10.- trabajo y energía. - uco

10.- Trabajo y energía.

§10.1. Trabajo y energía (245); §10.2. Trabajo de una fuerza (247); §10.3. Potencia (250);§10.4. Unidades de trabajo y potencia (251); §10.5. Energía (251); §10.6. Energía cinética(252); §10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas (255); §10.8. Energía potencial(259); §10.9. La energía potencial como energía de configuración (264); §10.10. Teoremadel virial (266); Problemas (268)

El problema central de la Mecánica Clásica es, como ya hemos dicho reiterada-mente, averiguar como será el movimiento de un cuerpo dado, cuyas característicasfísicas conocemos (masa, carga eléctrica, ...) cuando lo colocamos en un cierto medioambiente del que tenemos una descripción completa (campo gravitatorio, campoeléctrico, ...). En las lecciones anteriores hemos visto como podemos abordar eseproblema. Para ello hemos definido un conjunto de magnitudes cinemáticas, talescomo la velocidad y la aceleración, que nos han permitido describir el movimientodel cuerpo, y hemos relacionado esas magnitudes cinemáticas con otras magnitudesdinámicas, tales como la masa y la fuerza, por medio de las llamadas leyes delmovimiento (leyes de Newton). Por último, hemos indagado acerca de la naturalezade las fuerzas, i.e., de la relación que existe entre ese ente físico-matemático que nosrepresenta la interacción de la partícula con su medio ambiente y las característicasde aquélla y de éste.

§10.1. Trabajo y energía.- Pudiéramos pensar que con estos elementos estamosen condiciones de resolver cualquier problema de mecánica, ya que en últimoextremo todo se reduce a integrar una ecuación diferencial de segundo orden; laecuación diferencial del movimiento. En efecto, tanto en el caso de que la fuerza seaconstante como si es una función conocida del tiempo, F = F(t), podemos calcularla aceleración de la partícula:

[10.1]a(t) F(t)m

Física Universitaria 245

246 Lec. 10.- Trabajo y energía.

y a partir de ella la velocidad y la posición de la misma, en función del tiempo,mediante dos integraciones sucesivas, teniendo en cuenta las condiciones iniciales v0

y r0.Sin embargo, en la mayor parte de las situaciones físicas de interés, la fuerza que

obra sobre la partícula ni es constante ni es una función conocida (a priori) deltiempo; lo más frecuente es conocerla en función de la posición que ocupa lapartícula en su medio ambiente.

Este es el caso, por ejemplo, de la acción gravitatoria sobre una partícula, ya que la ley de la fuerzacorrespondiente (la ley de gravitación) nos expresa la fuerza que actúa sobre la partícula en función de lasdistancias que la separa de las demás partículas que constituyen su medio ambiente. Así, en el problemaclásico de determinar la órbita de un planeta en el Sistema Solar, conocemos la fuerza que el Sol ejercesobre el planeta en función de la distancia Sol-planeta, que varía a medida que el planeta se desplaza sobresu órbita elíptica. La misma situación se nos presenta en el caso de la interacción electromagnética entredos partículas cargadas. Del mismo modo, en la descripción de fuerzas complejas, como puede ser lafuerza elástica que actúa sobre una masa sujeta a un muelle deformado, es frecuente que la fuerza vengaexpresada en función de la posición de la partícula y no en función del tiempo; así en el ejemplo anterior,en una dimensión, la ley de la fuerza es F = -k(x-x0), que es la ley de HOOKE.

En esta lección vamos a desarrollar unos métodos generales que nos permitiránabordar aquellos problemas en los que conocemos la fuerza como función de laposición de la partícula. Veremos la necesidad de introducir nuevos conceptos físicos,tal como el de energía, que juega un papel central en la Física, interviniendo comonexo de unión entre áreas de la misma que, en principio, pudieran parecerdesconectadas entre sí, como la Mecánica, la Termología, el Electromagnetismo y laÓptica.

El desarrollo histórico del concepto de energía fue lento y sinuoso, ya que debiótranscurrir más de siglo y medio desde que se columbró hasta que se estableció enla forma en que lo formulamos actualmente. Las raíces de este concepto hay quebuscarlas en el siglo XVII. Fue HUYGENS (1629-1695) a quien le cupo el gran honorde vislumbrarlo por primera vez cuando trataba de establecer las reglas por las quese regía el choque elástico entre dos cuerpos. Como ya vimos en la Lec. 7, NEWTON

(1642-1727) se basó en los trabajos de Huygens acerca de la cantidad de movimientode los cuerpos colisionantes para establecer la tercera ley del movimiento (ley de laacción-reacción). Se sabía que la cantidad de movimiento total después del choqueera la misma que la que había antes del mismo, con independencia del tipo decolisión que tuviera lugar. La tercera ley de Newton describe este resultadoexperimental.

Huygens sugirió otra magnitud física que también se conservaría en un cierto tipode colisiones, llamadas colisiones elásticas. En 1669 propuso la siguiente regla paratales colisiones: la suma, extendida a todos los cuerpos colisionantes, del productode la masa de cada uno por el cuadrado de su velocidad permanece constante en unacolisión elástica. A la magnitud mv2 se le dio el nombre de vis viva y fue utilizadapor LEIBNIZ (1646-1716) y en otros trabajos de Huygens publicados hacia el año1700 (en especial en su obra póstuma De motu corporum percussione, 1703). Lamagnitud entonces definida como vis viva es la precursora de la que hoy llamamosenergía cinética.

Pero no es únicamente la necesidad de resolver la ecuación diferencial delmovimiento, en el caso de que la fuerza no sea función explícita del tiempo, sino dela posición de la partícula, la que nos lleva a introducir el concepto de energía; hay

§10.1.- Trabajo y energía. 247

algo más, pues el concepto de energía nos permitirá abordar problemas en los quedesconozcamos la ley de la fuerza, siempre que podamos formular suposicionesrazonables acerca de sus propiedades. Esa situación la encontramos en la FísicaNuclear, donde no existe, en el momento presente, una ley de fuerza exacta en elmismo sentido en que lo son la Ley de Gravitación o la de Coulomb. En talescircunstancias encontraremos más apropiado utilizar el concepto de energía deinteracción en lugar del concepto de fuerza.

