Índice - utsv.com.mxutsv.com.mx/images/formulario.pdf · transformada de laplace 17 fórmulas...
TRANSCRIPT
2
ÍNDICE
Tema Pag.
Geometría 3
Trigonometría 4
Números Complejos 4
Geometría Analítica del Espacio 5
Reglas Generales de Derivación 7
Tablas de Integrales 9
Vectores 13
Integrales Dobles 15
Transformada de Laplace 17
Fórmulas Misceláneas 18
Series de Fourier 19
3
Área de la superficie lateral
GEOMETRÍA
Volumen r h2
Área de la superficie lateral 2rh
r
h
Volumen 13
2r h
Área de la superficie lateral r r h r l2 2
h
r
l
Volumen 43
3r
Área de la Superficie 4 2 r
r
Volumen 1
32 2 h a ab b
a b h b a
a b l
2 2
h
a
b
l
4
TRIGONOMETRÍA
sen cos2 2 1A A sen cos2 12
12 2A A
sec tan2 2 1A A cos cos2 12
12 2A A
csc cot2 2 1A A sen sen cos2 2A A A
tansen
cosA
A
A cos cos sen2 2 2A A A
cotcos
senA
A
A sen sen cos cos senA B A B A B
sen cscA A1 cos cos cos sen senA B A B A B
cos secA A1 BA
BABA
tantan1
tantantan
tan cotA A1 sencosA A
2
1
2
sen sen A A cos
cosA A
2
1
2
cos cos A A sen sen cos cosA B A B A B 1
2
AA tantan sen cos sen senA B A B A B 1
2
cos cos cos cosA B A B A B 1
2
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B,
C.
Ley de los senos a
A
b
B
c
Csen sen sen
Ley de los cosenos
c a b ab C2 2 2 2 cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
BA
BA
ba
ba
21
21
tan
tan
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b
NÚMEROS COMPLEJOS
Siendo p un número entero cualquiera, el teorema de De Moivre establece que
r i r p i pp pcos sen cos sen
Sea n cualquier entero positivo, entonces
r i r in n kn
kncos sen cos sen
1 1 2 2
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las raíces n-ésimas distintas de un número
complejo haciendo 1,,2,1,0 nk
5
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO
Considerando 1 1 1 1, ,P x y z y 2 2 2 2, ,P x y z
Vector que une P1 y P2 :
1 2 2 1 2 1 2 1, , , ,P P x x y y z z l m n
Distancia entre dos puntos:
d x x y y z z l m n 2 1
2
2 1
2
2 1
22 2 2
Recta que pasa por dos puntos:
- Forma Paramétrica: x x l t 1
y y mt 1 z z nt 1
-Forma Simétrica:
tx x
l
1 ty y
m
1 tz z
n
1
Cosenos Directores:
cos
x x
d
l
d
2 1 cos
y y
d
m
d
2 1 cos
z z
d
n
d
2 1
donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte
positiva de los ejes x, y, z respectivamente.
cos cos cos2 2 2 1 o l m n2 2 2 1
Ecuación del Plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a
1 2 3, , :
a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0
-Forma General: Ax By Cz D 0
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
𝑑 =|𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐷|
√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
6
Coordenadas esféricas:
x r
y r
z r
sen cos
sen sen
cos
r x y z
tany
x
z
x y z
2 2 2
1
12 2 2
cos
z
y
x
y
P (r,{
(x,y,z)
O
z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano:
tan
m m
m m
2 1
1 21
Coordenadas cilíndricas:
x r
y r
z z
cos
sen
r x y
tan
z z
y
x
2 2
1
r
z
y
x
y
z
P(x,y,z)(r,z){
x
O
7
REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN
d
dxc( ) 0
d
dxcx c
d
dxcx ncxn n 1
d du dv
u vdx dx dx
d
dxcu c
du
dx
d
dxuv u
dv
dxv
du
dx
d
dx
u
v
v dudx u dv
dx
v
2
d
dxu nu
du
dxn n 1
dF
dx
dF
du
du
dx (Regla de la cadena)
du
dx dxdu
1
dF
dx
dFdu
dxdu
8
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
d
dxu
e
u
du
dxa aa
aloglog
, 0 1
d
dxu
d
dxu
u
du
dxeln log
1
d
dxa a a
du
dx
u u ln
d
dxe e
du
dx
u u
d
dxu
d
dxe e
d
dxv u vu
du
dxu u
dv
dx
v v u v u v v ln ln ln ln1
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
