12 apuntes de funciones 1.pdf
TRANSCRIPT
1
FUNCIONES: GENERALIDADES
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL.-
Una función, f, es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos A y B, que asigna a cada
número, x, del primer conjunto A, un “único” número, y, del conjunto B.
Si los dos conjuntos numéricos A y B son de números reales, a la función .f, se le llama: función
real de variable real.
• En realidad una función, f, trabaja como una máquina que transforma números reales en
números reales de la siguiente forma:
Se simboliza: BAf →:
)(xfyx =a
Se utiliza la siguiente notación:
x: número real que se transforma mediante f en y (o entrada en la máquina) = valor de la variable
independiente = original de y.
y: número real transformado de x mediante f, (o salida en la máquina) = valor de la variable
dependiente.= imagen de x. = f(x) (se lee f de x).
f: criterio de asignación de imágenes.
Al conjunto A se le llama dominio de la función, y se nota con D(f) (se lee D de f), y es el
conjunto de todos los números reales x ,para los que f(x) es un número real (conjunto de todas las
entradas válidas).
El D(f), no se indica explícitamente, sino que se calcula para cada función, a partir de su definición,
salvo que el enunciado del problema nos indique lo contrario.
f
0 1 ℜ
Im(f) (B)
D(f)
(A)
0 1 ℜ x
y=f(x)
(B)
2
Se llama conjunto imagen o recorrido de la función, y se nota con Im (f), o, R(f); al conjunto de
todas las imágenes de los números x de D(f).
• Todos los elementos “x” de A tienen una única imagen ”y” en B; pero no todos los elementos de
ℜ⊂B han de tener un original, “x” en A, ni ser único en caso de que lo tenga.
Ejemplo: “ La función que asigna a cada número real, su cuadrado”:
2/: xyxRRf =→ a ó 2)( xxf =
(indica que: ;16
9
4
3;
16
9
4
3;22;22;11;11 aaaaaa −−− etc.).
FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN.-
Las funciones pueden venir definidas de diferentes formas, (no necesariamente excluyentes)
mediante:
• El enunciado de un problema.
Ejemplo: “En un bloque de viviendas las ventanas son rectangulares y deben tener 2 m2 de luz.
Obtener la altura, y, de cada una en función de la medida, x, que se le dé a la base”.
(Área=base×alturax
yyx2
2 =→⋅=→ ).
• Una tabla de valores: en la que aparece cada original (o entrada), x, con su imagen ( o salida)
correspondiente, y.
Ejemplo: Se han medido las temperaturas de un líquido a medida que se calentaba, obteniendo la
tabla siguiente:
Tiempo t (min) 0 1 2 3 4 5
Temperatura T (ºC) 20 24 28 32 36 40
La tabla no tiene porqué cubrir todos los valores del dominio de la función. En el ejemplo: para
cada valor de t comprendido entre 0 y 5, existe un valor de T, que podríamos calcular
aproximadamente, a partir de la tabla, mediante un procedimiento matemático llamado
interpolación.
• Una Gráfica: Si consideramos cada pareja de valores correspondientes (x, y) u (original, imagen)
o (entrada, salida), como un punto del plano, y los dibujamos en un sistema de ejes coordenados,
obtenemos la gráfica de la función, que se nota Gráf(f):
Gráf(f)= { })(/),( xfyyxP =
3
x: es la 1ª coordenada de f ó abscisa del punto P de la gráfica.
y: es la 2ª coordenada de f u ordenada del punto P de la gráfica.
Ejemplo: La función que asigna a cada número su cuadrado:
Por muchos puntos que conozcamos de la gráfica es arriesgado unirlos por trazos continuos , sin
hacer un estudio previo de las propiedades de la función.
La gráfica de una función permite hallar fácilmente imágenes y originales de dicha función.
En el ejemplo: La imagen de −2 es 4, y se expresa: 4)2( =−f
Los originales del 4 son 2, y −2, y se expresa: { }2,2)4(1 −=−f .
La gráfica de f nos permite interpretar de manera muy sencilla las propiedades de la función
(Dominio, recorrido, simetrías, signo, variación, continuidad, etc.)
• Una fórmula matemática, llamada expresión algebraica (o expresión analítica) de la función,
que relaciona cada valor, x, del D(f), con su imagen y ó f(x) Dicha fórmula es el criterio de
asignación de imágenes. Ejemplos:
La función que asigna a cada número real, su cuadrado: 2)( xxf = ó 2xy =
La función que asigna a cada número su inverso: x
xf1
)( = ó x
y1=
La superficie del círculo en función de su radio: 2)( rrS ⋅= π ó 2rA ⋅= π
El volumen de un cubo en función de su arista: 3)( aaV = ó 3aV =
La mayoría de las funciones se pueden expresar mediante una fórmula o expresión algebraica. Es la
forma más deseable de expresar la función, ya que facilita el estudio de las propiedades de la
función por métodos matemáticos rigurosos y exactos.
