Curso:Matemticas FinancierasProf: Alfredo Vento OrtizCapitulo I: Inters Compuesto

EL REGIMEN DE INTERES COMPUESTOUna operacin financiera es concertada en el rgimen del inters compuesto si los intereses generados en cada perodo (llamado perodo de capitalizacin), se desembolsan o se suman al capital inicial en dicho perodo . En el inters compuesto el capital crece geomtricamente. La tasa de inters con la cual se calculan los intereses en este rgimen se denomina tasa efectiva.

CALCULO DEL MONTO O VF PARA UN PERIODO Capital inicial = S/. 150Tasa efectiva de inters mensual = 5% (cada S/. 1 ganar un inters de S/. 0.05 al mes)

Por lo tanto el VF generado por S/. 1 luego de un mes ser:VF = 1 + 0.05 = 1.05 (Factor de capitalizacin por perodo)

De este modo el VF generado por S/. 150 luego de un mes ser:VF = 150 (1.05) = 157.5150VF = 150*(1.05) = 157.501 mes(1.05)

CALCULO DEL VF CONSIDERANDO VARIOS PERIODOS DE CAPITALIZACIONFactor de capitalizacin mensual = (1.05)Por lo tanto, S/. 1 al comenzar el segundo perodo se convertir en S/. 1.05 al final del segundo perodo, entonces:As para el segundo perodo: VF2 = VF1 (1.05) = 150 (1.05)2

150VF 101234(1.05)VF 2

CALCULO DEL VF CONSIDERANDO VARIOS PERIODOS DE CAPITALIZACION

Si empleamos el mismo razonamiento para los siguientes perodos, tendremos:VF4=150(1.05)4VF3=150(1.05)3VF2=150(1.05)2VF1=150(1.05)15001234

PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: ECUACIN DE VALOREn una operacin financiera, el dinero no se crea ni se destruye, slo se transforma a la tasa efectiva de dicha operacin

A partir de lo anterior, debemos deducir que a la tasa de la operacin, todos los ingresos generados en una operacin deben ser econmicamente equivalentes con todos los egresos, por lo tanto, sus valores actuales o valores futuros deben ser iguales.El planteamiento de dicha igualdad constituye lo que denominados la ecuacin de valor.

Ejemplo 1: Con tasas fijasHoy se realiza un depsito de S/. 5 000, hallar el monto generado a fines del mes 4, si la tasa que ganar este depsito es de 2% efectivo mensual.2%2%2%2%012345000VF=?

Solucin 1: Con tasas fijasVF = 5 000 x (1,02) x (1,02) x (1,02) x (1,02)VF = 5 000 (1,02)4 = 5 412,16500001234VF =?(1.02)(1.02)(1.02)(1.02)

Ejemplo 2: Con tasas fijasHoy se realiza un depsito de S/. 3 000, hallar el monto generado a fines del mes 15, si la tasa que ganar este depsito es de 2,5% mensual.2.5%2.5%2.5%2.5%VF=?3000151413210

Solucin 2: Con tasas fijas(1,025)(1,025)(1,025)(1,025)3 000VF =?012131415

Solucin 2: Con tasas fijasVF= 3 000 (1,025)15VF= 4 344,89Con Excel

Hoja1

VA-177.080123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

n315000-4300-4000-1120000000000000000000000000000000000

i%20%

Pago84.0644TIR12.0%

Hoja2

VA3000

n15

i%2.50%

VF(4,344.89)

Hoja3

Ejemplo 3: Con tasas fijasHallar el capital inicial (llamado tambin Valor Actual) que generar un monto de S/. 6 540 luego de un ao y medio, si estar sujeto a una tasa de 0,5% mensual.1817162106540VA =?

Solucin 3: Con tasas fijas(1,005)(1,005)(1,005)(1,005)6540VA =?181716210

Solucin 3: Con tasas fijasVA = 6 540 / (1.005)18 = 5 978,45

Con Excel

Hoja1

VA-177.080123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

n315000-4300-4000-1120000000000000000000000000000000000

i%20%

Pago84.0644TIR12.0%

Hoja2

VA3000VF6540

n15n18

i%2.50%i%0.50%

VF(4,344.89)VA(5,978.45)

Hoja3

Ejemplo: Con tasas fijasUn capital de S/. 8 000 ha generado un monto de S/. 12 800 luego de 30 meses, hallar la tasa mensual a la cual estuvo sujeta. 302928210128008000iiii i = tasa decimal mensual

Solucin: Con tasas fijas i = tasa decimal mensual128008000(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)30 meses2928210