dxu u
du
dxsen cos
d
dxu u
du
dxcot csc 2
d
dxu u
du
dxcos sen
d
dxu u u
du
dxsec sec tan
d
dxu u
du
dxtan sec 2
d
dxu u u
du
dxcsc csc cot
d
dxu
u
du
dxusen sen
1
2 2
1
2
1
1
d
dxu
u
du
dxucos cos
1
2
11
10
d
dxu
u
du
dxutan tan
1
2 2
1
2
1
1
d
dxu
u
du
dxucot cot
1
2
11
10
usi
usi
dx
du
uudx
du
uuu
dx
d1
2
2
1
22
1
sec
sec0
1
1
1
1sec
0csc
csc0
1
1
1
1csc
1
2
2
1
22
1
usi
usi
dx
du
uudx
du
uuu
dx
d
9
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
dxu u
du
dxsenh cosh
d
dxu u
du
dxcoth csc h2
d
dxu u
du
dxcosh senh
d
dxu u u
du
dxsec sec tanhh h
d
dxu u
du
dxtanh sec h2
d
dxu u u
du
dxcsc csc cothh h
d
dxu
u
du
dxsenh-1
1
12
d
dxu
u
du
dx
si u u
si u ucos
cosh ,
cosh ,h-1
1
1
0 1
0 12
1
1
d
dxu
u
du
dxutanh
1
2
1
11 1
d
dxu
u
du
dxu o ucoth
1
2
1
11 1
d
dxu
u u
du
dx
si u u
si u usec
sec ,
sec ,h
h
h
-1
1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
d
dxu
u u
du
dx u u
du
dxsi u si ucsc ,h-1
1
1
1
10 0
2 2
TABLAS DE INTEGRALES
udv uv v du csc cot cscu udu u C
u dun
u C nn n
1
111 Cuduu seclntan
du
uu C ln
cot ln senudu u C
e du e Cu u Cuuduu tanseclnsec
a dua
aCu
u
ln
csc ln csc cotudu u u C
sen cosudu u C du
a u
u
aC
2 2
1
sen
Cuduu sencos
Ca
u
aua
du 1
22tan
1
Cuduu tansec2 du
u u a a
u
aC
2 2
11
sec
10
csc cot2 udu u C du
a u a
u a
u aC2 2
1
2
ln
Cuduuu sectansec
du
u a a
u a
u aC2 2
1
2
ln
a u
udu
ua u
u
aC
2 2
2
2 2 11
sen u a duu
u aa
u u a C2 2 2 2
2
2 2
2 2 ln
u du
a u
ua u
a u
aC
2
2 2
2 2
2
1
2 2 sen u u a du
uu a u a
au u a2 2 2 2 2 2 2
4
2 2
82
8 ln C
du
u a u a
a a u
uC
2 2
2 21
ln
u a
udu u a a
a
uC
2 2
2 2 1
cos
du
u a u a ua u C
2 2 2 2
2 21
u a
udu
u a
uu u a C
2 2
2
2 2
2 2
ln
a u duu
u a a ua u
aC2 2
32 2 2 2 2
4
1
82 5
3
8 sen
du
u au u a C
2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 23
2 2 2 2
Cauua
auu
au
duu 222
22
22
2
ln22
udu
a bu ba bu a a bu C
12 ln du
u u a
u a
a uC
2 2 2
2 2
2
u du
a bu ba bu a a bu a a bu C
2
3
2 21
24 2
ln
du
u a
u
a u aC
2 23
2 2 2 2
a u duu
a ua
u a u C2 2 2 2
2
2 2
2 2 ln
du
u a u a
a u a
uC
2 2
2 21
ln
u a u duu
a u a ua
u a u C2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
82
8 ln du
u a u
a u
a uC
2 2 2
2 2
2
a u
udu a u a
a a u
uC
2 2
2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 2 3 2 2 2 2
/
a u
udu
a u
uu a u C
2 2
2
2 2
2 2
ln
a u du2 2
a u duu
a ua u
aC2 2 2 2
2
1
2 2 sen
du
a uu a u C
2 2
2 2
ln u a u du
uu a a u
a u
aC2 2 2 2 2 2 2
4
1
82
8 sen
u du
a u
ua u
au a u C
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 ln
a u
udu a u a
a a u
uC
2 2
2 2
2 2
ln
11
du
u a bu a
u
a buC
1ln
u du
a bu ba b u abu a bu
2
3
2 2 22
158 3 4
du
u a bu au
b
a
a bu
uC2 2
1
ln
du
u a bu a
a bu a
a bu aC a
10ln , si
2
01
a
a bu
aC atan , si
a bu
udu
a bu
u
b du
u a bu
2 2
udu
a bu
a
b a bu ba bu C
2 2
1ln
u a bu du
b nu a bu na u a bu dun n n
2
2 3
32 1
du
u a bu a a bu a
a bu
uC
2 2
1 1ln
u du
a bu
u a bu
b n
na
b n
u du
a bu
n n n
2
2 1
2
2 1
1
Cbuaa
bua
abua
bbua
duuln2
1 2
32
2
du
u a bu
a bu
a n u
b n
a n
du
u a bun n n
1
2 3
2 11 1
u a budub
bu a a bu C 2
153 22
32
csc csc cot ln csc cot3 12
12udu u u u u C
udu
a bu bbu a a bu
2
322 sen sen cos senn
nn nudu u u
n
nudu
1 1 2
1
sen sen2 1
2
1
4 2udu u u C cos cos sen cosnn
n nudu u un
nudu
1 1 2
1
cos sen2 12
14 2udu u u C
duuu
nduu nnn 21 tantan
1
1tan
Cuuduu tantan 2 cot cot cotn n nudu
nu udu
1
11 2
Cuuduu cotcot2 sec sec secn n nudu
ntanu u
n
nudu
1
1
2
12 2
sen sen cos3 13
22udu u u C
cos cos sen3 13
22udu u u C csc cot csc cscn n nudun
u un
nudu
1
