Función de transferencia en serie, paralelo y con Función de transferencia en serie, paralelo y con realimentación con MATLABrealimentación con MATLAB

Las Funciones de Transferencia tienen Las Funciones de Transferencia tienen numerador y denominador ambos se escribe en numerador y denominador ambos se escribe en su forma de potencias decrecientes:su forma de potencias decrecientes:

G(s)=num/denG(s)=num/den num=snum=smm +b +b11 s sm-1m-1 + b + b22 s sm-2m-2+……..+ a+……..+ amm

den=sden=snn +a +a11 s sn-1n-1 + a + a22 s sn-2n-2+……..+ a+……..+ ann

1.3

función de transferencia con el comando zpk ó tf GH=zpk([ ],[0 -1 -2 -3],[1]) Zero/pole/gain: 1 ---------------------- s (s+1) (s+2) (s+3) n=[0 0 0 0 1]; d= [1 6 11 6 0]; G=tf(n,d) Transfer function: 1 -------------------------- s^4 + 6 s^3 + 11 s^2 + 6 s

EJEMPLOEJEMPLO

Sea:Sea:

Hallar la F.T equivalente cuando están conectados en Hallar la F.T equivalente cuando están conectados en serie, paralelo y retroalimentaciónserie, paralelo y retroalimentación

1 21 22

1 2

4 43 6 4

n nG s G ss s d s d

G1(s)

R(s)C(s)

G2(s)

G1(s)R(s) C(s)

G2(s)

++

+

C(s)

-

+

G2(s)

G1(s)R(s)

Archivo.m en MATLAB Archivo.m en MATLAB n1=[0 0 4];n1=[0 0 4]; d1=[1 3 6];d1=[1 3 6]; n2=[0 4];n2=[0 4]; d2=[1 4];d2=[1 4]; g1=tf(n1,d1);g1=tf(n1,d1); g2=tf(n2,d2);g2=tf(n2,d2); 'conexion serie''conexion serie' [nu1,de1]=series(n1,d1,n2,d2);[nu1,de1]=series(n1,d1,n2,d2); printsys(nu1,de1)printsys(nu1,de1) 'conexion paralelo''conexion paralelo' [nu2,de2]=parallel(n1,d1,n2,d2);[nu2,de2]=parallel(n1,d1,n2,d2); printsys(nu2,de2)printsys(nu2,de2) 'conexion realimentacion''conexion realimentacion' [nu3,de3]=feedback(n1,d1,n2,d2);[nu3,de3]=feedback(n1,d1,n2,d2); printsys(nu3,de3)printsys(nu3,de3)

Se obtiene como respuesta en ventana Se obtiene como respuesta en ventana principal de MATLABprincipal de MATLAB num/den = num/den = 1616 ---------------------------------------------- s^3 + 7 s^2 + 18 s + 24s^3 + 7 s^2 + 18 s + 24 num/den = num/den = 4 s^2 + 16 s + 404 s^2 + 16 s + 40 ---------------------------------------------- s^3 + 7 s^2 + 18 s + 24s^3 + 7 s^2 + 18 s + 24 num/den = num/den = 4 s + 164 s + 16 ---------------------------------------------- s^3 + 7 s^2 + 18 s + 40s^3 + 7 s^2 + 18 s + 40

DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑALESEs un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones dinámicas simultaneas. Es una red en la que nodos están conectado mediante ramas, cada nodo representa una variable y cada rama una ganancia. La ventaja del diagrama de flujo de señales es la disponibilidad de una fórmula que proporciona la relación entre variables del sistema sin requerir ningún procedimiento de reducción.

Definiciones:Nodo. Es un punto que representa una variable o señal.Rama. Un segmento lineal dirigido entre dos nodos.Transmitancia. Es la ganancia de un rama.Nodo de entrada (fuente). Es un nodo que solo tiene una rama saliente.Nodo salida (sumidero). Es un nodo que solo posee ramas entrantes.Ganancia de una ramaGanancia de una rama: Es la función de transmitancia de una rama.: Es la función de transmitancia de una rama.Ganancia de trayectoria directaGanancia de trayectoria directa: Producto de ganancias de las: Producto de ganancias de las ramas que encuentran al atravesar dicha trayectoriaramas que encuentran al atravesar dicha trayectoriaGanancia de lazo Ganancia de lazo Producto de las ganancias de las ramas que forman Producto de las ganancias de las ramas que forman el lazo. el lazo.

cerrado o lazo.

