18.trig_s18_ecuaciones e inecuaciones trigonométricas

5/24/2018 18.Trig_S18_Ecuaciones e Inecuaciones Trigonomtricas

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ECUACIONES E INECUACIONESTRIGONOMTRICAS

TRIGONOMETRA - TEMA 18

En esta parte del curso se utilizar todo lo aprendido anteriormente ya que para resolver una ecuacin o inecuacin trigonomtrica

es necesario emplear las identidades en todas sus formas, as como tambin las grcas de las funciones, tal como veremos

en el desarrollo del tema.

I. ECUACIONES TRIGONOMTRICAS

A. Definicin Son igualdades establecidas entre expresiones que

involucran razones trigonomtricas de una o ms

variables (expresiones trigonomtricas), las cuales

se verican para cierto nmero de valores de dichasvariables.

Para que una igualdad sea considerada una ecuacin

trigonomtrica, la variable o incgnita, deber estar

afectada de algn operador trigonomtrico.

B. Soluciones de la ecuacin trigonomtrica A todo valor de la variable o incgnita que verique la

igualdad planteada se le llamar solucin de la ecua-

cin y al conjunto formado por todas las soluciones de

la ecuacin se le llamar conjunto solucin de dicha

ecuacin.

Dada la ecuacin

Sus soluciones sern:

Dada la ecuacin

Sus soluciones sern:C. Resolucin de ecuaciones trigonomtricas Resolver una ecuacin trigonomtrica consiste en

determinar todas sus soluciones; es decir, determinarsu conjunto solucin, para lo cual se emplear lacircunferencia trigonomtrica como herramienta deanlisis, as como tambin la grca de las funciones

presentes en la igualdad.

Aplicacin

Resuelva la ecuacin:

Resolucin:

Ubicamos en la C.T. todos los arcos que veriquemos la

igualdad; es decir todos los arcos cuyo seno es

, igualando 2x a estos valores de donde se despejar los

valores de x que son las soluciones de la ecuacin

planteada.

Aplicacin


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Resuelva la ecuacin:

Resolucin:

Se graca cada uno de los miembros de la ecua-

cin como una funcin independiente; es decir gra-

camos:

Para luego buscar las intersecciones que es donde se

cumple la igualdad: , siendo las abscisas

de estos puntos las soluciones de dicha ecuacin.

Algunos valores de x que cumplen la igualdad

son: x1, x2, x3, x4, ..., los cualesse calculan del modo siguiente:

D. Ecuaciones tr

igonomtricas elementales

Se llamar asi a aquellas igualdades en las cuales se

conoce el valor de alguna razn trigonomtrica y son

de la forma:

Donde:

x : variable o incgnita

w : coeciente angular

n : valor de la rt

E. Expresiones generales para los arcos Cuando se conoce el valor de una razn trigonomtrica

(ecuacin elemental), el arco o ngulo que cumple conla igualdad se puede generalizar buscando la regla de

formacin existente entre las soluciones de la ecuacin,

siendo estas formas generales las siguientes:

Para resolver ecuaciones no elementalesse le debe reducir a una o ms ecuaciones

Aplicacin Resuelva e indique la solucin general de la ecuacin:

Resolucin:

Igualamos la variable angular (4x) a la forma general

correspondiente, de donde se despejar el valor de x

que ser la solucin general de la igualdad:

De donde:

Solucin general

Aplicacin:

Resuelva e indique la solucin general de la ecuacin:

Resolucin:

Igualamos la variable angular a la forma

general correspondiente, de donde se despejar elvalor de x que ser la solucin general de la igualdad:

De donde:

SUGERENCIAS :


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solucin general

II. INECUACIONES TRIGONOMTRICAS

A. Definicin

Son relaciones de orden establecidas entre expresio-nes que involucran razones trigonomtricas de una

o ms varibales (expresiones trigonomtricas), las

cuales se verican para ciertos intervalos de valores

de dichas variables.

Para que una inecuacin sea considerada como una

inecuacin trigonomtrica, la variable o incgnita deber

estar afectada de algn operador trigonomtrico.

B. Soluciones de la inecuacin trigonomtrica A todo valor o intervalo de valores de la variable o in-

cgnita que verique la relacin planteada se llamar

solucin de la inecuacin y al conjunto formado por

la unin de todas las soluciones de la ine-cuacin se

le llamar conjunto solucin de dicha inecuacin.

Dada la inecuacin

Sus soluciones sern:

C. Resolucin de inecuaciones trigonomtricas Resolver una inecuacin trigonomtrica consiste en

determinar todas sus soluciones; es decir determinar

su conjunto solucin, para lo cual se utilizar la circun-

ferencia trigonomtrica como herramienta de anlisis

en la cual se observar el recorrido del arco que verica

la inecuacin, as como tambin se emplear la grca

de las funciones presentes en la relacin planteada y

sus respectivas intersecciones.

