/s por vez primera.

Ejercicio 2 (1 punto). Una ecuación diferencial lineal con coeficientes con-stantes tiene como soluciones de su polinomio característico los números 2 + 3iy 2 − 3i. ¿Puede corresponderse con un problema físico mecánico real?

Ejercicio 3 (1 punto). Plantear el cálculo del área de la curva ρ = cos 2θ paraθ ∈ [−π/4, π/4] utilizando una integral de línea.

Ejercicio 4 (2 puntos). Un elemento tiene un periodo de semidesintegración de1 año. Calcular cuánta masa se ha de tener al principio para que al cabo de 2 mesesse tengan 3g.

Ejercicio 5 (2 puntos: 1 por apartado). Se invierte un capital de 1000 euros al5% de interés (a tiempo continuo) anual. A esa inversión se le añade (de maneracontinua) un capital anual de 2000 euros. Se pide:

• Enunciar la ecuación diferencial del proceso del capital.• Calcular el capital al cabo de 20 años.

Ejercicio 6 (2 puntos). Describir la ecuación diferencial del péndulo con roza-miento, con longitud l, masa m, gravedad g y constante de rozamiento r.

Fecha: 15 de enero de 2015.



Ejercicio 1 (2 puntos). Calcular el momento de inercia de una esfera respectode un eje que pasa por su centro.

Ejercicio 2 (2 puntos: 1 por apartado). Se considera un sólido limitado porel hiperboloide x2 + y2 − z2 = 2, desde z = −1 hasta z = +1. Su densidad esproporcional a z2. Se pide:


Ejercicio 3 (2 puntos: 1 por apartado). Considérese un conjunto acotado S deR3, de volumen V (S) > 0, y una función f definida en S e integrable. Contestar(razonadamente):

• ¿Es verdad que si f(x) ≤ 10 entonces su valor medio es menor o igual que10?

• ¿Es verdad que si f(x) ≤ 10 entonces∫|f(x)| dx

V (S)< 10?

Ejercicio 4 (1 punto). Considérese el campo X = (2x+yz, 2y+xz, xy) definidoen R3. Se pide calcular el trabajo de X en la curva (t2 + 1, 1, cos(2πt)) parat ∈ [−1, 1].

Ejercicio 5 (1 punto). Dado el campo X = (x2, y2, z2), calcular su flujo en lasuperficie del cilindro x2 + y2 = 3, −1 ≤ z ≤ 1. Solo en la parte curva del cilindro,no en las “tapas.”

Ejercicio 6 (2 puntos). Una esfera de radio R se posa sobre un cilindro hueco(un canuto) de radio r < R y altura h. Calcular el área del sólido resultante.




Ejercicio 1 (2 puntos). Calcular el momento de inercia de la figura respectodel eje Y = 0. La figura est delimitada por el arco parablico 0 ≤ y ≤ −x2 + 4 y larecta y = 0 y se le ha perforado un cuadrado de lado 1 y centro (0, 1.5). Se suponeque la densidad es constante.

Ejercicio 2 (1.5 puntos por apartado). Se considera el slido limitado por elplano z = 0 y la funcin z = 4 − x2 − y2, con densidad proporcional a z.

Calcular su masa.Se desea perforarlo con un cilindro de manera que el taladro haga un agujerovertical que atraviesa todo el slido con centro en (x = 0, y = 0) para que lamasa sea justo la mitad. Cul ha de ser el radio del taladro? (Basta con darunas ecuaciones que sirvan para calcular el radio, no hace falta resolverlas).

Ejercicio 3 (1.5 punto por apartado). Considrese la superficie que delimita elslido del ejercicio anterior (es decir, el paraboloide y el crculo inferior, nada deltaladro). Se pide:

Parametrizar dicha superficie (hay dos superficies que parametrizar) y calcu-lar el vector normal (hay dos vectores normales). La parametrizacin requiere(ciertamente) dar los lmites adecuados de las variables.Calcular el flujo del campo X = (0, 0, 1) en dicha superficie (dar dos flujos).

Ejercicio 4 (2 puntos). Se desea que una espiral metlica que sigue la ecuacin(2 cos t, 2 sin t, 3t) (que comienza en t = 0) tenga densidad media 1 (en las unidadesadecuadas). La densidad real de un punto es 0.1 por la altura. Calclese la alturaque ha de tener la espiral.




