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5/7/2018 11+TEORÍA+COMBINATORIA++Y+DE+PROBABILIDADES++ACTUALIZADA - slidepdf.com

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TEORÍA COMBINATORIA

HAMLET MATA MATA PROFESOR DE LA UNIVERSIDAD

POLITÉCNICA DE EL TIGRE-VENEZUELA

TEORÍA COMBINATORIA.- Es la rama del Álgebra que se encarga del estudio ypropiedades de los grupos que se pueden formar con un conjunto de elementosdado, diferenciándose entre sí por el número de elementos que entran en cadagrupo, por la clase de esos elementos y por el orden de colocación de esoselementos.

ARREGLO DE OBJETOS.- Es la acción de arreglar, componer u ordenar objetosdeterminados en los estudios de probabilidades. Una forma útil de contar todos losposibles arreglos de un conjunto de datos es por medio de un DIAGRAMA DE

ARBOL, que es una gráfica en donde se presentan todos los posibles arreglos deuno ó varios eventos en forma de árbol.

Los procedimientos de cálculo para hallar el número de arreglos probables deobjetos de un conjunto, son indispensables en el estudio de probabilidades. Alenumerar los arreglos, es útil contar todos los posibles arreglos en la forma de unárbol, llamado diagrama de árbol; también se puede aplicar el método de laREGLA MULTIPLICATIVA o principio multiplicativo del conteo ó tambiénaplicando las técnicas de la teoría combinatoria (variación y combinación).

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.- El mismo está basado en el método de

razonamiento del diagrama de árbol; el mismo se define así: " Si una acción puedeefectuarse, de a maneras diferentes, una segunda acción puede efectuarse de bmaneras diferentes, una tercera acción puede efectuarse de c manerasdiferentes, y así sucesivamente para n acciones, entonces el número total demaneras diferentes en que pueden efectuarse todas estas acciones en el ordenmencionado está dado por: axbxc...xn".

PROBLEMAS.- Un joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: roja (R),blanca (B), negra (N) y verde(V),también posee dos pantalones, gris(G) y azul (A).¿De cuantas maneras pueden combinarse los pantalones con las camisa oviceversa.



Un restaurante de la localidad ofrece un menú de tres componentes:

1.- Aperitivo: Sopa (S), o Ensalada(E).2.- Plato Principal: Bisté (B), Carite (C), o Pavo (P).3.- Postre:Torta (T), o Helado (H).Construya un diagrama de árbol, indicando el número posible de comidascompletas (aperitivo, plato principal y postre) que se pueden consumir.



Como se puede observar en el diagrama de árbol M hay 12 arreglos posibles.

Los resultados obtenidos con el diagrama de árbol también se pueden, obtener aplicando la regla multiplicativa: En el caso primero tenemos que multiplicar 4x2= 8 posibles arreglos; en el segundo problema se multiplica 2x3x2=12 posiblesarreglos el mismo resultado que se logró con el diagrama de árbol.

VARIACIÓN.- Dado un conjunto de m objetos o elementos, se llamanvariaciones de esos elementos tomados de n en n, al conjunto formado por todas las colecciones de n elementos elegidos entre los elementos dados,considerando como distintas dos colecciones que difieran en algún elemento o enel orden de colocación de los mismo

N! Esta es una notación matemática que recibe el nombre FACTORIAL y sedefine como el producto de todos los números consecutivos decrecientes que

comienzan en 1 hasta n, entonces si n es entero positivo tenemos:

N! = n(n-1) (n-2) (n-3)..................1.

6! = 6x5x4x3x2x1 =720. En particular, 1! = 1; por definición, 0! = 1.

Formula de las Variaciones:

COMBINACIONES.- Se llama combinación de m elementos tomados den en n al conjunto de todas las colecciones de n elementos dados,considerando distintas, dos colecciones cuando difieran en uno o más elementos.

Formula de las combinaciones:

ALGUNAS OBSERVACIONES PARA CALCULAR VARIACIONES YCOMBINACIONES.-

Para diferenciar en la resolución de un problema y determinar si es una variacióno una combinación se hace lo siguiente:

1.-Se forma un grupo cualquiera, según el enunciado del problema y con losmismos elementos de ese grupo se trata de formar otro grupo, si se consigueformar otro grupo diferente, el problema en cuestión es una variación, si por elcontrario no se logra formar otro grupo, el problema es una combinación. Cuandoen el grupo entran todos los elementos y los grupos difieran en el orden decolocación, son variaciones, de no ser así son combinaciones.

2.- Cuando una persona forma un grupo y otra persona que no haya visto laformación del mismo es capaz de decir en que orden se colocaron los elementos,entonces se afirma que el grupo formado es una variación, si por el contrario nose puede decir el orden de colocación de los elementos que conforman el grupo,

entonces, el mismo es una combinación.

( )!.!

,nm

mV nm

−=

( )( )( ) ( )( )12............321, +−+−−−−= nmnmmmmmnVm

( ).!.!

.!,

nmn

mC nm

−

=



1.-¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse con las cifras 1,2,3,4,5 y 6?que sean diferentes?.

Razonamiento: Se forma un número cualquiera de 3 cifras, ejemplo 154, conesos mismos elementos se forma otro número 541. Los dos números formadostienen los mismos elementos aunque los números son diferentes, por tal razón esuna variación, por influir el orden de colocación de sus elementos.

2.- Con los números 1,2,3,4,5 y 6, ¿Cuántas sumas diferentes de 3sumandos cada una pueden hacerse?.

Razonamiento: Formamos una suma cualquiera con tres de las cifrasdadas......-.1 + 2 + 3 = 6, con los mismos números formamos otra suma ... ...3 +2+1 = 6, como las dos sumas son iguales , entonces el problema es unacombinación , por no influir el orden de colocación de sus elementos.

En una mezcla de tres pinturas de diferentes colores, que dio un color

determinado, es imposible decir en que orden se echaron las tres pinturas, por lo tanto es una combinación. En una bandera de tres colores se puede decir en que orden están colocados los colores, por lo tanto es una variación.

3.- Se tienen 4 pinturas de colores diferentes. ¿ Cuantos colores puedenobtenerse mezclando los 4 colores en la misma proporción?.

Razonamiento; se forma una mezcla con los 4 colores A + B + C+ D = Color.

Se forma otra mezcla con los 4 colores A +D + B + C = Color, se observacomo las dos mezclas dan el mismo color puesto que no influye el orden de

colocación de los elementos, entonces es una combinación.Solución:

Elementos de que disponemos.........................m = 4 .

Elementos que entran en el grupo......................n = 4 . Luego,

4.- Con las cifras 1,2,3,4,5 y 6.¿ Cuántos números de 3 cifras puedenhacerse, que sean diferentes?.

Razonamiento:

Se forma un número de 3 cifras 123

Con los mismos elementos se forma otro número 321

Como los dos números formados son diferentes el problema es una Variación,por influir el orden de colocación de los elementos.

Solución:

Elementos de que se disponen m = 6.

Elementos que entran en la formación de cada número n = 3.

Entonces: V6 ,3 = 6.5.4 = 120 Números diferentes.

5.- Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántas sumas diferentes de 3sumandos cada una pueden hacerse?. Es una Combinación por no influir elorden de colocación de los elementos.

Solución:

Elementos de que se disponen m = 6.

( )color C ......1

!0!4

!4

!44!4

!44,4 ==

−

=



Elementos que entran en la formación de cada suma n = 3

PROBLEMAS DE FORMACIÓN DE NÚMEROS

Cuando en un problema de combinatoria se dice que uno o más elementosestarán fijos en un problema, entonces al componente m y n de las variacioneso combinaciones se les restará el número de elementos que se tomen como fijos.Ejemplo:

1.- Con los números 1,2,9,7 y 5, calcular cuántos números de 3 cifras empiezancon 5.

Razonamiento como el problema es de formación de números es importa elorden, por lo tanto es una variación. Se dice que el número 5 tiene que iniciar losnúmeros de 3 cifras entonces tendrá la forma 5XX y como hay un número fijoentonces m =5-1 = 4 y n =3-1 = 2 luego la variación es:

V4,2 = 4x3 =12 este es el número de cifras que se inician con 5.

2.- Con las cifras del número 876321, calcular cuántos números de 4 cifraspueden formarse con la condición de que empiecen en 8 y terminen en 1.

Razonamiento: este es un problema de formación de números por lo tanto esimportante el orden, en consecuencia es una variación. Los números de 4 cifrastendrán las siguientes formas generales: 8XX1 esto indica que habrán 2 númerosfijos por lo tanto m =6-2 = 4 y n = 4-2 = 2 y la solución se expresa así V4,2 =4x3 = 12, se pueden formar 12 números de 4 cifras que empiecen en 8 y terminenen 1.

3.- Con las cifras del número 98753. Calcular en cuántos números de 3 cifrasinterviene el número 8.

Razonamiento: este es un problema de formación de números por lo tanto esimporta el orden, en consecuencia es una variación. La forma general de un

número de 3 cifras es XXX y las diferentes posiciones que puede ocupar el 8son: 8XX, X8X y XX8 como se observa el número 8 estará fijo y por lo tanto m =5-1 = 4 y n =3-1 = 2 luego la variación es: V4,2 = 4x3 = 12, pero como elnúmero 8 aparece en tres posiciones, entonces el resultado es: 3V4,2 =3x12 = 36que es el número de veces donde aparece el número 8.

4.-Con los números 8,5, 7, 9, 1 y 0. Calcule cuántos números de 3 cifraspueden formarse.

Razonamiento como es una formación de números es importa el orden de loselementos, es en consecuencia una variación y la solución es la siguiente: como

m =6 y n = 3 se tiene que V6,3 = 6x5x4 el valor de V6,3 = 120. La forma generalde un número de 3 cifras es XXX pero en nuestro caso el cero iniciará algunosnúmeros y eso no serán de 3 cifras por lo tanto se le tendrán que restar al total de120, puesto que los números que se inician con cero tienen la forma siguiente:0XX, entonces habrá un número fijo y por lo tanto el valor de m =6-1 = 5 y el n=3-1 =2 luego los números que no son de 3 cifras son las siguientes: V5,2= 5x4 =20, entonces el resultado final será: V6,3-V5,2 = 120-20 = 100 .