1
2
12 2
Cuuduu coslntantan 2
2
13
sen sen
sen senau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
cot cot ln sen3 12
2udu u u C
cos cos
sen senau budu
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
sec sec ln sec3 12
12u du u tanu u tanu C u udu u u n u udun n ncos sen sen 1
sen cos
cos cosau bu du
a b u
a b
a b u
a bC
2 2
12
u udu u u u Csen sen cos
u u du u u u Ccos cos sen
sen cosn mu udu
sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
n
n mu udu
1 1
21
sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
m
n mu udu
1 1
21
u udu u u n u udun n nsen cos cos 1
u u duu
uu u
Ccos cos
1
2
1
22 1
4
1
4
Cu
uu
duuu2
tan2
1tan 1
21
sen sen 1 1 21udu u u u C u udun
u uu du
unn n
n
sen sen ,
1 1 1
1
2
1
1 11
cos cos 1 1 21udu u u u C u udu
nu u
u du
unn n
n
cos cos ,
1 1 1
1
2
1
1 11
Cuuuduu 2
2
111 1lntantan
1,
1tan
1
1tan
2
1111 n
u
duuuu
nduuu
nnn
u u duu
uu u
Csen sen
1
2
1
22 1
4
1
4
ln lnudu u u u C
ue dua
au e Cau au 1
12
u u duu
nn u Cn
n
ln ln
1
21
1 1
u e dua
u en
au e dun au n au n au
11
1
u udu u C
lnln ln
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
sen sen cos
2 2 Cuduu
2
1tanlnsech
e bu due
a ba bu b bu Cau
au
cos cos sen
2 2 Cuduu tanhsech2
senh coshudu u C Cuduuu sechtanhsech
cosh senhudu u C Cuduuu cschcothcsch
coth ln senhudu u C Cutanduu senhsech 1
22
22
2 2
2
1au u duu a
au ua a u
aC
cos
du
a u u
a u
aC
2 2
1
cos
u au u duu au a
au ua a u
aC2
2 3
62
22
2
2
3
1
cos
udu
au ua u u a
a u
aC
22
2
2 1
cos
22
2
2
2 1a u u
udu a u u a
a u
aC
cos
du
u a u u
a u u
a uC
2
2
2
2
2 2 22
2
2
1a u u
udu
a u u
u
a u
aC
cos
13
Ca
uaauau
au
uau
duu 12
2
2
2
cos2
32
2
3
2
VECTORES
Producto escalar:
0;cosBABA donde es el ángulo formado por A y B
1 1 2 2 . n nA B A B A B A B donde 1 2, , nA A AA y 1 2, , nB B BB
Producto vectorial:
321
321
kji
BBB
AAA
AxB donde
kji 321 AAAA y
kjiB 321 BBB
kji ˆˆˆ122131132332 BABABABABABA
Magnitud del Producto Cruz senBAAxB
Operadores vectoriales:
El operador nabla se define así:
zyx
kji
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A(x,y,z) tienen
derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U
kjikji
z
U
y
U
x
UU
zyxU
Divergencia de A = div A
kjikjiA 321 AAAzyx
A
x
A
y
A
z
1 2 3
14
Rotacional de A = rot A
kjixkjixA 321 AAAzyx
321
kji
AAA
zyx
A
y
A
z
A
z
A
x
A
x
A
y
3 2 1 3 2 1i j k
Laplaciano de U = 2
2
2
2
2
22
z
U
y
U
x
UUU
15
INTEGRALES DOBLES
F x y dydxy f x
f x
x a
b
,( )
1
2
F x y dy dx
y f x
f x
x a
b
,( )
1
2
F x y dxdyx g y
g y
y c
d
,( )
1
2
F x y dx dyx g y
g y
y c
d
,( )
1
2
Longitud de curva en a t, :
s s t r t dta
t
( ) ( )
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario
t tr t
r t( )
( )
( )
t s r s( ) ( )
Vector normal principal
)()()( tttbtn
x
n sr s
r s( )
( )
( )
Vector binormal )(
)()(
trr
trrtb
x
x
b sr s r s
r s( )
( ) ( )
( )
x
Los vectores unitarios t n b, , guardan la relación x , x , xb t n n b t t n b
Recta tangente en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
r r t r t 0 0
x x
x
y y
y
z z
x
0
0
0
0
0
0
Plano osculador t n, en t0
Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
0× 000 trtrtrr
x x y y z z
x y z
x y z
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
Curvatura y Torsión
23x
xx
trtr
trtrtrt
tr
trtrt
s r s
23
]))('(1[
)(''
2xf
xf
16
Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0
Plano Rectificante t b, en t0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t n t 0 0 0
x x y y z z
x y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
aT a Ta
.
