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GEOMETRIA COMPENDIO ACADEMICO

TEACHER: CARLOS DANIEL CARDENAS DE LA CRUZ

Padre, gracias por el espritu santo en quien se encuentra la justicia, paz, alegra y

sabidura. Aunque nuestra felicidad puede a veces verse opacada por las pruebas, gracias

por que la alegra eterna se encuentra siempre con Cristo, tu hijo. Oro en el nombre de

Jess Amn.

1

MIDIENDO LO QUE VEO PARA

APRENDER

Conceptos

previos de los

elementos

geomtricos.

Conceptos

topolgicos.Lnea recta. Segmentos.

Plano

cartesiano.Angulo.

Simetra

respecto a una

recta.

Simetra

respecto al

plano

cartesiano.

Figuras

geomtricas.(abstract

as)

Segmentos de lnea.

Preguntas diversas.

Superficies.

Conjuntos

convexos.

Conjuntos no

convexos.

Definicin de una

lnea recta

Punto y plano.

Semirrecta y rayo

Define

Ejemplifica.

Mide segmentos

Representa el

plano cartesiano.

Pares

ordenados.

Ubica puntos en

el plano

cartesiano.

Representa

ngulos.

Mide ngulos y

las bisectrices.

Clasifica ngulos.

Define la

simetra.

Grafica simetras

Busca en su

entorno las

simetras.

Representa

simetras en el

plano cartesiano.

Crea simetras.

Menciona la

aplicabilidad de

las simetras en lo

cotidiano.

HISTORIA DE LA GEOMETRA

Los primeros resultados geomtricos se remontan de la

antigedad y son de origen experimental. Fueron

observados por el hombre en su actividad prctica.

Como ciencia emprica, la geometra alcanz en su

perodo inicial un nivel singularmente elevado en Egipto

en relacin con los trabajos de agrimensin y de riego.

Durante el primer milenio anterior a nuestra era las

nociones de la geometra pasaron de los egipcios a los

griegos y en la antigua Grecia se inici una etapa nueva

del desarrollo de esta ciencia. En el perodo

comprendido entre los siglos VII y III A.C. los gemetras

griegos, adems de enriquecer la geometra con

numerosos resultados, hicieron grandes progresos en

su argumentacin.

Euclides (330 - 275 antes de nuestra era) resumi y

sistematiz esta labor de los gemetras griegos en su

famosa obra "ELEMENTOS", que ha hecho llegar hasta

nosotros la primera exposicin fundamentada de la

geometra. En ella los razonamientos son tan

irreprochables para su tiempo que los "Elementos" fue

a lo largo de dos mil aos desde su aparicin el nico

tratado para los que estudiaban la geometra.

Los "ELEMENTOS" de Euclides; constan de trece libros

de los cuales ocho dedicados a la geometra

propiamente dicha y los otros a la Aritmtica. Cada libro

de los "ELEMENTOS" empieza con la definicin de las

nociones. En el primer libro siguen a las definiciones

postulados y axiomas.

INTRODUCTORIO

2

1. DEFINICIN:

Es una porcin de recta, comprendida entre dos puntos, denominados extremos.

Segmento BAAB

2. LONGITUD DE UN SEGMENTO:

Es la medida del segmento, comprendido

entre los puntos extremos.

AB = a unidades

3. SEGMENTOS CONGRUENTES:

Dos o ms segmentos son congruentes si tienen igual longitud.

Luego: AB = PQ

4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:

Es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales.

Si: M es punto medio de AB

2

ABMBAM

5. OPERACIONES CON LOS SEGMENTOS

a. Suma de segmentos:

AB + BC = AC

AC + CD = AD

AB + BC + CD = AD

b. Sustraccin de segmento:

AC BC = AB

AC AB = BC

AD AC = CD

AD BC = AB + CD

6. DIVISIN ARMNICA

Si: M y N dividen armnicamente al

segmento AB :

Dnde: A, M, B y N forman una cuaterna armnica.