5.- Con las cifras del número 98764. Calcule cuántos números pares de 4 cifras

se pueden formar.

( )Sumas x

x

x x x x xC Lueg .....2045

23

456

!3!.3

!3456

!36!3

!6,......

3,6====

−

=



Razonamiento; como es una formación de números influye el orden, por talrazón es una variación. Los números pares son aquellos que terminan en cero ocualquier número par; la forma general de un número de cuatro cifras es XXXX ennuestro caso la forma de los números será: XXX8, XXX6 y XXX4 como se puedeobservar hay un numero fijo, entonces m = 5-1 = 4 y n =4-1 = 3, en

consecuencia la variación total será:.3V4,3=3x4x3x2=72 número pares de 4 cifrasque se pueden forma.

6.- Con las cifras del número 80342. Calcule cuántos números pares de 3 cifrasse pueden formar.

Razonamiento; es una variación por ser una formación de número en dondeimporta el orden de colocación de los elementos. La forma general de los númerospares de 3 cifras en este caso es: XX0, XX2, XX4 y XX8, como se puede notar hayun elemento fijo, luego m = 5-1 = 4 y n = 3-1 = 2 entonces la variación es: V4,2= 4x3 =12 pero como hay 4 formas de las cifras terminar en número par habráque multiplicar el resultado por 4, así: 4V4,2 = 4x12 = 48 pero los números quese inician con cero de la forma siguiente: 0X2,0X4 y 0X8 no forman números de 3cifras ya que el cero a la izquierda no tiene ningún valor, por lo tanto estosnúmeros son de 2 cifras y se tendrá que calcular cuántos son y posteriormenterestársele al total de 48 para ello determinaremos el valor de m =5-2 = 3 y n = 3-2 = 1 y la variación será : 3V3,1 =3x3 = 9 este es el número de cifras que setendrá que restársele al total de 48 de la forma siguiente: 4V4,2-3V3,1 = 48-9 = 39es la cantidad de números pares de 3 cifras que se pueden formar.

7.- Con los números del 1 al 9 ambos inclusive.¿Determine cuántos númerosde 5 cifras pueden formarse con la condición de que las 3 primeras cifras seanpares y las 2 ultimas sean impares?.

Razonamiento; este es un problema de formación de números por lo tanto esuna variación, en este problema hay dos clases de números para la formación delos grupos, los números PARES y los IMPARES. Los números a formar son de lasiguiente forma: PPPII; los grupos que se pueden formar con los números paresvienen dado por la variación de estos (2, 4, 6 y 8) en donde m = 4 y n = 3por tanto, la variación de estos es: V4,3 = 4x3x2x = 24. Los grupos que se puedenformar con los números impares (1,3,5,7 y 9) son: V5,2 = 5x4 = 20 . Para obtener el resultado final se multiplica la variación de números pares (24) por la variaciónde los números impares(20) ), en este caso tenemos:

V4,3xV5,2 = 24x20 = 480 viene a ser la cantidad de números de 5 cifras quese pueden formar en los que las 3 primeras cifras son pares y las dos ultimas sonimpares.

8.- En una reunión hay 8 mujeres y 6 hombres. Calcule cuántos grupospueden formarse, en los que estén presente 4 mujeres y 3 hombres.

Razonamiento como en este problema no influye el orden de colocación decada una de sus integrantes, es por lo tanto una combinación. El grupo tendrá laforma general siguiente:

MMMMHHH, para su solución primero se dejan los hombres fijos y se calcula elgrupo que se puede formar con las mujeres de la forma siguiente:

Si se dejan las mujeres fijas se puede calcular el grupo que se forma con los

hombres de la siguiente manera:

Luego el resultado final de este problema será la multiplicación del grupo demujeres por la del grupo de hombres así:

( )mujeresde grupos

x x

x x x x x x xC .......70

234

5678

!.4!.4

!45678

!48!4

!84,.8 ===

−=

( )bresde grupos

x

x x x x xC hom......20

23

456

!3!.3

!3456

!36!3

!63,.6 ===

−=



C8,4xC6,3 = 70x20 = 1400 ,son los grupos que se pueden formar en los queestén presentes 4 mujeres y 3 hombres.

9.-Encuentre los diferentes grupos que se pueden hacer con 4 cifras y 4 letras

con la condición de que en todos, letras y números vayan alternados y en cadagrupo entren las letras y todos los números.

Razonamiento como este problema es una formación de letras con número yel orden de colocación es importante, es entonces una variación, en la que hay 2clases de elementos para formar cada grupo.

La forma general del grupo es: A1B2C3D4 y 1A2B3C4D. Dejando las letrasfijas los números 1, 2, 3 y4 pueden variar de 4 en 4, es decir m = 4 y n = 4 y por lo tanto:

V4,4 = 4x3x2x1 = 24 ; si ahora se dejan fijos los números las letras se puedencalcular así:

V4, 4 = 4x3x2x1 = 24 teniendo los 2 grupos el de letras y el de números sepueden multiplicar entre si de la siguiente manera: V4,4 x V4,4 = 24x24 = 576.

Como en este problema se puede empezar por las letras o por los númerosentonces él número 576 se tiene que multiplicar por 2 que son la forma comopuede empezar cualquiera de los grupos que se formen, así tenemos: 576x2 =1.152 que es la cantidad de grupos que se pueden hacer de acuerdo con lascondiciones dadas en el problema.

10.- Se dispone de 10 consonantes y 5 vocales. ¿ Cuántas palabras puedenhacerse sabiendo que cada palabra está formada por 3 consonantes y 2 vocales?.

Razonamiento como influye el orden de colocación de cada palabra, entonceses una variación. La forma general de las palabras será: CCCVV. Las variacionesde las vocales en este caso serán:

V5, 2 xV10, 2 = 5x4 = 20 y las variaciones de las consonantes serán: V10, 3 =10x9x8 = 720 ahora se multiplican las variaciones de las vocales por lasvariaciones de las consonantes y el resultado es: V5,2 = 14.400 pero como noestá determinada la posición de las letras en la formación de cada palabrasignifica que cada una de las palabras formadas puede variar de todas lasmaneras posibles, es decir:

V5,5 = 5x4x3x2x1 = 120 , por lo tanto el resultado final será:

V5,2XV10,3XV5,5 = 20x720x120 = 1.728.000 que es la cantidad de palabrasque se pueden formar con las condiciones establecidas.

11.- De cuántas maneras se pueden repartir 5 helados de diferentes saboresentre 2 niños, dándole 2 helados a cada niño.

Razonamiento como no influye el orden de entrega de los helados es unacombinación

Al primer niño se le puede dar C5,2 =10 maneras diferentes; pero al darle 2helados al primero nos quedan 3 helados para formar grupos de 2 en 2 así: C3,2= 3 formas diferentes. El resultado final será la multiplicación de C5,2 xC3,2 =10x3 = 30 formas de repartir los helados.

PROBLEMAS



1.- Con las cifras del número 836214; determine cuántos números de 4 cifraspueden formarse con la condición de que empiecen en 2 y terminen en 8.Resultado.- 12 .

2.- Con las cifras del número 738642; determine en cuántos números de 3cifras interviene él número 7. Resultado.- 60 .

3.- Con las cifras del número 978054; calcule cuántos números de 5 cifraspueden formarse. Resultado.- 600 . 4.- Con las cifras del número 9876541; calcule cuántos números de 5 cifras sepueden hacer con la condición de que la primera cifra de la izquierda sea un 7 latercera un 8 y la quinta cifra sea 1. Resultado12 ..-5.- Con las cifras del número 9280541; calcule cuantos números pares de 3 cifras

se pueden formar. Resultado.- 10 6.- ¿ Cuántos números de 5 cifras, sin que haya ninguna repetida, pueden

formarse con las cifras del sistema decimal?. Resultado.- 27.216 .

7.- ¿ Cuántos números pares de 4 cifras se pueden formar con los números 7,5, 2 y 3? Resultado.- 6.

8.- Para formar el tren directivo de una compañía se deben elegir 4Administradores y un Gerente entre un grupo de 12 personas de las cuales 9 son

Administradores y 3 son Gerentes.¿ Cuántos trenes directivos se pueden formar?. Resultado.- 378 .

9.- Un Gerente de una empresa es invitado a una reunión y dispone de 7pantalones, 6 chaquetas, 10 corbatas, 5 camisa y 10 pares de zapatos. ¿ Decuántas maneras puede ir vestido sabiendo que se pondrá una pieza de cadauna de las antes mencionadas?. Resultado.- 21.000.

10.- Se cuenta con 10 profesores, 6 profesoras y 4 estudiantes para formar unacomisión. ¿Cuántas comisiones se pueden formar sabiendo que en cada comisióntienen que estar 5 profesores, 3 profesoras y un estudiante?. Resultado.- 30.240.

11.- Se dispone de 10 juguetes diferentes. ¿ De cuántas maneras diferentes sepueden repartir entre 3 niños dándole 3 juguetes a cada niño?. Resultado.-16.800.

12.- Para formar la tripulación de un barco se necesitan 5 maquinistas 3 pilotosy un capitán.¿ Cuántas tripulaciones diferentes pueden formarse sabiendo que se disponen de

8 maquinistas, 6 pilotos y 3 capitanes? . Resultado.- 3.360.

13.- En una fiesta hay 5 muchachas y 8 jóvenes. ¿ Cuántas parejas distintas debaile se podrán formar tomando siempre parte en ellos las 5 muchachas? .Resultado.- 40.

14.- ¿ Cuántas partidas de ajedrez se podrán hacer entre 11 competidores? .Resultado.- 55.

15.- Con las cifras del numero 64123587. Calcular cuántos números se puedenformar con la condición de que estén presentes tres números pares y dosimpares.Resultado.- 34.560.