§10.2. Trabajo de una fuerza.- Uno de los conceptos más útiles y fundamen-tales de la Física es el de energía, pero este concepto está ligado de tal modo con elde trabajo que apenas sería posible hablar inteligiblemente de energía sin haberdefinido antes lo que entendemos por trabajo y esto a pesar de que históricamenteel concepto de energía se vislumbró antes que el de trabajo. Comenzaremos, por lotanto, definiendo este último.

Consideremos una partícula P sobre

Figura 10.1

la que actúa una fuerza F, función de laposición de la partícula en el espacio,esto es F = F(r), y sea dr un desplaza-miento elemental (infinitesimal) experi-mentado por la partícula durante un inter-valo de tiempo dt. Llamamos trabajo ele-mental, dW, de la fuerza F, correspon-diente al desplazamiento elemental dr, alproducto escalar de F por dr; i.e.,

[10.2]dW F dr

Si representamos por ds la longitudde arco (medido sobre la trayectoria de la partícula) en el desplazamiento elemental,esto es ds = dr , entonces el versor tangente a la trayectoria viene dado por et =dr/ds y podemos escribir [10.2] en la forma

[10.3]dW F dr F e t ds ( F cosθ ) ds Fs ds

donde θ representa el ángulo determinado por los vectores F y et y Fs es lacomponente de la fuerza F en la dirección del desplazamiento elemental dr.

El trabajo realizado por la fuerza F durante un desplazamiento elemental de lapartícula sobre la que está aplicada es una magnitud escalar, que podrá ser positiva,nula o negativa, según que el ángulo θ sea agudo, recto u obtuso.

Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamientototal entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumarinfinitos desplazamientos elementales dr y el trabajo total realizado por la fuerza Fen ese desplazamiento será la suma de todos esos trabajos elementales; o sea

[10.4]WAB ⌡⌠

B

AC

F dr ⌡⌠

B

AC

Fs ds


Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilínea de F a lo largo de la cur-va C que une los dos puntos; en otras palabras, por la circulación de F sobre la cur-va C entre los puntos A y B. Así pues, el trabajo es una magnitud física escalar quedependerá en general de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que lafuerza F sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultará ser independiente del ca-mino seguido para ir del punto A al punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada.

La evaluación de una integral curvilínea como la [10.4] se hará por los métodosestudiados en la lección dedicada al Análisis vectorial (vide Lec. 3). Téngase encuenta que antes de proceder a tal integración deberemos conocer F en función delas coordenadas (x,y,z) de la partícula y que de igual manera deberemos conocer laecuación de la trayectoria seguida por la partícula (salvo en el caso de que la fuerzasea conservativa). En coordenadas cartesianas, la expresión [10.4] se escribe en laforma

[10.5]WAB ⌡⌠

B

AC

F dr ⌡⌠

B

AC

Fx dx Fy dy Fz dz

donde (Fx,Fy,Fz) son las componentes de la fuerza F en las direcciones de los ejescoordenados y (dx,dy,dz) son las componentes del vector desplazamiento elementaldr.

Si la curva C viene definida por sus ecuaciones paramétricas, x = x(t), y = y(t),z = z(t), donde t es un parámetro que, incidentalmente, pudiera ser el tiempo,entonces podemos escribir [10.5] en la forma

[10.6]WAB ⌡⌠

tB

tA

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

Fx (t )dxdt

Fy (t )dydt

Fz (t )dzdt

dt

siendo tA y tB los valores del parámetro t correspondientes a los puntos A y B.

En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partícula sea constante (en

Figura 10.2 Figura 10.3

módulo, dirección y sentido, Figura 10.2), se tiene que

[10.7]WAB ⌡⌠

B

AC

F dr F ⌡⌠

B

A

dr F Δr

§10.2.- Trabajo de una fuerza. 249

o sea que el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por elproducto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posicióninicial y la final. Esta es la definición que encontramos en los textos elementales.

Si en lugar de una sola fuerza son varias las que actúan sobre la partícula, Fi (i= 1,2, ... n), el trabajo elemental de cada una de ellas durante un cierto desplaza-miento elemental será dWi = Fi dr, advirtiéndose que dr es el mismo para todas lasfuerzas que actúan sobre la partícula (Figura 10.3). Sumando todos esos trabajos ele-mentales tendremos el trabajo elemental total en el desplazamiento dr; i.e.,

[10.8]dWi

dWii

F i dr F dr

siendo F = Fi la resultante de todas las fuerzas, de modo que el trabajo de laresultante de varias fuerzas aplicadas a una partícula es igual a la suma de lostrabajos de las fuerzas individuales.

En ocasiones puede resultar

Figura 10.4

interesante representar gráficamentela componente de la fuerza, Fs, enla dirección del movimiento(tangente a la trayectoria) enfunción de la longitud s recorrida alo largo de la trayectoria(coordenada intrínseca), como semuestra en la Figura 10.4. Entonces,el trabajo elemental efectuadodurante un desplazamiento elemen-tal ds, i.e., dW = Fsds, viene re-presentado por el área del rectángulo rayado en la Figura 10.4. El trabajo total realizadopor la fuerza en un desplazamiento A→B viene representado, obviamente, por el áreasombreada en esa figura. El valor medio de la componente Fs de la fuerza duranteese desplazamiento es

[10.9]<Fs>1

sB sA⌡⌠

B

A

Fs ds

Conviene destacar que nuestra definición de trabajo no se corresponde con elsignificado que corrientemente se le da tal palabra, y ello puede dar lugar a confu-siones. Para que se realice trabajo, desde el punto de vista de la Mecánica, esnecesario que el punto de aplicación de una fuerza experimente un desplazamiento;es decir, contrariamente al sentir popular, el trabajo tal como lo hemos definido noestá asociado con la fatiga física o mental que podemos experimentar al realizar unesfuerzo o al resolver un intrincado problema.