Aplicacin:

Resuelva la inecuacin:

Resolucin:

Ubicamos en la C.T. el recorrido del arco que verica

la relacin, es decir todo el recorrido donde sen2x

sea mayor o igual que cero, colocando 2x en dicho

recorrido, de donde se despejar el intervalo de x que

nos representar la solucin de la relacin planteada.

Aplicacin

Resuelva la inecuacin:

Se graca cada uno de los miembros de la ine-

cuacin como una funcin independiente; es

decir gracaremos: ; paraluego buscar las intersecciones que es donde se

cumple la igualdad: ; siendo las

abscisas de estos puntos los extremos de los

intervalos que verican la inecuacin planteada.

Algunos valores de x que cumplen la igualdad

son: x1; x2, x3, x4, ...; los cualesse calculan del modo siguiente:


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Los intervalos de x correspondientes a las regiones

sombreadas son las soluciones de la inecuacin

ya que en estos intervalos se cumple la relacin:

Para generalizar la solucin de una inecuacin trigo-

nomtrica se generaliza los extremos del recorrido

del arco que verifica la relacin.

Otra forma de generalizar las soluciones de unainecuacin trigonomtrica es determinar una solu-cin de la inecuacin (la ms elemental posible) ysumar a los extremos de dicha solucin mltiplos

Problema 1

Resuleva la ecuacin

Nivel fcil

A)

B)

C)

D)

E)

Resolucin:

Degradamos 2Sen2x y expresamos todo

en trminos del Cos2x:

efectuando:

Cos22x + Cos2x = 0

Cos2x (Cos2x + 1) = 0

Cos2x = 0

Cos2x = 1

Respuesta: C)

Problema 2

Determine la solucin general de la

ecuacin:

Sen 5x Sen3x + Senx = 0

Nivel intermedio

A)

B)

C)

D)

E)

Resolucin:

Factorizando la expresin por transfor-

maciones trigonomtricas:

SUGERENCIAS :

SUGERENCIAS :


5/8

Cos2x = 1/2

Respuesta: A)

Problema 3

Resuelva la ecuacin e indique su con-

junto solucin; siendo:

Nivel difcil

A)

B)

C)

D)

E)

Resolucin:

Efectuando y ordenando se tendr:

Aplicando la propiedad:

donde:

; ,+a y bes agudo.

En la igualdad:

Respuesta: B)

NIVEL I

1. Resuelva la ecuacin:

cos5x + cosx = cos3x

Indique como respuesta el nmero

de soluciones para .

A) 6

B) 9

C) 8

D) 9

E) 10

2. Resuelva la ecuacin :

A)

B)

C)

D)

E)

3. Calcule la suma de soluciones para

, siendo la ecuacin:

A) B)

C) D)

E)

4. Resuelva la ecuacin


6/8

A)

B)

C)

D)

E)


sen4x + 3sen2x = tanx

A)

B)

C)

D)

E)

6. Resolver la ecuacin para :

sen2x + 4senx + 4cosx + 1 = 0

A)

B)

C)

D)

E)


4cos23x 3 = cos26x

A)

B)

C)

D)

E)

NIVEL II

8. Resuelva la inecuacin :

A)

B)

C)

D)

E)

9. Resuelva la inecuacin para

A)

B)

C)

D)

E)


2senx secx > 0

A)

B)

C)

D)

E)


A)

B)

C)

D)

E)

12. Resuelva la inecuacin:

para .

A)

B)

C)

D)

E)

13. Resuelva la ecuacin en el intervalo

de .

sen2x senx < 0

A)

B)

C)

D)

E)

14. Resuelva para

sen4x > 4senx sen2x sen3x

A)

B)

C)


7/8

D)

E)

15. Si:

indique la cantidad de valores po-

sitivos y menores que una vuelta

asu-me x en el segundo cuadrante.

A) 46 B) 47

C) 48 D) 49

E) 50

NIVEL III

16. Resuelva la ecuacin :

A)

B)

C)

D)

E)

17. Resuel va la ecuacin :

A)

B)

C)

D)

E)

18. Resuelva la inecuacin :

A)

B)

C)

D)

E)

19. Resuelva para :

sen2x + senx > cos2x + cosx

A)

B)

C)

D)

E)


A)

B)

C)

D)

E)

1. Qu son las soluciones de una ecuacin?

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

2. En qu consiste la resolucin de una ecuacin?

__________________________________________ __________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

3. Resuelva e indique las dos menores soluciones positivas

de la ecuacin:

__________________________________________

4. Resuelva e indique las dos mayores soluciones negativas

de la ecuacin:


8/8

__________________________________________

5. Seale la cantidad de soluciones de la ecuacin: senx + cosx = 1

para .

__________________________________________

6. Qu son las soluciones de una inecuacin?

__________________________________________

__________________________________________

7. En qu consiste la resolucin de una inecuacin?

__________________________________________

__________________________________________

_________________________________________

__________________________________________

8. Resuelva e indique el intervalo ms simple de la inecuacin:

__________________________________________

9. Resuelva la inecuacin para :

__________________________________________

10. Resuelva la inecuacin para : tanx < senx

__________________________________________

EDITADO POR SEBAS....S.A.C

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