16. - Ocho estudiantes deben repartirse en tres residencias distintas de ElTigre. ¿ De cuántas maneras pueden hacerlo si al menos ha de haber dosestudiantes en cada residencia? .Resultado.- 2.940

.

17. - Se forman banderas tricolores a franjas horizontales con los 7 colores delarco iris. Averiguar:

A.- ¿ Cuántas banderas se podrán formar?. Resultado.- 210.

B.- ¿ Cuántas tendrán la franja superior roja? . Resultado.- 30.

C.- ¿ Cuántas tendrán la franja superior roja y la inferior azul?. Resultado.-5.

D.- ¿ En cuántas de ellas intervendrá uno al menos de los dos colores

siguientes: rojo, amarillo’. Resultado.-150. 18.- Se dispone de 7 personas para formar comisiones de 3 personas. Se

supone que en las comisiones no existe ninguna jerarquía, o sea, que las 7personas desempeñan la misma labor. En estas condiciones:

A.- ¿ Cuántas comisiones distintas se pueden formar? . Resultado.- 35 .B.- ¿ En cuántas de ellas intervendrán una determinada persona, llamémosle

Petra? .Resultado.-15 .

TEORÍA DE PROBABILIDADES

La teoría de probabilidades es muy extensa y sus aplicaciones han adquiridomucha importancia en la administración pública y empresarial. Las probabilidadesson de gran importancia en la estadística. Para iniciar el estudio de lasprobabilidades es necesario definir una serie de términos básicos para su mejor comprensión.

Experimento Deterministico.- Es aquel experimento en el que es posible

predecir el resultado final de ese proceso aun sin haberlo realizado. Ej. Cuando los

químicos combinan oxigeno más hidrógeno el resultado es agua; este experimento

no es necesario realizarlo para conocer el resultado.

Experimento Aleatorio.- Es aquel que puede dar lugar a más de un resultado,por lo que, no se puede predecir uno de ellos en una prueba en particular. Ej. Losexperimentos relacionados con juego de envite y azar, no se pueden predecir losresultados de los ganadores del 5 y 6 en un domingo cualquiera ó el resultado delKino puesto que en estos casos pueden haber múltiples resultados.

Espacio Muestral .- Es el conjunto de los posibles resultados de un experimentoaleatorio; generalmente se le designa con la letra S o E. Ej. El espacio muestral allanzar un dado es: S = {1,2,3,4,5,6} esto es así puesto que un dado tiene 6 caras numeradas de 1al 6 y cualquiera de estas puede salir. El espacio muestral de lanzar una monedaes: S = {c, s}, esto es así puesto que al lanzar una moneda puede salir una cara óun sello.

Sucesos ó Eventos.- Es todo aquel resultado o grupo de resultados quepueden dar origen un experimento aleatorio. También se puede decir que es un

subconjunto del espacio muestral. Ej. El espacio muestral de lanzar un dado esta



formado por varios eventos: { 1 },{ 2 }, { 3 }, { 4 },{ 5 } y { 6}. Los eventos pueden ser simples ó compuestos.

Eventos Simples.- Son aquellos eventos cuyas características son las de estar

constituidos por un solo elemento; por lo tanto no se pueden descomponer enotros elementos. Ej. Al lanzar un dado se pueden obtener 6 eventos simples que

serian el 1,2,3,4,5 y 6 respectivamente. Los eventos simples son mutuamente

excluyentes.

Eventos Mutuamente Excluyentes.- Son aquellos eventos que no puedenocurrir simultáneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que doseventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si, su intersección es el

conjunto vacío, es decir A∩ B = Ø. Ej. El resultado obtenido al lanzar un dado, sisale una cara con un 3, no puede salir otro número en este mismo lanzamiento.

Eventos Compuestos.- Son aquellos eventos que se pueden descomponer enuna combinación de eventos. Ej. obtener un número par al lanzar un dado, elespacio muestral de este evento es:

E = {2, 4, 6}, este es el evento par del lanzamiento de un dado, pero esteevento se puede descomponer en 3 eventos simples a saber {2}, {4}: y 6 .

Eventos Imposibles.- Son aquellos sucesos que nunca ocurren. Ej. Obtener un

7 al lanzar un dado normal, esto es imposible por cuanto un dado normal tienesolamente 6 caras por lo tanto este resultado es el conjunto vacío , {Ø}.

Eventos Seguros.- Son aquellos sucesos constituidos por todos los eventossimples del espacio muestral. Ej. Al lanzar un dado sacar cualquiera de sus caras.

Eventos Exhaustivos.- Dos eventos A y B son colectivamente exhaustivos si suunión es la totalidad del espacio muestral, es decir , A∪B = E.

Eventos Dependientes.- Son aquellos sucesos en los que el conocimiento de laverificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del otro. Se dice

que dos o más eventos son dependientes si la ocurrencia de uno cualquiera deellos afecta la probabilidad de la ocurrencia de alguno de los otros eventos. Ej.Consideremos la probabilidad de obtener 2 cartas de basto al sacar sucesivamente 2 cartas de una baraja de 40 cartas. Al sacar la primera carta laprobabilidad de obtener basto es de 10/40 y al no sustituirla quedaran en elpaquete 39 cartas de las cuales 9 son de basto, en la segunda extracción laprobabilidad de obtener basto es de 9/39, en este caso la segunda extraccióndepende de la primera que tenía como probabilidad 10/40 y la segunda extraccióntendrá ahora 9/39 como se puede observar la probabilidad de la segundaextracción es afectada por la primera.

Eventos Independientes.- Se dice que dos ó más eventos sonindependientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos no afecta laprobabilidad de la ocurrencia de ninguno de los otros sucesos. Ej. el evento deobtener simultáneamente un 2 al lanzar un dado y sello al tirar una moneda, estacompuesto de 2 sucesos independientes, puesto que la ocurrencia de un 2 en eldado no afecta la probabilidad de la aparición de sello en la moneda y viceversa.

Eventos complementarios.- Dos eventos A y Ā son complementarios si y solosi, se cumple que: P(A) + P(Ā) = P(S), es decir, son eventos mutuamenteexcluyentes y su unión es el espacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P(Ā) =P(S), pero P(S) = 1, entonces,



P(A)+ P(Ā) = 1 P(A) = 1- P(Ā), donde P(Ā), se leeprobabilidad de A complemento.

Eventos no Mutuamente Excluyentes.- Son aquellos eventos que pueden

verificarse simultáneamente. A estos eventos también se les llaman SucesosCompatibles.

CORRIENTES QUE DEFINEN LA PROBABILIDAD

Diariamente se escuchan afirmaciones que llevan implícito el concepto deprobabilidad como por ejemplo los pronósticos del tiempo que indican lasprobabilidades de lluvia; los galenos indican la probabilidad que tiene un enfermode curarse si realiza al pie de la letra sus tratamientos farmacológicos, losdocentes especulan sobre las posibilidades de éxito del estudiantado si dedican

más tiempo al estudio, las compañías encuestadoras predicen las oportunidadesque tienen los políticos de ganar una elección determinada, etc.

La Teoría de la Probabilidad es una rama de las matemáticas que seencarga de los eventos que se realizan al azar o fenómenos aleatorios, como amenudo se les denominan. Se define la probabilidad como un númerocomprendido entre 0 y 1, que se le asigna a un evento para señalar su posibilidadde ocurrencia. Por lo general las probabilidades se expresan en porcentajes,también se pueden expresar con números decimales. Es una condición de estacátedra que siempre sé resuelvan las fracciones con que se expresan lasprobabilidades de un problema dado; los resultados de esos cocientes deben

tener por lo menos 4 decimales y el mismo se representa en porcentaje. Laprobabilidad de cualquier evento se representa con la letra P.

Se le asigna la probabilidad de 1 al evento que con certeza ocurrirá y sele asigna la probabilidad de 0 a un suceso que no puede ocurrir; se le asigna unaprobabilidad de 0.5 a un fenómeno que tenga la misma posibilidad de suceder ode no suceder. Se le asigna una probabilidad 0 ≤ P ≤ 0.5, a un fenómeno quetenga más posibilidades de no suceder que de suceder; y se le asigna unaprobabilidad 0.5 < P ≤ 1 a un evento que tenga más posibilidades de suceder que de no suceder.

La probabilidad es una característica que interviene en todos los trabajosexperimentales. Es necesario obtener un procedimiento lógicamente sólido paraque dichos enunciados tengan validez científica. En otras palabras, en virtud deque la probabilidad en definitiva, es un cuantificador o medida de la posibilidad deocurrencia de un suceso al que se le asocia un grado de incertidumbre, se debeestudiar la forma en que esta medida puede ser obtenida.

Existen tres enfoques o escuelas que tratan de dar una definición de laprobabilidad: La Clásica, La de Frecuencia Relativa y La Subjetiva.

Escuela Clásica.- Esta plantea que si un suceso puede ocurrir en a formas y

fallar en b formas posibles, entonces el número total de formas posibles en quepuede ocurrir o no ocurrir es a + b. Sí a + b formas son igualmente probables, laprobabilidad P de que el suceso ocurra se define como el cociente P = a /a+ b, y la probabilidad q de que el suceso no ocurra se define como el cociente q =b / a + b, en otras palabras, la probabilidad de que ocurra o no un suceso, sedefine como el cociente del número de casos favorables entre el número de casosposibles, siendo todos estos casos igualmente probables.