A partir de la expresión algebraica de la función, se pueden obtener las otras formas de expresarla
(tabla y gráfica).
4
Hay funciones que no están definidas por una única fórmula, sino que se expresan con una
expresión algebraica diferente en cada parte de su dominio. Se llaman: funciones definidas a trozos
o funciones de dominio partido.
DETERMINACIÓN DE IMÁGENES Y ORIGINALES: PUNTOS DE L A GRÁFICA
Si el punto )())(,( fGráfxfxP ∈ , se dice también (por abuso del lenguaje) que P es un punto de la
función.
En la práctica se presentan las siguientes cuestiones:
1. Comprobar si )(),( fGráfbaP ∈ :
• Mediante la gráfica: )(),( fGráfbaP ∈
)()','(' fGráfbaP ∉
• Mediante la fórmula )(xfy = : Si )()( fGráfPbaf ∈⇒=
Si )()( fGráfPbaf ∉⇒≠
2. Conocida la abscisa, a, de P, ¿cuál es su ordenada? ,o también: ¿cuál es la imagen, b, de a?:
• Mediante la gráfica: observando el dibujo anterior.
• Mediante la fórmula: baf =)( . (b es único para cada valor a).
3. Conocida la ordenada, b, de P, ¿cuál es su abscisa? , o también: ¿cuáles son los originales de
P?:
• Mediante la gráfica:
• Mediante la fórmula: Hacemos: by = ó bxf =)( , que es una ecuación en x, de la que se
despeja x { }',)(1 aabf =− .
Ejemplo.- Sea la función
>−<≤−−
−<+=
2,2
21:,2
1:,4
)(
six
xsix
xsix
xf
Calcula: a)Las imágenes de: −3, −1, 1/2 b) Los originales de: −6, −4, −2.
5
PROPIEDADES O CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES
Venga expresada la función mediante su expresión algebraica o mediante su gráfica, es importante
reconocer las siguientes propiedades:
1. ¿Es función?.-
• Algebraicamente: No puede haber ningún número real que tenga dos imágenes diferentes.
Ejemplos: 2)( xxf = es función, pues cada número real tiene una sola imagen.
xxf ±=)( no es función, pues el 4 tendría dos imágenes diferentes: 2 y −2.
• Gráficamente: No puede haber ninguna recta vertical que corte a la gráfica en más de un punto:
No función Función
2. Función inyectiva.-
Una función , )(xfy = , es inyectiva, si cada valor del conjunto Im(f), es imagen de un “sólo” original.
Para que una función sea inyectiva, dos originales diferentes a y b, no pueden tener la misma
imagen, es decir que si ba ≠ entonces )()( bfaf ≠ .
•Algebraicamente: Para comprobar que una función es inyectiva:
f es inyectiva )()( bfaf =⇔ (ecuación) ba =→ (es la única solución)
•Gráficamente: f es inyectiva, si cualquier recta horizontal corta a la gráfica de f en un punto
como mucho. Si alguna de las rectas horizontales corta a la gráfica en más de un punto, la función f,
no es inyectiva.
Ejemplos:
Inyectiva No inyectiva
6
Ejercicio: Dadas las funciones: 13 −= xy e 42 −= xy , argumenta si son o no inyectivas, sin
dibujar sus gráficas.
Solución:
• 13 −= xy ó 13)( −= xxf es inyectiva )()( bfaf =⇔ (ecuación) ba =→ (es la única
solución)
)()( bfaf = bab
ababa =⇔=⇔=⇔−=−⇔3
3331313 (solución única)
• 42 −= xy ó 4)( 2 −= xxf es inyectiva )()( bfaf =⇔ (ecuación) ba =→ (es la única
solución)
)()( bfaf = babababababa −==⇒±=⇔±=⇔=⇔−=−⇔ ;44 22222 ( dos soluciones
diferentes).
La primera función es inyectiva, la segunda no lo es.
3. Dominio de f.-
Al conjunto de números reales que tienen imagen real mediante la expresión algebraica, , )(xfy = ,
de la función, se le llama dominio natural de f.
• Algebraicamente: Si )(xfy = es la fórmula conocida de la función, para calcular su dominio
natural, D(f), tendremos en cuenta que en R:
a) No se puede dividir por 0, por lo que el “denominador≠ 0.”
b) No se pueden extraer raíces de índice par de los números negativos, por lo que el
“ radicando≥ 0”
c) Los números reales negativos y el 0, no tienen alog , por lo que el “argumento>0”.