Ejercicio 1 (1 punto). Se consideran una funcin f(x, y) derivable infinitas vecesy definida en todo el plano y el campo X = ∇f (el gradiente). Escribamos X =(F, G). Sin hacer ninguna integral (ninguna), explicar cunto vale

∫

U

∂G

∂x− ∂F

∂ydxdy

si U es un cuadrado cualquiera.

Ejercicio 2 (1 punto). Considrese el campo

X = (F, G) =

( −y

x2 + y2,

x

x2 + y2

).

Calclense ∂F∂y y ∂G

∂x [Esto no vale ningn punto]. Calclese tambin∫

γ

X dγ

donde γ es la circunferencia unidad recorrida en sentido horario [Esto vale 0.25puntos]. Explicar [Esto vale 0.75 puntos].

Ejercicio 3 (2 puntos). Se invierte un capital inicial de 1000 euros al 10 % deinters anual (en tiempo continuo). Cunto tiempo tardan en convertirse en 2000euros?

Ejercicio 4 (2 puntos: uno por apartado). Un objeto de 1kg cuelga de un muellecuya constante de Hooke es 0.1N/m y que, en reposo (sin ningn peso), mide 2m.Se supone que la aceleracin gravitatoria es g = 9.8m/s2 y que no hay rozamiento.

Expresar la ecuacin diferencial que rige el movimiento del objeto. (Es muyimportante explicar dnde est el centro de coordenadas y en qu direccin van).El objeto se suelta inicialmente desde la posicin de reposo del muelle. Plan-tear en qu momento el muelle medir 2.3m.

Ejercicio 5 (2 puntos: uno por apartado). Calcular, planteando la ecuacin di-ferencial correspondiente, la velocidad lmite (nada ms) de un cuerpo de masa 1kgque se deja caer a velocidad de 0m/s desde una altura de 10000m si la gravedades constante e igual a 10m/s2 y el rozamiento es proporcional a la velocidad (y desentido contrario) con constante 0.1kg/s. De qu parmetros depende en general?

Ejercicio 6 (1.5 puntos). Una ecuacin diferencial ordinaria homognea de coefi-cientes constantes tiene como races del polinomio caracterstico los nmeros 3, 1 + iy 1 − i. Puede ser la funcin f(x) = sen(17x) una solucin?

Extraordinario junio — Ampl. de Cálculo — 2015/2016 — Grupo D — EPI Gijón


Ejercicio 1 (1 punto por apartado). Calcular el momento de inercia de la figura(un círculo de radio 2 centrado en el origen de coordenadas al que se le han quitadodos círculos de radio 1/2, con centros en (−1, 0) y (1, 0) respectivamente), respectodel origen de coordenadas.

(1) Primero, si la densidad ρ es constante.(2) Segundo, si la densidad ρ(x, y) es proporcional a la distancia al origen.

Ejercicio 2 (1 punto por apartado). Considérese el paraboloide x2 + y2 + z = 1para z ∈ [0, 1]. Se pide:



Ejercicio 3 (0.5 puntos cada apartado). Calcular:(1) La masa de la espira de la curva (2 cos t, 2 sen t, 2t) que comienza en el punto

(2, 0, 0), si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al punto(0, 0, 0).

(2) El trabajo del campo X = (yz, xz, xy) sobre la curva (2 cos t, 2 sen t, 2t2)para t ∈ [−2π, 2π].

Ejercicio 4 (2 puntos, uno por apartado). Calular:(1) Una parametrización de una hoja de la Lemniscata, cuya ecuación implícita

es (x2 + y2

)2= 2

(x2 − y2

).

(2) Utilizando exclusivamente integrales de línea, calcular el área encerrada pordicha curva.

Ejercicio 5 (2 puntos: uno por apartado). Se comienza una inversión con uncapital de 2000 euros a un interés anual (en tiempo continuo) del 5%. Además, se vaañadiendo dinero a la inversión de manera continua a un ritmo de 1000 euros/año.Se pide:

(1) Explicar cuál es la ecuación diferencial que describe la evolución del capital.(2) Calcular el capital al cabo de 10 años.

Ejercicio 6 (1 punto). Las raíces del polinomio característico de una ecuacióndiferencial lineal homogénea son: 0, con multiplicidad 2 y 1 con multiplicidad 2.¿Puede describir esta ecuación un movimiento armónico simple?

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