100402 414 trabajo colaborativo 2

8/12/2019 100402 414 Trabajo Colaborativo 2

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TRABAJO COLABORATIVO 2

PROBABILIDAD

CDIGO 100105B

PRESENTADO POR:

ERIKA JULIETH FLOREZ OLARTEJAMER ZARATE VERGARALUIS GERMAN CASTILLO

OFELIA NORBELY MENESES

GRUPO 100402_414

PRESENTADO A

AZUCENA GILTUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD27-MAYO-2014

COLOMBIA


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INTRODUCCIN

A partir de trabajar activamente desarrollando los ejercicios propuestos para lacomprensin de esta unidad 2 del mdulo de probabilidad, nosotros los estudiantes,adquirimos destrezas en el desarrollo adecuado de problemas que se nos pueden

presentar a lo largo de nuestra vida as como en las carreras profesionales que nosofrece la UNAD. En forma muy general este documento nos presenta el desarrollode 15 ejercicios propuestos sobre variables aleatorias y distribuciones deprobabilidad utilizando las formulas correspondientes para solucionar cada uno deellos.


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DISTRIBUCIN CHI2CUADRADO DE PEARSON

Si (X1,X2,...,Xn) son n variables aleatorias normales independientes de media 0 yvarianza 1, la variable definida como

Se dice que tiene una distribucin CHI con n grados de libertad. Su funcin dedensidad es

0xex

22

n

1)x(f 2/x2/)2n(

n

Siendo

0x1P

dxeX)P( la funcin gamma de Euler, con P>0. La funcin dedistribucin viene dada por

La media de esta distribucin es E(X)=n y su varianza V(X)=2n. Esta distribucin esbsica en un determinado nmero de pruebas no paramtricas.

Si consideramos una variable aleatoria Z~N(0,1), la variable aleatoria X=Z 2 sedistribuye segn una ley de probabilidad distribucin CHI con un grado de libertad

Si tenemos n variable aleatoria independientes Z i~N(0,1), la suma de sus cuadradosrespectivos es una distribucin CHI con n grados de libertad,

n

1i

2

n

2

ii Z)1,0(NZ

La media y varianza de esta variable son respectivamente, E(X)=n y V(X)=2n

n

1i

2i

2n

21n XXXY

x

0dx)x(f)xX(P)x(F


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DISTRIBUCIN t-STUDENT

Si (X,X1,X2,...,Xn) son n+1 variables aleatorias normales independientes de media 0y varianza

n

1i

2

i

n

Xn

1

XY

Tiene una distribucin t-Student con n grados de libertad. Su funcin de densidades

0xn

x1

2

n

2

1n

n

1)x(f

2

1n2

Siendo

0

x1P dxeX)P( la funcin gamma de Euler con P>0. La media de la

distribucin t-Student es E(X)=0 y su varianza V(X)=n/(n-2), la cual no existe paragrados de libertad menores que 2.

Esta distribucin aparece en algunos contrastes del anlisis normal.La distribucin t-Student se construye como un cociente entre una normal Z~N(0,1)

y la raz de una Chi2

n independientes. De modo preciso, llamamos distribucin t-Student con n grados de libertad, tna la de una variable aleatoria T,

n

2

n

t

n

1

ZT

y adems, nn

1i

2

i

ii

t

X

n

1

X

T


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Para calcular

dxn

x1

n2

n2

1n

dt)t(f)tT(Pt t

2/)1n(2

Sea un estadgrafo t calculado para la media con la relacin

n

xt

0,375 n=120

n=2

n=11

0,125

-3,50 0 +3,50


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VARIABLES ALEATORIAS

Una variable aleatoria es un experimento que busca determinar el nmero total deveces que es posible obtener un resultado igual, en un determinado nmero deintentos o de lanzamientos, por esta razn en la probabilidad, se le dar un numero

de cero (0) o uno (1) a los dos posibles, Una variable aleatoria es pues, una funcinque asigna un nmero real a cada resultado en el espacio muestral de unexperimento aleatorio. Ellas se denotan con una letra mayscula, tal como X.Un ejemplo muy claro es el lanzamiento de una moneda, en este caso solo podrcaer en cara o sello y se les da una nmero a cada posibilidad (cara ser igual a 1y sello ser igual a cero), en el lanzamiento de esta moneda solo podr darse elresultado de cero o uno f(x) = 0 p f(x)= 1.Existen dos tipos de variables, la variable aleatoria discreta en la cual el nmero devalores que se puede tomar es de un valor finito (o infinito contable), Ser importante

pues, acordar la siguiente simbologa: {X = x} denotar el evento formado por todoslos resultados para los que X = x y P(X = x) ser la probabilidad de dicho evento, yla variable aleatoria continua ser la variable que asigna un nmero real finito (oinfinito contable) a cada uno de los resultados en el espacio muestral de unexperimento aleatorio; variables aleatorias que han sido denominadas discretas, sedice que esta variable pueden asociarse a mediciones en una escala continua, demanera que no haya huecos o interrupciones.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria es una medida de posicinpara la distribucin de X, es decir el la suma del producto de cada uno de los valorestomados por la probabilidad de que esta ocurra.