Las demás operaciones con números reales, siempre dan lugar a otro número real.
∗ A veces el dominio natural de la función queda limitado por las condiciones del problema , ya sea
por el contexto real del que se ha sacado la función, o por voluntad de quien lo propone.
Ejemplo: 13)( −= xxf , tiene como dominio natural: D(f)=R, y 13)( −= xxg [ ]2,2−∈∀x , tiene
por dominio: D(g)= [ ]2,2− , en lugar de R.
7
∗ El D(f) de las funciones que no están definidas por una única fórmula, sino que se expresan con
una expresión algebraica diferente en cada parte de su dominio ( funciones definidas a trozos o de
dominio partido), se calcula teniendo en cuenta las operaciones con números reales que dan (o no)
lugar a un número real, y las condiciones del problema.
Ejemplo.-
>−<≤−−
−<+=
22
212
14
)(
xsi
xsix
xsix
xf cuyo D(f) se calcula de la forma:
y=x+4 y=−2x y=−2
D(f)
• Gráficamente: El valor a está en el dominio de f sólo si la recta vertical trazada en (a,0), corta a la
Gráf(f). Luego trazando rectas verticales perpendiculares al eje de abscisas, la zona del eje de
abscisas en la que hay definida gráfica es el D(f).
Ejemplos:
D(f)=R D(g)= [ [+∞,1
4. Imagen o recorrido f.-
Es el conjunto formado por los números reales que son imágenes de los valores de D(f)
•Gráficamente: El número b, está en Im(f), sólo si la horizontal trazada por (0,b), corta a la
Gráf(f)
Im(f)= [ [+∞− ,1 Im(g)= [ [+∞,1
8
5. Simetrías: Paridad de f.-
Una función, )(xfy = ,es par o simétrica respecto al eje de ordenadas, si verifica que :
)()( afaf =− , )(, fDaa ∈−∀ , es decir, los valores opuestos del D(f) tienen la misma imagen.
Una función, )(xfy = , es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas, sise verifica
que : )()( afaf −=− , )(, fDaa ∈−∀ , es decir, los valores opuestos del D(f) tienen imágenes
opuestas.
•Gráficamente se refleja de la siguiente forma:
Función par Función impar
6. Puntos de corte con los ejes.-Signo de la función.-
• Algebraicamente: si la expresión algebraica de f es )(xfy = :
-Los puntos de corte con el eje de abscisas, se calculan resolviendo el sistema formado por la
fórmula de la función y la ecuación del eje:
==
0
)(
y
xfy A(f−1(0),0) (puede haber más de uno)
Los puntos de corte con el eje de ordenadas, se calculan resolviendo el sistema formado por
la fórmula de la función y la ecuación del eje:
==
0
)(
x
xfy B(0,f(0)) (sólo puede haber uno)
• Gráficamente: sólo hay que buscar los puntos comunes de la gráfica con cada eje.
Determinar el signo de una función, )(xfy = , es obtener los valores de su dominio para los
cuales se cumple que: 0)( >xf , 0)( =xf y 0)( <xf .
9
• Gráficamente: el signo de f se busca observando los valores de x para los que la Gráf(f) está
por encima del eje de abscisas ( si 0)( >xf ), corta al eje (si 0)( =xf ) o está por debajo de dicho
eje (si 0)( <xf ).
• Algebraicamente: El signo de f puede cambiar en:
-Los valores, x, en los que 0)( =xf , es decir, en las abscisas, x, de los puntos de corte con el
eje de abscisas.
-Los valores, x, que no están en el D(f).
-Los valores, x del D(f), en los que la función cambia de expresión algebraica (sólo en las
funciones definidas a trozos).
El signo de f, solo pueden cambiar en dichos valores; por lo que se representan todos sobre la recta
graduada, de manera que la recta queda dividida en zonas. Por último, se estudia el signo de f en
cada una de ellas (dando un valor a x en cada zona y observando el signo de f(x)).
Ejemplo.- 4
1)(
−+=
x
xxf
Abscisas de los puntos de corte con el eje de abscisas (A(−1,0)): x = −1
Valores de x que no están en el D(f): x = 4. Los llevamos sobre la recta graduada:
Signo de y
Valores de x
Luego: ( ) ( )+∞∪−∞−=+ ,41,I y ( )4,1−=−I
7. Monotonía y extremos.-
Estudiar la monotonía o variación de una función es determinar sus intervalos de crecimiento y de
decrecimiento, así como sus extremos.
Si I es un intervalo del D(f): )( fDI ⊂ :
-Se dice que )(xfy = es creciente en I (I c) si cIkh ∈∀ , con h<k se cumple que )()( kfhf ≤ .