De la proporcin anterior resulta la RELACIN DE DESCARTES, cuyo modelo matemtico es:

PROBLEMAS PARA LA CLASE: NIVEL I

1. En una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R, PR =20; QR = 4. Hallar PQ. a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

2. Si: N y M son puntos medios de AC

y CB . Hallar: AB

a) 15 b) 20 c) 30

d) 44 e) 48 3. Si: AC + AB = 32, hallar BC

a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

SEGMENTOS

3

4. Calcular BC, si AC = 9; BD = 11, AD = 15

a) 41 b) 43 c) 47 d) 48 e) 60

5. Si: 2AB = 3BC = 7CD = 84, Hallar AC

a) 66 b) 72 c) 48 d) 82 e) 84

6. Si: B y C son puntos medios de AC y

AD . Hallar AD

a) 36 b) 45 c) 54 d) 27 e) 18

7. Si: AB = CD = 18; BC = DE = 16.

Hallar la longitud del segmento que

une los puntos medios de AB y

DE

a) 17 b) 68 c) 51 d) 34 e) 60

8. Si: AC + BD = 36.

Hallar AD

a) 21 b) 23 c) 27 d) 28 e) 20

NIVEL II

1. Si: M es punto medio de AE y AC CE = 32. Hallar MC

a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

2. Si: AB = 10, BC = 18. Hallar BM, siendo M punto medio de

AC

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

3. Si M es punto medio de BC y AB + AC = 38.

Hallar AM

a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

4. Hallar la distancia de A al punto medio de

CD

a) 18 m b) 25 c) 22,5 d) 23,5 e) 24,5

5. Hallar x si EG = 24

a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12

6. Hallar x, si AB + AD = 40

a) 4 b) 5 c) 8 d) 10 e) 15

7. Hallar MN, si AC + BD = 52

4

a) 26 b) 25 c) 24 d) 23 e) 22

8. Si M y N son puntos medios de AC y

AM Hallar AC si NC = 48

a) 56 b) 64 c) 96 d) 72 e) 82

TAREA DOMICILIARIA

1. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C; AC = 30, BC = 12. Hallar AB a) 16 b) 15 c) 14 d) 18 e) 20

2. Si P y Q son puntos medios de MN y

NR . Hallar MR

a) 12 b) 20 c) 24 d) 26 e) 28

3. Si: PR + PQ = 64.

Hallar QR

a) 14 b) 20 c) 24 d) 16 e) 18

4. Hallar QR, si. PR = 18; QS = 22, PS = 30

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

5. Si: 3PQ = 4QR = 5RS = 60.

Hallar PS

a) 41 b) 43 c) 47 d) 48 e) 60

5

mAOP=mPOB=

0 < convexo < 180

1. DEFINICIN:

Un ngulo es una figura geomtrica, formada por dos rayos que tienen un origen comn. A dichos rayos se les denomina LADOS y al origen comn se le denomina VRTICE

Vrtice: O

LADOS: OByOA

Notacin: La notacin de un ngulo adopta cualquiera de stas formas equivalentes:

AOB

A O B

Interior y exterior de un ngulo

El ngulo divide al plano en tres sub-conjuntos de puntos, estos son: interior, exteriores o puntos que pertenecen al

ngulo.

A punto exterior

B punto interior

Q punto que pertenece al ngulo

2. BISECTRIZ DE UN ANGULO

La bisectriz de un ngulo es aquel rayo cuyo origen coincide con su vrtice y adems determina dos ngulos parciales de igual medida.

En la figura:

Si OP es bisectriz del AOB:

3. CLASIFICACIN DE LOS NGULOS:

Los ngulos se clasifican de acuerdo a su medida de la siguiente manera.