Así, cuando una persona soporta sobre sus espaldas un pesado fardo pero no lo desplaza en el sentidovertical, a pesar de la fatiga física que ello pueda representarle, no realiza trabajo desde el punto de vistade la Mecánica. Es más, incluso cuando la persona se desplace sobre un suelo horizontal, cargada con elfardo, no está trabajando (puesto que la fuerza es perpendicular al desplazamiento) y, paradójicamente,cuando con gran esfuerzo baja con su carga por unas escaleras, recibe trabajo (realiza un trabajo negativo)en lugar de hacerlo ella. En realidad, la magnitud física relacionada con la fatiga muscular es la fuerza,no el trabajo. Podemos asociar un trabajo fisiológico a cualquier tipo de ejercicio físico o mental; pero


deberemos reservar el término de trabajo para el que se ajusta a

Figura 10.5

nuestra definición anterior. Pero la definición de trabajo, aunqueno está relacionada de un modo evidente con el trabajo fisiológico,está ligada con él mediante el concepto de energía, que comoveremos es una consecuencia de la definición de trabajo; todotrabajo fisiológico implica el consumo de una cierta energía.

§10.3. Potencia.- En la definición dada ante-riormente del trabajo realizado por una fuerza noimporta el tiempo que ésta invierte en realizarlo. Sinembargo, en las aplicaciones, y especialmente en laingeniería, es fundamental conocer la rapidez con quese realiza ese trabajo; esto es, el trabajo realizado porunidad de tiempo. La magnitud física que mide larapidez con que se realiza el trabajo recibe el nombrede potencia y la designaremos por P.

La potencia media se define como el cociente entre el trabajo realizado por unafuerza y el tiempo invertido en su realización; esto es,

[10.10]<P> WΔt

El límite del cociente anterior1, cuando consideramos un intervalo de tiempo quetiende a cero, nos define el concepto de potencia instantánea; esto es,

[10.11]P límΔt→0

WΔt

dWdt

De modo que, si conocemos P en función del tiempo, el trabajo realizado en elintervalo de tiempo Δt = t2-t1 será

[10.12]W ⌡⌠

t2

t1

P dt

Teniendo en cuenta que dW = F dr, podemos escribir esta otra expresión parala potencia desarrollada por una fuerza:

[10.13]P dWdt

F drdt

F v

donde v representa la velocidad de la partícula a la que está aplicada la fuerza.Vemos que la potencia desarrollada por la fuerza F será positiva, nula o negativasegún que los vectores F y v formen un ángulo agudo, recto u obtuso.

1 Rehusamos escribir ΔW en el numerador de la expresión [10.10] ya que el trabajo se realizao no se realiza, pero no se incrementa. Dicho de otra forma, el trabajo no es función de estadodel sistema. Insistiremos y desarrollaremos con más rigor esta idea en las Lecciones de Termología.

§10.4.- Unidades de trabajo y potencia. 251

§10.4. Unidades de trabajo y potencia.- La definición de trabajo de unafuerza nos muestra que el trabajo es dimensionalmente equivalente al producto de unafuerza por una longitud.

En el Sistema Internacional de unidades (SI o mks), el trabajo vendrá expresadoen newton-metro (N m), unidad que recibe el nombre de julio (joule) y cuyo símboloes J, en honor al científico británico James P. JOULE (1816-1869), famoso sobre todopor sus investigaciones acerca de los conceptos de calor y energía.

En el sistema cgs la unidad de trabajo es la dina-centímetro (dyn cm), unidad querecibe el nombre de ergio, cuyo símbolo es erg.

En el sistema técnico la unidad de trabajo es el kilogramo-metro (kg m), unidadque recibe el nombre de kilográmetro, cuyo símbolo es kgm.

Es fácil encontrar los factores de conversión entre esas unidades de trabajo:

1 J = 107 erg y 1 kgm = 9.8 J

En cuanto a la potencia, dimensionalmente equivale al cociente de un trabajo porun tiempo. En el sistema SI (mks), la potencia vendrá expresada en julios/segundo(J/s), unidad que recibe el nombre de watio (W), en honor al ingeniero británico J.WATT (1736-1819). En los sistemas de unidades cgs y técnico las unidades depotencia son el erg/s y el kgm/s, respectivamente, que no reciben nombresespeciales.

En la técnica son de uso frecuente las siguientes unidades de potencia: el caballode vapor (CV), el horse power (HP) y el kilovatio (kW) (Cuadro 10.1).

Cuadro 10.1.- Equivalencias de unidades de potencia.

1 CV = 75 kgm/s = 736 W

1 HP = 550 lb pie/s = 746 W

1 kW = 1 000 W = 102.04 kgm/s

Naturalmente, el producto de una unidad de potencia por una unidad de tiemponos dará una unidad de trabajo. Así podemos definir la unidad de trabajo llamadakilovatio-hora (kWh), como el trabajo efectuado durante una hora por una máquinacuya potencia (constante) sea de un kilovatio; esto es

1 kWh = (103 W) (3.6×103 s) = 3.6×106 J

§10.5. Energía.- El término de energía, al igual que el de trabajo, tiene en laFísica un significado muy preciso. Aunque el concepto de energía es previo,históricamente, al de trabajo, debemos llegar a él mediante un proceso intuitivo ygradual, por lo que puede ser conveniente definirlo, de un modo general, de la formasiguiente:

La energía de un sistema material es una medida de su capacidad pararealizar trabajo. La energía es una magnitud física escalar y se mide en las


mismas unidades que el trabajo.

A partir de esa definición podemos pensar inmediatamente en muchos sistemasmateriales que poseen energía. Por ejemplo, a causa de encontrarse en movimiento.Así, un automóvil, un proyectil, el agua que cae por una cascada, el viento ... poseenenergía en el sentido de que tienen capacidad para realizar trabajo durante el procesoque los lleve al reposo.

La energía que posee un sistema material en razón de encontrarse enmovimiento recibe el nombre de energía cinética.