A I c se le llama intervalo de crecimiento de f
Si en lugar de )()( kfhf ≤ , se cumple )()( kfhf < , se dice que )(xfy = , es estrictamente
creciente en I.
-Se dice que )(xfy = es decreciente en I (ID) si DIkh ∈∀ , con h<k se cumple que
)()( kfhf ≥ .
10
A ID se le llama intervalo de decrecimiento de f
Si en lugar de )()( kfhf ≥ , se cumple )()( kfhf > , se dice que )(xfy = , es estrictamente
creciente en I.
Entorno de centro a y radio r:
Es el conjunto de todos los números reales que distan del centro, a, menos que el radio, r (con r>0).
Se puede expresar: { } { } ] [rararaxRxraxdRxraE +−=<−∈=<∈= ,/),(/),(
Si consideramos el entorno E(a, r) sin su centro, a, se llama: entorno reducido de centro a y radio r,
y se nota: ),( raE∗ : { } ] [ ] [raaaraaraEraE +∪−=−=∗ ,,),(),(
Ejemplo.- ] [ ] [4,231,31)3,,1( −=+−=E { } ] [ ] [4,11,21)3,1()3,1( ∪−=−=∗ EE
-Se dice que )(xfy = presenta un máximo relativo en x=a, si hay un entorno de centro a y
radio r, E(a,r), en el que se cumpla que: )()( afxf ≤ ),( raEx∈∀ . (En dicho entorno, f pasa de ser
creciente a la izquierda de a, a ser decreciente a la derecha de a).
Si además en x=a, la función toma el mayor valor, f(a), de entre todos los valores de Im(f), se
dice que x=a es un máximo absoluto de f.
-Se dice que )(xfy = presenta un mínimo relativo en x=a, si hay un entorno de centro a y
radio r, E(a,r), en el que se cumpla que: )()( afxf ≥ ),( raEx∈∀ . (En dicho entorno, f pasa de ser
decreciente a la izquierda de a, a ser creciente a la derecha de a).
Si además en x=a, la función toma el menor valor, f(a), de entre todos los valores de Im(f), se
dice que x=a es un mínimo absoluto de f.
A los máximos y mínimos de una función, se les llama: extremos de dicha función.
Creciente Decreciente Máximo relativo:(2,4) Mínimo relativo:(−1,−2)
11
∗ El crecimiento (decrecimiento) de f puede cambiar en:
-Los extremos relativos de f.
-Los valores, x, que no están en el D(f).
-Los valores, x, del D(f) en los que la función cambia de expresión algebraica (sólo en las
funciones definidas a trozos).
Teniendo esto en cuenta, más adelante estudiaremos como varía la función a partir de su fórmula.
8. Concavidad y puntos de inflexión.-
- Una función es cóncava hacia arriba (o convexa) en I (con )( fDI ⊂ ), si se cumple que
Iba ∈∀ , , el segmento de extremos: A(a,f(a)) y B(b,f(b)), queda completamente por encima de la
Gráf(f) en ] [ba, . Al intervalo de convexidad, I, le notamos: ∪I .
- Una función es cóncava hacia abajo (o cóncava) en I (con )( fDI ⊂ ), si se cumple que
Iba ∈∀ , , el segmento de extremos: A(a,f(a)) y B(b,f(b)), queda completamente por debajo de la
Gráf(f) en ] [ba, . Al intervalo de concavidad, I, le notamos: ∩I .
Convexa Cóncava Punto de inflexión
- Una función posee un punto de inflexión en x=i, si en (i,f(i)), la función cambia de concavidad.
∗ La concavidad de f puede cambiar en:
-Los puntos de inflexión de f.
-Los valores, x, que no están en el D(f).
-Los valores, x, del D(f) en los que la función cambia de expresión algebraica (sólo en las
funciones definidas a trozos).
Teniendo esto en cuenta, más adelante haremos el estudio de la concavidad de la función a partir de
su fórmula.
A
B
12
9.Asíntotas y ramas parabólicas.-
•Gráficamente: las asíntotas son rectas verticales, horizontales y oblicuas a las que la Gráf(f) se
aproxima cada vez más y tanto como se quiera ( de momento sólo se les puede reconocer sobre la
gráfica de f).
Ejemplos.-
- Asíntota vertical: su ecuación es de la forma x=a.
- Asíntota horizontal: su ecuación es de la forma: y=b
- Asíntota oblicua: su ecuación es de la forma: y=mx+n
A.V: x=0
A.H.: y=0 A.O: y=x
Una función posee una rama parabólica, si en su gráfica a medida que x se hace cada vez más
grande, )(xf se hace cada vez mayor y no tiene asíntotas oblicuas.