Diagrama de flujo de señales

Definiciones:Lazos que no se tocan. Son lazos que no poseen ningún nodo en común.Trayectoria directo. Es un camino desde un nodo de entrada hasta un nodo de Salida que no atraviesa ningún nodo más de una vez.

Nodos mixtos

Nodo de entrada(fuente)

Nodo de entrada(fuente)

1x 2x 3x

4x

5x

Nodo de salida(sumidero)

Trayectoria directoTrayectoria directo

Lazo

a b

c

d

Diagrama de flujo de señal.

e

Formula de MasonFormula de Mason Nos permite determinar la función de Nos permite determinar la función de

transferencia de un sistema lineal invariante transferencia de un sistema lineal invariante en el tiempoen el tiempo

( ) . ( )

i ii

PC sR s

i = es el número de trayectorias desde la entrada a la salidai = es el número de trayectorias desde la entrada a la salida pi = ganancia de la i-ésima trayectoria directa.pi = ganancia de la i-ésima trayectoria directa. =determinante, el cual se determina con la siguiente relación=determinante, el cual se determina con la siguiente relación

i = i = Se obtiene a partir de Δ, eliminando los lazos que tocan la lazos que tocan la trayectoria pi.trayectoria pi.

NotaNota: Se dice que dos lazos, trayectorias o un lazo : Se dice que dos lazos, trayectorias o un lazo no se tocan si no tienen nodos comunes.no se tocan si no tienen nodos comunes.

todas las posibles

1combinaciones de 2

.

suma de los productos de las suma de los productos de lassuma de todas las

ganancias de ganancias deganancias de lazos

lazos que noindividuales

se tocan

todas las posibles .......

combinaciones de 3 ..

lazos que nose tocan

Construcción de grafica de flujos de señales a Construcción de grafica de flujos de señales a partir de diagramas de bloquepartir de diagramas de bloque Para pasar un diagrama de bloques a Para pasar un diagrama de bloques a

diagrama de flujo de señales hay que diagrama de flujo de señales hay que tener presente lo siguiente:tener presente lo siguiente:

1: cada variable del diagrama de bloque 1: cada variable del diagrama de bloque viene hacer un nodo.viene hacer un nodo.

2: cada bloque viene hacer una rama.2: cada bloque viene hacer una rama. 3: cada punto de suma o punto de bifurcación 3: cada punto de suma o punto de bifurcación

se convierte en nodo. se convierte en nodo.

EJERCICIOS DE APLICACION

1.- Hallar C(s)/R(s) utilizando D.F.S

H(s)

C(s) G(s)

-

+R(s)

Hacemos su D.F.S

• Teniendo en cuenta la reglaR(s)

C(s)1

-H(s)

G(s)

1

( ) ( )( ) 1 ( ) ( )C s G sR s G s H s

1 1( )( )

PC sR s

P1 = 1 *G(s)* 1=G(s)

∆ = 1 – (-H(s)G(s)) = 1+H(s)G(s)

∆1 = 1-0 =1

2.-Encontrar C(s)/R(s) utilizando D:F:S

• Para el siguiente Diagrama

G(s)

H2(s)

R(s)

-

+ C(s)

H1(s)

+++

Realizando su D.F.S.

• Se tiene:

R(s) C(s)1

-H2

H1

1 11 G

Determinando pi, ∆ y ∆i

• Se obtiene:

• p1=1*1*G*1*1=G• p 2= 1*1*H 1*1 = H 1

• ∆=1-(-G*H2 )= 1+G*H2 • ∆1=1-(0)=1• ∆2=1-(0)=1

1 1 2 2( )( )

p pC sR s

Reemplazando pi, ∆ y ∆i

• En:

1 1 2 2 1

2

( )( ) 1

p p G HC sR s GH

3.-Encontrar C(s)/R(s) utilizando D.F.S

• Para el siguiente diagrama:

G1(s)

H1(s)

R(s)

-

+ C(s)

H3(s)

++- G3(s) G2(s)

H2(s)

+ +

-

Realizando su D.F.S

• Se tiene:

R(s) C(s)1

-H1

-H3

G1 1G2 G3

-H2

111

Determinando pi, ∆ y ∆i

• Se obtiene:

• p1 = G1G2 G3 • ∆ = 1- (-G1G2 H1 - G2 H2 - G2G3H3)

• ∆1 = 1

1 1( )( )

pC sR s

1 2 31 1( )( ) 1 1 2 1 2 2 2 3 3

GG GpC sR s G G H G H G G H