1.2.4. cinemática gráfica

CAPITULO II

2.1 FUNCIONES Y GRÁFICAS

Cuando se llevan a cabo experimentos y se llevan a cabo mediciones, se busca que relación guardan las medidas o magnitudes registradas. Esto significa que al variar una de las magnitudes la otra o otras pueden cambiar. Cuando se encuentra que existe relación entre las magnitudes medidas, se dice que una es función de la otra. Dependiendo del tipo de relación existen varios tipos de funciones.

Un método generalmente usado para analizar la dependencia entre dos magnitudes registradas en las mediciones es el denominado método gráfico. El cual significa que las magnitudes registradas se representan en un gráfico a partir del cual se puede realizar el análisis correspondiente entre dichas magnitudes para conocer su dependencia o relación funcional.

En otros casos se conoce la relación funcional entre las magnitudes registradas y se les representa gráficamente para conocer la forma de dicha función.

En primer lugar representaremos gráficamente funciones conocidas, lo que nos permitirá reconocer la forma o representación gráfica de dichas funciones y conoceremos otras que le sean semejantes.

2.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

2.2.1 A PARTIR DE UNA FUNCIÓN CONOCIDA

Ejemplo 1Consideremos la función y = 3x, la cual queremos representarla gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas.Primer pasoConstruimos una tabla en la que se encuentre representado los valores de x e y dados por la función:

x y0 01 32 63 94 125 15

podemos observar que los valores de x han sido previamente asignados y los valores de y encontrados cuando el valor de x es reemplazado en la función y = 3x.Así para el valor de x =0, y =0, para x =2, y =6 etc.

Representaremos en un gráfico de coordenadas cartesianas al eje X como el eje horizontal en el que se ubicaran los puntos correspondientes a los valores de x. Al eje Y como el eje vertical en el que se ubicaran los puntos correspondientes a los valores de y.

R. Luna Victoria M. 1

Para reemplazar los valores de x e y en los respectivos ejes debemos elegir apropiadamente sus escalas. Es una regla general escoger el tamaño de los ejes de la misma dimensión. En nuestro caso el eje X y el eje Y son aproximadamente de la misma longitud.

En el eje X se ubican los valores de x que están comprendidos entre 0 y 5 y en el eje Y los valores de y comprendidos entre 0 y 15. Escogidos los ejes podemos representar el punto que corresponde a cada par (x,y).

De acuerdo al gráfico obtenido podemos observar que la función y = 3x representa una línea recta que pasa por el origen. Este resultado, la representación de una línea recta, puede ser extendido a cualquier función que tenga la misma forma o expresión matemática, por ejemplo:

x = 4t , m = 8.7 V , y = a x

en las que x, t, y, m, V se denominan las variables y 4, 8.7 y a son constantes. Cada una de las funciones indicadas cuando se representan en un sistema de coordenadas cartesianas dan lugar a una línea recta que pasa por el origen.

Debe tenerse en cuenta que cada una de las variables como las constantes tienen sus propias unidades, las que deberán ser indicadas cuando las funciones se representan gráficamente.


Como un ejercicio represente gráficamente las funciones x = 4t y m = 8.7V. Considere en el primer caso a x como el eje vertical y t al horizontal; en el segundo caso m el eje vertical y V el eje horizontal.

Ejemplo 2En el movimiento lineal uniformemente acelerado la función que representa el desplazamiento de un móvil a lo largo del eje X que parte del reposo está dado por la función o ecuación:

x = ½ a t2

Consideremos la función x = 4 t2 que representa un movimiento lineal uniformemente acelerado donde se ha considerado a la constante a = 8 y donde x está dado en metros y t en segundos. Con estos valores de x y de t la constante a tiene como unidades m/s2.