Ejemplos.- En la Gráf(f) se reconocen porque tienen la siguiente forma:
13
10. Continuidad de una función.-
• Gráficamente: Una función es continua en )( fDI ⊂ , si podemos dibujar su gráfica en I (de
izquierda a derecha), sin levantar el lápiz del papel; en caso contrario, se dice discontinua en el
valor Ia∈ en el que se presente la interrupción de Gráf(f).
Las discontinuidades que se pueden producir en un punto de la gráfica, reciben un nombre
diferente dependiendo del tipo de interrupción del que se trate.
Ejemplos.-
Discontinuidad de salto infinito en x=1 Discontinuidad de salto finito en x=1
Discontinuidades evitables en x=1 Continua
FUNCIONES ALGEBRAICAS: GRÁFICAS DE ALGUNAS FUNCIONE S ELEMENTALES
Las funciones en cuya expresión algebraica x está sometida sólo a las operaciones: suma, resta,
multiplicación, división, potencia o raíz, se llaman funciones algebraicas.
Ejemplos.- 12)( 2 ++= xxxf 3
1)(
2
+−=
x
xxg 1)( 2 −= xxh
Entre ellas se encuentran:
1. Funciones polinómicas.-
Son aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio. El grado del polinomio es el grado de la
función polinómica.
14
Ejemplos.- 3)( =xf 12)( += xxg 12)( 2 ++= xxxh 1)( 3 −= xxj ,
son funciones polinómicas de grados o, 1, 2 y 3 respectivamente.
Todas las funciones polinómicas tienen por dominio: D(f)=R, son continuas en él y no tienen
asíntotas. Entre estas funciones estudiaremos:
1.1.-Función constante:
Es la función polinómica de grado 0. Su expresión algebraica es de la forma: nxf =)( ó ny = .
Su gráfica es una recta paralela o coincidente con el eje de abscisas, a n unidades del origen:
1.2.-Función lineal y afín:
Es la función polinómica de grado1. . Su expresión algebraica es de la forma:
mxxf =)( ó mxy = para la función lineal o de proporcionalidad directa
nmxxf +=)( ó nmxy += para la función afín.
Su gráfica es una recta oblicua. Para representarla basta con obtener dos puntos cualesquiera de ella.
Lineal: recta que pasa por el origen. Afín: recta que no pasa por el origen.
Las funciones lineales o de proporcionalidad directa se representan mediante rectas que pasan por el
origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables y la pendiente de la recta es
la razón de proporcionalidad.
Las funciones afines se representan mediante rectas de “pendiente m” que cortan al eje de
ordenadas en el punto (0, n). Al número n se le llama “ordenada en el origen”.
15
1.3.-Función cuadrática:
Es la función polinómica de grado 2. Su fórmula es: cbxaxxf ++= 2)( ó cbxaxy ++= 2 .
Se representan todas ellas mediante parábolas .Cada una de estas parábolas es una curva en forma
de horquilla (∪ ó ∩ ), que tiene un eje paralelo al eje de ordenadas, respecto del que es simétrica,
llamado eje de la parábola. El punto común a la parábola y a su eje se le llama vértice de la parábola
que la divide en dos partes llamadas ramas de la parábola.
Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más ancha, más estrecha,...) depende del coeficiente principal, a
de manera que si a>0, la parábola es: ∪ (con sus ramas hacia arriba o convexa), y si a<0, es ∩
(con sus ramas hacia abajo o cóncava). Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola.
Para representar cualquier parábola es conveniente seguir las pautas siguientes:
� Calculamos las coordenadas del vértice: ),( 00 yxV , con
=
−=
)(2
00
0
xfya
bx
� Calculamos los puntos de corte con los ejes coordenados
� Fabricamos una tabla de valores con algunos valores de x elegidos a ambos lados de la
abscisa del vértice.
Llevamos todos los datos obtenidos sobre el sistema de ejes coordenados.
� La ecuación de su eje es: 0xx = , con xo = abscisa del vértice.
∗ La demostración de que a
bx
20 −= , es la abscisa del vértice, se puede hacer teniendo en cuenta
que coincide con la abscisa del punto medio de un segmento cuyos extremos sean dos puntos
simétricos respecto de su eje cualesquiera, por ejemplo: los dos puntos de ordenada c , cuyas
abscisas calculamos:
16
++==
cbxaxy
cy2
( )
−=
=⇔=+⇔=+⇔=++⇔
a
bx
xbaxxbxaxccbxax
00022 luego la
abscisa del punto medio será : a
ba
b
x22
0
0 −=
−+= c.q.d.
