1.1 clase modelos de pronostico

H U M B E R T O V I L L A L O B O S T O R R E S

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA M ARÍA

D E P A R T A M E N T O D E I N D U S T R I A S

04/03/2014

ECONOMETRÍA

I C N 3 1 2

INTRODUCCIÓN

� La medición en la economía – Econometría –constituye una de las herramientas fundamentalespara la investigación de datos económicos.� Precio de un bien de consumo� El valor económico de un activo financiero� La percepción sobre las características deseables de un

nuevo producto, etc.

� “La Econometría la tiene por objeto la explicacióny el pronóstico defenómenos económicosmedibles,sean teorías o hipótesis, mediante el uso demodelos estadísticos y recursos matemáticos”

04/03/2014Elaborado por: Humberto Villalobos Torres

INTRODUCCIÓN

� Los elementos más comunes de la definición quehemos considerado deEconometríason:� Tiene por objeto el análisis de fenómenos económicos,

en al amplio sentido de la palabra.� Tiene un carácter fuertemente cuantitativo, sin embargo,

bajo ciertas condiciones es posible la utilización de datoscualitativos.

� Trata de verificar teorías económicas, formulandomodelos estadísticos considerando datos reales, quepermitan contrastar dichas teorías.

� Estima, pronostica y contrasta los modelos y susfundamentos para poder utilizarlos con un menor gradode incertidumbre.


INTRODUCCIÓN

� Frente a un fenómeno económico, el modeloeconométrico requiere la especificación de lasvariables que se cree pueden estar interfiriendo enel fenómeno económico, las cuales mediante unrelación funcional entre dichas variables, unadefinición temporal o espacial concreta� “Crecimiento anual de la población mundial”

� Esperanza de vida al nacer� Población, total� Gasto de salud per-capita (% del gasto total en salud)� Gastos de salud por paciente (% del gasto privado de

salud), etc.


INTRODUCCIÓN

� Frente a un fenómeno económico, …� “Variables que afectan el precio de un bien raíz

en la región metropolitana”� Cantidad de metros cuadrados construidos� Cantidad de habitaciones que éste posee� Prestigio de la constructora a cargo del proyecto� ¿casa o departamento?� Ubicación donde se llevará a cargo el proyecto� etc.


INTRODUCCIÓN

� La idea consiste en establecer una relación (funcional)entre alguna(s) variable(s) a explicar, y una o másvariables explicativas.

� La variable a explicar,Y, toma nombres como:variable respuesta, variable predecida, variabledependiente,variable endógena, variables regresadas,etc.

� Las variables explicativas,Xs, toman nombres como:variables predictoras, variables independientes,variables exógenas, variables regresoras, etc.


[ / ] ( , )Y Y X x f xµ ε β ε= + = = = +E

INTRODUCCIÓN

� La función f(x, β) caracteriza al problema deeconometría, que está compuesta porparámetrosdesconocidosy una o más variables exógenas queforman la parte matemática (determinística) delmodelos, de la cuál se pueden distinguir lossiguientes casos:

� f(x, β) lineal en los parámetros

� f(x, β) no lineal en los parámetros

� La función es linealizable� La función no es linealizable


INTRODUCCIÓN

� En general ocurre la que obtención de los datoscondiciona la forma de escribir el modelo, sinembargo, la esencia de la estructura es equivalente,en este sentido se distinguen:� Datos a través del tiempo, altamente común en datos

econométricos (investigaciones de tipo o cortelongitudinal)“Crecimiento anual de la población mundial”

� Datos de sección cruzada (investigaciones de tipo ocorte transversal)

“Variables que afectan el precio del un bien raíz en la Región Metropolitana”


INTRODUCCIÓN

� Datos a través del tiempo, altamente común en datoseconométricos (investigaciones de tipo longitudinal).


20.000,00

21.000,00

22.000,00

23.000,00

24.000,00

25.000,00

26.000,00

27.000,00

28.000,00

Val

or C

uota

Tiempo

Gráfica de SerieFONDO A

FONDO E � Acciones� Clima� Índices

Económico� Olimpiadas, etc.

