1.clase sucesiones reales
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SUCESIONES REALES.
Definición: Es una función de f: Ζ+→R, donde Ζ+ es el conjunto de los números enteros positivos. Si f (n )=an, entonces a esta sucesión la denotaremos por (an ),{an }n=1
∞ o presentando sus términos en orden creciente de los subíndices:
a1 , a2 , a3 ,… ..an ,…. .
El término a1 es el primer, a2 es el segundo, a3 es el tercero y an es el término enésimo o término general.
Es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números enteros positivos.
Sea la sucesión de los cubos de los enteros positivos:
1 ,8 ,27 ,64 ,125 ,216 ,343 ,….n3
Esta sucesión es una correspondencia que asigna a cada entero positivo su respectivo cubo:
1 2 3 4 5 6 7 ……… n1 8 27 64 125 216 343 ……… n3
Esta sucesión se puede escribir como: f : z+¿→R,f (n )=n3¿
Ejemplo de Sucesiones:
Sucesión con su término general Notación estándar{2,4,6,8,10 ,…2n ,…} {2n }n=1
∞
{0,2,0,2,0…,1+(−1 )n } {1+(−1 )n }n=1∞
{−12 ,24,−38,416
,… (−1 )n n2n
,…} {(−1 )n n2n }n=1
∞
{0 , 2√3 ,0 , 2√5 ,0… 1+(−1 )n
√n+1,…} {1+(−1 )n
√n+1 }n=1
∞
{1,0 ,−1,0,1 ,…, sin( nπ2 )} {sin( nπ2 )}n=1
∞
0 1
Nota: el primer término de una sucesión no necesariamente debe corresponder a n=1, según sea el caso puede ser cualquier entero k ≠1.
Si se considera la sucesión an=√n−3 , el primer término es a3=√3−3=0, ya que a1=√−2 y a2=√−1 no son números reales.
Si una sucesión comienza con el término k , escribiremos:{an }n=k
∞
Ejemplo 1. Dada la sucesión { nn+1 }n=1
∞
a. Hallar los cinco primeros términos.b. Graficar en la recta numérica los cinco primeros términos hallados.c. Graficar en el plano los cinco primeros términos hallados.
Solución:
a1=11+1
=12, a2=
22+1
=23,a3=
33+1
=34, a4=
44+1
=45, a5=
55+1
=56
1
1 2 3 4 5
Ejemplo 2.
Los siguientes números son los 5 primeros términos de una sucesión:
21,−38,427
,− 564
,6125
,….
a. Hallar una fórmula del término general an de una sucesión {an } cuyos cinco primeros términos son los dados.
b. Hallar el sexto término.
Solución: a. el primer numerador es 2=1+1
el segundo es 3=2+1 el tercero es4=3+1 entonces el numerador enésimo es n+1
el primer denominador es 1=13
el segundo es 8=23
el tercero es 27=33
entonces el denominador enésimo esn3
el signo positivo y negativo que acompaña a las fracciones se alternan. Así que el término enésimo es multiplicado por (−1 )n o (−1 )n+1, como el primer término es positivo se escoge (−1 )n+1. En lugar de (−1 )n+1 se puede tomar también a (−1 )n−1.
Una posible solución para el término general de la sucesión puede ser:
an=(−1 )n+1 n+1n3
o bienan=(−1 )n−1 n+1n3
b. a6=(−1 )6+1 6+163
= −7216
Definición: se dice que una sucesión {an } es
a. Creciente sii an<an+1 para cada entero positivo nb. No decreciente sii an≤an+1 para cada entero positivo nc. Decreciente sii an>an+1 para cada entero positivo nd. No creciente sii an≥an+1 para cada entero positivo n
Si se cumple cualquiera de estas cuatro propiedades, se dice que la sucesión es monótona.
Ejemplo 3.
{1 , 12 , 13 ,…} Decreciente
{2,4,8,16 ,… .. } Creciente {2,2,4,4,8,8,16,16…. } No decreciente
{1 , 12 ,1 , 13 ,1 , 14 ,…} No monótona
Sucesiones Convergentes:
Decimos que una sucesión {an } tiene límite el número L, y escribiremos limn→∞
an=L, si an puede acercarse a L tanto como se quiera, tomando a n
suficientemente grande.
Si existe el límite, se dice que la sucesión {an } converge o es convergente. Si el límite no existe, diremos que la sucesión diverge o es divergente.
Ejemplo 4.
Sea la sucesión: 11,12,13,14,……. ,
1n o {1n }
n=1
∞
Entonces limn→∞
1n=0 , es decir cuando n→∞ an→0 la sucesión converge a un
valor, que en este caso es cero.
Definición de cotas inferior y superior de una sucesión:
El número C es una cota inferior de la sucesión {an } si C≤an para todos los números enteros positivos n; el número D es una cota superior de la sucesión{an } si D≥an para todos los números enteros positivos n .Una sucesión es acotada si y sólo si tiene una cota superior y una cota inferior.
Teorema: Toda sucesión convergente es acotada y toda sucesión no acotada es divergente.