2. Funciones racionales.-
Son funciones cuya expresión algebraica es una razón algebraica (cociente de polinomios):
)(
)()(
xQ
xPxf = ó
)(
)(
xQ
xPy = .
Su dominio de definición, sabemos que es { }0)(/)( ≠∈−= xQRxRfD .Muchas de ellas tienen
asíntotas. Entre ellas estudiaremos:
2.1.-Función racional de numerador de grado ≤ 1 y denominador de grado 1:
Su expresión algebraica es de la forma: dcx
baxxf
++=)( ó
dcx
baxy
++= con 0≠c y a y b no nulos a la
vez.
Su gráfica es una hipérbola . Cada hipérbola es una curva con dos asíntotas (una vertical y otra
horizontal), que está formada por dos ramas, y que es simétrica respecto del punto de corte de sus
asíntotas, llamado centro de simetría de la hipérbola.
Sus asíntotas dividen al plano en 4 cuadrantes, y las ramas de la hipérbola están colocadas en el 1º y
3º, ó en el 2º y 4º de estos cuadrantes. La hipérbola tiene la siguiente forma:
Para representar cualquier hipérbola, es conveniente seguir las siguientes pautas:
� Calculamos su dominio.
� Calculamos sus dos asíntotas: ( )
=
=+↔−=
c
ayHA
dcxc
dxVA
:..
0:..
� Calculamos los puntos de corte con los ejes.
17
� Fabricamos una tabla de valores con algunos valores de x elegidos a ambos lados de la
asíntota vertical.
Llevamos todos los datos obtenidos sobre el sistema de ejes coordenados.
� Las coordenadas del centro de simetría son:
−c
a
c
dC , .
3. Funciones irracionales.-
Son aquellas en cuya fórmula interviene alguna raíz de índice n, que tiene una expresión con x en el
radicando: n xRxf )()( = , con R(x) racional.
Su dominio de definición sabemos que se calcula:
• Si n es impar: D(f)=D(R)
• Si n es par: Radicando0≥ , es decir, 0)( ≥xR , luego: { }0)(/)( ≥∈= xRRxfD .
Entre ellas estudiaremos:
3.1. Funciones raíz cuadrada de un polinomio de 1º grado:
Su expresión algebraica es de la forma: baxhkxf ++=)( ,ó baxhky ++= con a 0≠ y h 0≠
Su gráfica tiene la forma de una rama de parábola de eje horizontal, cuyo vértice es el punto de
corte de la curva con su eje.
La gráfica toma la siguiente forma:
Para representar cualquiera de estas gráficas es conveniente seguir el siguiente esquema:
18
� Calculamos su dominio.
� Calculamos las coordenadas de su vértice:
− ka
bV ,
� Calculamos los puntos de corte con los ejes.
� Fabricamos una tabla de valores con algunos valores de x elegidos en su dominio.
Llevamos todos los datos obtenidos sobre el sistema de ejes coordenados.
� La ecuación de su eje es: ky = .
4. Funciones definidas a trozos (o de dominio partido).-
Son funciones que no están definidas por una única fórmula sino que presentan una expresión
algebraica diferente en cada parte de su dominio.
Ejemplo:
>−<≤−−
−<+=
2:;2
21:;2
1:;4
)(
xsi
xsix
xsix
xf
Para calcular la imagen de un valor )( fDx∈ , observamos a que trozo del dominio pertenece y lo
sustituimos en la expresión algebraica correspondiente a dicho trozo.
En la función del ejemplo: 242)2( =+−=−f ; 2)1(2)1( =−⋅−=−f ; 2)3( −=f .
Su gráfica está formada por los trozos de gráfica correspondientes a cada parte de su dominio:
Otro ejemplo: Función parte entera.-
Se llama parte entera de un número x al mayor número entero menor o igual a x. Definimos la
función para entera de x, Ent(x), que hace corresponder a cada número x su parte entera.
Su gráfica es:
19
OPERACIONES CON FUNCIONES.-
Dadas dos funciones reales de expresiones algebraicas: y=f(x) e y=g(x), se definen entre ellas las
operaciones siguientes:
1. Operaciones algebraicas:
• Suma: ( ) )()()( xgxfxgf +=+
• Resta: ( ) )()()( xgxfxgf −=−
• Multiplicación: ( ) )()()( xgxfxgf ⋅=⋅
• División: )(
)()(
xg
xfx
g
f =
Con dominios de definición: )()()()()( gDfDgfDgfDgfD ∩=⋅=−=+
( ){ }0/)()}()({ =∈−∩=
xggDxgDfD
g
fD
• Se define la función opuesta de f: ( ) )()( xfxf −=− , con ( ) ( )fDfD =− .