04/03/2014

INTRODUCCIÓN

� Datos de sección cruzada (investigaciones de tipotransversal).

� Economía� Forestal� Agricultura� Medicina, etc.

“Todo está relacionado con todolo demás, pero las cosas cercanasestán más relacionadas que lascosas distantes”(Tobler (1970))

Elaborado por: Humberto Villalobos Torres

04/03/2014

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

� Al establecer un relación funcional entre variables,se puede utilizar una para el pronóstico de la otra.


04/03/2014

� Se construye un modelo estadístico (paramétrico)para esta situación, proponiendo una relaciónfuncionalf(x, β) = E [Y / X = x] (Recuerdos).

� A menudo la variable X representa las condiciones,y la variableY es la respuesta, bajo las condicionesimpuestas.

� Para estimar los parámetros de la función depronóstico, la opción más comúnmente utilizada esla de minimizar los errores cuadráticos, bajorestricciones necesarias para su aplicación.



04/03/2014


� El método de mínimos cuadrados, también llamadosmínimos cuadrados ordinarios (MCO), requierecondiciones para su aplicación que están dadas por:


[ ] 0 , 1,2,...,i i nε = ∀ =E

[ ] 0 ( ; ), ( , ), i j i jCov i j i jε ε ε ε× = = ∀ ≠E

2[ ] , 1,2,...,i i nεε σ= ∀ =V

Modelo funcional0 1i i iY Xβ β ε= + +

04/03/2014

� Minimización de errores cuadráticos

Modelo funcional entre variables


2 2 20 1

1 1

( ) ( )n n

i i i ii i

g Y Xε ε β β= =

= = − −∑ ∑

0 1i i iY Xβ β ε= + +

2

0 110

( )2 ( )

ni

i ii

d gY X

d

ε β ββ =

= − − −∑

2

0 111

( )2 ( )

ni

i i ii

d gY X X

d

ε β ββ =

= − − −∑


04/03/2014



11

2

1

( )( )ˆ

( )

n

i iXYi

nXX

ii

Y Y X XS

SX Xβ =

=

− −= =

−

∑

∑

0 1i i iY Xβ β ε= + +

0 1ˆ ˆ= Y Xβ β−

?YYS =

04/03/2014



0 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ( )i i i iy x y x x y x xβ β β β β= + = − + = + −

)(ˆ xxs

sryy i

y

xpi −+=

� ¿Qué pasa si el modelo propuesto cambia?


� APLICACIÓN 1: Una entidad del sector financieroque se especializa en créditos para vivienda intentaanalizar el mercado de bienes raíces, midiendo elpoder explicativo que las tasas de interés, enporcentajes anuales, tienen sobre el número de casavendidas en el área. Se recopilaron los datos para unperíodo de diez meses, donde se obtuvo:


Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Interés (i) 12,3 10,5 15,6 9,5 10,5 9,3 8,7 14,2 15,2 12Casas (C) 196 285 125 225 248 303 265 102 105 114

50

100

150

200

250

300

350

9 11 13 15

Núm

ero

de C

asas

Tasa de Interés (i)

Grafico de Dispersión


� APLICACIÓN 1: Una entidad del sector financieroque se especializa … Proponga y estime losparámetros asociados a su modelo de pronóstico.


0 1i i iY Xβ β ε= + +

Modelos Propuesto

Modelos Ajustado

ˆ 520,04 27,44 ii iy x= −

ˆ 0,8679prρ = = −


� APLICACIÓN 2: Los siguientes datos representan larentabilidad promedio anual, de la acción XYentrelos años 1988 y 2003:


Tiempo 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Rentabilidad 6,0 7,1 10,7 7,0 11,9 13,5 9,2 15,8

Tiempo 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003Rentabilidad 17,8 13,2 21,4 17,0 25,1 21,4 27,8 16,6

A través de un diagrama de dispersión, se puedevisualizar el tipo de relación que existe entre lasvariables. Los tiempos se trabajaran en la escala 1, … ,n.


� APLICACIÓN 2: Considerando los datos de larentabilidad promedio … Proponga y estime losparámetros asociados a su modelo de pronóstico.