Ej. Al tirar un dado una sola vez puede salir una cara cualquiera de las 6 queposee el dado, todas igualmente probables; la obtención de un 3 en el lanzamientodel dado, es una de las diferentes caras que posee el dado, se dice que hay un

caso f avorable para que salga el 3 entre 6 casos posibles; en este caso se tieneque a = 1(caso favorable de obtener un 3), b = 5 (caso no favorable para obtener



un 3), de modo que la probabilidad de acertar es: P=1 / 1 + 5 = 1 / 6 y laprobabilidad de fallar es: P = 5 /1 + 5 = 5 / 6

Escuela de la Frecuencia Relativa.- Este enfoque surge por la necesidad deasignar probabilidades a aquellos eventos considerados no simétricos. Los

seguidores de esta corriente afirman que solo a partir de experimentos realizadosvarias veces en las mismas condiciones, es posible asignar probabilidades a loseventos de un experimento aleatorio. En términos generales el empeño de estateoría es destacar que cuando el número de experimentos aumenta, la frecuenciarelativa del evento se estabiliza y se acerca bastante a un valor determinado quepodríaser prácticamente igual a la probabilidad del evento con un elevado grado decerteza.

Definición.- Si se considera un suceso que puede verificarse o fallar al efectuar una prueba, sí sé

observa que ese suceso se verifica m veces en un total de n pruebas bajo lasmismas condición esenciales, entonces la razón m/n se define como laprobabilidad P de que el suceso se verifique en una cualquiera de las pruebas,entonces, P = m/n. En esta definición de frecuencia, la probabilidad es un númeroestimado y la confianza de esta estimación aumenta con n, es decir , cuando elnúmero de observaciones crece. La probabilidad de la frecuencia relativa estábasada en un gran número de experimentos y observaciones, y muy a menudo sele llama probabilidad Empírica, Estadística, A Posteriori o Teoría Objetiva. Estaes la definición más utilizada en la teoría de probabilidades.

TEIRÍA DE LA PROBABILIDAD SUBJETIVA.- Existen varios sucesos

de sumo interés cuyas probabilidades no se pueden calcular tomando en cuentalos métodos de frecuencia relativa ni con la teoría de la probabilidad clásica. Surgeentonces, el punto de vista subjetivo el cual hace hincapié en la probabilidad queresulta de una opinión, creencia, o juicio personal sobre una situacióndeterminada. El enfoque subjetivo denominado también probabilidad personal,asigna a los eventos probabilidades, aun cuando los datos experimentales seanescasos o imposibles de obtener.

Los que toman decisiones utilizando este tipo de probabilidad sefundamentan en sus propias experiencias personales y en muchos casos enpresentimientos. Este enfoque de la probabilidad personal se aplica a problemasde toma de decisiones tales como construcciones de plantas, compras de equipos,licitaciones de contratos, etc. . La probabilidad personal se ha vueltosistemáticamente popular entre los teóricos de la toma de decisiones. Losdefensores de esta corriente tratan de buscar soluciones a la asignación deprobabilidades de aquellos eventos que solo ocurren una vez o que no puedenestar sometidos a experimentos repetidos. La asignación de probabilidades a unevento en estas condiciones, más que un juicio arbitrario, es un juicio de valor.

AXIOMAS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES.- Los axiomas de lasprobabilidades son los fundamentos básicos de las reglas del cálculo de las

probabilidades de eventos; estas reglas también se conocen como propiedadesde las probabilidades y son:

1.- La probabilidad de todo evento o suceso es un número no negativo, es decir:P(xi)≥ 0.

2.- La suma de las probabilidades de todos los sucesos posibles, mutuamenteexcluyentes de un experimento aleatorio es la unidad, es decir: P (X1) + P(X2) +P(X3)+.............+ P(Xn) = 1

3.- La probabilidad de cualquier suceso varia entre 0 y 1,es decir 0 ≤ P(XI) ≤ 1.



4.- La suma de las probabilidades de que un suceso ocurra y no ocurra es igual ala unidad. Si se designa con P la probabilidad de que un evento ocurra y con qla probabilidad de que el evento no ocurre, se tiene entonces:

P + q = 1, luego la probabilidad de que un suceso ocurra es : P = 1 − q y la

probabilidad de que el evento no ocurra es: q = 1 − P.

Es importante destacar que las probabilidades se deben expresar por lomenos con 4 decimales y luego a estos expresarlos en porcentaje.

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES

1.-TEOREMA DE LA SUMA O DE LA “ O “

Para su mejor estudio el teorema de la suma se divide en dos casos:

A.- Para sucesos Incompatibles (aquellos que no pueden ocurrir simultáneamenteo al mismo tiempo) o E xcluyentes; el teorema se enuncia así:

“ Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidadde obtener al menos uno de ellos, esto es P(A o B) es igual a la probabilidad deA, o sea, P(A), más la probabilidad de B, es decir, P(B)“, simbólicamente así:

P(A o B) = P (A) + P(B).

Este teorema se puede generalizar para A, B, C,.................N, que se excluyanmutuamente y tienen P1, P2, P3 , Pn, probabilidades de ocurrir, así :

P(A o B o C o N) = P(A) + P ( B ) + P(C) +.....................+ P(N) . Ej.:

1.- Se saca al azar una carta de una baraja de 40 cartas. ¿ Cuál es laprobabilidad de que sea un As o un Rey?.

Solución : la probabilidad de sacar un as es 4/ 40 y la probabilidad de sacar unrey es 4 /40, luego la probabilidad buscada se encontrará así: si se llama P(A)=4 / 40 obtener un as y probabilidad de obtener un rey se le denominara B,entonces P(B) = 4 / 40, entonces:

P(A o B) = P(A) + P(B), luego P(A o B) = 4 /40 + 4 / 40 = 8 / 40 = 1 / 5 = 0.200 =20.0 %. .

B.- Si los eventos son Compatibles (aquellos que pueden verificarsesimultáneamente, es decir cuando hay eventos que son comunes o que hayintersección entre los sucesos) o no Mutuamente Excluyentes. El teorema seenuncia así :

“Sean A y B dos eventos compatibles, es decir eventos que tienen por lo menosun suceso simple en común; la probabilidad de obtener al menos uno de ellos,esto es P(A o B) es igual a la probabilidad del evento A, es decir, P(A), más la

probabilidad de B, o sea P(B) menos la probabilidad de la intersección deambos eventos, es decir P(A∩B)”. Simbólicamente se puede expresar así: P(Ao B) = P(A) + P (B) −P(A∩B). Ej.

2.- Se lanza una moneda y un dado al aire. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda o un dos en el dado?.

Solución : Si llamamos A, el evento de obtener una cara en la moneda y B,al suceso de obtener un 2 en el dado; el espacio muestral de una moneda es 2,(cara y sello) mientras que el espacio muestra de un dado es seis, (1,2,3,4,5,6). Elespacio muestral de ambos eventos será la multiplicación de sus espacios

muéstrales, es decir, 2x6 = 12. El gráfico nos indica el espacio muestral de amboseventos:



S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 SC 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C

1 2 3 4 5 6

Eventos de A = 1C,2C,3C,4C,5C,6C , P(A) = 6 / 12; el evento B = 2 C,2S , luego P(B) = 2 / 12, los eventos que son comunes a ambos, es decir, quese interceptan son:

A∩B = 2C , luego, P(A∩B) = 1 / 12, ahora se aplica el teorema de la sumapara datos compatibles. Tenemos:

P(A o B) = P(A) + P(B)−P(A∩B),P(A o B) = 6 / 12 + 2 / 12 −1 / 12 = 7 / 12 = 0.5883 = 58.33 %, por lo tanto, esa es

la probabilidad buscada.

PROBABILIDAD CONDICIONADA.- La probabilidad de que ocurra un evento Bcuando se sabe que ha ocurrido algún otro evento A, se denominaPROBABILIDAD CONDICIONADA y se designa como P(B/A). Él símboloP(B/A) se lee como la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A osencillamente probabilidad de B dado A Las probabilidades condicionadas estánrelacionadas a probabilidades asociadas a los eventos definidos ensubpoblaciones o espacios muéstrales reducidos.

Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento dado es condicionada,si esta se afecta por la ocurrencia de otro evento presente.

Definición.- Sean A y B dos eventos asociados a un experimento aleatorio.La probabilidad que ocurra el evento B, dado que ocurrió el suceso A se llamaprobabilidad condicionada del suceso B, esta se simboliza por P(B/A) y secalcula mediante la formula:

( ) ( )

( ),

A P

B A P

A B P

∩= Si P(A) = 0 , entonces P(B/A ), no esta definida.

. El conjunto P(A∩B), se le denomina probabilidad conjunta de los eventos Ay B. El conjunto A∩B se define como la intersección de A y B, es decir, loseventos comunes entre A y B.

( ) ( )

( ),

A P

B A P

A B P

∩= entonces , P(A∩B) = P(A) P(B/A).

Si P(B/A) ≠ P(B), se dice que el evento B es dependiente del evento A .

Sí P(B/A) = P(B), se dice que el suceso B es independiente del suceso A,luego:

P(A∩B) = P(A) P(B), esta formula recibe el nombre de la Probabilidad Compuesta. Ej.

3.- Un curso de matemáticas avanzada esta formado por 10 administradores,30 ingenieros y 10 economistas. Al finalizar el curso 3 administradores, 10ingenieros y 5 economistas aprueban el curso con 20 puntos. Se seleccionó un alazar un participante del mismo y se detecto que la calificación obtenida en elcurso había sido de 20 puntos. ¿ Cuál es la probabilidad de que ese participantesea un ingeniero?.

Solución: si llamamos A al evento en que un participante obtuvo una

calificación de 20 puntos; si denominamos como B el evento de seleccionar un



ingeniero y si llamamos A∩B, los eventos comunes entre A y B, tenemos lossiguientes sucesos:

El total de participantes en este caso será el espacio muestral, que en elproblema planteado es de 50, por lo tanto los diferentes eventos serán:

A = 3 admist., 10 ing. 5 econ., ,Luego P(A) = 18 / 50.

B = 10 ing. con 20 ptos., 20 ing., con menos de 20 ptos. .

A∩B = 10 ing. con 20 puntos , luego P(A∩ B) = 10 / 50 .

( ) ( )( )

,9

5

18

10

50

18

5010

===∩

= A P

B A P

A B P

Por lo tanto 5/9=0.5556 = 55.56 %, es la probabilidad de extraer un ingenierocon 20 puntos.