• Se define la función inversa de f respecto de la multiplicación: )(
1)(
1
xfx
f=
, con
( ){ }0/)()(1 =∈−=
xffDxfD
fD
���� Se define el valor absoluto de una función f: ( )( ) ( )xfxf = , con ( ) ( )fDfD = .
∗ Las gráficas de ( )f− y de f se construyen a partir de la gráfica de f de la forma siguiente:
Opuesta de f Valor absoluto de f
2. Composición de funciones (operación no algebraica):
Dadas las funciones: )(xfy = y )(xgy = , se definen las funciones:
20
���� f compuesta con g, y se nota ( )fg o : a la función cuya expresión algebraica es:
( )( ) ( )( )xfgxfg =o
Su dominio de definición es: ( ) ( ) ( ) ( ){ }gDxffDxfgD ∈∈= /o .
���� g compuesta con f, y se nota ( )gf o : a la función cuya expresión algebraica es:
( )( ) ( )( )xgfxgf =o
Su dominio de definición es: ( ) ( ) ( ) ( ){ }fDxggDxgfD ∈∈= /o .
En general: ( ) ( )gffg oo ≠ .
En la práctica el dominio de cada una de ellas se obtiene a partir de su fórmula respectiva “antes de
hacer cálculo alguno o simplificar”.
Ejemplo: 2)( xxf = y x
xg−
=1
1)(
���� ( )( ) ( )( ) ( )2
2
1
1
xxgxfgxfg
−===o
Con ( ) ( ) { }1,11101 22 −−=→±≠⇔≠⇔≠−→ RfgDxxxfgD oo
���� ( )( ) ( )( )2
1
1
1
1
−=
−==
xxfxgfxgf o
Con ( ) ( ) { }11010)1( 2 −=→≠⇔≠−⇔≠−→ RfgDxxxfgD oo .
Después de calcular el dominio se puede seguir operando y simplificando en la fórmula :
( )( )( )2
2
1
1
1
1
xxxgf
−=
−=o
• Función inversa respecto de la composición.-
Dada la función f , de fórmula: )(xfy = : sabemos que f es la función que asigna a x, y: yxf →: .
A la correspondencia que transforma y en x , se le llama: correspondencia inversa de f , y se nota
con 1−f : xyf →− :1 .
���� 1−f es función, sólo si f es una función inyectiva, ya que si no lo fuera, habría algún valor
)Im( fb∈ con más de un original (a,a’,..), y por lo tanto 1−f no podría ser función (pues b
tendría varias imágenes: a,a’,…, por 1−f ).
A la función 1−f (en caso de que lo sea) se le llama: función inversa o recíproca respecto
de la composición: ( ) xyf =−1
���� 1−f es inversa respecto de la composición porque cumple la siguiente condición:
iffff == −− 11oo , siendo i la función identidad : ( ) xxi = .
21
Demostración:
( ) ( )( ) ( ) iffxyfxffxff =⇔=== −−−−oo
1111 )(
( ) ( )( ) ( ) iffyxfyffyff =⇔=== −−−− 1111)( oo c.q.d.
Para calcular :
���� Su expresión algebraica:
1º) En la fórmula de f , )(xfy = , , despejamos x, obteniendo : )(1 yfx −= .
2º) En )(1 yfx −= , cambiamos x por y (ya que hemos llamado siempre x a la variable
independiente e y a la dependiente), quedando: )(1 xfy −= .
� Su dominio: )Im()( 1 ffD =− .
� Su gráfica es simétrica de la Gráf(f) respecto de la bisectriz del 1º y 3º cuadrante (y=x) ,
porque si ( ) ( )1),('),( −∈⇔∈ fGráfxyPfGráfyxP :
Ejemplo: La función inversa de xxf =)( respecto de la composición, tiene :
Su expresión algebraica: en xy = , se despeja x: xy =2 se cambia x por y:
22 xyyx =⇔= que también se expresa: 21 )( xxf =− .
Su dominio: [ [+∞=== +− ,0)Im()( 1 RffD
Su gráfica:
Observación:
Si )(xfy = no es inyectiva, sabemos que )(1 xf − es correspondencia pero no función. En este
caso, podemos restringir (limitar) el dominio natural de f , hasta conseguir que f sea inyectiva en el
22
dominio ya restringido ( ( )fD∗ ), manteniendo siempre el mismo recorrido para f , con lo que se
consigue que 1−f sea función.
Ejemplo: 1)( 2 −= xxf
¿Es inyectiva?: )()( bfaf = babababababa −==⇒±=⇔±=⇔=⇔−=−⇔ ;11 22222
ba = no es la única solución f⇒ no es inyectiva 1−⇒ f no es función.
