Sección 1.5

Métodos de Demostración

Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen

Esteban Andrés Díaz Mina

Métodos para demostrar Teoremas

Demostrar teoremas es a veces muy difícil, por lo

que necesitamos herramientas disponibles que nos

puedan ayudar. Se Presenta un conjunto de

métodos diferentes de demostración. Estos métodos

deberán convertirse en parte de su repertorio para

demostrar teoremas.

Método Directo

Una demostración de esta clase se basa en el hecho

que la implicación p→q puede probarse mostrando

que si p es verdadero, entonces q debe también

serlo. Para llevar a cabo una demostración de este

estilo, asumimos que p es verdadero y usamos

reglas y teoremas ya probados para probar que q

debe también ser verdad.

Definición 1.

El entero n es par si existe un entero k tal que n= 2k y

es impar si existe un entero k tal que n= 2k+1.

(Note que un numero entero es o par o impar).

Ex. Dé una demostración directa del teorema “si n es unentero impar, entonces n2 es un entero impar”

Sol. suponemos que la hipótesis es verdad, es decir n=2k+1 donde k es un entero.

Se obtiene que n2 = (2k+1)2 =4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k)+1.

Por lo tanto, n2 es un entero impar.

Método Directo

Método IndirectoUna demostración de esta clase se basa en el hecho que laimplicación p→q es lógicamente equivalente a ¬𝑞 → ¬𝑝 ,entonces se muestra que esta última expresión es verdadera.

Ex. Dar una demostración indirecta del teorema “si 3n+2 esimpar, entonces n es impar”

Sol. Suponemos que la conclusión es falsa, es decir:

n es par o sea de la forma n=2k donde k es un entero.

Se obtiene entonces que 3n+2=3(2k)+2 = 2(3k+1),

Así que 3n+2 es par.

Debido a la negación de la conclusión de esta implicación, setiene que la hipótesis es falsa y que la implicación original esverdadera.