3.1. Angulo Nulo: Denominado tambin PERIGONO, ngulo cuya medida es iguala a 0.

= 0

3.2. Angulo llano o de media vuelta: Denominado tambin PAR LINEAL, ngulo cuya medida es igual a 180.

= 180

3.3. Angulo Convexo: Es aquel, cuya medida es mayor de 0 pero menor de 180

A su vez los ngulos convexos se sub clasifican en: recto, agudo y

obtuso

a) Angulo recto: Es el ngulo convexo cuya medida es igual a 90

NGULOS I

6

180 < cncavo < 360

= 90

: recto

b) Angulo agudo: Es el ngulo convexo cuya medida es mayor de 0 pero menor de 90.

0 < < 90

: Agudo

c) Angulo Obtuso: Es el ngulo convexo cuya medida es mayor de 90 pero menor de 180

90 < < 180

: obtuso

3.4. Angulo Cncavo: Es aquel cuya medida es mayor de 180 pero menor de 360

3.5. ngulos consecutivos:

a) Sobre una recta: Suman 180

Del grfico, se cumple:

+ + = 180

b) Alrededor de un punto: Suman 360

Del grfico:

+ + + + = 360

NGULOS ADYACENTES: Dos ngulos son

adyacentes si y slo si tienen un lado comn

y los lados no comunes estn en ambos

semiplanos.

3.1. determinados por la recta que contiene al lado comn.

En la figura:

y son ngulos adyacentes

3.2. ngulos opuestos por el vrtice:

Determinados por dos rectas secantes, los cuales tienen igual medida.

=


CONVEXO CNCAVO

L1

L2

7

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

x70

x36

2xx

2x3x

45

x 2x

x

40x

x

x x

x

50

x

60

100130

x

x 29

x

x

x

x

25

145

x

120x

1502x

2x+10 50-x

8

17.

18.

19.

20.

21.

22.

NIVEL II

1. Se tienen los ngulos consecutivos suplementarios AOB, BOC y COD, Si: mBOC=60. Calcular la medida del ngulo formado por las bisectrices de los ngulos AOB y COD.

2. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que mAOD=90 y

mAOC+mBOD=125. Hallar la mBOC.

3. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD; tal que. mAOC=40, mBOD=50

y mAOD=70. Hallar mBOC

4. Sean los ngulos consecutivos AOB, BOC y

COD. Si los rayos y son las bisectrices de los ngulos AOB y COD. Hallar la mMON. Siendo:

mAOM+mDON+mBOC=30

40x

x

x 35

20 x

x 70

A O D

Ox

C

A

B

20 30

A O F

x

x

60 50

9

5. Se tiene los ngulos adyacentes

suplementarios AOB y BOC. Si: es bisectriz del ngulo AOB. Calcular la mBOM. Siendo adems: mBOC-

mAOB=40

6. Si los puntos A, O y B estn en una rectas,

Q es bisectriz del ngulos AOM y

mQON/mQOB=5/7. Hallar la medida del

ngulo NOB.

7. En la figura. Calcular la medida del ngulo formado por la bisectriz del ngulo AOB y GOD.

TAREA DOMICILIARIA

23.

24.

25.

26.

27.

O

Q

A

NM

B

O

70

A

120

G

B

D

x 70

B

A O D

C

x

x x

70x

80

45x x

x

3x

2xOA C

B

10

+ = 90

+ = 180

1. ngulos complementarios:

Dos ngulos son complementarios, si la suma de sus medidas es igual a 90.

Si: y son ngulos complementarios,

Se cumple:

Complemento de un ngulo: Es lo que le falta a un ngulo, para ser igual a 90.

Sea x el ngulo, el complemento de x se define:

Cx = 90 - x

Complemento del ngulo x

2. ngulos Suplementarios:

Dos ngulos son suplementarios, si la suma de sus medidas es igual a 180

Si: y son ngulos suplementarios

Se cumple

3. Suplemento de un ngulo:

Es lo que le falta a un ngulo para ser igual a 180.