0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Ren

tabi

lidad

Tiempo

Gráfico de Dispersión

0 1t t tY Xβ β ε= + +

Modelos Propuesto

Modelos Ajustado

ˆ 5,12 1,1734 t ty x= +

ˆ 0,8571prρ = =


� APLICACIÓN 3: Los datos que se presentan acontinuación representan una muestra reducida delos tiempos de transporte y el porcentaje decapacidad no utilizada por camiones de una empresade transporte, a través de la cual interesa buscar unmodelo predictivo.


Tiempo 7,75 18,75 11,15 14,95 10,85 8,05 14,1 12,55Porcentaje70,505 10,315 25,055 12,145 27,05 63,145 10,495 15,05

Tiempo 13,6 8,35 15,55 16,7 22,45 9,1 11,65 8,98Porcentaje17,55 51,47 10,45 10,25 13,745 30,31 14,595 20,36


� APLICACIÓN 3: Los tiempos de transporte y elporcentaje de capacidad no … Proponga y estimelos parámetros asociados a su modelo de pronóstico.


0

10

20

30

40

50

60

70

80

7 9 11 13 15 17 19 21 23

Tie

mpo

de

Tram

spor

te

% de Capacidad Ociosa

Grafico de Dispersión

0 1 /i i iY Xβ β ε= + +

Modelos Propuesto

Modelos Ajustado*ˆ 30,25 666,62 i iY x= − +

ˆ 0,9050prρ = =

0 1i i iY Xβ β ε= + +

ˆ 0,7532prρ = = −

04/03/2014

� Si es posible realizar supuestos distribucionalesverificables estadísticamente acerca de losεi, enparticular que poseen una distribución Normal.



2N(0, )i εε σ∼

� Es la base pararealizar inferenciasrespecto al modelo,sus parámetros y suspredicciones.

04/03/2014

� Inferencias respecto a los parámetros del modelo� La distribuciones asociadas a los parámetros del

modelos, transferidas por los errores aleatorias son:

� Como a varianza de los errores es siempre desconocidaestá se estima a partir de los residuos como:



2

1 1ˆ N ;

XXSεσβ β

∼

22

0 01

ˆ N ;

n

iiXX

Xn S

εσβ β=

∑∼

22 2

1

(1 )1 ˆˆ ( - )2 2

nYY p

i ii

S rY Y

n nεσ=

−= =

− −∑

04/03/2014

� Inferencias respecto a los parámetros del modelo� La estimación del modelos, como las predicciones que se

obtienen están sobre la base de la existencia delparámetro de intercepto en el modelo, luego:



22

% 0 0 1 /21

ˆˆI C( ) : ( 2)n

iiXX

t n XnS

εγ α

σβ β −=

−

∑∓

� H0 : β0 = β0/Ho v/s H1 : β0 > β0/Ho (Hay otras)

¿Contiene a “0”?

0 0/Ho0 12

ˆˆ. . : / ( 2)

ˆXX

i

R D nS t nX

αε

β ββσ

−

− > − ∑

04/03/2014

� Inferencias respecto a los parámetros del modelo� La interpretación del parámetro�1 es de vital

importancia, mientras que su presencia, permite evaluarla capacidad predictiva de la regresora, luego:



� H0 : β1 = β 1/Ho v/s H1 : β1 < β1/Ho (Hay otras)

¿Contiene a “0”?2

% 1 1 1 /2

ˆˆI C( ) : ( 2)XX

t nS

εγ α

σβ β −

−

∓

1 1/Ho1 1

ˆˆ. . : / ( 2)

ˆ XXR D S t nαε

β ββσ −

− < − −

04/03/2014

� Inferencias respecto a las predicciones� Como el objetivo principal es estimar ó predecir un

resultado a partir de los datos que disponen, lasgrandes apuestas en la predicción a partir del modelo:� Estimar una respuesta media.

� Predecir una respuesta futura.

� Predecir una respuesta media futura.

� Predecir los errores aleatorios (residuos).

� El supuesto distribucional sobre los errores, permitetransferir, a la variable endógena.