Este problema se puede resolver también aplicando una tabla o matriz de dobleentrada donde se observan todos los eventos:

ADMINIST. INGENIERO ECONOMISTA

TOTAL

Aprobaron Con20 puntos.

3 10 5 18

No AprobaronCon 20 puntos

7 20 5 32

TOTAL 10 30 10 50

En la tabla se observa que el espacio muestral de 50 se redujo a 18, que vienen aser los casos posibles de acuerdo con el planteamiento del problema; por otrolado los ingenieros que aprobaron con 20 en este caso son 10, que vendrían a ser los casos favorables, por lo tanto la probabilidad buscada será el cociente que

resulta de dividir los casos favorables (CF) entre los casos posibles (CP), así:

.%.56.555556.09

5

18

10=====

CP

CF P

4.- Se lanza un dado y se obtiene un número par. ¿ Cuál es la probabilidad deque el número obtenido sea múltiplo de 3?.

Solución: Sea A, el evento de obtener un número par, y sea B el evento deobtener un número múltiplo de 3, entonces el evento común entre los sucesos Ay B será A∩B. El espacio muestral del lanzamiento de un dado es 6, ahora bienlos diferentes eventos del problema serán:

A = 2, 4,6 , entonces P(A) = 3/6 B = 3, 6 .

A∩B = 6 , luego P(A∩ B) = 1/6

( ) ( )( )

.%33.333333.03

1

63

61

====∩

= A P

B A P

A B P



Este problema también se puede resolver aplicando una tabla o matriz de dobleentrada, en donde se observan todos los eventos del problema planteado,observemos la siguiente tabla:

Números MúltiplosDe 3 Números noMúltiplos de 3 TOTAL

Eventos queSon pares

6 2, 4 3

Eventos queNo son pares

3 1, 5 3

TOTAL 2 4 6

Solución: En esta tabla se observa que los eventos pares en total son 3, por

lo tanto el espacio muestra original que era 6 se redujo a 3. En la fila de loseventos que son pares se observan los que cumplen con la condición de ser múltiplo de 3, por lo tanto es un solo caso favorable, de la misma forma seobserva que solo hay 3 caso posibles de números pares, luego la probabilidadbuscada será el cociente que resulta de:

.%,33.333333.03

!====

CP

CF P es la probabilidad buscada.

PROBABILIDAD PRODUCTO.- Se conoce como probabilidad producto de 2

eventos A y B en el espacio muestral E, la probabilidad de que los 2 sucesosse den simultáneamente.

La probabilidad de ocurrencia simultanea de 2 o más eventos recibe el nombre de probabilidad conjunta. En la probabilidad producto es muy importanteel uso de la letra “Y”, esta letra es característica en la gran mayoría de losproblemas relacionados con la probabilidad producto, ya que esta se utiliza muya menudo en el enunciado del problema. . La probabilidad conjunta se designaasí: P(A∩ B) = P(AB)= P(A y B), cualquiera de estos términos significa lo mismo.

La formula de la probabilidad conjunta se obtiene de la formula de la probabilidad

condicional, si esta, se multiplica por P(A), así:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

A B P A P B A P A P

A P

B A P

A B P .. =∩→

∩= . Esta la formula para calcular

la probabilidad producto o lo que es lo mismo, la probabilidad con junta. Laformula de la probabilidad conjunta para eventos independientes será: P(A∩B) =P(A) P(B). La formula para calcular la probabilidad conjunta de eventosdependientes será: P(A∩B) = P(A) P(B/A).

Si en un experimento aleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C, .......,Nindependientemente, entonces:

P(A∩B∩C∩.......∩N) = P(A) P(B) P(C)..........P(N). De la misma forma si en unexperimento aleatorio pueden ocurrir los sucesos A, B, C,........., N dependientes,entonces:

P(A∩B∩C∩.........∩N) =P(A) P(B/A) P(C/A∩B).............P(N/A∩B∩C∩............∩N −1).

Es de suma importancia en los problemas de probabilidad conjunta diferenciar

los eventos aleatorios con reposición o sustitución de los eventos

aleatorios sin reposición o sin sustitución los primeros se refieren a losexperimentos que se realizan y se vuelven a colocar en el mismo lugar donde se



realiza el experimento aleatorio. Los eventos aleatorios con reposición soncaracterísticos de los eventos independientes. Los eventos sin reposición soncaracterísticos de los sucesos dependientes.

5.- ¿ Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en 2 lanzamientos al aire de

una moneda normal de 5 bolívares?. Solución: Los eventos son independientes y la probabilidad de sacar una caraen una moneda es 1/2. Si llamamos A, el evento de sacar cara en el primer lanzamiento y se llama B el evento de sacar cara en el segundo lanzamiento,entonces:

P(A) = P(B) = 1/2. Luego la probabilidad conjunta para eventos independientesse calcula con la formula:

P(A∩B) = P(A) P(B). = 1/2 x 1/2 = 1/4 = 0.25 = 25.0 %, esta es la

probabilidad buscada.6.- Si la probabilidad de un evento A es igual 0.65, la probabilidad de un

evento B es de 0.40 y la probabilidad conjunta de A y B es igual a 0.20.Determine entonces si los eventos A y B son independientes.

Solución: Para que los eventos A y B sean independientes tiene quecumplirse que su probabilidad conjunta sea igual a 0.20, para ello aplicamos laformula de la probabilidad conjunta de eventos independientes de esta forma:

P(A∩B) = P(A) P(B) = 0.65 x 0.40 = 0.26, por lo tanto los eventos A y B no sonindependientes puesto que la probabilidad conjunta entre A y B es igual a 0.20

de acuerdo con los datos dados y esta es diferente de la probabilidad conjuntaobtenida, que es 0.26.

7.- ¿ Cuál es la probabilidad de sacar primero cuatro números 3 y despuésotro número diferente de 3 en 5 tiros de un dado equilibrado?.

Solución: Los 5 tiros del dado son independientes, el obtener un númerodeterminado en un dado tiene una probabilidad de 1/6, puesto que el espaciomuestral del lanzamiento de un dado posee 6 eventos diferentes. Ahora bien laprobabilidad de obtener un número diferente de 3 es:

1 −1/6 = 5/6. Si llamamos A, B, C y D los eventos de obtener un 3 y llamamosE el suceso de sacar un número diferente de 3, entonces las probabilidades deA, B, C, D y E, serán:

: P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/6, y P(E) = 5/6, por ser el problema unaprobabilidad conjunta de eventos independientes se aplicará a siguiente formula:

P(A∩B∩C∩D∩E) = P(A) P(B) P(C) P(D) P(E) = (1/6)4 x (5/6) = 5/ 7776 = 0.0006= 0.06 %, esta es la probabilidad conjunta solicitada.

8.- ¿ Cuál es la probabilidad de sacar 2 ases consecutivos en 2 cartas tomadas

al azar de un juego ordinario de barajas de 40 cartas, si se sustituye la primeracarta antes de tomar la segunda?.

Solución: Este es un problema de probabilidad conjunta para eventosindependientes por cuanto son suceso aleatorio con sustitución. El espaciomuestral es 40; un juego de barajas tiene 4 ases, por lo tanto la probabilidad desacar un as es P(4/40)= 1/10. Si llamamos A, el evento de sacar la primera cartay B el suceso de sacar la segunda carta, entonces:

P(A) = P(B) = 1/10, ahora se aplica la formula de la probabilidad conjunta paraeventos independientes así:



P(A∩B) = P(A) PB) = 1/10 x1/10 = 1/100 = 0.01 = 1.0 %, esta es la probabilidadbuscada.

9.- ¿ Cuál es la probabilidad de sacar 2 ases consecutivos en 2 cartastomadas al azar de un juego ordinario de una baraja de 40 cartas, si no se

sustituye la primera carta antes de sacar la segunda carta?. Solución: Este es un problema de probabilidad conjunta para eventosdependientes por cuanto no hay sustitución del primer evento al sacar el segundo.Si llamamos A, el suceso de tomar la primera carta, entonces la probabilidad de Aserá P(A) = 4/40 = 1/10, si ahora llamamos B el evento de sacar la segunda cartasin reposición, entonces la probabilidad de B será (B) = P(B/A)= 3/39, esto es asípor cuanta B depende de A, al ocurrir el suceso A entonces en el juego decartas quedan 39 barajas de las cuales 3 son ases. Ahora aplicamos la formulade la probabilidad conjunta para eventos dependientes se tiene:

P(A∩B) = P(A) P(B/A) = 1/10x 3/ 39 = 1/130 = 0.0077 = 0.77 %, esta es laprobabilidad conjunta buscada.

10.- Una caja contiene 100 bombillos, se sabe que hay 15 defectuosos. Setoman 2 bombillos aleatoriamente sin remplazarlos. ¿ Cuál es la probabilidad deque los 2 bombillos estén defectuosos?.

Solución: Lo primero que se observa es un experimento sin reposición, por lotanto la probabilidad a buscar es la conjunta para eventos dependientes. Si sellama A, el evento de sacar el primer bombillo defectuoso, entonces laprobabilidad de A será P(A)= 15/100, y si llamamos B el suceso de sacar el

segundo bombillo defectuoso, entonces su probabilidad será:P(B) = P(B/A) = 14/99, esto es así por ser B un suceso dependiente de laocurrencia de A, es decir, que al ocurrir el evento A, entonces quedan en la caja99 bombillos de los cuales solo 14 serán defectuoso. Ahora se aplica la formulade la probabilidad conjunta para sucesos dependientes así:

P(A∩B) = P(A) P(B/A) = 15/100 x 14/99 = 21/ 990 = 0.0212 = 2.12 %, esta es laprobabilidad conjunta buscada.

11.- Un comerciante recibe en su negocio una caja con un pedido que contiene 6cepillos verde, 4 blancos y 5 azules. Se extraen de la caja aleatoriamente 3

cepillos sin remplazarlos. ¿ Cuál es la probabilidad de que sean extraídos de lacaja en el orden verde, blanco y azul?.

