16 sistemas de representacion resumen
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Sistemas deRepresentación
Construcciones geométricasfundamentales
Con origen en el antiguo Egipto, la geometría es la representaciónexacta de lo que nos rodea, siendo el dibujo técnico unaconjunción de axiomas matemáticos y grafismos universales.
Los problemas básicos de la geometría se refieren a propiedadesde extensión, forma, posición y medida.
La geometría establece métodos para resolver problemas y eldibujo los convencionalismos necesarios para surepresentacióngráfica. Por lo tanto, el dibujo geométrico es laconjunción del dibujo y la geometría.
Punto. Elemento básico, sin color ni dimensiones.
Línea. Prolongación de puntos, siendo:
Recta Semirrecta Segmento Curva Quebrada
Plano. Surge del desplazamiento de la línea.
Elementos de la geometría
Teorema de Thales de Mileto. 2 rectas concurrentes, cortadaspor paralelas, producen segmentos proporcionales.
Operaciones fundamentales
a’b’
c’
a b c
a’/a = b’/b = c’/c
Operaciones con segmentos. Basados en el teorema deTales, podemos:
Dividir segmentos en partes iguales.
Operaciones con segmentos. Basados en el teorema deTales, podemos:
Dividir segmentos en partes iguales.
Operaciones con segmentos. Basados en el teorema deTales, podemos:
Dividir segmentos en partes proporcionales.
Rectas paralelas. Las que equidistan, teniendo un puntoimpropio, siendo éste, en una cónica, el punto de unión entreambas.
Rectas paralelas. Construcción de la paralela a la recta r quepasa por el punto P. Solución 1.
Rectas perpendiculares. Aquellas que se cortan en ángulode 90º.En Egipto, se trazaban sin escuadra y cartabón para repartirlas tierras tras las inundaciones del río Nilo.
1 2 3 4 5
5
Rectas perpendiculares. Construcción de la perpendiculara una semirrecta desde su punto de origen P. Solución 1.
Ángulos. Líneas cortadas en un punto llamado VÉRTICE,midiéndose siempre el ángulo de menor tamaño.
V
OF
C
A
V: Vértice.O: Ángulo opuesto, de igual medida.A: Arco, parte de la circunferencia que abarca.C: Cuerda, une los 2 puntos del arco.F: Flecha, bisectriz del ángulo
Ángulos. Clasificación.
Según su configuración:
Según su medida:
RECTILÍNEO MIXTILÍNEO CURVILÍNEO
RECTO 90º AGUDO <90º OBTUSO >90º
Ángulos. Clasificación.
Complementarios: Aquellos que suman 90º
Suplementarios:Los que suman 180º
LLanos: Ángulos de 180º
Ángulos. Construcción de la bisectriz de un ángulo dado α.
Ángulos. Construcción de la bisectriz de un ángulo convértice inaccesible.
Ángulos. División del ángulo mediante el teorema de Thales
A B
C
D
E
Lugares geométricos. Conjunto de puntos que cumplen lasmismas propiedades.
Mediatriz: Lugar geométrico de lospuntos que equidistan de un segmento.
Bisectriz: Lugar geométrico de lospuntos que equidistan de los ladosde un ángulo.
Lugares geométricos. Conjunto de puntos que cumplen lasmismas propiedades.
Circunferencia: Lugar geométrico de los puntos que equidistande otro punto llamado CENTRO.
Lugares geométricos. Conjunto de puntos que cumplen lasmismas propiedades.
Arco capaz: Lugar geométrico de los puntos desde los cuales secontempla un segmento con un ángulo dado.
Por tanto, este arco de circunferencia contiene el vértice de dicho ángulo,más los puntos A y B del segmento.
Arco capaz de un ángulo agudo.
o
A B
Arco capaz de un ángulo obtuso.
o
A B
Arco capaz de un ángulo recto.
oA B
Polígonos
Un polígono es un plano limitado por rectas que se cortan de2 en 2, siendo un semiplano el resultado de dividir el polígonoen 2 con una recta.
Definición.
Concavos. Una recta puede cortar el polígono en más de 2 lados.
Convexos. La recta sólo puede cortar 2 lados.
Inscritos. Con los vértices en una circunferencia.
Circunscritos. Los lados son tangentes a una circunferencia.
Clasificación.
