1649-2 2013-viii-08 2ª -...
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Transferencia de Masa
1649-2
2013-VIII-08 2ª
08/VIII/2013
Contenido
Objetivo del curso;
Medio continuo;
Similitud de las propiedades conservativas;
Transporte por convección;
Transporte por difusión molecular;
Balance general de una propiedad conservativa.
Referencia principal. Brodkey, Capítulos 2 y 3.
A
AB A A A
CD C vC R 0
t
En relación con los procesos de transformación que comúnmente
ocupan a los Ingenieros Químicos, tres de los principales objetivos del
curso de Transferencia de Masa son:
i) Aprender a conformar el balance de masa, con un enfoque de
Ingeniería de Procesos;
ii) Conocer el significado de los términos que constituyen la ecuación
de conservación de la masa (balance de masa);
iii) Resolver balances de masa de procesos de transformación típicos
de Ingeniería Química.
Condiciones límite, (de frontera y/o iniciales)
Fenómenos de Transporte
Transferencia de Masa
MODELO MATEMATICO DE
PROCESOS DE TRANSPORTE
PROPIEDADES Y LEYES
DE LA MATERIA
POSTULADO DE
CONTINUIDAD
PRINCIPIO DE
CONSERVACION
PROCESO REAL
MATEMATICAS
EXPERIENCIA
Notas:
# Obtener y utilizar modelos matemáticos que permitan la descripción
de procesos que implican el transporte de momentum, energía y/o
masa, asumiendo que la materia se comporta como un medio continuo.
# El comportamiento de la materia resulta de su composición y de las
fuerzas inter- e intra-moleculares que actúa sobre ella.
# En el estudio de los fenómenos de transporte se asume que las
características de la materia de estudio pueden representarse mediante
el valor promedio que tiene cada una de ellas en el espacio que ocupa la
materia… característica( r , t) … lo cual implica reconocer que
materia esta constituida por partículas discretas, pero que puede
asumirse que en la región de estudio la materia es continua
# Consecuentemente, el estudio de los fenómenos de transporte de las
propiedades conservativas no está exento de cierta cantidad de
empirismo, pero en mucho menor cantidad que el enfoque con el cual
se estudian las Operaciones Unitarias.
# Asumiendo que la materia se comporta como un medio continuo, es
decir, que el sistema (elemento de control) no hay discontinuidades, se
puede hacer un análisis diferencial de los procesos de transporte que
ocurren en él, utilizando para ello ecuaciones diferenciales.
# Asumiendo que la materia se comporta como un medio continuo, es
decir, que el sistema (elemento de control) no hay discontinuidades, se
puede hacer un análisis diferencial de los procesos de transporte que
ocurren en él, utilizando para ello ecuaciones diferenciales.
Transporte de momentum por convección
Flujo de momentum en la dirección x: fx
Flux de Momentum en la dirección x: τX
τ = ρv v
Tensor
3
x 3 x3
m L 1 1f L v L
t t tL
x
momentum en xf
t
x 3
3
3x 3
Lm
1 L 1 L 1 1tf mv m m L
t t t t t
L
tLL
3
x x x2x
1 1 1 Lv L v L v
t tL t
x x xv v vv
xx 2 2
fflujo de momentum en x
L L
x concentracion de momentum (velocidad)
Transporte de energía térmica (calor) por convección
Flujo de calor: C
CalorQ
t C
caloriasQ
t
Flux de calor: C
C 2 2 2
Q flujo de calor 1 calorias 1q
t tL L L
3
3C 2 3
calorias 1 caloria Lq
t tL L
L
L
Cq concentracion de calor (velocidad)
Pero, no hay aparatos que midan calorias directamente
0
C 3 0 3 0
0caloria L m caloria Lq C
t tL L
m C
m C m C
C P Pq ρ C T v C T v
Cq concentracion de calor (velocidad)
Cq expresada en cantidades medibles
qC= (ρCPT) v
Vector
Transporte de masa (moles) por convección
Flujo molar de A, jA:
Sistema:
1) Dos componentes: A y B;
2) A se transporta en el seno de B, (B está quieta… no se transporta).
Flux molar de A, nA:
nA = v CA
Vector
A An C v
AA 2 2
j moles de A 1n
tL L
A 2
3
33
moles A 1 moles A Ln
t L L
L
tL
A
moles A j
t
An concentracion molar de A (velocidad)
Similitud en el transporte por convección de momentum, energía o masa
v v
3 3
masa velocidad L momentum L
t tL L
C pq C T v 3C
calorias Lq
tL
A An C v3
A
moles A Ln
tL
Flux convectivo de Concentración de velocidad
3 Concentración de
L
v
Sea una propiedad conservativa
Transporte de momentum por difusión molecular
Sistema: Una tabla esta en el fondo de un estanque y se mueve con una velocidad
constante v0
Sea A la superficie de la tabla; en ella se aplica la fuerza F, para moverla a una
velocidad constante v0
Sea y la dirección en la que se mueve la tabla; sea x la dirección en la cual se
transporta el momentum entre dos capas de fluidos adyacentes una de la otra.