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SOLUCION DE EJERCICIOS

Ejercicio N 1.

Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una

cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o despus de tresintentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamientoaparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si nocae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del

jugador:

A.Encuentre la funcin de probabilidad f(x)B. Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviacin estndar S(x)

Solucin:

A.

f (20.000)= 1/2f (40.000)=(1/2)(1/2)= 1/4f (80.000)= (1/2)(1/2)(1/2)= 1/8f (-200.000)= (1/2)(1/2)(1/2)= 1/8

Se cumple que

f (x) 0 para todo x

f (x)=1

B.

Formulas:

Valor esperado E(x) = x. f(x)

Desviacin estndar es la raz cuadrada de la varianza de la distribucin deprobabilidad discreta S(x)

Esperanza: E(x) = x. f(x) = 5.000


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= 6.375.000.000

Desviacin Estndar = 6.375.000.000= 79.843,6

Ejercicio N 2.

Sea X una variable aleatoria con funcin de densidad

fx { a4 x x 0 x 2 0 en otro caso

A. Determine el valor de a para que la funcin sea efectivamente una funcin dedensidad de probabilidad.

B.Calcule P (1 < X < 1,5)

Solucin:

A.

144

1682

424

4

2

0

3

aaF

XXadxxxadxxfXF

XX

a

B.

256

95

4

12

64

81

4

92

4

11

2

3

FF

Entonces p= 0.371


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Ejercicio N 3.

Un empleado viaja todos los das de su casa en las afueras a su oficina en el centrode la Ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con unavarianza de 9,4 minutos. Si se supone que la distribucin de los tiempos de viaje

est distribuida normalmente

A.Cul es la probabilidad de que un viaje le tome al menos media hora?B.Si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45 am Quporcentaje de las veces llegar tarde al trabajo?

Solucin:

A.

Z= (30-24)/9.4= 0,638

P(x>30)= P (Z>0,638)= 0,041

Entonces el 41 % de los viajes le toma al menos media hora

B.

Z= (15-24)/9,4= -0,957

P(X>15)= P(X>15)= P (Z>-0,957)= 0,072

Entonces el 72% de las veces llega tarde al trabajo


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EJERCICIO 4

En el metro de la ciudad de Mxico, los trenes deben detenerse solo unos cuantossegundos en cada estacin, pero por razones no explicadas, a menudo se detienenpor intervalos de varios minutos. La probabilidad de que el metro se detenga en una

estacin ms de tres minutos es de 0,20.a.Halle la probabilidad de que se detenga ms de tres minutos por primera vez, enla cuarta estacin desde que un usuario lo abordo?b.Halle la probabilidad de que se detenga ms de tres minutos por primera vezantes de la cuarta estacin desde que un usuario lo abordo?

Solucin:

a. Bx,p,n fx, 0,2,4

px 1 () 0.2 0.8 0.4096.%

b. P< 4 ( )= 0.2 0.8 0.488.%

EJERCICIO 5

Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyenaproximadamente normal con una media de 115 y una desviacin estndar de 12.Si la universidad requiere de un coeficiente intelectual de al menos 95.

a. Cuntos de estos estudiantes sern rechazados sobre esta base sin importarsus otras calificaciones?b. Si se considera que un coeficiente intelectual mayor a 125 es muy superiorCuntos de estos estudiantes tendran un coeficiente intelectual muy superior aldel grupo?

a. Z

1.66

[ 1 . 6 6] 1 [ < 1 . 6 6] 10.95150.0485100.%

6 0 0 [ 125es muy superior


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Z

0.833

[>0.833] 1 [0.833] 6000.2033 .

de los aspirantes tendrn CI muy superiorEJERCICIO 6

Suponga que un comerciante de joyera antigua est interesado en comprar unagargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con unaganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una prdida de $150 son:respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. .cual es la ganancia esperada delcomerciante?