Aquellos con recorrido ininterrumpido, terminando en el mismositio en el que empieza, con tantos pasos como vértices tieneel polígono sobre el que se inscribe.
Polígonos estrellados.
Polígonos estrellados.Dividimos el número de lados entre 2, situando bajo el resultado losnúmeros primos* inferiores.Un cociente exacto supone que no hay polígono estrellado.Un cociente con decimales supone polígono estrellado.
*aquel que sólo puede dividirse por 1 y por sí mismo.
8/2=4 8/3 ---- SI 8/2 ---- NO
12/2=6 12/5 ---- SI 12/3 ---- NO
Construcción del triángulo equilátero inscrito en unacircunferencia.
Construcción de un triángulo rectángulo dados la hipotenusay un cateto.
Polígonos con número múltiplo de 3 lados.
Polígonos con número múltiplo de 2 lados.
Método general para polígonos inscritos.
Dos figuras son iguales (en términos geométricos) cuandotiene el mismo área (misma forma y tamaño).
Igualdad.
TRASLACIÓN ROTACIÓN
Dos figuras son semejantes cuando mantienen la misma formapero tienen distinto tamaño y por lo tanto distinto área.Las figuras semejantes se diferencian en la magnitud de suslados, atendiendo a un factor de proporcionalidad.
Semejanza.
Dos figuras son equivalentes cuando tienen distinta forma peromantienen el mismo área.
Equivalencia.
Triángulo equivalente al polígono dado.
En este caso iremos haciendo desaparecer lados hasta reducir a 3.Para ello, descompondremos el polígono en triángulos haciendocoincidir los vértices superiores con la base definitiva.
A
B
CD
E
FA
BCD
E
F
Triángulo equivalente al polígono dado.
En este caso iremos haciendo desaparecer lados hasta reducir a 3.Para ello, descompondremos el polígono en triángulos haciendocoincidir los vértices superiores con la base definitiva.
A
BD
E
FA
BDE
F
Triángulo equivalente al polígono dado.
En este caso iremos haciendo desaparecer lados hasta reducir a 3.Para ello, descompondremos el polígono en triángulos haciendocoincidir los vértices superiores con la base definitiva.
A
B
F
E
A
BF E
Triángulo equivalente al polígono dado.
En este caso iremos haciendo desaparecer lados hasta reducir a 3.Para ello, descompondremos el polígono en triángulos haciendocoincidir los vértices superiores con la base definitiva.
BF
A A
B
CD
E
F
Giro de una recta.Giramos desde O manteniendo la perpendicularidad.
O
O
A
A’B’
B
Giro de una segmento.Trabajamos girando los extremos en torno a las circunferenciasdescritas desde O.
Un punto A se transforma en otro A’ siempre que la direcciónsea paralela, en el mismo sentido y de la misma magnitud queun segmento llamado vector.
Traslaciones.
Polígonos por homotecia positiva.
5/4 2/3 3/5A
A
B
B
C
A’
A’
B’
B’
C’D
D
C-C’D’ D’
o-po-p
o-p
Polígonos por homotecia negativa.
o-p
B
B’
A’
A
D
D’
C-C’
5/3
Pasar un rayo visual por un punto, siendo la proyección el lugaren el que corta el plano.
Proyectar.
A
A’
B’
C’
B
C
O-P
Unimos A, B y C con el punto OP.
Prolongamos AB hasta el eje, trazandoun segmento libre que corte AP y BP,dando A’ y B’.
El punto C’ surge de la prolongaciónde AC o BC.
Homología.
Afinidad.
A
A’
B’
C’
B
C
Convertir un triángulo isósceles en un triángulo rectángulo.
A
A’
A’C’
B
B’
C’
C
A’B’
R’L’
OP Prolongaremos AC y CB hasta R’L’,para trazar un arco capaz de 90º,donde situaremos P.
Las líneas desde P a los cortes de CAy CB con R’L’ son paralelas a A’C’ y A’B’,con lo que uniremos A, B y C con Py trazaremos las paralelas desdeel eje.
Dos figuras (circunferencias o arcos) son tangentes cuandotienen un solo punto en común.
Tangencias.
Circunferencias tangentes en ángulos a partir del radio.