Pero también podemos concebir otros sistemas materiales que poseen energía enrazón de su posición o de su configuración. Por ejemplo, un metro cúbico de aguasituado en la parte superior de la presa de un pantano tiene, como consecuencia desu posición, capacidad para realizar trabajo, moviendo la turbina situada en la parteinferior de la presa, la cuerda tensa de un arco tiene capacidad para realizar trabajo,impulsando a la flecha.

La energía que posee un sistema material en razón de su posición o de suconfiguración, se denomina energía potencial.

El metro cúbico de agua mencionado en el ejemplo anterior posee una ciertaenergía potencial como consecuencia de su posición en el campo gravitatorioterrestre. A esa energía potencial la llamamos energía potencial gravitatoria.También el arco tenso tiene una cierta energía potencial. El sistema constituido porla armadura del arco y la cuerda constituye un sistema elástico y almacena una ciertaenergía cuando está tenso; dicha energía se llama energía potencial elástica. Losejemplos anteriores nos demuestran como podemos añadir diferentes calificativos ala energía potencial, de acuerdo con las características de cada sistema material.

Siempre podemos pensar en la energía como el resultado de la realización de untrabajo. Así, en el caso del metro cúbico de agua, la energía potencial la adquieremediante el trabajo que tendríamos que realizar para elevarlo hasta la parte superiorde la presa; en el caso del arco, la energía potencial (elástica) la adquiere medianteel trabajo que hay que realizar para tensarlo. Para poner un cuerpo en movimientohay que realizar un trabajo, y el resultado es que el cuerpo adquiere energía cinética.Estas observaciones nos sugieren la posibilidad de definir operativamente el concepto

Figura 10.6

de energía, a través del trabajo que se ha realizado previamente sobre el cuerpo osistema material. Estas definiciones operativas, que estudiaremos con detalle en los

apartados que siguen, resultan más satisfactoriasque la definición general de energía dada alprincipio de este artículo; aunque, comoveremos, son equivalentes a ella.

§10.6. Energía cinética.- Consideremosuna partícula de masa m sobre la que actúa unafuerza única F, o un conjunto de fuerzas cuyaresultante sea F, y describamos su movimientodesde un determinado referencial inercial, comose muestra en la Figura 10.6. Bajo la acción deesa fuerza, o de ese conjunto de fuerzas, la

§10.6.- Energía cinética. 253

partícula adquiere una aceleración, tal que F = ma. Calculemos el trabajo realizadopor la fuerza F en un desplazamiento de la partícula entre dos puntos, A y B, de sutrayectoria:

[10.14]WAB ⌡⌠

B

AC

F dr ⌡⌠

B

AC

ma dr m⌡⌠

B

AC

dvdt

dr m⌡⌠

B

A

v dv

pero como de [10.15]d (v v) d (v 2) 2 v dv

se sigue que [10.16]v dv 12

d(v 2)

y la expresión [10.14] se transforma en

[10.17]WAB1

2m⌡⌠

B

A

d(v 2) 1

2mv 2

B

A

1

2mv 2

B1

2mv 2

A

El término ½mv2, que reconoceremos como la mitad de la vis viva definida porLeibniz, aparece tan a menudo en las expresiones de la Física, que desde hace ya másde un siglo se estimó conveniente considerarlo como una magnitud física importante,a la que se le dio el nombre de energía cinética. Representaremos la energía cinéticapor Ek, de modo que la expresión [10.17] podemos escribirla como

[10.18]WAB ⌡⌠

B

AC

F dr 1

2mv 2

B1

2mv 2

A Ek(B) Ek(A)

que constituye la expresión del llamado teorema de las fuerzas vivas2, que puedeenunciarse de la siguiente forma:El trabajo efectuado sobre una partícula es igual a la variación que experimenta suenergía cinética.

El teorema de las fuerzas vivas, o teorema del trabajo y de la energía cinéticacomo se le conoce actualmente, es de validez general, cualquiera que sea lanaturaleza de la fuerza o fuerzas que obren sobre la partícula.

La energía cinética de una partícula es una magnitud física escalar, esencialmentepositiva, que se mide, obviamente, con las mismas unidades que el trabajo; esto es,en julios (J) en el sistema mks (SI) y en ergios (erg) en el sistema cgs.

La expresión [10.18], que relaciona el trabajo realizado sobre una partícula con la variaciónde su energía cinética, presenta un cierto parecido formal con la expresión

2 El nombre de fuerza viva se conserva por razones históricas. Fue asignado por Leibniza aquellas fuerzas que producen movimiento; en contraposición a las que él llamaba fuerzasmuertas, que no dan lugar a movimiento alguno, como es, por ejemplo, el peso de un cuerposituado sobre un tablero horizontal.


[10.19]Π ⌡⌠

B

A

F dt mv B mv A p B p A

que relaciona la impulsión de una fuerza con la variación de la cantidad de movimiento queexperimenta la partícula sobre la que actúa (vide §7.7). La diferencia radica en que la impulsión,por ser una integral de tiempo, es útil si conocemos la fuerza en función del tiempo; en tanto queel trabajo, por ser una integral de espacio, es útil si conocemos el valor de la fuerza en función dela posición de la partícula sobre la que actúa, que es una situación que nos encontramos frecuente-mente y, por ello, los conceptos de trabajo y de energía desempeñan un papel tan importante enla Física.

Observemos que, por ser relativa al observador la velocidad de una partícula, laenergía cinética de la misma también será una magnitud física relativa al observador;esto es, cuando hablemos de la energía cinética de la partícula tendremos queespecificar el referencial en el cual se mide. Pero también debemos observar que eltrabajo realizado por una fuerza depende del referencial en el que describamos el

movimiento de la partícula a la que está aplicada; i.e., la integración es⌡⌠

B

AC

F dr

función del referencial (inercial) elegido, ya que la trayectoria, y con ella A y B,resulta ser función del referencial que utilizamos para describir el movimiento. Deese modo resulta que el teorema de las fuerzas vivas es válido (de acuerdo con elprincipio de relatividad de Galileo) en cualquier referencial inercial.

Ejemplo I.- Demostrar la validez del teorema de las fuerzas vivas en todos los referencialesinerciales.

