12 cuadrados latinos
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METODOLOGIA DE INVESTIGACION
I Semestre 2012
Cuadrados latinos y greco-latinos
Cuadrados latinos Son diseños de experimentos en los que se
pueden formar bloques para dos factores inductores de error.
Se incrementa la precisión al reducir el error experimental.
Determinan si los tratamientos tienen una influencia significativa sobre la variable de respuesta.
Utiliza un arreglo con tres factores, todos con el mismo número de niveles (principal limitación).
Cuadrados latinos Este arreglo recibe el nombre de “cuadrado
latino”.
Cada tratamiento aparece solo una vez en cada fila y solo una vez en cada columna.
Sirven para ahorrar una cantidad considerable de pruebas.
Cuadrados latinos Factor 1 (filas-bloque) Factor 2 (columnas-bloque) Factor 3 (Tratamientos-letras)
Su objetivo fundamental es investigar si los tratamientos influyen significativamente sobre la variable respuesta (variable dependiente).
Cuadrados latinos Supongamos que hay que medir t tratamientos y
que se desea formar bloques para 2 factores.
Se asignan t niveles (la cantidad de tratamientos) a los factores de bloqueo para obtener diseños cuadrados.
Por ejemplo, se quiere estudiar los efectos de 4 nuevos diseños de teclados para computadores.
El diseño del teclado puede tener un efecto sobre la cantidad de errores de tecleo (o sobre la velocidad de escritura)
Cuadrados latinos Los factores “digitador” y “tipo de trabajo”
pueden influir en los resultados.
Por ello, se pueden hacer bloques por digitador y por trabajo.
Se escogen 4 digitadores al azar y 4 trabajos distintos.
Se forma un cuadrado con 4 filas y 4 columnas, para los factores de bloqueo.
Sean A, B, C, y D los 4 diseños de teclado.
Cuadrados latinos Asignaremos las letras a las celdas de este
cuadrado de manera que:
1. Cada letra aparezca exactamente 1 vez en cada fila (digitador).
2. Cada letra aparezca exactamente 1 vez en cada columna (trabajo).
Por último, el orden de ejecución de las pruebas es aleatorio.
Se obtiene el siguiente cuadro
Cuadrados latinos
Factor 1: trabajo (bloque) Factor 2: digitador (bloque) Factor 3: teclados (Tratamientos-letras)
El objetivo es investigar si los teclados (tratamientos) influye significativamente sobre la variable respuesta (número de errores)
Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4
Digitador 1 A B C D
Digitador 2 B A D C
Digitador 3 C D A B
Digitador 4 D C B A
Cuadrados latinos Observe que un diseño que contenga todas las
combinaciones de trabajo, digitador y teclado abarca 4x4x4=64 combinaciones.
En esta forma, el diseño por cuadrado latino ahorra muchas pruebas.
Se basa en la hipótesis de que no hay interacción entre los tratamientos y los factores de bloqueo.
Es decir, el modelo que relaciona la respuesta con los efectos de factor es aditivo:
Cuadrados latinos
Donde es la media general son los efectos de fila son los efectos de columna son los efectos de tratamiento son las variables de error
experimental
Además se cumple para todas (i,j)
ijkkjiijk eY tkji ,...,1,,
ijkijke
0ijkeE 2ijkeV
Cuadrados latinos
Tabla ANOVA para cuadrados latinos (1 réplica)
)1( tSCCCMC
Fuente de variación
Suma de Cuadrados
grados de libertad
Cuadrados medios
F
Tratamientos SCTr t-1
Filas SCF t-1
ColumnasSCC
t-1
Error SCE(t-1)(t-2)
Total SCT t² - 1
)1( tSCFCMF
CMECMCF C
)2)(1(
tt
SCECME
CMECMFF F
)1( tSCTrCMTr CMECMTrF Tr
Cuadrados latinos
Donde
2
22
t
T
t
TSCF
j
j
)( SCTrSCCSCFSCTSCE
2
22
t
T
t
TSCTr
i
i
2
22
t
T
t
TSCC
r
k
2
2
,,
2
t
TTSCTkjiijk
Cuadrados latinos: ejemplo Se probaron 4 modelos de teclado
(tratamientos) en un diseño de cuadrado latino, en el que los factores de bloqueo son trabajo y digitador.
Se seleccionaron 4 digitadores al azar de un grupo con capacidad parecida y se seleccionaron 4 trabajos de digitación.