Solucin: Con tasas fijas12 800 = 8 000 (1+i)30i = (12 800 / 8 000) (1/30) - 1 = 0,015790i% = 1,5790%

Con Excel:

Hoja1

VA-177.080123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

n315000-4300-4000-1120000000000000000000000000000000000

i%20%

Pago84.0644TIR12.0%

Hoja2

VA3000VF6540VA-8000

n15n18n30

i%2.50%i%0.50%VF12800.00

VF(4,344.89)VA(5,978.45)i%1.5790%

Hoja3

Ejemplo: Con tasas fijasUn capital de S/. 9 000 ha generado un monto de S/. 15 300, si estuvo sujeto a una tasa de 3,5% mensual. Hallar el plazo de la operacin.n(n-1)(n-2)2123.5%3.5%3.5%3.5%153009000

Solucin: Con tasas fijas(1,035)(1,035)(1,035)(1,035)900015300n(n-1)(n-2)210

Solucin: Con tasas fijas15 300= 9 000 (1.035) nn = Log (15 300 / 9 000) / Log (1.035) n = 15,42

Con Excel:

Hoja1

VA-177.080123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

n315000-4300-4000-1120000000000000000000000000000000000

i%20%

Pago84.0644TIR12.0%

Hoja2

VA3000VF6540VA-8000VA-9000

n15n18n30i%3.50%

i%2.50%i%0.50%VF12800.00VF15300

VF(4,344.89)VA(5,978.45)i%1.5790%n15.4246

Hoja3

Ejemplo: Con principal fijo y tasa variableHoy se realiza un depsito de S/. 2 000, hallar el monto generado a fines del mes 5, si la tasa que ganar este depsito es de 2% mensual por los primeros 2 meses y luego cambia a 3% mensual.2%2%3%3%3%0123452000VF =?

Solucin: Con principal fijo y tasa variable012345(1.02)(1.02)(1.03)(1.03)(1.03)2000VF =?

Solucin: Con principal fijo y tasa variableHallando VF: VF= 2 000 (1,02)2x (1,03)3VF= 2 273,75Con Excel:

Hoja1

VA-177.080123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

n315000-4300-4000-1120000000000000000000000000000000000

i%20%

Pago84.0644TIR12.0%

Hoja2

VA2000VF6540VA-8000VA-9000

n2n18n30i%3.50%

i%2.00%i%0.50%VF12800.00VF15300

VF(2,080.80)VA(5,978.45)i%1.5790%n15.4246

VA(2,080.80)

n3

i%3.00%

VF2,273.75

VA2000VA(2,080.80)

n2n3

i%2.00%i%3.00%

VF(2,080.80)VF2,273.75

Hoja3

Ejemplo: Con principal variable y tasa fijaHoy se realiza un depsito de S/. 5000, hallar el monto generado a fines del mes 5, si en el mes 3 se realiza otro depsito de S/. 2000. La tasa que ganar es de 2% mensual.

2%2%2%2%2%01234550002000VF =?

Solucin: Con principal variable y tasa fija2%2%2%2%2%01234550002000VF Total

Solucin: Con principal variable y tasa fijaVF total= VF (5 000) +VF (2 000)= 5 000 (1,02)5+2 000(1,02)2 = 7 601,20Con Excel

Hoja1

VA-177.080123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536

n315000-4300-4000-1120000000000000000000000000000000000

i%20%

Pago84.0644TIR12.0%

Hoja2

VA2000VF6540VA-8000VA-9000

n2n18n30i%3.50%

i%2.00%i%0.50%VF12800.00VF15300

VF(2,080.80)VA(5,978.45)i%1.5790%n15.4246

VA(2,080.80)

n3

i%3.00%

VF2,273.75

VA5000VA2,000.00

n5n2

i%2.00%i%2.00%

VF(5,520.40)VF(2,080.80)

VF total7,601.20

Hoja3

Ejemplo: Con principal variable y tasa variable Hace 8 meses una persona depsito de S/. 5 000 en una cuenta de ahorro, tres meses despus retiro S/. 2 000 y dos meses ms tarde realiz otro depsito de S/. 5 000. Si la tasa que se pag en esta cuenta fue de 2% mensual por los primeros 4 meses y 3% los siguientes meses, hallar su saldo actual.