Supongamos un vagón de ferroca-

Figura 10.7

rril que se mueve con velocidad cons-tante v0 sobre una vía recta y horizontal;consideremos dos observadores, S y S′,en reposo con respecto a tierra y enreposo en el interior del vagón, respec-tivamente, como se muestra en la Figu-ra 10.7. Evidentemente, al ser v0=cte, osea a0=0, si el observador S es conside-rado como inercial, el S′ también loserá. Sea un cuerpo de masa m que seencuentre sobre la plataforma del vagón,y supongamos que se le aplica una fuer-za constante F en la dirección del movi-miento del vagón (para simplificar elproblema, aunque ello no impida quesean generales los resultados que obten-gamos).

En todo instante, la energía cinéticadel cuerpo de masa m viene dada, en

cada uno de los referenciales S y S′ por

[10.20]Ek1

2mv 2 Ek

1

2mv 2

§10.6.- Energía cinética. 255

estando v y v′ relacionadas por [10.21]v v v0

que sustituida en [10.20] nos conduce a

[10.22]Ek1

2mv 2 1

2m(v v0)

2 1

2mv 2 1

2mv 2

0 mv0v Ek1

2mv 2

0 mv0v

de modo que Ek > E′kLa variación de la energía cinética del cuerpo en un desplazamiento A′B′ sobre la plataforma

del vagón, lo que corresponde a un desplazamiento AB para el observador S, en cada uno de losreferenciales vale respectivamente:

[10.23]ΔEk(A→B) 1

2mv 2

B1

2mAv 2

A ΔEk(A →B ) 1

2mv 2

B1

2mv 2

A

estando relacionadas por

[10.24]ΔEk(A→B) ΔEk(A →B ) mv0(v B v A )

Esto es, ni las energías cinéticas, ni las variaciones de las energías cinéticas, tienen el mismovalor en los dos referenciales.

Pero lo mismo ocurre con el trabajo efectuado por la fuerza F, aunque ésta es la misma enambos referenciales inerciales. En efecto, en cada uno de los referenciales, tenemos

[10.25]WAB F (AB) Fs WA B F (A B ) Fs

pero [10.26]s s v0 t

donde t es el tiempo empleado en el desplazamiento A→B (o A′→B′), de modo que

[10.27]WAB Fs F (s v0 t) Fs Fv0 t W A B Fv0 t

resultando que el trabajo efectuado por la fuerza es mayor cuando lo mide el observador S quecuando lo mide el observador S′, lo que está de acuerdo con las correspondientes variaciones enla energía cinética. Podemos desarrollar el último término de la expresión anterior para obtener

[10.28]Fv0 t (ma) v0 t m v0 (at ) m v0 (v B v A )

que es el término que aparece en el segundo miembro de [10.24], de modo que podemos asegurarque el trabajo suplementario que se mide en el referencial S es igual a la variación suplementariade energía cinética que se mide en ese mismo referencial. Por consiguiente,

el teorema de las fuerzas vivas es válido en ambos referenciales y, en general, lo es entodos los referenciales ligados por una transformación galileana.

§10.7. Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas.- Llamamos campo defuerzas a toda región del espacio en la que una partícula se encuentra sometida a laacción de una fuerza cuyo valor está perfectamente definido en módulo, dirección ysentido. Esto es, la fuerza que actúa sobre una partícula situada en una región delespacio donde está definido un campo de fuerzas será función de las coordenadas quefijan su posición en el espacio y, eventualmente, del tiempo; o sea,


[10.29]F F (r ;t) F (x,y,z;t)

En el caso particular de que F no sea función explícita del tiempo, esto es, de que

[10.30]F F (r) F (x,y,z)

el campo de fuerzas se llama estacionario. En lo que sigue, salvo que se diga locontrario, consideraremos sólo campos de fuerzas estacionarios.

Naturalmente, la fuerza que actuará sobre una partícula que esté situada en uncampo de fuerzas, dependerá no sólo de su posición (y eventualmente del tiempo)sino de la característica o propiedad de la partícula que la hace sensible al campo.Esto es: de su masa, si se trata de un campo gravitatorio; de su carga eléctrica, si setrata de un campo electrostático ... Por ello, es conveniente definir la intensidad delcampo de fuerzas en cada punto del espacio donde esté definido como la fuerza a laque estará sometida una partícula que tenga la unidad de carga sensible al campo(masa gravitatoria o carga eléctrica, en los ejemplos anteriores). Designando por gy E las intensidades del campo gravitatorio y eléctrico, respectivamente, la fuerza ala que estará sometida una partícula, de masa m y carga eléctrica q, será

[10.31]F g mg F E qE

donde los subíndices g y E hacen referencia a la naturaleza de las fuerzas. Medianteel concepto de intensidad de campo conseguimos asignar a cada punto del espaciodonde está definido el campo de fuerzas un vector único; esto es, con independenciadel valor de la característica de la partícula sensible al campo. Así, tenemos definidoun campo vectorial, que podrá ser representado, como ya sabemos, mediante líneasvectoriales, que en este caso reciben el nombre de líneas de fuerza.

Consideremos, ahora, una partícula de

Figura 10.8

masa m situada en un campo de fuerzas alcual es sensible; por ejemplo, un campogravitatorio, o un campo eléctrico si la partí-cula tiene carga eléctrica. El trabajo realiza-do por el campo cuando la partícula sedesplaza entre las posiciones A y B, reco-rriendo una cierta trayectoria C, viene dadopor

[10.32]WAB ⌡⌠

B

AC

F dr

Generalmente ese trabajo depende de la trayectoria que sigue la partícula en sudesplazamiento entre los puntos A y B. No obstante, existen algunos campos defuerzas, sumamente importantes en la Física, en los que se verifica que la circulación(o sea el trabajo) entre dos puntos dados es independiente del camino que se siga alhacer la integración curvilínea de [10.32]. Tales campos de fuerzas se llaman conser-vativos o irrotacionales (por las razones que ya vimos en la Lec. 3.- Análisis vec-torial), y las fuerzas definidas por ellos se llaman fuerzas conservativas. En talescampos, la circulación, i.e., el trabajo realizado por el campo, cuando la partícula se

§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas. 257

desplaza entre dos puntos dados se puede obtener calculando la diferencia de valoresque toma una cierta función escalar de punto que se llama función potencial. Comoveremos en el próximo epígrafe, la energía potencial está relacionada en los camposde fuerza conservativos con el trabajo realizado por el campo en un desplazamientodado de la partícula.