Las paralelas, con radio r como distancia, a los lados del ángulo,darán el centro de la circunferencia tangente.
r
r
r r
r r
r
Ejercicio de la bicicleta: Rectas tangentes exteriores a doscircunferencias.
o o’
r
t1
t
t1’
t’
hacemos la circunferencia o-o’. Restamos el radio de la menor a la mayor, dando unacircunferencia que corta la circunferencia o-o’ (puntos a,b). Desde o, unimos con loscortes para dar t1 y t. Por paralelas, desde o’, obtenemos t’ y t1’.
a
b
Rectas tangentes interiores a dos circunferencias.
o o’
r
t1
t t1’
t’
similar al anterior, esta vez sumamos el radio menor al mayor,y t’ y t1’ surgirán por paralelas inversas
Elementos del sistema diédrico.
LT
PV 12
43
A
a
a’
PH
LT: Línea de tierra. Corte entre los planosde proyección PV y PH
PH y PV: Planos horizontal y vertical, dondequeda proyectado el punto.
1-2-3-4: Los 4 bisectores que segeneran con el corte de los planosde proyección. Entendemos elprimer bisector como el principal, y los otrostres como proyecciones fuera del alcancevisual (PH y PV del primer bisector funcionancomo el suelo y pared del lugar donde seencuentra el espectador).
Elementos del sistema diédrico.
LT
PV2
43
A
a
a’
a’’
PH
Una tercera proyección surge al presentar unplano perpendicular a LT, el Plano de Perfil, quedará la proyección a’’.
a
a’ a’’
Representación en el plano.Abatidos los planos, tendremos LT separando PH y PV.Cuando sea necesario, tendremos una perpendicular a LT que determinará elplano de perfil y sus proyecciones.
Dos rectas son paralelas si lo son las proyecciones del mismo signo.
Paralelismo.
h’
r’ r’
r
r
r’
r
h
v’
h’
r’
h’
h
v h’
h
v’
v
rh
r’
r
v
v’ r’
r
v
v’
Rectas oblicuas paralelas Rectas frontales paralelas Rectas de punta paralelas
Recta y plano serán paralelos cuando R sea, por lo menos,paralela a una de las rectas contenidas en el plano.
Paralelismo.
P’
v’r’
r
s’
s
h’
h
v
P
Recta paralela a una recta contenidaen un plano oblicuo
v’
h’
h
v
De igual manera, un punto será paralelo a un plano, si dichopunto está contenido en una recta paralela a éste.
Paralelismo.
P’
v’r’
r
s’
s
h’
h
v
PP
P’
Recta paralela a una recta contenidaen un plano oblicuo
Punto contenido en un plano paralelo a otro
v’
h’
h
v
Q
Q’ a’
a
De un punto: Girará sobre su eje de giro, con un ángulo dadoy sentido horario o antihorario.
Giros.
A
E (eje)
e
e’
a’
a’
(a’)
(a’)
(a)
(a)
a
a
e’
e
Aplicaciones: En lugar de obtener distancias mediante eltriángulo rectángulo, giramos uno de los puntos sobre el otro.
Giros.
a’
a
b’
VM
b
a’
(a’)
(a) a
b’ = e’
bdistancia VM
Reintegrar una circunferencia en VM en las trazas del plano:
Ejercicios de verdadera magnitud por afinidad.
P’
(P’)P
Reintegrar una circunferencia en VM en las trazas del plano:
-Definiremos 2 diametros perpendiculares,siendo uno paralelo a P y otroperpendicular.
-Dichos diámetros daránlos puntos A, B, C y D.
Ejercicios de verdadera magnitud por afinidad.
P’
(P’)P
AB
CD
Reintegrar una circunferencia en VM en las trazas del plano:
-El diámetro perpendicular a P nos da DAF.
-Ya sólo tenemos que reintegrar,uno a uno, los puntos.
Ejercicios de verdadera magnitud por afinidad.
P’
(P’)P
A
a
B
CD
Reintegrar una circunferencia en VM en las trazas del plano:
-El diámetro perpendicular a P nos da DAF.
-Ya sólo tenemos que reintegrar,uno a uno, los puntos.
-Definido el primero, el resto seobtendrá, o de la misma forma,o por afinidad.
Ejercicios de verdadera magnitud por afinidad.
P’
(P’)P
A
a
a’
B
CD
Reintegrar una circunferencia en VM en las trazas del plano:
-El diámetro perpendicular a P nos da DAF.