04/03/2014

� Inferencias respecto a las predicciones� Dentro de la idea de pronosticar, utilizando el enfoque

clásico, laestimación de la respuesta media, sobre elcuál se mantiene las nociones hasta ahora vistas son:



� H0 : µY/xp= u0 v/s H1 : µY/xp

> u0 (Hay otras)

22

% / / 1 /2

( )1ˆ ˆI C( ) : ( 2)

p p

pY x Y x

XX

x Xt n

n Sγ α εµ µ σ−

− − +

∓

22

/ / 1 0

( )1ˆ ˆ ˆ. .: / ( 2)

p p

pY x Y x

XX

x XR D t n u

n Sα εµ µ σ−

− > − + +

04/03/2014

� Inferencias respecto a las predicciones� Sin embargo, sobre lapredicción de una respuesta

futura (en particular), la cual es una variable aleatoria,Se utilizarán la noción de intervalo de predicción, donde:



� H0 : YX=xp= a0 v/s H1 : YX=xp

< a0 (Hay otras)

22

% 1 /2

( )1ˆ ˆI P( ) : ( 2) 1p p

pX x X x

XX

x XY Y t n

n Sγ α εσ= = −

− − + +

∓

22

1 0

( )1ˆ ˆ ˆ. .: / ( 2) 1p p

pX x X x

XX

x XR D Y Y t n a

n Sα εσ= = −

− < − − + + +

04/03/2014

� Inferencias respecto a las predicciones� Sobre lapredicción de una respuesta media futura(de

m observaciones), la cual es una variable aleatoria, Seutilizarán la noción de intervalo de predicción, donde:



� H0 : ��X=xp= a0 v/s H1 : ��X=xp

< a0 (Hay otras)

22

% 1 /2

( )1 1ˆ ˆI P( ) : ( 2)p p

pX x X x

XX

x XY Y t n

m n Sγ α εσ= = −

− − + +

∓

22

1 0

( )1 1ˆ ˆ ˆ. .: / ( 2)p p

pX x X x

XX

x XR D Y Y t n a

m n Sα εσ= = −

− < − − + + +


� APLICACIÓN 1: Una entidad del sector financieroque se especializa en créditos ... Encuentre unintervalo de predicción del 95% en el número decasas que se hubiesen adquirido, si la tasa de interésanual ha alcanzado el 12,3%. ¿cuál sería unapredicción del residuo para este pronóstico?


/ 12,3ˆ 520,04 27,44 12,3xY = = − × = 182,528

2443.858,00 10 196,8 56551,6yyS = − × =

21968,00 10 11,78 56,576xxS = − × =2

2 1744,068

yy p yyS r Sεσ

−= =

ˆ 0,8679prρ = = −


� APLICACIÓN 1: Una entidad del sector financieroque se especializa en créditos ... Encuentre unintervalo de predicción del 95% …


22

95% 12,3 12,3 0,975

1 (12,3 )ˆ ˆI P( ) : (8) 110x x

xx

xY Y t

Sεσ= =

− + +

∓

2

95% 12,31 (12,3 11,78)

I P( ) : 182,528 2,306 1744,06 110 56,576xY =

− × + +

∓

[ ]95% 12,3I P( ) : 81,305; 283,751xY =

ˆi i iY Yε = − 12,3 12,3 12,3 12,3ˆ ˆ 13,472x x x xy y rε = = = == − = =

196 – 182,528


� APLICACIÓN 2: Considerando los datos de larentabilidad promedio … ¿Es posible suponer quecambio en el número de casas medio que han sidoadquiridos mediante un crédito cuando la tasa de interésvaria en una unidad es inferior a –18, con un 5% designificancia?


H0 : β1 = –18 v/s H1 : β1 < –18

1 1 0,951744,06ˆ ˆ. . : / (8) 1856,576

R D tβ β < − −

{ }1 1ˆ ˆ. . : / 28,33R D β β < − CONCLUSIÓN



� Descomposición de la variabilidad total� El Uso de la tabla de análisis de varianza ANDEVA

(ANOVA) asociada a un modelo de regresión, muestra ladescomposición de la variabilidad total asociada a lavariable respuesta.