Solucin:Con principal variable y tasa variable2%2%2%2%3%3%3%3%01234550002000VF Total5000768

Solucin:Con principal variable y tasa variableVF = 5000(1,02)4x(1,03)4+5000(1,03)3-2000(1,02)(1,03)4 = 9 259,03Con Excel:

Hoja1

VA5000VA(5,412.16)VA-5000VA2000VA(2,040.00)

n4n4n3n1n4

i%2%i%3%i%3%i%2%i%3%

VF(5,412.16)VF6,091.43VF5,463.64VF(2,040.00)VF2,296.04

VF TOTAL9,259.03

Hoja2

Hoja3

Ejemplo 1: Con perodo fraccionarioUna persona deposita S/. 4 000 en una cuenta que paga una tasa efectiva mensual de 2%, hallar el monto que generar luego de 100 das.2 % mensual100 dias3 meses2 meses1 meses04000VF =?

Solucin 1:Con perodo fraccionarioFactor mensual = (1,02) para cada 30 dasVF = 4000 (1.02)(100/30) = 4272.944000VF=?0(1.02)(1.02)(1.02)306090100

Hoja1

VA4000

n3.33333

i%2%

VF(4,272.94)

Hoja2

Hoja3

Ejemplo 2: Con perodo fraccionarioUna persona se presta S/. 5 000 a una tasa efectiva mensual de 3%. Si desea cancelar dicho prstamo 80 das despus, hallar el importe a pagar.306080 das0500080 dasVF=?3% mensual

Solucin 2:Con perodo fraccionarioVF = 5 000 (1,03)80/30 = 5 410,07VF=?80603005000(1.03)(1.03)Factor mensual = (1.03)para cada 30 das

Hoja1

VA5000

n2.66667

i%3%

VF(5,410.07)

Hoja2

Hoja3

Ejemplo 3: Con perodo fraccionarioUna persona se presta S/. 2 000 por el cual pagar una tasa de 6% mensual, si desea cancelar dicho prstamo 21 das despus de haberlo recibido. Hallar el pago que tendr que realizar.2000Pago = ?21 das6% mensual

Solucin 3: Con perodo fraccionarioVF = 2 000 (1.06)(21/30)VF = 2 083,26Con Excel

Hoja1

VA2000

n0.70000

i%6%

VF(2,083.26)

Hoja2

Hoja3

Ejemplo 4: Con perodo fraccionarioSe apertura una cuenta de ahorros con un depsito de S/. 3 000 y luego de 110 das se realiza un depsito adicional de S/. 2 000. Si la tasa efectiva de inters cambi de 2% mensual a 3% mensual a partir del tercer mes. Hallar el saldo de la cuenta, 5 meses despus de que sta se apertur.

Solucin 4: Con perodo fraccionario2%2%3%3%3%012343000VF Total52000

Solucin 4: Con perodo fraccionarioVF= 3000(1,02)2(1,03)3+2000(1,03)(40/30)VF= 5 491,02Con Excel

Hoja1

VA3000VA(3,121.20)VA-2000

n2n3n1.33333

i%2%i%3%i%3%

VF(3,121.20)VF3,410.62VF2,080.40

VF Total5,491.02

Hoja2

Hoja3

VALOR ACTUAL EN EL INTERES COMPUESTO (VA)Se le define como el equivalente actual de un flujo de dinero futuro.Se le debe entender como el resultado de restar a un capital futuro los intereses generados (descuento) por su VA a cierta tasa. Para hallar el VA de un capital futuro, se le divide por los sucesivos factores de capitalizacin que componen el plazo a considerar en la operacin.

CALCULO DEL VA EN EL INTERES COMPUESTO VF Inters

VA VA (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 0 1 2 3 4 . . . . n VA = VF - Inters = VF (1+i)n Inters = Descuento compuesto

Ejemplo 5: Valor Actual con tasas fijasCunto debo depositar hoy da para obtener un monto de S/. 6 788,45, luego de 5 meses, si la tasa que ganar este depsito ser de 2,5% efectivo mensual?.6788.45VA =?543210

Solucin 5: Valor Actual con tasas fijas VA = 6 788.45 = 6 000 (1.025)5102345(1.025)(1.025)(1.025)(1.025)(1.025)6788.45

Hoja1

VF6788.45

n5

i%2.5%

VA(6,000.00)

Hoja2

Hoja3

Ejemplo 6: Descuento CompuestoFaltando 5 meses para su vencimiento se descuenta, utilizando el inters compuesto, una letra de valor nominal S/. 8 000. Si se utiliza una TEM de 3,5%, hallar el descuento.8000V A = ?3.5 %3.5 %3.5 %3.5 %3.5 %012345

Solucin 6: Descuento CompuestoVA = 8 000 = 6 735,79 (1,035)5

Descuento = 8 000 - 6 735,79 = 1 264,21210345VA=?8000(1.035)(1.035)(1.035)(1.035)(1.035)