CALCULO INTEGRALTRABAJO COLABORATIVO 2

PRESENTADO POR:

CARLOS DAVID MENDOZA GODOYOMAR GARCIA

KRIS JULY MANRIQUE

GRUPO: 100411_318

TUTOR:

JAVIER FERNANDO MELO CUBIDES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS

2014

INTRODUCCIÓN

El concepto de integral definida surge como respuesta al problema del cálculo del área de una determinada región del plano. Su origen se remonta al saber griego, concretamente a Eudoxio, que da nombre al denominado “método de exhausción”, posteriormente difundido por Aristóteles. (Básicamente consiste en dividir la región en rectángulos y calcular la suma de todas las áreas); El método de exahusción será el principio que dará pie a la actual formulación de integral definida.

OBJETIVOS

Conocer y manejar los conceptos de integral definida de una función. Identificar de reconocer algunas funciones. Dar solución a los problemas de cálculo de áreas con la integral definida.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

16. Realice un (1) ejercicio de libre escogencia solucionado paso a paso para cada uno de las siguientes lecciones.

Lección No 19.

∫ 15+3cos (x)

dx

Cuando las integrales son de tipo racional e involucrada funciones trigonométricas dígase: sin (x) y cos (X) la sustitución conveniente resulta ser en u= tan (x/2)

sin( x2 )= u

√7+u2cos( x2 )= 1

√1+u2

Por otra parte du=12sec2( x2 )dx° dx=2cos2( x2 )du= 2du

1+u2

La integral quede después de dicha sustitución.

∫ d u

u2+4=1

2arctan ( u

2¿)+c=

12

arctan ¿¿

Lección No 25.

∫ (x2−1 )exdxHacemos

u=x2−1 y dv=exdx

Entoncesu , v , du , y dv son :

u=x2−1du=2 xdx

dv=ex dx v=ex

Aplicando

∫udu=uv−∫ vdu

Tenemos

∫ (x2−1 )exdx=( x2−1 )ex−∫ ex 2xdx

Realizando otra sustitución

u=xdu=dx

dv=ex dx v=ex

Tenemos

(x2−1 )ex−∫ ex2 xdx=(x2−1 )ex−2 [x ex−∫e xdx ]

Hallando la integral y reduciendo términos semejante tenemos

¿ x2e x−ex−2 xe x+2ex=x2 ex−2 xe x+ex

Factorizando tenemos

¿ x2e x−2x ex+ex=ex (x2−2 x+1 )=e x ( x−1 )2

∫ (x2−1 )exdx=ex ( x−1 )2+c

Lección No 26.

∫ x−5

x2−1dx

Solución:

∫ x−5

x2−1dx=∫ x−5

(x+1)(x−1)dx

Por fracciones parciales tenemos:

x−5(x+1)(x−1)

= Ax+1

+ Bx−1

x−5( x+1 ) ( x−1 )

=A ( x−1 )+B ( x+1 )

( x+1 ) ( x−1 )

Cancelamos los denominadores porque son iguales, entonces

x−5=A ( x−1 )+B ( x+1 )

Dándole valores a x hallamos los valores de A, B respectivamente

Para x=11−5=A (1−1 )+B(1+1)

−4=2B

B=−2

Para x=−¿1−1−5=A (−1−1 )+B(−1+1)

−6=−2 A

A=3

Es decir,

x−5(x+1)(x−1)

= 3x+1

− 2x−1

Ahora calculamos la integral

∫ x−5

x2−1dx=∫ 3

x+1−∫ 2

x−1dx

¿3 ln|x+1|−2 ln|x−1|+c

17. La solución de la siguiente integral definida

∫8

20

( t26 +4 t )dtSolución:

∫8

20

( t26 +4 t )dt=∫8

20t 2

6dt+∫

8

20

4 t dt

¿ [ 16t 3

3 ]8

20

+[ 4 t2

2 ]8

20

=[ 203

18−

83

18 ]+¿

¿416+672=1088

Por lo tanto la respuesta correcta es la D

18. La solución de la siguiente integral

∫sin 3 x sin 2x dx

Solución:

Teniendo en cuenta que:

sinα sinβ=12

[cos (α−β )−cos (α+β ) ]

Tenemos:

sin 3 x sin 2 x=12

[cos (3 x−2 x )−cos (3 x+2 x ) ]

Entonces:

∫sin 3 x sin 2x dx=12∫ [cos ( x )−cos (5x ) ]dx

¿ 12∫ [cos ( x ) ] dx−1

2∫ cos (5 x )dx

¿ 12

sin x−12

sin5 x5

¿ sin x2

− sin 5 x10

+c

Por lo tanto la respuesta correcta es la B

19. La solución de la siguiente integral, mediante el método de fracciones parciales

∫ x+1

x3+ x2−6 xdx

Solución:

∫ x+1

x3+ x2−6 xdx=∫ x+1

x( x2+x−6)dx=∫ x+1

x(x+3)(x−2)dx

Entonces:x+1

x3+x2−6 x= Ax

+ Bx+3

+ Cx−2

x+1x( x+3)(x−2)

=A (x+3 ) ( x−2 )+Bx ( x−2 )+Cx (x+3)

x (x+3)(x−2)

Cancelamos los denominadores porque son iguales, entonces

x+1=A ( x+3 ) ( x−2 )+Bx ( x−2 )+Cx(x+3)

Dándole valores a x hallamos los valores de A,B y C respectivamente

Para x=22+1=C (2 ) (2+3 )

3=10C

C= 310

Para x=00+1=A (0+3 ) (0−2 )

1=−6 A

A=−16

Para x=−3−3+1=B (−3 ) (−3−2 )

−2=15 B

B=−215

Es decir,

x+1

x3+x2−6 x=

−16x

+

−215x+3

+

310x−2

Ahora calculamos la integral

∫ x+1

x3+ x2−6 xdx=−1

6 ∫ 1xdx−2

5∫1x+3

dx+ 310∫

1x−2

dx

¿−16

ln|x|−25

ln|x+3|+ 310

ln|x−2|+c

La respuesta correcta es la C

20. La solución de la siguiente integral definida es: ∫0

π4

¿¿

La solución de esta integral la hallaremos por partes.

: ∫0

π4

¿¿ = ∫0

π4

¿¿

Cancelamos los cosenos.

∫0

π4

¿¿

Luego esta ecuación la solucionamos como:

¿

Reemplazamos en nuestra integral dada

∫0

π4

¿¿

Luego:

∫0

π4

¿¿

∫0

π4

¿¿

∫0

π4

¿¿

Ahora evaluamos entre los límites dados,

∫0

π4

¿¿

Luego la Respuesta buscada es la D.

CONCLUSIONES

Identificamos los principios del cálculo integral para asimilar la teoría de las integrales.

Manejamos de manera apropiada las integrales. Las integrales definidas y los temas en los cuales se basaban.

A través de dichas actividades también se logran adquirir nuevas habilidades, destrezas y conocimientos que fortalecen el proceso de aprendizaje.

BIBLIOGRAFIA

RONDON DURAN, Jorge Eliécer. Módulo Cálculo Integral UNAD. Bogotá 2010