2

1

SCT ( )n

ii

Y Y=

= −∑ 2

1

ˆ ( )n

i ii

Y Y=

= −∑ 2

1

ˆ ( )n

ii

Y Y=

+ −∑

Explicada por el Modelo

(Regresión)

No explicada por el Modelo

(Residual)

Representan las sumas de cuadrados (SC), similar a: Intra – Entre.



� Descomposición de la variabilidad totalFuente de Variación

g.l. Sumas de Cuadrados

Cuadrado Medio

Estadística F

Regresión 1 SCR CMR =

Residuos n – 2 SCE CME =

Total n – 1 SCT

1

SCR

CME

CMR

2

SCE

−n

2 21

1

ˆˆSCR ( )n

i XXi

Y Y Sβ=

= − =∑H0 : β1 = 0

v/sH1 : β1 ≠ 02

p YYr S=



� Coeficiente de Determinación� Este es un índice descriptivo el cual representa el

porcentaje de la variabilidad total que esta siendoexplicada por el modelo, y que es representado por:

22 SCR SCE

1SCT SCT

p YY

YY

r SR

S= = = −

2

2

CMR ( 2)F

CME (1 ) 1yy

yy

R S n

R S

−= = ×−

Además, se puede observar que:

22

2

( 2)

(1 )

n RT

R

−= =−



� Inferencias sobre la correlación� En este sentido la relación anterior, que se asocia al

cambio en la respuesta media ante una variación de unaunidad en la variable exógena (�1), también evalúa:

H0 : β1 = 0 ⇔ H0 : � ��

= 0 ⇔ H0 : � = 0

v/s

H1 : β1 ≠ 0 ⇔ H1 : � ��

≠ 0 ⇔ H1 : � ≠ 0

R.D.:{Fobs / Fobs> F1 –α/2 (1; n – 2)}



� Inferencias sobre la correlación� Cuando el interés está en algún valor de correlación

distinto de cero, digamosρ0, entonces una buenaaproximación límite es la de Fisher, dada por:

H0 : � = �0 v/s H1 : � ≠ �0

11

2 1p

obsp

rV log

r

+= −

0/Ho

0

11

2 1V log

ρρ

+= −

R.D.:{Z obs/ | Zobs | > Z1 –α/2}

Z = | �(�� − /��)| ~� N(0,1)

�. �.


� APLICACIÓN 3: Los tiempos de transporte y elporcentaje de capacidad no ... Determine un intervalode 95% para estimar el tiempo medio, cuando elporcentaje de capacidad no utilizada es de 14,5 %.


/ˆˆ 30,25 666,62/11,1 = 29,804

pY x iYµ = = − +215480,95 16 24,44 5920,514yyS = − × =

2* * 0,1186 16 0,8205 0,0109x xS = − × =

ˆ 0,9050prρ = =2

2 76,53314

yy p yyS r Sεσ

−= =

2

95% /

1 (1/11,1 0,8205)I C( ) : 29,804 2,145 76,533

16 0,1186pY xµ − × +

∓

[24,90; 34,71]


� APLICACIÓN 3: Los tiempos de transporte y elporcentaje de ... ¿Es posible suponer que el grado deasociación lineal entre el tiempo y el inverso delporcentaje de capacidad no utilizada es mayor a 0,80?


H0 : � = 0,80 v/s H1 : �1 > 0,80

COMENTARIOS

1 1 0,905

2 1 0,905obsV log+ = −

/Ho

1 1 0,8

2 1 0,8V log

+ = −

R.D.:{Z obs/ Zobs> Z1 –α}

Z = | �(�� − /��)| ~� N(0,1)

Zobs=1,2064

valor-p= 0,1138


� APLICACIÓN 3: Los tiempos de transporte y elporcentaje de ... Evalúe la capacidad predictiva delmodelo mediante el uso de la Tabla ANDEVA.