-Ya sólo tenemos que reintegrar,uno a uno, los puntos.
-Definido el primero, el resto seobtendrá, o de la misma forma,o por afinidad.
Ejercicios de verdadera magnitud por afinidad.
P’
(P’)P
A
a
a’ c’
b’
cb
B
CD
d
d’
Método general simplificado.
Dado (P) y LT, definiremos unanueva LT, perpendicular auna de las dos trazas.
Cambios de plano.P’
V’
H
P
Método general simplificado.
Dado (P) y LT, definiremos unanueva LT.Esta nueva línea deberáespecificar cual de las dostrazas del plano va a cambiar.
Así, V’ nos dice que serála traza vertical la que cambia,mientras que H mantiene su posición.
Cambios de plano.P’
V’
H
P
Método general simplificado.
Las dos líneas de tierra definenun punto de corte, dondecolocaremos v, y v’ en latraza vertical, perpendiculara LT¹.
Cambios de plano.P’
V’
H
v’
v
P
Método general simplificado.
Para definir la nueva traza, laproyección vertical, que esperpendicular a LT¹, debeconvertirse en unaproyección perpendiculara LT².Por tanto, giramos laproyección.
Cambios de plano.P’
P
V’
H
v’
v’
v
Método general simplificado.
Finalmente, definiremos lanueva traza uniéndola con LT²en su corte con P.
Cambios de plano.P’P’
P
V’
H
v’
v’
v
Facilita la visualización de un objeto dibujado en diédrico.Fundamentada en 3 planos auxiliares limitados por 3 ejes,con convergencia en un punto llamado origen, situado en unplano principal llamado plano del cuadro o PC.
Axonometría.
z
o
yx
(z)
(o)
(y)(x)
PC
La escala de reducción de los ejes en isométrica es de 0,816,equivalente a 4/5 de la medida real.
Coeficiente de reducción.
Perspectiva caballera.Surge cuando las proyecciones son oblicuas al plano delcuadro PC, quedando los ejes X y Z contenidos en dicho plano,en ángulo de 90º.
Y
Z=(Z)
X=(X)
Coeficiente de reducción.El más usual y que permite una vista sin demasiada distorsiónequivale a 2/3 o 3/4.
X
Z
Y
Coeficiente de reducción.El más usual y que permite una vista sin demasiada distorsiónequivale a 2/3 o 3/4.
X
Z
Y
La perspectiva cónica frontal se considera la más básica.En ella, los objetos tendrán dos planos visibles, uno de ellosparalelo al plano del cuadro, y otro con lados que parecenconverger hacia el horizonte.
Cónica frontal.
Cónica angular.
Cónica oblicua.
Los puntos de distancia PD surgen del arco con centro en Fhasta PV. Este arco marca el campo en el cual los objetos nosufrirán deformaciones graves.
Cónica frontal por puntos de distancia.
L.H.
L.T.
.P.V.
..P.D. P.D.F.
Fugamos la trayectoria del cuadrado hacia F.
Cónica frontal por puntos de distancia.
L.H.
L.T.
.P.V.
..P.D. P.D.F.A
B
Para obtener la perspectiva, abatimos los puntos más alejadosde LT, y los unimos con su PD opuesto. El corte con la fuga nosdará el punto fugado.
Cónica frontal por puntos de distancia.
L.H.
L.T. A
B
B.P.V.
..P.D. P.D.F.
Para obtener la perspectiva, abatimos los puntos más alejadosde LT, y los unimos con su PD opuesto. El corte con la fuga nosdará el punto fugado.
Cónica frontal por puntos de distancia.
L.H.
L.T. A
B.P.V.
..P.D. P.D.F.B
Para obtener la perspectiva, abatimos los puntos más alejadosde LT, y los unimos con su PD opuesto. El corte con la fuga nosdará el punto fugado.
Cónica frontal por puntos de distancia.
L.H.
L.T. A
B.P.V.
..P.D. P.D.F.B
Martes 24 de junio, 9h. Conocimiento 2.
Dos tipos de recuperación:
1. Recuperación Geometría métrica. 2 horas.
2. Entrega revisión práctica cónica digital:_Formato A3 impreso._El tema de la práctica será enviada por correo.
Examen de recuperación