Sea x el ngulo, el suplemento de x se define:

Sx = 180 - x

Suplemento del ngulo x

Propiedad:

1. Sea C el complemento, luego

2. Sea S el suplemento, luego

PROBLEMAS PARA LA CLASE: NIVEL I 1. Calcular : CCC(23)

a) 67 b) 66 c) 65 d) 57 e) 77

2. Calcular : SSSSS(142)

a) 142 b) 38 c) 36 d) 40 e) 48

3. Calcular E = SSSCCC

Si: = CCCSSS140

a) 40 b) 50 c) 90 d) 140 e) 150

4. Calcular ; si : CCC=20

a) 70 b) 20 c) 10 d) 35 e) 80

5. Calcular ; si : SSSSS = 135

a) 35 b) 45 c) 55 d) 75 e) 135

NGULOS II

B

A O C

11

NIVEL II

6. De qu medida de un ngulo se debe restar su complemento para obtener 10.

7. suma del complemento y suplemento de la medida de cierto ngulo es igual a 130. Calcular la medida de dicho ngulo.

8. Si: C => complemento S => suplementos

Calcular: x = SSCSSCS100

9. Si: C => complemento

S => suplementos

Calcular: x = 7/2 CCq. Siendo:

SSSSSCCCSCCSq=3CCSCCS2q.

10. Calcular el suplemento de la suma de las medidas de dos ngulos, sabiendo que la suma entre el complemento de uno de ellos y el suplemento del otro es igual a 150.

11. Si a la medida de un ngulo se le resta su complemento resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ngulo.

12. Calcular la medida de un ngulo, sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10.

13. Si el doble del complemento de la mitad del suplemento del triple del complemento de la mitad de la medida de un ngulo es igual a 150. Calcular la medida de dicho ngulo.

14. Siendo:

CC2a+CCCC4a+CCCCCC6a++CCC....C2na=30a

Calcular: n

12

15. Si: C => Complemento S=>Suplemento

Calcular: x = Cq/3. Siendo:

SSCCCq=5/3 CSSC3q

NIVEL III

16. Un ngulo, cuya medida es . Se le resta su suplemento y se obtiene 42, Hallar el

valor de .

a) 84 b) 64 c) 42 d) 111 e) 121

17. Los suplementos de dos ngulos son ngulos complementarios, adems si al doble de uno de los ngulos se le resta el otro, resulta el doble de este ltimo. Calcular la medida del mayor ngulo.

a) 272 b) 108 c) 162 d) 62 e) 100

TAREA DOMICILIARIA 1. En la figura mostrada

= 3x 10 = 2x + 5

calcular el complemento de

2. En la figura mostrada = x + 8

= 3x + 4

= x 2

Hallar el suplemento de

3. Dos ngulos complementarios estn

en la relacin de 3 a 2. calcular la medida de cada uno de

estos ngulos.

4. En la figura mostrada = x + 5 = x + 20

= 4x + 10

= 100 x

Hallar el valor de:

5. En la figura mostrada

Es bisectriz de A0B

es bisectriz de B0C 6. la figura. mP0R = 120. Cunto

mide el ngulo R0S?

13

NGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS

Sea L1//L2

//: Se lee paralelo

CARACTERSTICAS:

1. NGULOS ALTERNOS: Se caracterizan por tener la misma medida.

Sea: L1//L2.

= m

= a

2. NGULOS CORRESPONDIENTES:

Se caracterizan por tener la misma medida.

Sea: L1//L2.

= m

= a

3. NGULOS CONJUGADOS:

Se caracterizan por ser, ngulos suplementarios:

Sea: L1//L2.