Demos valores a t y construyamos una la tabla y luego grafiquemos x versus t, y luego x versus t2. x(m) t(s) t2(s2)

0 0 04 1 116 2 436 3 964 4 16100 5 25

El primer gráfico corresponde a la representación de x versus t para la función x = 4 t2, en el que podemos observar que dicha representación no es una línea recta sino mas bien una curva a la que por su forma se le denomina parábola. Toda parábola que pasa por el


origen está representado por una función cuya forma general es y = p x2, donde p es una constante.

El segundo gráfico corresponde a la representación de x versus t2 para la misma función x = 4t2 obteniéndose una línea recta que pasa por el origen. En este caso, cuando es una línea recta que pasa por el origen, se suele decir o expresar que x es directamente proporcional a t2 o que se encuentran x y t2 en una proporción directa.

Ejemplo 3A continuación se dan una serie de funciones para que Ud. reconozca cuales de ellas tienen una proporción directa entre sus variables:

a) x = 24 s Entre las variables x y s existe una proporción directa.

b) x = 4 + 12 s No.

c) u = 4 t2 Si entre u y t2. No entre u y t.

d) w = - 3 v1/2 Si entre w y v1/2. No entre w y v.

e) s = - 3 + 2 t2 No.

Ejemplo 4Representar en papel milimetrado o en una hoja cuadriculada las gráficas correspondientes a las funciones:

a) y = 2x + 3b) y = 2 x2 – 4c) y = 4 / xd) y = -2x + 3e) y = 2 t2

Como primer paso construya una tabla con las variables para cada una de las funciones, y luego haga la representación grafica. Cuales de las representaciones graficas corresponden a una línea recta.

2.2.2 A PARTIR DE UNA TABLA DE DATOS

La segunda manera de representar gráficamente una relación entre dos variables o cantidades, es cuando conocemos sus magnitudes pero no conocemos su relación funcional. En este caso dichas cantidades se representan en un sistema de coordenadas cartesianas y de acuerdo al gráfico obtenido podemos deducir la función que las relaciona.

Supongamos que llevamos a cabo el siguiente experimento: medimos la masa de bloques de hierro de diferentes volúmenes y recogemos dicha información en una tabla como la que se muestra a continuación:


M (gr) V (cm3)

0 08 116 224 3

32 4

con los datos obtenidos realizamos un gráfico de masa versus volumen (M vs V)

Del gráfico podemos observar que al unir los puntos obtenemos una línea recta que pasa por el origen. Como señalamos anteriormente esto sucede cuando dos magnitudes se encuentran en una proporción directa .

En nuestro caso podemos señalar que entre la masa M y el volumen V existe una proporción directa o una relación directa entre dichas variables.

Conclusión: En todo grafico en la que una magnitud varia en proporción directa respecto de otra se obtiene una línea recta que pasa por el origen.

2.3 PENDIENTE DE UNA RECTA

A toda línea recta representada en un gráfico, que pase o no por el origen del sistema de coordenadas, le corresponde una cantidad denominada pendiente o inclinación de la recta, la que es representada por la letra m y que está definida de la siguiente manera:

Consideremos una línea recta cualquiera que está representada en el sistema de coordenadas cartesianas mostrado en la figura.


Y S(x,y) Q

y P x Fig. 1

O X

Consideremos dos puntos cualesquiera P y Q sobre la recta. Tracemos por el punto Q una recta paralela al eje Y, y por el punto P una recta paralela al eje X; de esta manera obtenemos el triángulo rectángulo mostrado en la figura cuyos catetos son y y x.

y es la diferencia en coordenadas en el eje Y del punto Q menos las coordenadas del punto P, x es la diferencia en coordenadas en el eje X del punto Q menos las coordenadas del punto P. La relación entre dichas cantidades se conoce como la pendiente m de la recta:

m =

La pendiente caracteriza a la recta y su valor m es una constante e independiente de los puntos que hallan sido tomados para calcularla. En otras palabras a cada recta que tengamos en dicho plano le corresponderá un único valor de la pendiente.

las unidades de la pendiente m corresponde a las unidades de los ejes Y y X respectivamente.