Cada uno de ellos tenía 4000 caracteres. El resultado es la cantidad de errores que se encontraron al i-ésimo digitador, en el j-ésimo trabajo , trabajando en el k-ésimo teclado.
ijkY
Cuadrados latinos: ejemplo
El diseño por cuadrado latino que se usó es el siguiente
A C D B
D B A C
B A C D
C D B A
Trabajo
Digitador
Cuadrados latinos: ejemplo Los 4 teclados se representan con las letras A, B,
C y D.
El experimento duró 4 días, cada día se asignó a un digitador un trabajo al azar (entre los que todavía no se habían usado).
El teclado que se utilizó es el asociado con el trabajo. Solo se probó un trabajo en un día determinado.
Cuadrados latinos: ejemplo
La tabla siguiente muestra la cantidad de errores de digitación (por 4000 caracteres).
¿Existe una diferencia debido a los teclados en los errores de digitación para un nivel de significación de 0,01?
A 18 C 21 D 25 B 11
D 22 B 12 A 15 C 19
B 15 A 20 C 23 D 24
C 22 D 21 B 10 A 17
Trabajo
Digitador
Cuadrados latinos: ejemplo
A 18 C 21 D 25 B 11 75
D 22 B 12 A 15 C 19 68
B 15 A 20 C 23 D 24 82
C 22 D 21 B 10 A 17 70
77 74 73 71 295
Total
Total
Primero se obtienen los totales por filas y columnas.
Cuadrados latinos: ejemplo
A B C D
70 48 85 92 295Total
Luego, los totales por tratamientos (teclados)
Y las sumas de cuadrados: por fila, columna, tratamientos, total y del error.
Cuadrados latinos: ejemplo
19,2916
295
4
70826875 22222
2
22
t
T
t
TSCF
j
j
87,1119,28469,419,2994,329)( SCTrSCCSCFSCTSCE
19,28416
295
4
92854870 22222
2
22
t
T
t
TSCTr
i
i
69,416
295
4
71737477 22222
2
22
t
T
t
TSCC
r
r
94,32916
29517...252118
22222
2
2
,,
2
t
TTSCTkjiijk
Cuadrados latinos: ejemplo
73,93
19,29
1
t
SCFCMF
978,16
87,11
)2)(1(
tt
SCECME
563,13
69,4
1
t
SCCCMC
73,943
19,284
1
t
SCTrCMTr
79,0978,1
563,1
CME
CMCF C 92,4
978,1
73,9
CME
CMFF F
89,47978,1
73,94
CME
CMTrF Tr
Estos datos se resumen en la tabla siguiente:
Cuadrados latinos: ejemplo Tabla ANOVA para el ejemplo
563,1CMC
Fuente de variación
Suma de Cuadrados
grados de libertad
Cuadrados medios
F
Tratamientos SCTr=284,19 3
Filas SCF=29,19 3
ColumnasSCC=4,69
3
Error SCE=11,876
Total SCT=329,94 15
73,9CMF
79,0CF
978,1CME
92,4FF
73,94CMTr 9,47TrF
Cuadrados latinos: ejemplo Dado que se acepta la
hipótesis de que no hay diferencia en los digitadores (filas) al nivel 0,01.
Puesto que el valor F para las columnas es menor
que 1, se concluye que no hay diferencia en los trabajos.
Sin embargo, ya que el valor F para los tratamientos es 47,9 > 9,78 se concluye que hay diferencia para los tipos de teclado al nivel 0,01.
78,96,3,99.0)2)(1(,1,1 FF kkk
Resumen Un cuadrado latino de orden t es un arreglo txt,
de t filas y t columnas, es decir, de t² celdas.
Cada celda contiene una de t letras, correspondientes a t tratamientos, de forma que cada letra aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna.
Resumen En un cuadrado latino la variación total entre los
datos es dividida en cuatro fuentes:
Entre filas. Entre columnas. Entre tratamientos. Error.
Se asume que los factores afectan los resultados en forma independiente, uno de otro. Esto es, la interacción no es importante o, no existe.
Cuadrados greco-latinos Se utilizan para controlar 3 fuentes de error o
variabilidad (bloques).
Consiste esencialmente de 2 cuadrados latinos superpuestos con las letras latinas A, B, C, etc. usadas en un cuadrado y las letras griegas usadas en el otro cuadrado.