Solución: Como la extracción de los cepillos de la caja es sin remplazo,entonces los sucesos a obtener son eventos dependientes. El total de cepillos esde 15; si se denomina con V el evento de extraer el primer cepillo verde,entonces su probabilidad de extraerlo será P(V) = 6/15, si ahora se llama B elevento de sacar en la segunda extracción un cepillo blanco, entonces suprobabilidad de salir será P(B) =P(V(/B) = 4/14, esto es así por ser B un eventoque depende de la ocurrencia de V, por lo tanto al salir el primer evento verde enla caja quedan 14 cepillos, finalmente se denomina con A, el suceso de la

extracción del tercer cepillo que será azul y su probabilidad de salir es P(A) =P(A/V∩B) = 5/13, con estos datos se aplica la siguiente formula:

P(V∩B∩A∩) = P(V) P(B/V) P(A/V∩B) = 6/15 x 4/14 x 5/13 = 4/91 = 0.0440 = 4.40%, esta es la probabilidad conjunta buscada.

12.- Las probabilidades de que A y B resuelvan un determinado problema son2/3 y 3/4 respectivamente. Encuentre la probabilidad de que el problema searesuelto cuando menos por uno de los dos.



Solución: Este problema quedará resuelto si A y B no fallansimultáneamente en la solución del mismo. Para ello calculamos la probabilidadde fallar de A y B así:

P(A) = 1−q, entonces, q =1−P(A) = 1−2/3 = 1/3, luego la probabilidad de fallar el

evento B es así:

q = 1−P(B) = 1−P(B) = 1−3/4 =1/4.. Si la probabilidad de fallar A se le denominaP(A1), entonces la de fallar B será P(B1), luego tenemos que P(A1) = 1/3 y P(B1)=1/4, ahora calculamos la probabilidad conjunta de A1 y B1 así: P(A1∩B1) = p(A1)P(B1) = 1/3 x 1/4 = 1/12, esta es la probabilidad conjunta de fallar A y B, ahorabien, para saber cual es la probabilidad de acertar aplicamos la formula: P = 1− q,como q = 1/12, esta es la probabilidad de fallar conjuntamente A y B, entoncesse tiene que:

P = 1−1/12 = 11/12 = 0.9167 = 91.67 %, esta es la probabilidad de que elproblema sea resuelto cuando menos por uno de los dos.

13.- Se tiene una caja con 20 fusibles, se sabe que 5 fusibles estándefectuosos. Se eligen al azar 2 fusibles y se retiran de la caja en forma sucesivasin remplazar al primero. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles seandefectuosos?.

Solución: De acuerdo con el planteamiento del problema se trata de unaprobabilidad conjunta para eventos dependientes, ya que el mismo es sinsustitución. Si se denomina con A, el evento de sacar el primer fusible defectuoso,

entonces la probabilidad de ocurrencia será:P(A) = 5/20, si ahora llamamos B el suceso de sacar el segundo fusible

defectuoso, la probabilidad de ocurrencia será: P(B) = P(B/A) = 4/19, esto es asídebido a que el evento B depende de la ocurrencia de evento A y como se sabeque ocurrió A, entonces en la caja quedan 19 fusibles de los cuales 4 sondefectuosos. Ahora aplicamos la formula de la probabilidad conjunta para sucesosdependientes así:

P(A∩B) = P(A) P(B/A) = 5/20 x 4/19 = 1/19 = 0.0526 = 5.26 %, esta es laprobabilidad de sacar 2 fusibles defectuosos consecutivamente.

SUCESOS DE PRUEBAS REPETIDAS.- Los sucesos de pruebas repetidasson de gran importancia en el cálculo de probabilidades y sus aplicaciones. Esteproblema se presenta cuando un experimento u observación se repite ciertonúmero de veces bajo las mismas condiciones. Se dice que un suceso simpleinterviene en una prueba si necesariamente acurre o deja de ocurrir una sola vez .Se dice que un suceso simple interviene en pruebas repetidas si necesariamentebajo exactamente las mismas condiciones, ocurre o deja de ocurrir, cada vez, unavez.

Si un evento ocurre en una prueba, se acostumbra a decir que se acierta , y que

la probabilidad de que el suceso ocurra es la probabilidad de acertar . De la mismaforma, si un evento no ocurre en una prueba, se acostumbra a decir que el sucesofalla, y que la probabilidad de que el suceso no ocurra es la probabilidad de fallar .

TEOREMA 1 (Ley del binomio).- Sea P la probabilidad de acertar y q = 1−P la probabilidad de fallar en un suceso de una prueba. Entonces la P1 deexactamente r aciertos en n pruebas repetidas está dada por La formula

P1 = C (n, r) pr qn−r , si r ≤ n .

En esta formula n es el número total de suceso, r es el número total de

aciertos, n−1 es el número total de fallar, C es la combinación de los eventos n



y r , p es la probabilidad de acertar un evento determinado, q es la probabilidadde fallar y P1 es la probabilidad buscada. Ej.

14.- Calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 cuatros en 5lanzamientos de un dado normal.

Solución: Cada tiro del dado es una prueba, llamaremos acertar el acto deobtener un cuatro. La probabilidad de obtener un 4 en el dado o acertar es de1/6, entonces p = 1/6, la probabilidad de no obtener un 4, es decir, la probabilidadde fallar es:

1−1/6 =5/6 = q, como n = 5, r = 3, n−r = 2, ahora se aplica la formula delteorema 1 así :

( ) ( )( )

,

A P

B A P

A B P

∩=

0.0322 = 3.22 %, esta es la probabilidad buscada.

15.- Una moneda de 5 bolívares se lanza 8 veces al aire. ¿ Cuál es laprobabilidad de obtener exactamente 6 caras?.

Solución: Es muy importante que observe en este tipo de problemas lapalabra clave: exactamente, tal y como lo anuncia el teorema 1.. En unlanzamiento de una moneda la probabilidad de obtener una cara es de 1/2 y laprobabilidad de fallar es también de 1/2, por lo tanto p = q = 1/2. En esteproblema n = 8,

r = 6, n−r = 2, aplicando la formula del teorema 1 se tiene:

( ) ( ) ad probabilid laesque x x

x xC q pC P r nr

r n ......%,..94.101094.0256

28

212

178

2

1

2

18

826

6,8,1 ====

== −

buscad a.

TEOREMA 2.- Sea P la probabilidad de acertar y q = 1−p la probabilidadde fallar de un suceso en una prueba. Entonces la probabilidad P2 de obtener

por lo menos r aciertos en n pruebas está dada por la relación

Esta formula es similar a la del teorema 1, pero para determinar la probabilidaden este caso se calculan todo los valores de n y finalmente se suman todas lasprobabilidades y el resultado de la sumatoria es la probabilidad buscada. En laaplicación de esta formula hay una frase clave que es: por lo menos, lo cualsignifica que se deben tomar las probabilidades desde r hasta n y luegosumarlas todas y esa será la probabilidad buscada. Ejemplo:

16.- Una moneda de 5 bolívares se lanza al aire 8 veces. ¿ Cuál es laprobabilidad de que por lo menos aparezcan 6 caras?.

Solución: Este es un problema que se resuelve aplicando el teorema 2 por cuanto presenta la palabra clave por lo menos, que indica la aplicación de laformula del teorema mencionado. En el lanzamiento de una moneda laprobabilidad de acertar es 1/2 y la de fallar es 1/2 por lo tanto la p = q =1/2,n = 8, r = 6 y n – r = 2, aplicando la formula tenemos:

P1 = ∑ C(n, r) pr qn-r = ∑ C (8, 8) (1/2)8 + C (8, 7) (1/2)7 (1/2) + C (8, 6) (1/2)6 (1/2)2

∑=

=

− ≤=r r

nr

r nn nr q pr nC P ..,.........),(2



P1 = ∑ 18 / 28 + 8 x 18 / 28 + 28 x 18 / 28 = 37 / 256 = 0.1445 = 14.45 %, esta es laprobabilidad buscada.

17.- La probabilidad de que un hombre de 50 años viva 20 años más, es de60.0 %. Dado un grupo de 5 hombres de 50 años, ¿ cuál es la probabilidad

de que por lo menos 4 hombres lleguen a 70 años?. Solución: De acuerdo con el planteamiento del problema se trata de sucesosde pruebas repetidas tal y como lo plantea el teorema 2, por cuanto presenta lafrase clave por lo menos. En este problema la probabilidad de que un hombreviva 70 años es:

60/100 = 6/10 = p, la probabilidad que no llegue a los 70 años es 4/10 = q, n =5, r = 4 y n – r = 1. Aplicando la formula del teorema 2 se tiene:

P1 = ∑ C (n, r) pr qn–r = ∑ C(5,5) (6/10)5 + C(5, 4) (6/10)4 (4/10) =

∑ 7776 / 100000 + 5 x 5184 / 100000 =

∑ 7776 / 100000 + 25920 / 100000 = 1053 /3125 =0.3370 =33.70 %, esta es laprobabilidad buscada.

PROBLEMAS

1.- Calcular la probabilidad de obtener una suma de por lo menos 10 puntos en

un lanzamiento de 2 dados. Resultado: 16.67 %.

2.- Una tabla de mortalidad muestra que de 949.171 personas de 21 años,578.050 aún viven a la edad de 65 años. Determine la probabilidad de que unhombre que actualmente tiene 21 años viva lo necesario para cumplir 65 años.Resultado: 60.90 %.

3.- Una Compañía envía 2.000 bombillos para surtir una orden de compra deuna ferretería. Se sabe que el registro llevado de producción indica que cada100.000 bombillos del mismo tipo y bajo las mismas condiciones esenciales hanresultado 1.000 bombillos defectuosos. ¿ Cuántos bombillos se espera que

salgan defectuosos en la orden de compra solicitada?. Resultado: 20 bombillosdefectuosos.

4.- Un TSU en administración siente que la probabilidades de obtener unempleo en una empresa son 7 a 4. ¿Qué probabilidad asigna él para obtener elempleo?. Resultado: 63.64 %.