La pendiente de una recta puede tomar valores positivos, negativos o nulos, dependiendo de los signos que correspondan a y y a x. La figura muestra tres rectas cuyas pendientes tienen los siguientes signos:

Y Y Y

(0) (+) (-)

X X X

Fig. 2


Si el valor de la pendiente de una recta se conoce se puede hallar la relación funcional que existe entre las variables x e y. Consideremos en la figura 1, un punto S sobre la recta cuyas coordenadas son S(x,y) y que las coordenadas del punto P son P(x0,y0) conocidas. Los valores de y y x calculados para las coordenadas de los puntos P y S serán:

y = y – y0 y x = x – x0

m = =

resolviendo y = y0 + m (x – x0) (1)

que corresponde a la función o ecuación de la recta representada gráficamente cuando los valores de y0 y x0 son reemplazados.

Cuando la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas, podemos considerar que el punto P está en el origen y por lo tanto sus coordenadas son:

P(0,0) es decir x0 = 0 , y0 = 0

Reemplazando estos valores en la ecuación (1) esta se reduce a la ecuación:

y = m x (2)

que representa la ecuación o función que corresponde a una línea recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas.

Si los valores de x0 y de y0 son diferentes de cero, la ecuación (1) representa en general a una línea recta que no pasa por el origen del sistema de coordenadas.

Ejemplo 5Hallar la pendiente de la recta obtenida en el gráfico Masa versus Volumen.

Solución:Para hallar la pendiente de dicha recta tomemos dos puntos de ella, tales como por ejemplo: P (1,8) y Q (3,24)

Los valores de x y y correspondientes serán: y = 24 – 8 = 16 gr

x = 3 – 1 = 2 cm3

El valor de la pendiente es: m = 16 / 2 = 8 gr/cm3

Conocido el valor de la pendiente podemos encontrar la función que relaciona la masa con el volumen o la ecuación de la línea recta, usando la ecuación (2).

M = 8 V donde 8 es el valor de la pendiente.


En términos generales dos cantidades que varían en proporción directa están representados mediante la función:

y = m x

donde m es una constante de proporcionalidad que representa a la pendiente de dicha recta.

2.4 VARIACIÓN LINEAL

Cuando se representa gráficamente a dos variables y se obtiene una línea recta, como la mostrada en la Fig. 3, que no pasa por el origen O del sistema de coordenadas, se dice que ambas variables se encuentran relacionadas entre si a través de una variación lineal.

La función que representa a la relación entre dichas variables tiene la forma:

y = a x + b

donde a es la pendiente de la recta y b su intersección con el eje Y cuando x = 0.

Y

a, pendiente de la línea recta

b

O X

Fig. 3

Ejemplo 6Dada la tabla de valores mostrada:

x(cm) 0 1 2 3 4 5t(s) -4 -1 2 5 8 11

representar gráficamente los datos en un sistema de coordenadas cartesianas y encontrar:

1. La pendiente de la recta.2. La intersección de la recta con el eje Y3. La ecuación de la recta.4. La intersección de la recta con el eje X.


2.5 VARIACIONES NO LINEALES

2.5.1 VARIACIÓN CUADRÁTICALa variación cuadrática se da cuando una de las variables es proporcional al cuadrado de la otra. La función que la representa tiene la forma general siguiente: y = ax2

el grafico que representa a dicha función es conocida como una parábola, donde a es una constante de proporcionalidad.

La parábola se obtiene cuando se representa gráficamente y versus x. La figura 4 que se muestra representa la función:

y = 4 x2

Si se representa gráficamente para la misma función y versus x2 obtendremos una línea recta que pasa por el origen, donde 4 representa la pendiente de dicha recta.