H0 : β1 = 0 v/s H1 : β1 ≠ 0

Fuente de Variación


Cuadrado Medio

Estadística F

Regresión 1 4849,052 4849,052 63,359

Residuos 14 1071,462 76,533

Total 15 5920,514

COMENTARIOS



� Falta de Ajuste v/s Error Puro� La descomposición de la suma de cuadrados residual o

del error (SCE), ante la presencia de replicacionessobre la exógena consiste en dos partes:1. La variación de los valores de la variable endógena

dentro de los valores de la variable exógena, conocidacomoContribución por Falta de Ajuste.

2. La variación aleatoria, no explicada por el modelo,conocida comoError Experimental Puro.

� En el análisis, si la falta de ajuste es significativa, esevidencia de que el modelo es inadecuado.



� Falta de Ajuste v/s Error Puro

� Al observar la descomposición de la suma decuadrados residual se tiene:

2

= 1 1

ˆ( )SCE =

k nij i

i j

Y Y

n k•

=

−−∑∑

2

= 1 1

ˆ( )=

k nij i i i

i j

Y Y Y Y

n k• • •

=

− + −−∑∑

2

= 1 1

( )SC =

k nij i

EPi j

Y Y

n k•

=

−−∑∑

La Suma de Cuadradospor Carencia de Faltade Ajusteesta dada por:

SCFA = SCE – SCEP



� La nueva descomposición de la variabilidad totalFuente de Variación


Cuadrado Medio

Estadística F

Regresión 1 SCR CMR =

Residuos n –2 SCE

Carencia de Ajuste

k –2 SCFA CMFA =

Error Puro n – k SCEP CMEP =

Total n – 1 SCT

SCR

1

CMR

CME

SC

2FA

k −SC

EP

n k−

CM

CMFA

EP

1°

2°


� APLICACIÓ N 4: Como una forma de transparentarlos servicio entregados por empresas deotorgamiento de créditos de consumo de corto plazocomo: bancos; financieras, casas comerciales, etc.,la superintendencia de servicios financieros (SSF)seleccionó al azar 35 de estas empresas queotorgaron estos créditos durante el último mes,observando en ellas: tasa anual de interés aplicadaTrimestral, monto de la operación (en millones). Losdatos son los siguientes:



� APLICACIÓ N 4: Como una forma de transparentar losservicio…


X 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2,3 2,3 2,3 2,3

Y 10,9 10,6 10,8 9,8 9,0 11,0 11,3 9,9 9,2

X 2,3 4,6 4,6 4,6 4,6 4,6 6,9 6,9 6,9

Y 10,1 10,6 10,4 8,8 11,1 8,4 9,7 7,8 9,0

X 6,9 6,9 9,2 9,2 9,2 9,2 9,2 11,5 11,5

Y 8,2 5,3 3,9 3,2 4,4 5,4 8,2 2,2 2,9

X 11,5 11,5 11,5 13,8 13,8 13,8 13,8 13,8

Y 3,4 4,0 3,1 1,5 2,6 1,0 0,9 0,8


� APLICACIÓ N 4: Como una forma de transparentarlos servicio …



� APLICACIÓ N 4: Se observaron los rendimientosalcanzados …


Dosis Actividad SCEP

x y Media4 0,00 10,90 10,22 2,608

10,6010,809,809,00

4 2,30 11,00 10,30 2,90011,30

: : : : :4 13,80 1,50 1,36 2,212

2,601,00

: : : : :




Coeficientes Error típico T Valor-p

Intercepción 11,7450 0,4518 26,00 0,0000

X -0,71087 0,05448 -13,05 0,0000

Mi = β0 + β1 Ti + �i

Fuente de Variación g.l.

Suma de cuadrados

Cuadrados Medios F Valor-p

Regresión 3 5817763,99 1939254,66 241,79 0,0000

Error 30 240616,01 8020,53

Total 33 6058380,00




Mi = β0 + β1 Ti + εi

Fuente de Variación g.l.

Suma de cuadrados

Cuadrados Medios F Valor-p

Regresión 1 374,25 374,25 170,27 0,0000

Error 33 72,53 2,20

Falta de Ajuste

5 30,96 6,19 4,17 0,0060

Error Puro 28 41,57 1,48

Total 34 446,78

1.1 clase modelos de pronostico

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