6.- Dado 2 eventos A y B en el espacio muestral E y sabiendo que P(A) = 1/3,(B/A) = 1/2 y que PA/B) = 1/3, entonces calcule la probabilidad de que se de almenos uno de los sucesos A y B. Resultado: 67.67 %.

7.- Un experimento aleatorio consiste en lanzar 2 dados. Sea A, el evento deque el resultado de ambos dados sea el mismo. Sea B el suceso de que lasuma de los resultados de los 2 dados es un número par. Sea C el evento deque al menos el resultado de uno de los 2 dados es un 6. Determine: a ).-P(A∩B∩C).- b).- P(Α ∪B)- c). - P(A∩Β ).- d ).- P(C/A). Resultados: a).- 2.78 %.b).- 100.0 %. c) .- 0. d ) .- 16.67 %.

8.- En una caja hay 100 fichas numeradas del 1 al 100. ¿Cuál es laprobabilidad de que al sacar una ficha, su número sea múltiplo de 9?. Resultado:11.0 %.

9.- En un edifico viven 12 familias, de las cuales 3 tienen ingresos mensualesmayores de 300.000 bolívares, 4 tienen ingresos de 150.000 bolívares y 5



presentan ingresos de 100.000.En el edificio del frente viven 18 familias, de lascuales 5 tienen ingresos mayores de 300.000 bolívares, 6 tienen ingresos de150.000 bolívares y 7 poseen ingresos de 100.000 bolívares. Se escogen 2familias aleatoriamente, una de cada edificio. ¿ Cuál es la probabilidad: a) de queambas familias tengan ingresos de 150.000 bolívares, b) de que ambas estén en

el mismo intervalo de ingresos?. Resultados: a).- 11.11 %.- b)- 34.26 %. 10.- En una caja hay 150 bombillos, 100 son de alógeno y 50 sonincandescentes. Se sacan al azar 50 bombillos con remplazamiento. ¿ Esindependiente el suceso de sacar el primer bombillo de alógeno y el suceso deque el bombillo número 50 sea de alógeno?. Explique

11-. La probabilidad de que Antonio esté vivo dentro de 20 años es de 0.70, yla de que Julia esté viva dentro de 20 años es 0.90. Si se asumeindependencia para ambos eventos, ¿ cuál es la probabilidad de que ninguno delos dos esté vivo dentro de 20 años?. Resultado: 3.0 %.

12.- Se lanza un par de dados una sola vez. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 puntos en los dos dados?.Resultado22.22%.

13.-La probabilidad de que un vuelo programado en forma regular salga a tiempoes P(D)= 0.83, la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A) = 0.92, y laprobabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(D∩A) = 0.78. Encuentre laprobabilidad de que un avión: a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo, y b)haya salido a tiempo, dado que llego a tiempo.

14.- Una moneda regular se lanza 10 veces al aire. Encuentre la probabilidad deobtener por lo menos 8 caras. Resultado: 5.47 %.

15.- Se efectúan 5 lanzamientos con un par de dados. Hallar la probabilidad deobtener por lo menos 4 siete. Resultados:0.33 %.

16.- En promedio, un tirador pega en el blanco 300 veces en 400 tiros. Hallar laprobabilidad de que pegue en el blanco por lo menos 3 veces en 5 tiros.Resultado: 89.65 %.

17.- Sé efectúan 6 lanzamientos con un par de dados. ¿ Cuál es la probabilidad

de obtener exactamente 3 siete?. Resultado: 5.36%. 18.- Un jugador de béisbol cuyo promedio de bateo es 0.300, va al bate 4veces en un juego dado. Calcular la probabilidad de que pegue exactamente 2hit. Resultado: 26.46%.

19.- La calificación aprobatoria en un examen que consta de 10 problemas es70 %. En promedio, cierto estudiante resuelve correctamente 4 de cada 5problemas. Calcular la probabilidad de que ese estudiante apruebe el examen.Resultado: 87.91 %.

20.- La probabilidad de que un hombre de 50 años viva 20 años más es 0.60.Dado un grupo de 5 hombres de 50 años, ¿ cuál es la probabilidad de que por lomenos 4 llegue a los 70 años?.Resultado: 33.70 %.

21.- Una moneda se lanza al aire 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener unnúmero impar de caras?. Resultado: 50.0 %.

22 – Si A, B y C tiran a un blanco con probabilidad de acertar de 2/7, 2/5 y

2/3, respectivamente, ¿ cuál es la probabilidad de que alguno acierte, al blanco, al

hacer un disparo cada uno?. Resultado: 85.71 %.



23 – En la tabla que aparece a continuación se clasifica una muestra aleatoria

de 200 adultos, de acuerdo con el sexo y el nivel de educación.

EDUCACIONÓ MASCULINO FEMENINO

PRIMARIA 38 45SECUNDARIA 28 50

SUPERIOR 22 17

Si se elige al azar una persona de este grupo, encuentre la probabilidad de que

a). La persona sea hombre, dado que tiene educación secundaria.

b). Que la persona no tenga instrucción superior, dado que es mujer. Resultado:

a). 35.90 %. B). 84.82 %.

BIBLIOGRAFÍA

Benavente del Prado, Arturo Núñez (1992): Estadística Básica par Planificación. Editorial Interamericana. 6ª. Edición. México.

Berenso, Mark.(1.992): Estadística Básica en Administración. Editorial. Harla.Cuarta Edición. México.

Best,J. W. (1987): Como Investigar en Educación. Editorial Morata. Madrid –

España.

Budnick Frank S. (1992): Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía yCiencias Sociales. Tercera Edición. Editorial McGaw-Hill Interamericanade México, S.A de C.V. México.

Caballero, Wilfredo (1975): Introducción a la Estadística. Editorial ICA. CostaRica.

Cadoche, L. S.; G. Stegmayer, J. P. Burioni y M. De Bernardez (1998). Materialdel Seminario de Encuestas en Educación, impartido vía internet por parte

de la Universidad Nacional del Litoral, en Santa Fe, y de la UniversidadTecnológica Nacional, Regional Santa Fe, en la República de Argentina.

Castañeda J., J.(1991): Métodos de Investigación 2 . Editorial McGraw-Hill. México.

Carono, R., Minujin, A. y Vera, G.(1982): Manual de técnicas de evaluación yajuste de información Estadísticas. Fondo de cultura económica.México.

Chao, L.(1993): Estadística para la Ciencia Administrativa. Editorial McGraw –

Hill. 4ta Edición. Colombia

Chou, Ya-Lun (1972): Análisis Estadístico. Editorial Interamericana. México

Daniel Wayne, W. y Otros (1993): Estadística con Aplicación a las CienciasSociales y a la Educación. Editorial McGraw-Hill Interamericana deMéxico, S.A. de C.V. México.

De Oteyza de O., E; Emma Lam O., Carlos Hernández G. y Ángel M. Carrillo H.(1998). Temas Selectos de Matemáticas. Prentice Hall. México

Enciclopedia Microsoft Encarta 2002 (2002 ): Censo- Cuestionario- Encuesta.

Estadística. Editorial Microsoft corporation. USA.



Erkin Kreyszia (1978): Introducción a la Estadística Matemática. Editorial Limusa,S.A. México.

Freud J: E. y Otros (1990): Estadística para la Administración con Enfoque

Moderno. Editorial, S.A. México.

Gomes Rondón, Francisco (1985): Estadística Metodologica: Ediciones Fragor.Caracas.

González, Nijad H. (1986): Métodos estadísticos en Educación. EditorialBourgeón, Caracas.

Guilford, J. Y Fruchter, B. (1984): Estadística aplicada a la Psicología y laEducación. Editorial McGraw-Hill Latinoamericana, S. A., Bogotá.

Hamdan González, Nijad (1986): Métodos Estadísticos en Educación. Editorial

Bourgeón C.A. Caracas – Venezuela.Kevin, Richard I. (1988): Estadística para Administradores. Editorial

Hispanoamericana. México.

Larson Harold, J. (1985): Introducción a la Teoría de Probabilidades e inferenciaEstadística. Editorial Limusa. México.

Lehmann, Charles H. (1995): ÁLGEBRA. Editorial limusa, S.A. DE C.V. GrupoNoriega Editores. México.

Leithold, Louis (1992): El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial HARLAMéxico.

Lincon L., Chao (1996): Estadística para Ciencias Administrativas. Cuarta edición.Editorial McGaw-Hill. Usa.

Lenin, R.y Kubin, D.(1992): Estadística para Administradores. EditorialHispanoamérica. VI edición. México.

Lopez Casuso, R. (1984): Introducción al Cálculo de Probabilidades e InferenciaEstadística. Editorial Instituto de Investigaciones Económicas, UCAB.Caracas- Venezuela.

Mason, Robert (1.992): Estadística para la Administración y Economía.Ediciones Alfaomega S.A.N. México.

Mendennaf, W. y OTROS (1981): Estadística para Administradores y Economía. Editorial Iberoamericana. México.

Mode, Elmer B. (1988): Elementos de Probabilidades y Estadística EditorialReverte Mejicana. México.

Murria, R.(1993): Estadística. Edición Interamericana.2da Edición. México.

Parzen, E. (1986): Teoría Moderna de Probabilidades y sus Aplicaciones EditorialLimusa. México

Pugachev, V. S. (1973): Introducción a la Teoría de Probabilidades Editorial Mir.Moscú.

Rivas González, Ernesto (1980): Estadística General . Ediciones de la BibliotecaUCV. Caracas – Venezuela.

Soto Negrin, Armando (1982): Iniciación a la estadística. Editorial José Marti.Caracas – Venezuela.



Stephen P., Shao (1986): Estadística para Economistas y Administradores deEmpresa. Editorial Herreros Hermanos, Sucs., S.A., México.

Stevenson, William(1991): Estadística para la Administración y

Económica.Editorial Harla. México.Universidad Nacional Experimental “Simón Rodríguez” (1983): Estadística 1.

Ediciones UNESR, Caracas.