Un criterio alternativo para definir un campo de fuerzas (o una fuerza)conservativa es el siguiente:

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula escero cuando la partícula recorre cualquier trayectoria cerrada y vuelve a laposición de partida.

En efecto, se verifica que

[10.33]WAB F dr ⌡⌠

B

AC

F dr ⌡⌠

A

BC

F dr 0

y esto implica que

Figura 10.9

[10.34]⌡⌠

B

AC

F dr ⌡⌠

B

AC

F dr

o sea que la circulación (el trabajo) entre dospuntos dados, A y B, no depende del caminode integración.

Una fuerza no-conservativa es, porejemplo, el rozamiento por deslizamiento.Como la fuerza de rozamiento se oponesiempre a la dirección del movimiento, resulta obvio que el trabajo realizado por ellaes siempre negativo. Así, cuando un objeto recorre una trayectoria cerrada y regresaa su posición inicial, el trabajo total realizado por la fuerza de rozamiento esnegativo. Evidentemente se trata de una fuerza no-conservativa que, puesto que eltrabajo realizado por ella es siempre negativo (disipa energía), se dice que es disipa-tiva.

Un caso muy importante de campo conservativo es el de una fuerza central; es

Figura 10.10

decir, el campo de una fuerza cuya línea deacción pasa siempre por un punto deter-minado O, llamado centro de fuerzas ocentro del campo, y cuyo módulo es funciónúnicamente de la distancia entre su punto deaplicación (posición de la partícula sobre laque actúa) y el centro del campo. Si toma-mos como origen de coordenadas el centrodel campo, podemos expresar una tal fuerzacentral del modo siguiente:

[10.35]F F(r) e r f (r) r


donde no hacemos ninguna hipótesis sobre la forma funcional de F(r) o f(r). Natural-mente, si F y r tienen el mismo sentido, la fuerza F representa una repulsión,ejercida desde el origen, sobre la partícula; en caso contrario F representa unaatracción. Es fácil demostrar que

cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo.

El campo gravitatorio y el campo electrostático, que son campos centrales, soncampos conservativos.

Ejemplo II.- Fuerzas centrales.- Demostrar que todos los campos de fuerzas centrales sonconservativos.

♦ Para demostrar que cualquier campo de fuerzas centrales es conservativo, bastará demostrarque es irrotacional, o sea que

[10.36] ∇ × F ∇ × [ f(r ) r ] 0

En efecto, ya que es r = xi + yj + zk, tenemos

[10.37]

∇ × [ f(r )r ]

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

∂/∂x

∂/∂y

∂/∂z

×

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

x f(r)

y f(r)

z f(r)

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

z∂f∂y

y∂f∂z

i ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

x∂f∂z

z∂f∂x

j ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

y∂f∂x

x∂f∂y

k 0

ya que [10.38]∂f∂x

dfdr

∂r∂x

dfdr

∂∂x

x 2 y 2 z 2 xr

dfdr

y análogamente ∂f∂y

dfdr

∂r∂y

yr

dfdr

∂f∂z

dfdr

∂r∂z

zr

dfdr

♦ Resulta conveniente proceder de un modo más intuitivo, sin calcular el rotacional. Para ello,

Figura 10.11

evaluaremos el trabajo realizado por la fuerza central en un des-plazamiento de la partícula entre los puntos A y B:

[10.39]WAB ⌡⌠

B

AC

F dr ⌡⌠

B

AC

F(r ) e r dr ⌡⌠

B

A

F(r ) dr

ya que er dr representa la proyección dr del desplazamiento ele-mental dr en la dirección radial, i.e., dr. Obviamente, la últimaintegral de [10.39] no depende del camino seguido, ya que nosconduce al siguiente resultado

[10.40]WAB ⌡⌠

B

A

F(r) dr φ (r)B

AφB φA

esto es, el trabajo (la circulación) realizado por el campo es fun-ción únicamente de los valores que toma una cierta función es-calar de punto en los extremos de la trayectoria.

§10.7.- Campos de fuerzas. Fuerzas conservativas. 259

Imaginemos, ahora, una fuerza que dependa de la velocidad con que se recorrela trayectoria; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre una partícula cargada eléctrica-mente que se mueve en un campo magnético es función de su velocidad (F=qv×B).¿Puede ser conservativa una fuerza de este tipo? En general no serán conservativas,pero resulta que esas fuerzas fundamentales que dependen de la velocidad si que sonconservativas, ya que al ser la fuerza perpendicular a la velocidad (i.e., a latrayectoria), el trabajo realizado siempre será nulo, tanto en una trayectoria cerradacomo en una trayectoria abierta.

Como sabemos, con independencia de los nombres que demos a las diferentesfuerzas que usamos o simplemente conocemos, existen solamente dos fuerzasfundamentales que gobiernan el comportamiento de los cuerpos que encontramos ennuestra experiencia cotidiana. Estas dos fuerzas son las gravitatorias y laselectromagnéticas. Todas las otras fuerzas pueden considerarse como manifestacionescomplejas de esas dos fuerzas fundamentales; por consiguiente, todo proceso debeser conservativo si se analiza con suficiente detalle. Hemos dicho anteriormente quela fuerza de rozamiento es disipativa, esto es que el trabajo que realiza siempre esnegativo, de modo que cuando la partícula regresa a su posición inicial se ha disipadoparte de su energía. En realidad lo que ha ocurrido es que esa energía se hatransformado en algo que no nos es útil (energía calorífica) por lo que la considera-mos como perdida desde el punto de vista mecánico; todo es, según se ve, unacuestión de contabilidad.