El requisito adicional que tiene que cumplirse es que cada letra latina debe emplearse 1 y sólo 1 vez con cada letra griega.
.,,, etc
Cuadrados greco-latinos
Ejemplo
B A D C
A B C D
D C B A
C D A B
Cuadrados greco-latinos: ejemplo Interesa determinar si existe una diferencia
significativa en el rendimiento de millas por galón entre las gasolinas A, B, C y D.
Diseñe un experimento que utilice 4 conductores, 4 autos y 4 carreteras.
Factor 1: autos (bloque-filas) Factor 2: conductor (bloque- columnas) Factor 3: carreteras (bloque- ) Factor 4: gasolinas (tratamientos-A,B,C y D)
El objetivo es investigar si las gasolinas (tratamientos) influye significativamente sobre la variable respuesta (rendimiento de millas por galón)
,,,
Cuadrados greco-latinos: ejemplo Los distintos autos se representan en las filas y
los conductores en las columnas.
Se asignan aleatoriamente los distintos tipos de gasolina (A,B,C y D) a las filas y columnas, cumpliendo que cada letra aparezca solo una vez en cada fila y en cada columna.
Entonces cada conductor tendrá una oportunidad de conducir cada auto y de usar cada tipo de gasolina y ningún auto será conducido 2 veces con el mismo tipo de gasolina
A continuación se asignan aleatoriamente las 4 carreteras, denotadas por cumpliendo el mismo requisito de los cuadrados latinos.
,,,
Cuadrados greco-latinos: ejemplo Así cada conductor también recibirá la
oportunidad de recorrer cada una de las carreteras.
Suponga que al realizar el experimento las millas por galón son las que se muestran en la siguiente tabla
B 19 A 16 D 16 C 14
A 15 B 18 C 11 D 15
D 14 C 11 B 21 A 16
C 16 D 16 A 15 B 23
Conductor
1 2 3 4
1
Autos 2
3
4
Cuadrados greco-latinos: ejemplo
Total
Determine si existen diferencias al nivel 0,05 de significancia.
Primero se obtienen los totales por filas y columnas.
Total
B 19 A 16 D 16 C 14 65
A 15 B 18 C 11 D 15 59
D 14 C 11 B 21 A 16 62
C 16 D 16 A 15 B 23 70
64 61 63 68 256
Cuadrados greco-latinos: ejemplo Después se obtienen los totales para cada letra
latina y cada letra griega
Total A: 15+16+15+16=62 Total B: 19+18+21+23=81 Total C: 16+11+11+14=52 Total D: 14+16+16+15=61
Total : 14+18+15+14=61 Total : 16+16+21+15=68 Total : 19+16+11+16=62 Total : 15+11+16+23=65
Cuadrados greco-latinos: ejemplo Ahora se calculan las sumas de cuadrados por fila,
columna, letras latinas y griegas, total y del error.
Filas:
Columnas:
Tipos de gasolina:
Carreteras:
50,1616
256
4
70625965 22222
50,11116
256
4
61528162 22222
50,616
256
4
68636164 22222
50,716
256
4
65626861 22222
Cuadrados greco-latinos: ejemplo Suma de cuadrado total
Error
El número total de grados de libertad para un cuadrado de NxN es N2-1.
Cada una de las filas, columnas, letras latinas y griegas tiene N-1 grados de libertad.
Para el error los grados de libertad son (N-1)(N-3). En este caso N=4.
00,650,750,11150,650,1600,148
00,14816
25623...161619
22222
Cuadrados greco-latinos: ejemplo
Tabla ANOVA para el ejemplo
Fuente de variación
Suma de Cuadrados
grados de libertad
Cuadrados medios
F
Filas (Autos) 16,50 3 5,500
Columnas (Conductores)
6,50 3 2,167
Tipos de gasolina
111,503
37,167
Carreteras 7,50 3 2,500
Error 6,003
2,000
Total 148,00 15
75,2000,2
500,5
08,1000,2
167,2
6,18000,2
167,37
25,1000,2
500,2
Cuadrados greco-latinos: ejemplo Ya que
se puede rechazar la hipótesis de que los tipos de gasolina son iguales al nivel de 0,05.
Es decir, el número de millas por galón de los diversos tipos de gasolina son estadísticamente diferentes al nivel 0,05.
Además no hay diferencias entre autos, conductores o carreteras al mismo nivel.
28,93,3,95.01,1,1 FF NN