1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCION DE RAIZES DE NUMERO COMPLEJO1.5 TEOREMA DE MOIVRE

FÓRMULA DE MOIVRE

Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada Fórmula de Moivre: (cos a + i sen a)n = cos na + i sen naque es útil en trigonometría, pues permite hallar cos na y sen na en función de sen a y cos a.Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de Moivre, en honor del matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).Potencia La potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar. El módulo se eleva a n El argumento se multiplica por n 

Radicación de Números Complejos 

La operación de radicación es inversa a la de potenciaciónPara un único número complejo zn , existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn. Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que:

Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'

Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1, 2, 3, ..., n-1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.

Raíz Cuadrada

Vamos a hallar : Primero pasamos z=4+3i a forma polar: z = 4+3i = 536.9º La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2. Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son: Si k=0 --> z1=18.4º Si k=1 --> z2=198.4º Si le seguimos dando valores a k = 2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que

salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia. Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2 

Raíz Cúbica 

Primero pasamos z = 2+4i a forma polar: z = 2+4i = 4.563.4º La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3. Las tres soluciones de esta raíz cúbica son: Si k=0 --> z1=1.621.1º Si k=1 --> z2=1.6141.1º Si k=2 --> z3=1.6261.1º

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejos

Potencias de números complejosLas potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por

z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que

zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ

Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.

Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en

(eiθ)n = eiθn           (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ

que se le conoce como la fórmula de De Moivre

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Álgebra Linealsábado, 26 de mayo de 2012

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.Teorema de DeMoivre y Potencias

De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejo

Donde la formula se usa cuando 

en este caso

En general, para cualquier entero positivo k.

a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos

Raíces de un número complejo

Dado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos

pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que  i2=-1, por lo que entonces:

Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.

Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que w2=Z . Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:

y

La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφ es representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:

Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor

para  sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.

En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:

Donde  (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando

Ey son 3 definiciones diferentes checarlas y copiar la k te guste mas o este mas especifica