Sea τxy el esfuerzo que se debe ejercer sobre la tabla para moverla en la dirección ,y
consecuentemente, trasportar momentum en la dirección x.
xy
F
A
x
v
y2
vy
1
x2 x
1
xy
F
A
x
v
y2
vy
1
x2 x
1
v ... tensor
como : v
y2
vy
1
y x2 x
1 v 0 0 ... no hay esfuerzos negativos
2 2 2 2
masa aceleraciónfuerza L 1 L 1 1masa masa
A t tL t L L
2
1 1masa velocidad
t L
2
momentumflux de momentum difusivo ... unidades del flux convetivo
t L
2
2 3
3
3
1L
t
momentum momentum
t LL L
L
L
v
Algunas unidades
2
1 1momentum
t L
2
3
2 11
L
t
L momentumconcentracion de momemtum
t L LL
3
2 2 2 2
3
1 1 1momentum mL L L L
t t t tL
asav v v
L LLL
2
Si cons taL
tet
n v
2
3
m mv v
tL
L
t L
m
como : ... unidades de vis cos idadtL
v ... Newton
1: como gradiente
L
2
2
L
t
momentumconcentracion de momemtum
tL
2
2 3
3
3
1:
momentum momentumComo
tL L
L L
tL L
Transporte por difusión molecular de energía térmica (calor)
C
caloriasFlujo de calor : Q
t
2 2
1 : C
flujo de calor caloriasFlux de calor q
tL L
2 1
2 1
z
p p
C p
C T C Tq C T
z z
2 2
0
0C
mol C L
mo
cal
l L
calq
tL CtL
Asumiendo que C
p es independiente de la temperatura T
2 1 2 1 : tan Como además T T en to que z z
2 1
2 1
p p
p p zC z
C T C Tq C T C T
z z
022
3 0
1
1C p
L mol calq C C T
t L L mol LC
L
t
Transporte molecular de masa (moles de A)
A
moles de AFlujo molar de A : j
t
2 2
1 : A
flujo molar de A moles AFlux molar de A n
tL L
2 1
2 1
A A
A AzAB
C Cn C
z zD
2
2
22
2 3
1 1A
moles A L Lmoles AC
t Lt L tL
L
LL
2 12 1 : tan A AComo además C C en to que z z
2 1
2 1
0 z
A A
A AB AB A
C Cn D D C no hay flux negativo
z z
2 1
2 1
A A
A AB AB z A
C Cn D D C
z z
Transporte de masa (moles de A)
: A AB ALey de Fick n D C
:
flux molar de
Coeficiente de difusión molecular de en
Gradiente de la concentración molar de
A
AB
A
Ley de Fick
n A
D A B
C A
Similitud en el transporte por difusión de momentum, energía o masa
2
C p
L
tq C T
2
tv
L
2
gradiente de la concentraciónL
tde momentum
Cuando es cons tante : - v ... Newton
2
Cq gradiente de la concentracióL
n de c lt
a or
PCuando C es cons tante : q k T ... Fourier
2
AA
L
tn C
2
An gradiente de la concentración molar AL
tde
AB AAn D C ... Fick
Transporte de una propiedad conservativa φ por difusión molecular
Flux de φ por difusión molecular: Ψ
δ: coeficiente de la difusión molecular de φ
: gradiente de
ψ: concentración de φ
Concentración de
Flux de : v
Transporte por convección y por difusión molecular de una
propiedad conservativa φ .
Flux de : v
No se requiere definir a priori un Sistema Coordenado;
Postulados:
* Conservación: Las propiedades de interés son conservativas, lo cual
implica que no se crean ni se destruyen solo se transforman;
* Continuidad: Las propiedades conservativas son continuas en el
elemento de control.
Balance General de una Propiedad Conservativa ψ.