Fig.4

2.5.2 VARIACIÓN INVERSACuando se tienen dos variables que están relacionadas de tal forma que cuando una de ellas se incrementa la otra disminuye, se dice que dichas variables tienen una relación inversa: “ y es inversamente proporcional a x “ o “ y es proporcional al inverso de x “.

La función que representa a las dos variables que guardan una proporción inversa o relación inversa tiene la forma :

y = a / x


donde a es una constante de proporcionalidad. La representación grafica de y versus x se conoce como hipérbola.

En el figura 5 se muestra la representación gráfica de la función:

y = 6/x

la curva resultante se reconoce como una parábola. Si se representa gráficamente y versus 1/x tendremos una línea recta cuya pendiente debe valer 6. En general la constante de proporcionalidad a corresponde a la pendiente de la línea recta que es el resultado del gráfico y versus 1/x.

Fig. 5


PROBLEMAS PARA RESOLVER

Problema 1La tabla muestra los datos recogidos en un experimento realizado en el laboratorio, donde las variables son el desplazamiento S de un móvil en metros (m) y t el tiempo empleado en segundos (s).

S (m) 4 8 12 16 20t (s) 1 2 3 4 5

a) Graficar S vs tb) La función S = f(t) que relaciona la variable S con t.

Problema 2Con los datos mostrados en la tabla encontrar:

y (cm) 6 8 10 12 14x (cm) 1 2 3 4 5

a) El gráfico que relaciona y vs xb) La función y = f(x) c) Usando el resultado obtenido en b), encontrar el valor de y cuando x=12 cm.

Problema 3Con los datos mostrados en la tabla encontrar.

x (m) -5 -8 -11 -14 -17t (s) 1 2 3 4 5

a) El gráfico que relaciona x vs tb) La función x = f(t)c) Usando el resultado obtenido en b), para que tiempo en segundos el valor de

x = - 19 m

Problema 4Se tiene los siguientes datos recogidos en un experimento.

y (cm) 0 3 12 27 48t (s) 0 1 2 3 4

Graficar y vs tGraficar y vs t2

En el grafico donde haya obtenido una recta encuentre su pendiente y la función que la representa.


Problema 5En un servicio de taxi en cierta ciudad se debe pagar $ 10.00 de “banderazo” y $ 4.00 por kilómetro. Sea d la distancia recorrida por el taxi, y P el importe por pagar:

d (Km) 0 1 2 3 4 5 6

P (pesos)

a) Complete la tabla de este problema.b) Usando los valores tabulados, trace la gráfica P vs d.c) Por medio del gráfico, determine el precio de un servicio de 3.5 Km.d) ¿Cual es el tipo de relación entre P y d ?e) Escriba la expresión matemática o ecuación que relaciona P y d.

Problema 6Un carpintero fabrica discos de madera con diámetros de 10 cm y de 20 cm, ambos con el mismo grosor. Siendo $ 10.00 el precio de los discos mas chicos , ¿ cuanto deben costar los grandes ?. Cuanto costaría un disco de 35 cm de diámetro.

Problema 7El área de la superficie de una esfera es dado por la ecuación: A = 4 R2

Donde si R es dado en metros, A en m2 y 4 una constante que puede ser escogida con tres cifras significativas. Encontrar:

a) Completar la tabla siguiente

A(m2) R(m) 1 2 3 4 5

b) Graficar A vs Rc) Graficar A vs R2

d) En el grafico donde haya obtenido una línea recta encuentre su pendiente y la función que la representa.

e) ¿El valor encontrado de la pendiente es igual a 4?

BIBLIOGRAFÍA.

Beatriz Alvarenga-Antonio Máximo. Física General. 3ra Edición. Harla 1993 Jerry D. Wilson. Física. 2da Edición. Prentice Hall. Frank J. Blatt, Física 3ra Edición, Prentice may Nilo Figueroa, Física Básica y medio ambiente, 2001 F. Bueche, Fundamentos de Física. McGraw Hill


1.2.4. cinemática gráfica

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