§10.8. Energía potencial.- Consideremos un campo de fuerzas conservativo

Figura 10.12

en el que la fuerza que actúa sobre una partícula sea función tan sólo de la posiciónde ésta; esto es, F = F(r) = F(x,y,z). Imaginemos un desplazamiento de la partículaentre los puntos A y B, a lo largo de una ciertatrayectoria C, y calculemos el trabajo realizadopor el campo,

[10.41]WAB ⌡⌠

B

AC

F dr ⌡⌠

B

A

F dr

que, por ser conservativo el campo, sólodepende de las posiciones extremas, A y B, dela partícula y no del camino recorrido por ésta.Es decir, podemos expresar dicho trabajo comola diferencia de valores que toma cierta funciónescalar en los extremos de dicha trayectoria;dicha función recibe el nombre de energía po-tencial y la designaremos por Ep, de modo que

[10.42]WAB ⌡⌠

B

A

F dr [ Ep(B) Ep(A) ]

anteponiéndose el signo negativo para indicar que el trabajo realizado por el camporepresenta una disminución de su energía potencial; esto es, una disminución de sucapacidad para realizar más trabajo sobre la partícula. Evidentemente, la energía


potencial tiene las mismas dimensiones que el trabajo, y se medirá en las mismasunidades que éste. En definitiva, podemos dar la definición siguiente:

La energía potencial de una partícula en un campo (al cuál es sensible) esuna función (escalar) de las coordenadas de la posición que ocupa, de talmodo que el trabajo realizado por el campo durante un desplazamiento dela partícula es igual a la diferencia de valores de la energía potencial en laposición inicial y en la posición final.

Obsérvese que el valor de Ep(B) sólo estará definido si conocemos el valor deEp(A), pues entonces

[10.43]Ep(B) Ep(A) ⌡⌠

B

A

F dr

Esto es, la energía potencial no tiene carácter absoluto, ya que sólo podemos calcularla diferencia de energías potenciales correspondientes a dos posiciones dadas de lapartícula; sólo la diferencia Ep(B) - Ep(A) tiene siempre un significado físico. Sinembargo, podemos dar significado a la energía potencial en B, Ep(B), haciendo queel punto A sea un punto de referencia conveniente al que le asignamos un valorarbitrario de energía potencial, ordinariamente igual a cero; entonces

[10.44]Ep(B) Ep(A) ⌡⌠

B

A

F dr ⌡⌠

B

A

F dr con Ep(A) 0

Normalmente es conveniente escoger la posición de referencia a la que hacemos

Figura 10.13

corresponder (arbitrariamente) una energía potencial nula en una posición en la quees nula la fuerza que obra sobre la partícula. En el caso del campo gravitatorio y delcampo electrostático creado por una masa y una carga puntual, respectivamente, estacircunstancia se presenta a una distancia infinita de dicha masa o carga puntual, demodo que la energía potencial que le corresponde a una segunda masa o cargapuntual colocada en dichos campos viene dada por

[10.45]Ep(B) ⌡⌠

B

∞F dr ⌡

⌠∞

B

F dr

o sea que Ep(B) representa el trabajo que realizael campo sobre la segunda masa o carga cuandoésta se desplaza desde el punto B hasta elinfinito. Lo que equivale a decir, que Ep(B)representa el trabajo que tenemos que efectuar,mediante la aplicación de una fuerza Fap = -F,que equilibre en todo instante a la fuerza intrín-seca del campo, para traer la masa o cargadesde el infinito hasta el punto B.

Naturalmente, en el caso de que la fuerza F no sea conservativa, el trabajo querealiza en un desplazamiento desde A hasta B dependerá del camino que siga lapartícula y, al no ser dicho trabajo función exclusiva de las posiciones inicial y finalde la partícula, no existirá una función energía potencial asociada con tal fuerza.

§10.8.- Energía potencial. 261

Resulta conveniente definir el concepto de potencial, asociado a un campo defuerzas conservativo, en un punto del espacio en el que está definido dicho campo,como la energía potencial asociada a la unidad de carga sensible al campo (masagravitatoria, carga eléctrica, ...) en dicho punto. Así, denominando por (r) y V(r) lospotenciales gravitatorio y electrostático en un punto P (definido por su vector deposición r), en los campos respectivos, tenemos las expresiones:

[10.46](r)Ep,g(r)

mV(r)

Ep,e(r)

q

que definen unas funciones escalares de punto a las que llamamos campos depotencial (gravitatorio, electrostático, ...) o, simplemente, potencial (gravitatorio,electrostático, ...). Teniendo en cuenta la definición dada en §10.7 para la intensidadde un campo de fuerzas, podemos sustituir las expresiones [10.31] en las[10.42]-[10.45] para obtener las relaciones existentes entre la circulación de laintensidad del campo de fuerzas y el campo de potencial asociado. Así, la expr.[10.43] se convierte en

[10.47](B) (A) ⌡⌠

B

A

g dr V(B) V(A) ⌡⌠

B

A

E dr

para los potenciales gravitatorio y electrostático respectivamente.En un desplazamiento infinitesimal de la partícula, en un campo de fuerzas

conservativo, se tiene

Figura 10.14

[10.48]dEp F dr F ds cosθ

donde θ es el ángulo determinado por la direcciónde la fuerza y la del desplazamiento elemental3.Podemos escribir [10.48] en la forma

[10.49]F cosθ Fs

dEp

ds

esto es, la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento elemental(arbitrario) es igual a la derivada de la energía potencial en esa dirección (derivadadireccional de Ep), cambiada de signo. Como vimos en la lección de Análisisvectorial, cuando un vector es tal que su componente en una dirección cualquierapuede expresarse como la derivada direccional de una función escalar de punto enesa dirección, el vector se llama gradiente de esa función. De ese modo, podemosdecir que F es el gradiente, con signo negativo, de la función Ep; esto es,

[10.50]F grad Ep ∇ Ep

En coordenadas cartesianas (x,y,z) las componentes de la fuerza F pueden expre-sarse, como ya sabemos, por