aN a N
x a
.
Propiedades de la Divergencia
I) div (
F +
G ) = div (
F ) +div (
G )
II) div (
F ) = div(
F ) + ( grad )
F
III) div (
F +
G ) = G rot (
F ) -
F rot (
G )
17
TRANSFORMADA DE LAPLACE
0
)()}({ dttfetf tsL
No f(t) F(s)
1 C (constante) s
C
2 tn 1
!ns
n, n = 0 y n N
3 tn 1
)1(
ns
n, n > -1
4 eat as
1
5 senhat 22 as
a
6 coshat 22 as
s
7 senkt 22 ks
k
8 coskt 22 ks
s
9 )(tfeat )( asF
10 )()( atUatf )(sFe as
11 )(tft n )()1( )( sF nn
12 t
tf )(
s
dppF )(
13 )()( tf n )0(...)0(')0()( )1(21 nnnn ffsfssFs
14 t
df0
)( s
sF )(
15
t
dtgfgf0
)()( )()( sGsF
16 )(tf . Función periódica de
periodo T
T
st
sTdtetf
e0
)(1
1
17 )(t 1
18 )( 0tt ste 0
18
FÓRMULAS MISCELÁNEAS
Área limitada por una curva 𝒓 = 𝒇(𝜽), 𝜽 ∈ [𝜶, 𝜷]
df )(
2
1 2
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para Rt
ttax sen tay cos1
Trabajo W b
ardF
Longitud de arco de y f x en a b y dxa
b
, ( ) 1 2
R
dAyxm , R
x dAyxyM , R
y dAyxxM ,
Centro de gravedad de una región plana
b
a
b
a
dxxf
dxxxfx
)(
)(,
b
a
b
a
dxxf
dxxf
y)(
)(2
1 2
Longitud de arco en forma paramétrica
dt
dt
dy
dt
dxL
22
Momento de inercia de R respecto al origen R
o dAyxyxI ,22
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
xdxfxFSb
a
2)(1)(2
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
b
atdtftV )(2
Cálculo del volumen b
a
dxxfV2
Ecuación del resorte helicoidal r t t tt
( ) cos ,sen ,2
Derivada direccional D f x y z f x y zu
, , , , u (
u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC
q E t 1
Fuerza ejercida por un fluído dyyLyFb
a)(
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g 2 20
19
SERIES DE FOURIER
Serie de Fourier para una función suave a tramos en [-L, L]
1
0 sincos2
)(n
nnL
xnb
L
xna
axf
Donde
L
L
dxxfL
a )(1
0
L
L
n dxL
xnxf
La
cos)(
1
L
L
n dxL
xnxf
Lb
sin)(
1
Serie de Fourier para una función par en [-L, L]
1
0 cos2
)(n
nL
xna
axf
Donde
L
dxxfL
a0
0 )(2
L
n dxL
xnxf
La
0
cos)(2
Serie de Fourier para una función impar en [-L, L]
1
sin)(n
nL
xnbxf
Donde
L
n dxL
xnxf
Lb
0
sin)(2
Serie de Fourier para una función definida en [0, L]
a) Serie de Cosenos
1
0 cos2
)(n
nL
xna
axf
Donde
L
dxxfL
a0
0 )(2
L
n dxL
xnxf
La
0
cos)(2
b) Serie de Senos
1
cos)(n
nL
xnbxf
Donde
L
n dxL
xnxf
Lb
0
sin)(2
Serie Compleja de Fourier en [-L, L]
L
xni
eCxf n
)(
Donde
dxexfC L
xni
n )(2
1