14 alberto donado

7/21/2019 14 Alberto Donado

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SIMPOSIO DE TOPOLOGA

CARLOS JAVIER RUIZ SALGUERO

UNIVERSIDAD NACIONAL DECOLOMBIA

Enero 24, 25 y 26 de2013

Departamento de Matemticas


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NOCIONES TOPOLGICASEN COLECCIONES

Alberto Donado Nez.


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1992 . Lecturas Matemticas Vol XIIICarlos Javier Ruiz Salguero.

Objetos reveladores de estructura en subcategoras adjuntasde la categora COL

Objetos: ),,( X )(2 X

),(),(: YXf es un morfismo si y slo si

)(

:

!Bf

YXf

para todo B

Se define la categora COL


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Seminario Sabatino de Topologa.

Es posible extender las nociones topolgicas (conexidad,

compacidad, separacin, cercana, lmite) a coleccionesarbitrarias?

Tienen sentido expresiones como un filtro conexo?


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Una respuesta a partir de la NOCIN DE INTERIOR

conjunto )(2 X XA XxX

es punto interior dex A

)(

Ax

Existe tal queU

AUx

Existe tal que . )(AExtx U CAUx

Para todo tal que

se tiene que y

)(Ax U Ux AU CAU

Ax Para todo tal quese tiene que

U Ux AU


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XAAExtAAExt

AA

AA

CC

CC

)()(

)(

)(

CASI TODO como en TOPOLOGA

XAExtAA

AAAAA

AAA

)()(

)()(

)(

CAx

Para todo tal queT CATTx ,

No existe tal que yT Tx AT

Ax


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LA FUNCIN INTERIOR

)()(: XX AA

AA

BABA

AA

)(.3

.2

.1

LL

LL

AA

AA

.5

.4

Ejm:

AB

BA

BA

XBA,

BABAyBA

BBAABASi

)(

,,,

Aqu la

diferencia

no necesariamente

est contenido en

BA

)( BA


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NOCIN DE CONJUNTIO ABIERTO

AAAAGGXGA :

En el ejemplo anterior pero BABA BA

Definicin: , A es un ABIERTO (con respecto de ) si y solo siXA AA

Esta definicin marcar diferencias en la categora COL

Para cada existe la coleccin formada por sus ABIERTOS)(2

X

En el mismo ejemplo: BABABA ,,,.

NO


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PROPIEDADES DE LA COLECCIN DE ABIERTOS

X2para todo

L

ALA

Nota: Xno necesariamente est en

Si nonecesariamente est en

BABA ,,

LLLL

AAAA

A Prop 4 de interior Prop 1 interior


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Surge de manera natural una nocin: PRETOPOLOGA

X2

Es una PRETOPOLOGA

sobre X

La coleccin coincide con sus abiertos

L

ALA


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1

3 2 4 5

11876 109

12 13 14 15

16Un ejemplo:Colecciones sobre

X={ a, b}

1 2 a3

b4 X5 a,6 b,7

X,8

ba ,9

aX,10

bX,11 ba ,,12

aX,,13 bX,,14

ba ,,

15

X16


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1

3 2 4 5

11876 109

12 13 14 15

16

ba,


13/321

3 4 5

11 109

12 15

16

13 14

6 7 8

2

PRETOPOLOGAS


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1

3 4 5

11 109

12 15

6 7 8

2

PRETOPOLOGAS

13 14

16 TOPOLOGAS


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Otros ejemplos:Xconjunto infinito

finitoesAXA : No es Topologa

Para todo XxAXAAx

,

Es Topologa

enumerableesAXA : No es Topologa

AinfinitoesAXA : Es una Pretopologa

Para decidir si la coleccin es conexa, o es separable, , basta mirar susabiertos, esto es a la coleccin


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ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE LAS COLECCIONES DE ABIERTOS(PRETOPOLOGAS POR DENTRO)

Para toda la coleccin satisface: X2

1. Tiene elemento mnimo

y para todo AA

Tiene elemento mximo

Para todo A XAAXA

El interior de Xno es

necesariamente X

2. Toda subcoleccin no vaca de tiene extremo superior

L

AA y si existe D tal que para cada L DA

entonces DAL

LL

AA


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3. Toda subcoleccin no vaca de tiene extremo inferior

AAAAALL

Si C es tal que para todo LAC entonces

L

AC

L

ACC

Por lo tanto

LL

AA

Es un retculo completo con elemento mximo y mnimo

Tiene exponenciales?


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EXPONENCIALES?

BAVVBABA :.,

Claramente ( A B)

Por lo tanto una condicin suficiente para que exista A Bes

que para todo V se cumpla que AV

Si como sucede en las topologas, filtros, etc,existirn exponenciales.

AVAV

La coleccin NO siempre tiene estructura deAlgebra de Heyting


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Estructura de las Colecciones de Abiertos

(Por fuera)Dados , y X2 Y2 YXf :

fes una FUNCIN CONTINUA si y solo si

Bf !

Para todo B .B

Nocin implcita de base

f es continua

CC FfF !

AfAfXA


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Son ejemplos de funciones continuas:

La funcin identidadLa compuesta de funciones continuas

LA CATEGORA COL*

OBJETOS:

MORFISMOS: fes un morfismo entre ( X, ) y ( Y, )

si y solo si fes una funcin continua

XX 2:,

En adelante identificaremos: COL* = COL


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Una generalizacin: p- COLECCIONES

Xconjunto. Si diremos que es una coleccin X2

Al par ( X, ) lo llamaremos un espacio.

Si pes un predicado sobre y p( ) es una proposicin

verdadera diremos que es una p coleccin y que ( X, ) es un

p-espacio

X2

Para cada conjunto X

XColpcoleccinpunaesX :2


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Algunos ejemplos:

Si p( ) es entonces X2

XColXColp

Si q( ) es entonces

XPtopXColq

Si t( ) es

L

L AA

BABA

X

,

,entonces

XColt

XTopExiste gran libertad para escoger subcategoras de la categora COL


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3 2 4 5

11876 109

12 13 14 15

16PRETOPOLOGAS 16

13 14

6 7 8

2


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3 2 4 5

11876 109

12 13 14 15

16PRETOPOLOGAS 16

13 14

6 7 8

2

7 8


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PRETOPOLOGAS 16

13 14

6 78

2


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Colecciones

Pretopologas

Topologasp-colecciones

En general:


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Ultima insistencia en la categora Ptop[X]

La relacin ser ms fina

, Col[X], es ms fina que si y solo si XXiX

:

es un morfismo entre los espacios ( X , ) y ( X , )

Notacin:

Es una relacin reflexiva y transitiva que no es antisimtrica

QbabaQbabaX ,:,,:,

L

AbabaAA

,,,,:

u

Diferente a TOP


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define un preorden sobre X2

La relacin sobre definida por X2

Es de equivalencia


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1

3 4 5

11 109

12 15

16

13 14

6 7 8

2

PRETOPOLOGAS


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1

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12 13 14 15

1616

13 14

6 7 8

2


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define un preorden sobre X2

La relacin sobre definida por X2

Es de equivalencia

Como para todo se tiene que entonces X2

XPtopXX 2

2

:

MUCHAS GRACIAS


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