Solucin:

La variable X es 250, 100, 0, 150La probabilidad es 0.22, 0.36, 0.28, 0.14

ux=E(x)=(250 * 0.22 + 100 * 0.36 + 0 * 0.28 150 * 0.14)ux=E(x)= (55 + 36 +021)ux=E(x)=70

La ganancia esperada es de 70

EJERCICIO 7

Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de doscalculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas estnen buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y elcosto se carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepta sininspeccin adicional, si contiene:

a) Cuatro calculadoras que no estn en buenas condiciones de trabajo.b) Ocho calculadoras que no estn en buenas condiciones de trabajo.

Solucin:

a) la variable X es igual 0 para que el lote no sea devuelto. Donde N= 18, n=2K= 4


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La probabilidad de que se acepte el lote con cuatro calculadoras en malascondiciones es de 0.59

b) la variable X es igual 0 para que el lote no sea devuelto. Donde N= 18, n=2K= 8

La probabilidad de que se acepte el lote con cuatro calculadoras en malascondiciones es de 0.294

EJERCICIO 8

Un inspector de aduanas decide revisar 2 de 6 embarques provenientes de Madridpor la va area. Si la seleccin es aleatoria y 3 de los embarques contienencontrabando; Encuentre la distribucin de probabilidad para Y, donde Y es lavariable aleatoria que representa el nmero de embarques que el inspector podra

encontrar con contrabando. Encuentre el valor esperado.Primero enumeremos los embarques de 1 al 6.

1 2 3 4 5 6TIENEN DROGA NO TIENEN DROGA

12 13 14 15 1623 24 25 26

34 35 3645 46

56Las combinaciones posibles de inspeccin son 15De las 15 opciones, 13 son las posibles inspecciones en las que se encuentre drogay solo 3 en las que no se encuentre.15 100 X = ((13X100)/15) = 86,6%13 XLas que no tienen ningn embarque con droga son las combinaciones de 4,5 y 6C (3,2) = 32/2 = 3


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Las que tienen dos embarques con droga son las de 1,2 y3C (3,2) = 32/2 = 3Las que tienen un embarque con droga las podemos calcular como el resto15 - 3 - 3 = 9La probabilidad de Y es

Y (0) = 3/15 = 1/5 = 0.2Y (1) = 9/15 = 3/5 = 0.6Y (2) = 3/15 = 1/5 = 0.2Y el valor esperado es: Y = 0 0.2 + 0.6 1 + 0.2 2 = 0 + 0.6 + 0.4 = Y = 1

EJERCICIO 9

En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegir un representante degrupo, para lo cual se usar el nmero de lista de cada alumno. Se anotan 12papeles con nmeros del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en unfrasco. Luego se extrae al azar un papel para designar al representante. Determinela probabilidad de que el nmero que salga sea menor que 5; determine laprobabilidad de que el numero sea mayor que 3 pero menor que 7.

Probabilidad de que el nmero que salga sea menor que 5 Probabilidad de que el nmero sea mayor que 3 pero menor que 7

Los nmeros que pueden ser menores que 5, solo son 1, 2, 3 y 4.Es decir A= 4/12= 0,3 %

Y para los nmeros que pueden ser mayores de 3, pero menores de 7 son: 4, 5 y 6.Es decir B= 3/12= 0,25 %

EJERCICIO 10

La duracin de un tanque lleno de gasolina, para cierto automvil de modeloanticuado, tiene una distribucin normal con una media de 350.6 Km y unadesviacin estndar de 15.9 km. Cul es la probabilidad de que el tanque llenodure ms de 360 Km? Cul es la probabilidad de que el tanque lleno dure entre355 y 365 Km?

Cul es la probabilidad de que el tanque lleno dure ms de 360 Km?

360350,615,9 0,5 0,2776 27,76 %


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Cul es la probabilidad de que el tanque lleno dure entre 355 y 365 Km?

,, 0,27 0,3936 39,36%, ,

, 0,90 0,1841 18,41%

57,70%

EJERCICIO 11

Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajnque contiene tres calcetines cafs y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria X querepresente el nmero de calcetines cafs que se selecciona. Encuentre la funcinde probabilidad f(X), y el valor esperado E(X).