Walpole, R. y Myers, R. (1987): Probabilidad y Estadística para Ingenieros.Editorial Interamericana. México.

Webster, Allen L. (1996): Estadística Aplicada a la Empresa y la Economía.Editorial Irwin. Segunda edición. Barcelona – España.

Weimer, Richard C. (1996) Estadística. Compañía Editorial Continental, SA deCV.México.

Wonnacott, T. H. y Wonnacott, R: J. (1989): Fundamentos de Estadística para Administración y Economía. Editorial LIMUSA. México.

BIBLIWEB

http://www.ine.es.http://www.udec.cl.

http://www.rincondelvago.comhttp://www.monografias.comhttp://www.itlp.edu.mxhttp://www.inf.ufsc.br/cee/pasta1/art4.htmlhttp://www.inf.ufsc.br/cee/pasta4/art1p4.htmlhttp://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Estepa-Jornadas-Mallorca.dochttp://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Mallorca1.dochttp://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Roa-Navarro.dochttp://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Bataneromallorca.dochttp://buscar.hispavista.com/?cadena=Aprende+estadistica

http://www.psicol.unam.mx/Cim2000/Estadistica/journal_of_statistics_education.htmhttp://www.ine.es/revistas/estaespa/148_2.pdf http://www.fuentesestadisticas.com/numero1/paginas/editorial.htmlhttp://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xstad02.htmlhttp://lib.stat.cmu.edu/http://www.stat.ufl.edu/vlib/statistics.htmlhttp://www.statserv.com/softwares.htmlhttp://www.maths.uq.edu.au/~gks/webguide/http://www.statistics.com/http://www.helsinki.fi/~jpuranen

http://www.maths.uq.edu.au/~gks/webguide/free.htmlhttp://nhsbig.inhs.uiuc.edu/http://www.okstate.edu/artsci/botany/ordinate/software.htmhttp://life.bio.sunysb.edu/ee/biometry/http://life.bio.sunysb.edu/morph/software.htmlhttp://pbil.univ-lyon1.fr/ADE-4/ADE-4.htmlhttp://ourworld.compuserve.com/homepages/Rainer_Wuerlaender/statsoft.htm

http://it.stlawu.edu/~rlock/maa99/http://it.stlawu.edu/~rlock/tise98/java.html

http://www.stat.vt.edu/~sundar/java/applets/

http://www.kuleuven.ac.be/ucs/java/index.htmStatistical support at SPSS

http://www.ine.es/

http://www.udec.cl/

http://www.rincondelvago.com/

http://www.monografias.com/

http://www.itlp.edu.mx/

http://www.inf.ufsc.br/cee/pasta1/art4.html

http://www.inf.ufsc.br/cee/pasta4/art1p4.html

http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Estepa-Jornadas-Mallorca.doc


http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Mallorca1.doc

http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Roa-Navarro.doc

http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Bataneromallorca.doc

http://buscar.hispavista.com/?cadena=Aprende+estadistica

http://www.psicol.unam.mx/Cim2000/Estadistica/journal_of_statistics_education.htm


http://www.ine.es/revistas/estaespa/148_2.pdf

http://www.fuentesestadisticas.com/numero1/paginas/editorial.html

http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xstad02.html

http://lib.stat.cmu.edu/

http://www.stat.ufl.edu/vlib/statistics.html

http://www.statserv.com/softwares.html

http://www.maths.uq.edu.au/~gks/webguide/

http://www.statistics.com/

http://www.helsinki.fi/~jpuranen/links.html#stc

http://www.maths.uq.edu.au/~gks/webguide/free.html

http://nhsbig.inhs.uiuc.edu/

http://www.okstate.edu/artsci/botany/ordinate/software.htm

http://life.bio.sunysb.edu/ee/biometry/

http://life.bio.sunysb.edu/morph/software.html

http://pbil.univ-lyon1.fr/ADE-4/ADE-4.html

http://ourworld.compuserve.com/homepages/Rainer_Wuerlaender/statsoft.htm

http://it.stlawu.edu/~rlock/maa99/

http://it.stlawu.edu/~rlock/tise98/java.html


http://www.kuleuven.ac.be/ucs/java/index.htm

http://www.spss.com/tech/stat/index.htm

http://www.ine.es/

http://www.udec.cl/

http://www.rincondelvago.com/

http://www.monografias.com/

http://www.itlp.edu.mx/

http://www.inf.ufsc.br/cee/pasta1/art4.html

http://www.inf.ufsc.br/cee/pasta4/art1p4.html



http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Mallorca1.doc

http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Roa-Navarro.doc

http://www.caib.es/ibae/esdeveniment/jornades_10_01/doc/Bataneromallorca.doc

http://buscar.hispavista.com/?cadena=Aprende+estadistica



http://www.ine.es/revistas/estaespa/148_2.pdf

http://www.fuentesestadisticas.com/numero1/paginas/editorial.html

http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xstad02.html

http://lib.stat.cmu.edu/

http://www.stat.ufl.edu/vlib/statistics.html

http://www.statserv.com/softwares.html

http://www.maths.uq.edu.au/~gks/webguide/

http://www.statistics.com/

http://www.helsinki.fi/~jpuranen/links.html#stc

http://www.maths.uq.edu.au/~gks/webguide/free.html

http://nhsbig.inhs.uiuc.edu/

http://www.okstate.edu/artsci/botany/ordinate/software.htm

http://life.bio.sunysb.edu/ee/biometry/

http://life.bio.sunysb.edu/morph/software.html

http://pbil.univ-lyon1.fr/ADE-4/ADE-4.html

http://ourworld.compuserve.com/homepages/Rainer_Wuerlaender/statsoft.htm

http://it.stlawu.edu/~rlock/maa99/




http://www.kuleuven.ac.be/ucs/java/index.htm

http://www.spss.com/tech/stat/index.htm



http://e-stadistica.bio.ucm.es/web_spss/entorno_de_trabajo_del_SPSS.html MuyBuenohttp://www.hrc.es/bioest/Introducion_ch.htmlhttp://www.hrc.es/bioest/M_docente.html#tema2http://members.tripod.com/~beatrizt/verdad/5.html

http://www.monografias.com/trabajos5/estadm/estadm.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/esta/esta.shtmlhttp://platea.pntic.mec.es/~jescuder/estadist.htmhttp://www.universidadabierta.edu.mx/SerEst/MAP/METODOS%20CUANTITATIVOS/Vega%20Trujillo%20Maria%20del%20Pilar.htmhttp://www.geocities.com/arguello_vyr/contenido.htmlhttp://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.htmlhttp://www.fuentesestadisticas.com/Numero50/paginas/9.htm http://www.angelfire.com/journal2/estadistica/Links.htmhttp://www.unlu.edu.ar/~mapco/apuntes/610/mapco610.htmhttp://rrpac.upr.clu.edu:9090/~amenend/excel8intro.htm

http://www.fisterra.com/material/investiga/distr_normal/distr_normal.htmhttp://www.fisterra.com/material/index.htmhttp://usuarios.lycos.es/manuelnando/normal.htmlhttp://www.uam.es/personal_pdi/derecho/lmorales/tecnicas/practica/guiap1.htmlhttp://www.uam.es/personal_pdi/derecho/lmorales/tecnicas/practica/statvill/index.htmlhttp://www.randomizer.org/form.htmhttp://ftp.bioestadistica.uma.es/libro/.

http://e-stadistica.bio.ucm.es/web_spss/entorno_de_trabajo_del_SPSS.html

http://www.hrc.es/bioest/Introducion_ch.html

http://www.hrc.es/bioest/M_docente.html#tema2

http://members.tripod.com/~beatrizt/verdad/5.html

http://www.monografias.com/trabajos5/estadm/estadm.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/esta/esta.shtml

http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/estadist.htm

http://www.universidadabierta.edu.mx/SerEst/MAP/METODOS%20CUANTITATIVOS/Vega%20Trujillo%20Maria%20del%20Pilar.htm


http://www.geocities.com/arguello_vyr/contenido.html

http://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html

http://www.fuentesestadisticas.com/Numero50/paginas/9.htm

http://www.angelfire.com/journal2/estadistica/Links.htm

http://www.unlu.edu.ar/~mapco/apuntes/610/mapco610.htm

http://rrpac.upr.clu.edu:9090/~amenend/excel8intro.htm

http://www.fisterra.com/material/investiga/distr_normal/distr_normal.htm

http://www.fisterra.com/material/index.htm

http://usuarios.lycos.es/manuelnando/normal.html

http://www.uam.es/personal_pdi/derecho/lmorales/tecnicas/practica/guiap1.html

http://www.uam.es/personal_pdi/derecho/lmorales/tecnicas/practica/statvill/index.html


http://www.randomizer.org/form.htm

http://ftp.bioestadistica.uma.es/libro/

http://e-stadistica.bio.ucm.es/web_spss/entorno_de_trabajo_del_SPSS.html

http://www.hrc.es/bioest/Introducion_ch.html

http://www.hrc.es/bioest/M_docente.html#tema2

http://members.tripod.com/~beatrizt/verdad/5.html

http://www.monografias.com/trabajos5/estadm/estadm.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/esta/esta.shtml

http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/estadist.htm



http://www.geocities.com/arguello_vyr/contenido.html

http://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html

http://www.fuentesestadisticas.com/Numero50/paginas/9.htm

http://www.angelfire.com/journal2/estadistica/Links.htm

http://www.unlu.edu.ar/~mapco/apuntes/610/mapco610.htm

http://rrpac.upr.clu.edu:9090/~amenend/excel8intro.htm

http://www.fisterra.com/material/investiga/distr_normal/distr_normal.htm

http://www.fisterra.com/material/index.htm

http://usuarios.lycos.es/manuelnando/normal.html

http://www.uam.es/personal_pdi/derecho/lmorales/tecnicas/practica/guiap1.html



http://www.randomizer.org/form.htm

http://ftp.bioestadistica.uma.es/libro/

11+teorÍa+combinatoria++y+de+probabilidades++actualizada

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