Restringimos el D(f): Para ello dibujamos 12 −= xy : parábola de V(0,-1) , eje: x=0 y cortes con
los ejes: (-1,0) , (1,0) ,y (0,-1) :
Se toma como dominio restringido: ( ) [ )+∞=∗ ,0fD ó ( ) ( ]0,∞−=∗ fD , ya que en ambos casos:
( ) [ )+∞−= ,1Im f .
• Si ( ) [ )+∞=∗ ,0fD , 1)( 2 −= xxf , tiene ( ) [ )+∞−= ,1Im f ⇒ En ( )fD∗ , f es inyectiva y 1−f
es función , que tiene como expresión algebraica:
11111 22 ++=→+±=→+±=⇔=+⇔−= xyxyyxxyxy ó 1)(1 ++=− xxf
Como dominio: ( ) ( ) [ )+∞−==− ,1Im1 ffD e ( ) ( ) [ )+∞== ∗− ,0Im 1 fDf .
Y su gráfica:
• Si ( ) ( ]0,∞−=∗ fD , 1)( 2 −= xxf , tiene ( ) [ )+∞−= ,1Im f ⇒ En ( )fD∗ , f es inyectiva y 1−f
es función , que tiene como expresión algebraica:
11111 22 +−=→+±=→+±=⇔=+⇔−= xyxyyxxyxy ó 1)(1 +−=− xxf
Como dominio: ( ) ( ) [ )+∞−==− ,1Im1 ffD e ( ) ( ) ( ]0,Im 1 ∞−== ∗− fDf .
Y su gráfica:
23
FUNCIONES NO ALGEBRAICAS.-
Función exponencial de base a:
Su fórmula: ( ) xa axxf == exp)( ó xay = con )0( >∈ + aRa y 1≠a .
Para hacer su gráfica construimos su tabla de valores, y obtenemos las gráficas siguientes:
Si a>1 Si 0<x<1 Relación entre ambas
Función logarítmica de base a.-
Es la función inversa de la función exponencial:
xay = es inyectiva ⇒ tiene función inversa: 1−f es función.
Su expresión algebraica: ( ) ( )xyyxay aax loglog =→=⇔= ó ( ) ( )xxf alog1 =− .
Su dominio: ( )+∞==− ,0)Im()( 1 ffD .
Su Gráfica:
Observando sus gráficas respectivas, podemos estudiar sus propiedades:
• Las de la función exponencial en base a:
� Su dominio es R , en el que es inyectiva y continua.
� Su recorrido es ( ) ( )+∞= ,0Im f , es decir, el conjunto de todos los números reales
estrictamente positivos.
� Corta al eje de ordenadas en el punto: ( )1,0 .
� Si a>1 , es estrictamente creciente ; y si 0<a<1 , es estrictamente decreciente.
� Si a>1 , el eje de abscisas es asíntota horizontal por la izquierda ; y si 0<a<1 , por la
derecha.
• Las de la función logarítmica en base a:
� Su dominio es ( ) ( )+∞= ,0fD , en el que es inyectiva y continua
� Su recorrido es: ( ) =fIm R .
24
� Corta al eje de abscisas en el punto (1,0).
� Si a>1 , es estrictamente creciente ; y si 0<a<1 , es estrictamente decreciente.
� El eje de ordenadas es asíntota vertical.
FUNCIONES PERIODICAS.-
Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que x recorre un cierto
intervalo del dominio. La longitud de dicho intervalo se llama periodo.
Muchos fenómenos reales siguen un comportamiento periódico. La consideración de estas
funciones es de gran ayuda para estudiar dichos fenómenos, ya que estudiando lo que ocurre en un
periodo , se puede extender al resto de la función.
La función f es periódica de periodo T, si ( ) ( )xfTxf =+ ( )fDx∈∀ . Al menor número positivo
T que cumple esta condición, se llama periodo.
Como ejemplos importantes de funciones periódicas:
Función parte decimal.-
Su fórmula ( ) ( )xentxxf −= .Es la función que le hace corresponder a cada número su parte
decimal. Su gráfica:
Es una función periódica de periodo: T=1.
Funciones trigonométricas.- Funciones trigonométricas inversas.-
Las funciones trigonométricas directas son el ejemplo más utilizado de las funciones periódicas. Sus
funciones inversas respecto de la composición, no son periódicas. Libro S.M. páginas: 226,227,228.
TRANSFORMACIONES EN EL PLANO: CONSTRUCCIÓN DE GRÁFI CAS DE
FUNCIONES POR TRASLACIÓN Y DILATACIÓN.-
Libro S.M. : página: 229.