Sea X la variable aleatoria que representa el nmero de calcetines cuyos valorespueden ser 0,1 o 2

Para hallar la funcin de probabilidad se debe evaluar la probabilidades de quex=0, x=1 y x=2

Funcin de probabilidad.P(X=x)=(5x)(3(2-x))/((82) )P(X=0)=(50)(32)/((82) )= 3/28 =0.1071P(X=1)=(51)(31)/((82) )= 15/28 =0.5357P(X=2)=(52)(30)/((82) )= 5/14 = 0.3571X 0 1 2f(x) 3/28 15/28 5/14E(x), la varianza V(x) la desviacin estndar S(x)E(x)=0(3/28)+1(15/28)+2(5/14)= 15/28+10/14 =5/4V(x)=0(3/28)+1(15/28)+4(5/14)= 15/28+20/14 =55/28S(x)= (V(x) )= (55/28) =1.4015


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EJERCICIO 12

En una lotera se venden 200 boletos, de los cuales uno gana $500.000, 2 songanadores de $100.000, siete son ganadores de $50.000, cinco son ganadores de$20.000 y cincuenta de $5.000. Sea X la variable aleatoria que representa la

ganancia del jugador, Determinar la funcin de probabilidad y el valor esperado deljuego.

Funcin de probabilidad f(x)

F (x=500.000) = 1/200F(x=100.000) = 2/200F(x=50.000) = 7/200F (x=20.000) = 5/200F (x=5.000) = 50/200

Valor esperado del juego

E(x)=(0*135/200)+(5.000*50/200)+(20.000*5/200)+(50.000*7/200)+(100.000*2/200)+(500.000*1/200)=0+1250+500+1750+1000+2500Var(x)=E(x^2)-E^2 (x) =[0+6250000+10000000+87500000+100000000+1250000000]-(7000) ^2=1453750000-49000000=1404750000S(x)= (Var(x))=1404750000

EJERCICIO 13

En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegir un representante degrupo, para lo cual se usar el nmero de lista de cada alumno. Se anotan 12papeles con nmeros del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en unfrasco. Luego se extrae al azar un papel para designar al representante. Determinela probabilidad de que el nmero que salga sea menor que 5; determine laprobabilidad de que el numero sea mayor que 3 pero menor que 7.

X = nmero de papel extrado de un total de 12.P(X) = 1/12 = 0,083.

64% para menores que 5La probabilidad de que el nmero que salga sea mayor que 3, pero menor que 7,es:Sea X una variable aleatoria con funcin de densidadF (x) = a (4x - x3) 0 x 2.sea para que sean mayores de 3 son: 4 5 6 7 8 9 10 11 12Menores que 7 son: 1 2 3 4 5 6


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Se elimina el 1 2 3 porque son menores a 3 y eliminamos 7 8 9 10 11 y12 por sermayores e igual a 7.Entonces quedan 4, 5 y 6 Por lo tanto: la probabilidad es 3 / 12 sea 3 de 12

EJERCICIO 14

Segn datos de la secretaria de movilidad, el 23% de los conductores de busesurbanos manejan con imprudencia. Calcule la probabilidad de que cuatro de losprximos 10 buses que pasen sean conducidos con imprudencia.

Distribucin binomialp= 0.77Q= 0.23

N= 2pX= 4=0.0109

EJERCICIO 15

La duracin de un tanque lleno de gasolina, para cierto automvil de modeloanticuado, tiene una distribucin normal con una media de 350.6 Km y unadesviacin estndar de 15.9 km. Cul es la probabilidad de que el tanque llenodure ms de 360 Km? Cul es la probabilidad de que el tanque lleno dure entre355 y 365 Km?

Z = (X-350.6) / 15.9P(X > 360) = 1 - P(X < 360) =1 - P (Z < (360-350.6)/15.9] = 1 - P (Z < 0.5911949686)=(0.59) = 0.7224(0.60) = 0.7257Valor para (0.5911949686) = 0.7224 + 0.11949686 (0.7257-0.7224)= 0.72279433961 - 0.7227943396 = 0.2772056604Valor para (0.9056603774) = 0.8159 + 0.56603774 (0.8186-0.8159) =0.8174283019

(0.27) = 0.6064(0.28) = 0.6103Valor para (0.2767295597) = 0.6064 + 0.67295597 (0.6103-0.6064) =0.6090245283= 0.8174283019 - 0.6090245283 =0.2084037736


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CONCLUSIONES

Gracias al desarrollo de esta actividad nos hemos dado cuenta que las variablesaleatorias y las distribuciones de probabilidad son de gran utilidad y dando un buenuso de las frmulas que estas nos ofrecen podemos dar soluciones rpidas a

problemas que se nos pueden presentar en cualquier parte de nuestro trabajo, yasea en investigacin o en la vida cotidiana.


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BIBLIOGRAFIA

Robayo.Adriana.2007.Modulo de probabilidad. UNAD. Bogot.D.C.Canavos. George 1988. Probabilidad y estadstica. McGraw Hill.Mxico.

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estadistica.shtml http://www.vitutor.com/pro/2/probabilidad.html
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