+ m = 180

+ a = 180

PROPIEDADES:

PROPIEDAD 1: Sea L1//L2. (Regla de Sarrus)

Se cumple: x = +

PROPIEDAD 2: Sea L1//L2. (Regla de Sarrus)

Se cumple: + + = a + b + c

NGULOS III

a

a

m

m

L1

L2

m

L1

L2

m

L1

L2

m

L1

L2

x

L1

L2

a

L1

L2

b

c

14

NGULOS CUYOS LADOS SON

PERPENDICULARES

CASO 1: Tienen igual medida si el vrtice de uno de ellos se encuentra en la parte externa del otro

=

=

CASO 2: Son ngulos suplementarios si el vrtice de uno de ellos se encuentra en la parte interna del otro.

+ = 180


En las siguientes grficas, calcular: x

1. L1//L2

2. L1//L2

3. L1//L2

4. L1//L3

NIVEL II

5. L1//L2

6. L1//L2

L1

L250

30

x

L1

L2160

100

x

L1

L230

140

x

L1

L2

160

150

x

L1

L280

x

L1

L270

x

15

7. L1//L2

8. L1//L2

9. L1//L2

10. L1//L2//L3

11. L1//L2//L3

12. L1//L2 ; L3//L4

13. L1//L2

14. L1//L2//L3

15. L1//L2

L1

L2

130

x

L1

L2

130

x

L1

L2120

40

x

L1

L3

L13

2

x

L1

L3

L2

x

4

2

L1

L2

L2

L3 x

36

L1

L2

x

70

L1

L3

40x

100

L2

L1

L2

x

3x

x

16

TAREA DOMICILIARIA

1. En la figura // . Aplicando las propiedades que conoces calcula todos los ngulos que faltan.

2. En la figura // . Aplicando las

propiedades que conoces calcula todos los ngulos que faltan.

3. En la figura // . Aplicando las propiedades que conoces calcula todos los ngulos que faltan.

4. En la figura identifica qu tipo de parejas son los ngulos marcados y escribe la propiedad que le corresponde, sabiendo que:

// .

5. En la figura identifica qu tipo de

parejas son los ngulos marcados y escribe la propiedad que le

corresponde, sabiendo que: // .

6. En la figura identifica qu tipo de parejas son los ngulos marcados y escribe la propiedad que le

corresponde, sabiendo que: // .

TRINGULOS I

17

+ + = 180

W = +

+ + = 360

1. DEFINICIN: Es aquella figura geomtrica

formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

Notacin: Tringulo ABC: ABC

Elementos:

Vrtices: A, B y C

Lados: ACyBC,AB

ngulos Internos: , ,

ngulos Externos: , , Permetro (2P): Es la suma de las

longitudes de los lados del tringulo 2P = a + b + c

Semipermetro (P): Es la semisuma de las longitudes de los lados del tringulo.

2

cbaP

2. PROPIEDADES FUNDAMENTALES:

i) En todo tringulo, la suma de medidas de los ngulos internos es 180.

ii) En todo tringulo, la medida de un

ngulo exterior es igual a la suma de medidas de los ngulos interiores no adyacentes a l.

W: ngulo exterior

iii) En todo tringulo, la suma de medidas de

los ngulos exteriores considerando uno por cada vrtice es 360

iv) En todo tringulo, la longitud de un lado

est comprendida entre la diferencia y suma de las longitudes de los otros dos lados. (Relacin de existencia).

Sea: a > b > c

a b < c < a + b

v) Relacin de correspondencia. En todo tringulo el ngulo interior de mayor medida se opone al lado de mayor longitud y viceversa.

Si: > >

a > b > c


1. Dos ngulos internos de un tringulo

miden 60 y 80. Calcular la medida del

tercer ngulo interno y clasificarlo.

A

B

C

b

ca

Reginexterior

Regininterior

18

2. Dos ngulos internos de un tringulo miden 30 y 70. Calcular el tercer ngulo interno del tringulo y clasificarlo.

3. Dos ngulos internos de un tringulo miden

20 y 100. Calcular la medida del tercer ngulo interno y clasificarlo.