Enfoque Vectorial
Considere un elemento diferencial de control está fijo ↔ w = 0
dV
Principio de Conservación a la PC de interés en el EC:
Acumulación de PC
Rapidez entrada de por Difusión Rapidez salida de por Difusión PC PC
Rapidez entrada de por Convección Rapidez salida de por Convección PC PC
Rapidez de Transformación de PC
Acumulación de
Rapidez neta de transporte de por Difusión
Rapidez neta de transporte de por Convección
Rapidez de Transformación de
PC
PC
PC
PC
Balance General de una Propiedad Conservativa PC
en el elemento de control EC dV
Transporte por Difusión molecular
Flujo = (Flux)(Area Transversal)
Flux diferencial por difusión molecular:
Flujo diferencial por difusión: ndA
Flujo diferencial de entrada por difusión: ndA
Flux positivo
n y v tienen dirección diferente
Flujo diferencial de salida por difusión: ndA
n y v tienen la misma dirección
Area transversal de flujo : ndA
Flujo = rapidez entrada (o salida)
Difusión Molecular
Flujo total de entrada =
ENA
ndA
=
ENA
ndA =
ENA
n dA
Flujo total de salida =
SAA
ndA =
SAA
n dA
Flujo Neto total = Flujo total de entrada – Flujo total de salida
Flujo Neto total =
EN SAA A
n ndA dA
Flujo Neto total =
EN SAA A
n ndA dA
dV
Difusión Molecular
Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA
Flujo Neto total =
EN SAA A
n ndA dA
=
EN SAA A
n dA
Flujo Neto total por Difusión = ECA
n dA
flux pc
tiempo area
flujo flux area pc
tiempo rapidez
Rapidez Neta de Transporte por Difusión = ECA
n dA
RNTD = ECA
n dA
Transporte por Convección
Flujo = (Flux)(Area Transversal)
Flux por Convección = v
Flujo diferencial por Convección =v ndA
Flujo diferencial de Entrada por Convección n v dAv ndA
n y v tienen dirección diferente
n y v tienen la misma dirección
Area transversal de flujo : ndA
Flujo = rapidez entrada (o salida)
Flujo diferencial de Salida por Convección n v dAv ndA
Flujo diferencial Neto por Convección EN SAn v dA n v dA
dV
Convección
Flujo diferencial por Convección EN SAneto n v dA n v dA
Flujo total por Convección EN SA
EN SA
A A
neto n v dA n v dA
dV
Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA
Flujo total por Conveción = ECA
neto n v dA
flux pc
tiempo area Rapidez Neta de transporte por Convección =
ECA
n v dA
RNTC = ECA
n v dA
flujo flux area pc
tiempo rapidez
Acumulación
EC está fijo … v = v … w = 0
dV Acumulación es por definición :
d
dt
Acumulación de pc en un elemento diferencial: d
dVdt
concentracion de la propiedad conservativa
pc
L3
Cantidad de pc que tiene un elemento diferencial: dV
Acumulación de pc en todo el VC es:
C CV V
d d
dt dtdV dV
De acuerdo con el Teorema de Transporte, la Acumulación es:
( )
C C CV V A
ddV dV n w dA
dt t
Como el EC esta fijo (w = 0), la acumulación de la PC en todo el VC es:
Acumulación A
CV
dVt
dV
Hasta ahora, la acumulación en todo el es: CV
dEC
dtdV
Rapidez de Transformacion diferencialG
dV
Rapidez de Transformacion total ... [RT]
C
G
V
dV
Rapidez de Transformación de la pc
Rapidez de Transformacion
Volumen G
EC está fijo … v = v … w = 0
dV
Al sustituir la expresión matemática de [A], [RND], [RNC], [RT] en la
ecuación de conservación de ψ se tiene la expresión matemática
correspondiente:
C C C C
G
V A A V
dV ndA v ndA dVt
[RT] ...
C
G
V
dV
RNTD ... CA
ndA
[RNTC] ... CA
v ndA
[ [ [ [A] RNTD] RNTC] RT]
... [A]
CV
dVt
Como:
C C C C
G
V A A V
dV ndA v ndA dVt
Para tener la misma variable se aplica el Teorema de Divergencia:
C CA V
ndA dV
C CA V
v ndA v dV
Por lo tanto, la ecuación de transporte o balance de ψ queda:
tVC
dV VC
dV VC
vdV G
VC
dV
t v G
dV 0
VC
t v G
dV 0
VC
Esta ecuación se obtuvo considerando un elemento de control de
volumen finito, es decir que dV ≠ 0 ; por lo tanto, dicha igualdad se
cumple si y solo si:
Ecuación de transporte (balance) en términos de ψ
t v G
0
Acumulación
Transporte por Difusión Molecular
Transporte por Convección Transformación
Expresión diferencial (balance diferencial) del transporte de una
propiedad conservativa φ en términos de la concentración de dicha
propiedad ψ
Transferencia de Masa
Fin de 2013-VIII-08 2ª