Nota: La acotación no implica la convergencia, la siguiente sucesión oscilante:{1,0,1,0 ,…. } es ciertamente acotada (superiormente por 1, inferiormente por 0), pero es evidente que no converge.La acotación, conjuntamente con la monotonía, implica la convergencia.
Subsucesiones: si de una sucesión se toman infinitos términos conservando su orden se obtiene una subsucesión de la sucesión inicial.
Ejemplo 5.
0 1 2 3 4 5 6 7 80.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
sucesión 1/n
1/n
Dada la sucesión de los enteros positivos:{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ,…. , n ,.. }
Hallar cuatro Subsucesiones.
Solución: 1. La subsucesión de los enteros positivos pares:
{2,4,6,8,10,12 ,… .,2n ,…. }2. La subsucesión de los enteros positivos impares:
{1,3,5,7,9,11 ,… .,2n−1 ,…. }3. La subsucesión de los primos:
{1,3,5,7,11,13 ,….…. }4. La subsucesión de los enteros positivos que son potencias de 2:
{1,4,9,16,25 ,…. ,n2 ,…. }
Nota:
1. Si una subsucesión {an } converge a un límite L, entonces toda subsucesión de {an } converge también a L.
2. Si una subsucesión {an } tiene dos Subsucesiones que convergen a límites distintos, entonces la sucesión {an } diverge.
Ejemplo 6. La sucesión {2+ (−1 )n } es divergente.
En efecto, los términos de esta sucesión son: {3,1,3,1,3,1,3,1,3,1 ,…. }
La subsucesión conformada por los términos se subíndice n par:{2+ (−1 )2n }={2+1 }= {3 }convergea3
En cambio la subsucesión conformada por los términos de subíndice n impar:{2+ (−1 )2n−1 }={2−1 }={1 }converge a1
En consecuencia, la sucesión {2+ (−1 )n } diverge.
Leyes de los límites de sucesiones.
si limn→∞
an=A y limn→∞
bn=B y ces unaconstante , entonces
1. limn→∞c=c
2. limn→∞c an=c lim
n→∞an=cA
3. limn→∞
(an±bn )=limn→∞
an± limn→∞
bn=A± B
4. limn→∞
(anbn )=( limn→∞an) ( limn→∞
bn)=AB
5. limn→∞
an
bn
=limn→∞
an
limn→∞
bn
= AB,B≠0
6. limn→∞
(an )p=( limn→∞an)p=A p , p>0 , an>0
7. limn→∞
(an )bn=( limn→∞an)(
limn→∞
bn )=AB , A>0 , an>0
Límites notables: sean p>0 , q>0 yc>0
1. limn→∞
1
np=0
2. limn→∞
n√c=1
3. limn→∞
n√n=1 0 , si|r|<1
4. limn→∞ (1+ a
n )n
=ea 8. limn→∞
rn=¿ 1 , si r=1
5. limn→∞
nq
an=0 , a>1 ∞ ,si r>1
6. limn→∞
nq
enp=0 noexiste , si r ≤−1
7. limn→∞
( ln n )q
np =0
Ejemplo 7. Determinar si las siguientes sucesiones son convergentes.
a) { 4n22n2+1 }→ limn→∞
4 n2
2n2+1=∞∞Indeterminació n
Esta indeterminación se estudia aplicando L’Hopital o dividiendo cada término de la sucesión por la potencia mayor de n; finalmente el valor del límite será:
limn→∞
4n2
2n2+1=2
b) {n sin( πn )}→ limn→∞
n sin( πn )=∞∗0 Indeterminación
Esta indeterminación se estudia dividiendo una de las sucesiones presentes entre el reciproco de la otra sucesión quedando de la siguiente forma:
limn→∞
sin( πn )1n
=00Indeterminación que se resuelve aplicando L’Hopital quedando:
limn→∞
(−π
n2 )∗cos( πn )−1n2
=π
c) { 4n32n2+1sin ( πn )} esta sucesión se puede, por propiedad de límites, en dos:
limn→∞
4n2
2n2+1∗lim
n→∞n sin ( πn ) , límites determinados en los ejemplos anteriores por lo que el
valor de límite será: 2π
Ejemplo 8. Discutir las cotas y monotonía de las siguientes sucesiones:
a) {2n }→2,1 ,23,24,25…. Monótona decreciente
Cota inferior= 0 Cota superior= 2
b) {(−1 )n
n }→−1, 12,−13,14,−15…. No Monótona
Cota inferior= -1
Cota superior= 12
c) {√n }→√1 ,√2,√3 ,√4 ,…. Monótona Creciente Cota inferior= 1 Cota superior= ∄
d) {0,9 }n=( 910 )n
→( 910 )1
,( 910 )2
,( 910 )3
,…. Monótona decreciente
Cota inferior= 0 Cota superior= 0,9
e) { 4n
4n2+1 }→ 4
√5,8
√17,12
√37,…. Monótona Creciente
Cota inferior= 4
√5 Cota superior= 2