4. En un tringulo rectngulo un ngulo interno

mide 50. Calcular el otro ngulo. 5. En un tringulo rectngulo un ngulo interno

mide 20. Calcular el otro ngulo.

6. En un tringulo dos de sus ngulos miden 70

y 40. Calcular el tercer ngulo y clasificar a dicho tringulo.

7. Dos ngulos de un tringulo miden 75 y 15.

Calcular el tercer ngulo y decir de qu tipo es el tringulo.

8. Dos ngulos de un tringulo miden 80 y 20.

Calcular el tercer ngulo y decir el tipo de tringulo.

9. En un tringulo rectngulo un ngulo mide

55. Calcular el tercer ngulo interno y clasificar el tringulo.

10. En un tringulo rectngulo un ngulo mide 45. Calcular el ngulo interno faltante y clasificar dicho tringulo

NIVEL II

19

11. Hallar la suma de los valores que admite el lado desconocido

a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

e) 3

12. graficar el tringulo de lados 1; 2 y 3 cm, comprobando si existe o no.


14. graficar el tringulo de lados 6; 7 y 15 cm,

comprobando si existe o no.



TAREA DOMICILIARIA

1. Calcule el valor de x, en:

A) 10 B) 15 C) 20

D) 30 E) 40

2. Calcule la medida del ngulo PQR

A) 60 B) 65 C) 70

D) 80 E) 90

3. En la figura, calcule el valor de x.

A) 30 B) 50 C) 60

D) 70 E) 80


A) 100 B) 105 C) 120

D) 140 E) 150


A) 120 B) 150 C) 160

D) 170 E) 180


A) 110 B) 115 C) 120

D) 130 E) 140

TRINGULOS II

4a

6a

8a P

Q

R

2x

3x

4x

x+20

x+10

x

x

100

40

130

120

x

60 x

20

+ = m + n

+ = m + n

x = + +

AB = BC = AC

AB = BC AC

1. PROPIEDADES DERIVADAS: a) Propiedad: Regla de la mariposa:

b) Propiedad: Regla de la cometa

c) Propiedad: Cuadriltero cncavo

d) Propiedad:

2x

e) Propiedad:

2x

2. CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS 2.1 Segn sus lados:

i. Tringulo equiltero: Tiene

sus lados de igual longitud.

A=B = C=60

ii. Tringulo issceles: Tiene dos lados de igual longitud.

A =C B

iii. Tringulo escaleno: No tiene lados de igual longitud.

AB BC AC

A B C

2.2 Segn sus ngulos internos: a) Tringulo Acutngulo: Es aquel

cuyos ngulos internos son agudos.

21

BCyAC : catetos

AB : hipotenusa Se cumple: + = 90

Teorema de Pitgoras:

a2+b2=c2 c2=a2+b2

c) Tringulo Obtusngulo: Es aquel que tiene un ngulo obtuso y dos ngulos agudos.

Obtuso Agudo Agudo

22


A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80


A) 40 B) 55 C) 60 D) 75 E) 90


A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50


A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 40

13. En un tringulo issceles uno de los ngulos

iguales mide 65. Calcular el tercer ngulo interno.

14. En un tringulo dos ngulos internos miden

74 y 46. Calcular la medida del tercer ngulo interno.

15. En un tringulo dos ngulos internos miden

27 y 53. Calcular la medida del tercer ngulo exterior.

16. En un tringulo issceles el ngulo opuesto a la base mide 36. Calcular las medidas de los otros dos ngulos.

17. En un tringulo issceles el ngulo opuesto

a la base mide 118. Calcular las medidas de los otros dos ngulos.

