1

Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad

Límites al infinitoLímites infinitos

tiempo(años)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

−10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

clientes

f

¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en

el largo plazo?

Analicemos …

¿ ?

¿ ?

50

+∞→t

Entonces: 50)(lim =+∞→

tft

Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.

2

3

Límites al infinito

Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:

lim ( )x

f x L→+∞

=

De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:

lim ( )x

f x M→−∞

=

4

y = f (x)y

y = L

y = M M

Llim ( )x

f x L→+∞

=

lim ( )x

f x M→−∞

=

x

Por ejemplo….

5

límite al infinito para funciones polinómicas1

1 1 0( ) n nn nf x a x a x a x a−

−= + + + +K

lim ( ) lim nnx x

f x a x→±∞ →±∞

=

Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado(término dominante).

Ejemplos:

a) 32 59lim

3 6xx x

→+∞

− + − b) )5( 24

lim +−+−+∞→

xxxx

Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valorde los siguientes límites?

6

+∞=+∞→

n

xxlim

=+∞→

nx x

1lim

=−∞→

nx x

1lim

Interrogante . . . . .

11 1 0

11 1 0

( )n n

n nm m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

−−

−−

+ + + +=+ + + +

K

K

11 1 0

11 1 0

lim ( ) lim

n nn n

m

m mx xm m

m

a x a x a x a

xf xb x b x b x b

x

−−

−→±∞ →±∞−

+ + + +

= + + + +

K

K

Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión:

Resolución:

límite al infinito para funciones racionales

7

8

Para funciones racionales: 1

1 1 01

1 1 0

( )n n

n nm m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

−−

−−

+ + + +=+ + + +

K

K

Resolución simplificada:

Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador:

m

m

n

n

x xb

xalim

±∞→

9

Ejercicios:

32

542

2

lim ++

+∞→ x

xx

x

xxx 21

34

lim −−

+∞→

x

xxx 21

34

lim −−

−∞→

3

72lim −+

+∞→ x

x

x

1.

2.

3.

4.

Calcule los siguientes límites

10

Problema

Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:

( ) 0AN

Y N NB N

= ≥+

donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?

Se dice que es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo:

11

Límites infinitos

lim ( )x a

f x→

= −∞

lim ( )x a

f x→

lim ( )x a

f x→

= +∞ si f (x) crece sin límite cuando x→a.

si f (x) decrece sin límite cuando x→a.

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¡Interrogante!

A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:

+∞=→

)(lim xfax

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a. Estime( ) ( )2 2

1 1

1 1lim , lim

1 1x xx x− +→− →−+ +

Ejemplo 1:

2 2

2 2lim , lim

2 2x xx x− +→ →− −b. Estime .

¿A dónde tiende ?2

2lim

2x x→ −

¿A dónde tiende cuando x tiende a −1?( ) 2

1( )

1f x

x=

+

14

De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los siguientes límites:

Ejemplo 2:

15

Esboce el gráfico de una función f con dominio R que cumpla con las siguientes condiciones:

Ejemplo 3: