CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO FINAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL

PRESENTADO POR:

LINDY YANETH VIDARTE AMAYAANYELA MARCELA OVALLES BONILLA

JOHNNY RODRIGUEZ CUENCAJULIAN DAVID RODRIGUEZ CUENCA

HARVY YAMID NARVAEZ

PRESENTADO A:CARLOS EDUARDO OTERO MURILLO

TUTOR

GRUPO: 267

UNIVEERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA UNADECUELA DE CIENCIAS AGRICOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO

AMBIENTE ECAPMACEAD, NEIVA-HUILA

MAYO DEL 2012

CALCULO DIFERENCIAL

INTRODUCCION

El siguiente trabajo se refiere al tema de derivadas y aplicaciones, estudiados en la unidad tres del módulo del curso de Cálculo diferencial. Su desarrollo se basa en la resolución de los ejercicios propuestos en la guía de trabajo utilizando como estrategias el debate, los aportes individuales y el trabajo en equipo. El propósito de este trabajo es que los estudiantes interioricen y asimilen en mayor medida los métodos y temáticas establecidas para la resolución de derivadas, pendientes tangentes a curvas, la derivada implícita, técnicas de derivación, ecuaciones de rectas tangentes, identificación de puntos críticos, puntos de inflexión, cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad, entre otros. Para iniciar con el trabajo colaborativo en bueno aclarar que la derivada de una función en un punto determinado equivale a la pendiente de la recta tangente en el mismo punto.

CALCULO DIFERENCIAL

CONTENIDO

FASE 1

1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva:

R)

y I=4cos 4 x (2 )−0 (sin 4 x )

22

y I=8cos4 x4

y I=2cos4 x

Seax=π /2m=2cos 4 (π /2 )m=2cos2 πm=2 (1 )m=2

R)f ( x )=x1 /2+x−2−3

f I ( x )=12x−1/2−2 x−3

f I ( x )=12.1

x1 /2−2. 1

x3

f I ( x )= 12√x

− 2

x3

f I (1 )= 12√1

− 2

13

f I (1 )=12−21=1−4

2=−32

f I (1 )=−32

CALCULO DIFERENCIAL

R)

h ( x )= x1/3

x

h ( x )=x13−1

h ( x )=x−2 /313−1=1−3

3=−23

h I ( x )=−23x−5/3

h II ( x )=−23 (−53 )x−8 /3 −2

3−1=−2−3

3=−53

h II ( x )=109.1

x8 /3−53

−1=−5−33

=−83

h II ( x )=109.13√ x8

h II ( x )=109.1

x23√x2

h II ( x )= 10

9x23√x2

h II (1 )= 10

9 (1 ) ² 3√12= 10

9 (1 ) 3√1

h II (1 )=109

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

R)

f ( x )=( sin xsin xcos x )

2

f ( x )=( sin xcos xsin x )2

f ( x )=cos2 x

CALCULO DIFERENCIAL

f ( x )=cos x .cos xf I ( x )=−sin x .cos x+(−sin x .cos x )f I ( x )=−2sin xcos x

R)

f ( x )= 1

√ x+ 1x

−12

−1=−1−22

=−32

f ( x )= 1

x12

+ 12

f ( x )=x−12 +x−1

f I ( x )=−12x

−32 −x−2

f I ( x )=−12.1

x3 /2− 1

x2

f I ( x )=−12.1

√ x3− 1

x2

f I ( x )= −12x √x

− 1

x2

FASE 2

R)

CALCULO DIFERENCIAL

f ( x )= ln x1 /2

ln x1/3 1

2−1=1−2

2=−1/2

13−1=1−3

3=−2 /3

f I ( x )=

1

x1/2.12x−1/2. ln x1/3− 1

x1 /3.13x−2 /3 . ln x1 /2

[ ln x1/3 ]2

f I ( x )=

1

√ x.12.1

√2. ln 3√x− 1

3√ x.13.13√ x2

. ln √x

ln2 3√x

f I ( x )=

12√2x

ln 3√x− 1

33√x3

ln √x

ln2 3√ x

f I ( x )=

12√2x

ln 3√x− 13 xln √ x

ln23√x

R)

f ( x )=sin x12

f I ( x )=cos x1 /2 . 12. x−1/2

f I ( x )=12.1

x1 /2.cos x1/2

f I ( x )= 1

2√xcos √x

R)f ( x )=cos2 x sin2 x+cos2 x=1f ( x )=cos x .cos x cos2 x=1−sin2 xf I ( x )=−sin x .cos x+(−sin x cos x )f I ( x )=−2sin xcos x

CALCULO DIFERENCIAL

R)f I ( x )=e−sin x . (−cos x ) f ( x )=eax

n

f I ( x )=−cos x e−sin x f I ( x )=eaxn

. a . n . xn−1

Hallar la derivada implícita.

R)

f I ( x )=1x− 1ydydx

=dydx

−1

−1ydydx

−dydx

=−1−1x

dydx (−1y −1)=−1−1

xdydx

=−1−1/ x−1y

−1

FASE 3

R)

3 x2−3 y2 dydx

=1−dydx

−3 y2 dydx

+ dydx

=1−3 x2

dydx

(−3 y2+1 )=1−3 x2

dydx

=1−3 x2

1−3 y2

12. Hallar la ecuación, de la forma explícita, de la recta tangente a la curva:

R)dydx

=3 x2−3

m=3 (2 )2−3m=3 (4 )−3m=13−3m=9

si x=2 ; y=?y=23−3 (2 )+3y=8−6+3y=5p (2,5 )

CALCULO DIFERENCIAL

y− y1=m(x−x1)y−5=9 ( x−2 )y−5=9 x−18y=9x−18+5y=9x−13

13. De la curva Hallar:a. Las coordenadas del punto crítico.R)f I ( x )=2 x−1 f ( x )=x2−x

f I ( x )=2 x−1=0 f (1 /2 )=(1/2 )2−12

2 x−1=0 f (1 /2 )=14−12=1−2

4=−14

2 x=1 f (1 /2 )=−14

x=1/2 p(x , f ( x ))→p( 12,−14)

b. Los puntos de inflexión si los hay.f ( x )=x2−xf I ( x )=2 x−1f II ( x )=2No hay.

Aplicaciones de derivadas. Problemas de optimización.

14. Una fabrica tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de forma cilíndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metro cúbico (1000 litros). ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para que la cantidad de material empleado en su construcción sea mínima?

R)

A=2π r2+2πrhecu r A I (r )=4πr−2000r2

V=π r2h ¿ 4 π r3−2000r2

CALCULO DIFERENCIAL

1000=π r2h ¿4 (π r3−500 )

r2

h=1000π r2

ecu2

Reemplazohenecu r A I (r )=0

A=2π r2+2πr ( 1000π r2 ) 4 (π r3−500 )r2

=0

A=2π r2+ 2000r

π r3=500

r=3√500 /πReemplazando

h=1000π r2

= 1000

π ( 3√500/π )2=3√ 10003

5002

π 2. π 3

= 3√ 400π¿ 3√ 8.500π =2 3√ 500π =2 r

h=2 r

A=2π r2+2πrh ; V=π r2h↔π r2h=1000A I=4 πr+2πh+2 πr hI ; 2πrh+π r2h I=0

0=4 πr+2πh+2 πr hI

2π

2 r+h+r h I=0 ; 2πrh+π r2h I=0

πr2h+r h I=0

r h I=−2hSustituyendor h I=−2h2 r+h−2h=¿02 r−h=0h=2 r

15. En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal que el costo total de ese pedido sea el mínimo y cuál sería ese costo mínimo?Qué sucede con el costo si pido más o menos cemento?

C I ( x )=−100.000.000x2

+100

CALCULO DIFERENCIAL

0=−100.000 .000x2

+100

100 x2−100.000 .000=0100 x2=100.000 .000

x2=100.000.000100

x2=1000000x=√1000000x=1000

Cr (x )=100.000 .000x

+100x+50

Cr (1000 )=100.000 .0001000

+100 (1000 )+50

¿100.000+100.000+50¿200.050Al aumentar el valor de x el costo total aumenta, al disminuir el valor de x el costo disminuye.

CONCLUSIONES

El valor de la derivada de una constante siempre será cero ya que la recta tangente de una constante es una recta horizontal y la pendiente de dicha recta es cero La derivada de una función compuesta de sumandos es la suma de las derivadas parciales de cada sumando La derivada implícita se utiliza en funciones cuando aparece la variable independiente y la variable dependiente combinadas, de tal manera que solo es posible resolverla aplicando técnicas de derivación combinadas con la regla de la cadena y la factorización Para hallar el punto de inflexión de una función debemos utilizar la doble derivada de la misma y despejar la variable independiente, usando el valor encontrado y reemplazando en la ecuación inicial, hallamos el valor de la variable dependiente en dicho punto y de esta manera encontramos la pareja ordenada donde existe el punto de inflexión

CALCULO DIFERENCIAL

BIBLIOGRAFIA

Amolasmates. (2010). Archivo pdf. Cálculo de Derivadas. Extraído Mayo 20 de 2010 http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/calculo%20de%20deriv adas.pdf Dervor. (2010). Derivadas. Pagina web dedicada a explicación de derivación. Extraído Mayo 20 http://www.dervor.com/ N. Piskunov. (2004). Calculo Diferencial e Integral, tomo II. Mir Moscú. Editorial Limusa Rondón Jorge & Ortegón, Francisco. (2006). Módulo Cálculo Diferencial UNAD. Extraído Febrero 15 de 2010

http://campus07.unadvirtual.org/moodle/mod/resource/view.php?id=1214