TAREA DOMICILIARIA 1. calcular alfa

2. Calcular x

3. Calcular alfa

4. Calcular beta

5. calcular theta

NGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES:

60

70

x

50

80

10

130

25 45

TRINGULOS III

45

20 x

50

x

x

30

54

x

23

5.1 Angulo formado por dos bisectrices

interiores:

2

w90x

5.2 Angulo formado por dos bisectrices exteriores:

2

w90x

5.3 Angulo formado por una bisectriz interior y exterior:

2

wx

a) Propiedad:

2x

b) Propiedad:

2x


1. Calcular el valor de "x", de la figura mostrada.



4. Del grfico, calcular el valor de "x".

5. En la figura, calcular el valor de "x"

x

x

a a bb

x 80

2

2

3x 156

x

32

40

152

34

x

2

2

54

x

24

6. En al figura, calcular el valor de "x".

7. En al figura, calcular el valor de "x".




NIVEL II

11. En un tringulo ABC: 230C2BA .

Calcule C .

12. calcular x

13. calcular x

14. calcular x

TAREA DOMICILIARIA

1. Calcule en el siguiente grfico



4. Calcule x en el siguiente grfico

x

19

25

25

/2

/2

24

x

x

100

130

x

x

54

A C

B140x

A C

B

160

x

x

A

B 50

C

A

B

C

100

D

80

A

B

E

C

A

B

C

T

66

25

5. En el grfico, calcule x

TRINGULOS IV

A

B

C

40

140

x

70

30

A

B

D

E

x

C

26

TEOREMA DE PITGORAS TRINGULOS RECTNGULOS

NOTABLES


01. Calcular el valor numrico de x en:






NIVEL II



9. Calcular BM , si AH=10

10. Calcular, si AP=5

11. En un tringulo ABC, mBAC=23 y

2AB=5BC. Calcular mACB

12. calcular AB+CD, si AM=MD=12

X

15

8

13

X

12

12 3

X

30

7 2

45

X

8 3

60

X

X

10

37

B

45 37

X

CA28

B

30 45

X

CA

18

B

30

H CA

M

P

H

37A

B

C

45

45

a a

a

45

a 2a

60

30

a

3a

4a

5a 53

37

27

13. Si: AC=16m. calcular el permetro del

tringulo ABE

14. calcular AD, si: BC=5 3

15. calcular HQ, si AC=36

TAREA DOMICILIARIA

01. En el grfico calcule x en



04. Calcule AD, si: BC=5 3 u

DA

B

C

M

53

53

B

23CA

E

30

B

CA

D

30

37

B

30

H CA

Q

TRINGULOS V

A B

12

C

30

x

A B

15

C

37

x

A B

20

C

45

x

B

A C

D

37

30

28

TRINGULOS RECTNGULOS NOTABLES 1. Tringulo Rectngulo de 53/ 2 = 26,5 =

2630

2. Tringulo Rectngulo de 37/ 2 = 18,5= 1830

3. Tringulo Rectngulo de 16 y 74



PROBLEMAS PARA LA CLASE:

NIVEL I





NIVEL II


11. Calcular el valor numrico de x en

12. Calcular x, si: AC=24

13. Calcular AD , en:

14. Calcular BC, Si: AD=BD y CD=12

15. Hallar , si CD=2AB

X2 10

37/2

X3 5

53/2

X2 7

14

X25

16

B

8 14

X

CA33

B

53/2 37/2

4 10

CAX

B

15

HCA

X

B

15CA D

30

18

D

37/2A

B

C

a a

2a 2630

a a

3a 1830

7a 25a

24a

74

16

a a

4a

14

76

a 5 a

7a 8

82

29


2AB=5BC. Calcular mACB


mBCA=15, se traza la mediana (M

C ). Hallar la mMBC.

18. Hallar AB+CD, si AM=MD=12

TAREA DOMICILIARIA

1. En el grfico calcule h en

2. Calcule: AB, si AD=10u y BC=2 2 u

3. Si la proyeccin de BC sobre AC mide

24. Calcule AB

4. Calcule HQ. Si: AC=72 cm

D

A

B C

BM

DA

B

C

M

53

53

15

h

A H C24

A D

CB

135135

30

B

AC30

37

30

A H C

Q

B

1Â°.pdf

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