3 Obsérvese, una vez más, que ds (elemento de longitud sobre la trayectoria) es igual a dr .


[10.51]Fx

∂Ep

∂xFy

∂Ep

∂yFz

∂Ep

∂z

En ocasiones estaremos interesados en obtener las componentes de la fuerza Fen coordenadas polares planas, en especial en el caso de que F sea una fuerzacentral. En coordenadas polares planas se utilizan las coordenadas r (radial) y θ(angular) para determinar la posición de una partícula en el plano, como se muestraen la Figura 10.15, siendo er y eθ los versores correspondientes a las direcciones decrecimiento de las coordenadas r y θ, respectivamente. Las componentes polares deun desplazamiento elemental dr son

[10.52]dr dr e r r dθ eθ

de modo que, aplicando [10.49], las componentes radial y transversal de la fuerza son

[10.53]Fr

∂Ep

∂rFθ

1r

∂Ep

∂θ

o sea que la expresión del gradiente en

Figura 10.15

coordenadas polares planas es

[10.54]∇ Ep

∂Ep

∂re r

1r

∂Ep

∂θeθ

Se presenta un caso particularmenteimportante cuando la energía potencialde una partícula colocada en un campoes función tan sólo de r [esto es, Ep(r)],en lugar de serlo de r y θ [es decir,Ep(r,θ)]. Entonces, es obvio que Fθ =0 y la fuerza sólo tiene componente

radial; esto es, se trata de una fuerza central. Recíprocamente, si la fuerza es central,al ser Fθ = 0 se sigue de [10.53] que Ep es independiente de θ, o sea que será Ep =Ep(r). En resumen:

La energía potencial asociada con una fuerza central es función tan sólo dela distancia a que se encuentra la partícula del centro de fuerzas y recíproca-mente.

Ejemplo III.- Energía potencial gravitatoria (I).- El ejemplo más simple de fuerza conservativalo constituye una fuerza constante que define un campo de fuerzas uniforme. En este caso seencuentra el campo gravitatorio terrestre en una región del espacio no demasiado extensa. Si ele-gimos un sistema de ejes coordenados de modo que el eje z sea perpendicular a la superficie terres-tre, la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa m, esto es, el peso del cuerpo, viene dado por

[10.55]F mg k

Así, el trabajo realizado por dicha fuerza cuando el cuerpo se desplaza entre las posiciones A y B es

§10.8.- Energía potencial. 263

[10.56]WAB ⌡⌠

B

A

F dr ⌡⌠

B

A

mg dz ( mgzB mgzA )

resultando que dicho trabajo es independiente de la

Figura 10.16

trayectoria seguida por el cuerpo. En consecuencia, elcampo gravitatorio terrestre es conservativo y ladiferencia de energía potencial entre dos puntos vieneexpresada por el trabajo realizado por el campo en undesplazamiento del cuerpo entre esas dos posiciones. De[10.56] se sigue la expresión de la energía potencial enuna posición cualquiera;

esto es, [10.57]Ep mgz

de modo que la diferencia de energía potencial entre dospuntos es

[10.58]Ep(A) Ep(B) mg (zA zB) mgh

donde h representa la diferencia de alturas de las posiciones A y B con respecto a un nivel dereferencia arbitrario. Obsérvese que el nivel de referencia de energía potencial nula corresponde,de acuerdo con [10.57], a z = 0, aunque eso es irrelevante y podemos elegir cualquier otro nivel.

Ejemplo IV.- Energía potencial gravitatoria (II).- En el ejemplo anterior hemos considerado sólouna pequeña región del campo gravitatorio terrestre, a fin de poderlo considerar uniforme; lasexpresiones [10.55] a [10.58] sólo serán válidas dentro de esas limitaciones. Pero, ¿cómo abordaremosel problema en el caso más general?

La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra (M) sobre una partícula de masa m que se encuentrasituada a una distancia r de su centro es una fuerza central y, por tanto, conservativa, que vienedada por

[10.59]F GMm

r 2e r

La función energía potencial asociada a esta fuerza conservativa puede calcularse utilizandola expresión [10.45], escogiendo la posición de referencia a la que hacemos corresponder una energíapotencial nula en el infinito, ya que cuando r→∞ la fuerza que actúa sobre la partícula tiende haciacero. Entonces

[10.60]Wr→∞ Ep(r) ⌡⌠

∞

r

F dr GMm ⌡⌠

∞

r

dr

r 2G

Mmr

esto es

Figura 10.17

[10.61]Ep(r) GMm

r

que es la expresión de la energía potencial gravitatoriade la masa m en el campo gravitatorio creado por lamasa M (o viceversa), siendo r la distancia entre suscentros (en el caso de esferas homogéneas). La expre-sión [10.61] es muy diferente de la [10.57], pero podemosdemostrar que ésta es un caso particular de aquélla. Enefecto, a partir de [10.61] podemos escribir


[10.62]Ep(r) Ep(R) GMmR

GMm

rGMm

r RRr

GM

R 2m

Rr

(r R)

que, teniendo en cuenta que GM/R2 = g y que r - R = h, se reduce, en el caso de que R≈r, a

[10.63]Ep(r) Ep(R) mgh

Ejemplo V.- Energía potencial elástica.- Otro ejemplo de fuerza conservativa lo constituye la queejerce un muelle sobre un cuerpo sujeto a él. En el caso de que la deformación del muelle no seademasiado grande, la fuerza elástica, con el muelle estirado o comprimido con respecto a sulongitud natural x0 , viene dada con suficiente aproximación por la ley de Hooke, F = -k(x-x0). Eltrabajo realizado por esa fuerza en un desplazamiento desde la posición de equilibrio (x0) hasta unaposición genérica (x) viene dado por

[10.64]Wx0→x ⌡⌠

x

x0

F dr ⌡⌠

x

x0

k (x x0 ) dx 1

2k (x x0 )2

que depende tan sólo de las coordenadas x0 y x de los

Figura 10.18

puntos inicial y final. Por ser conservativa la fuerzaelástica así definida, dicho trabajo será igual a la dis-minución de la energía potencial elástica, quedandodefinida ésta por

[10.65]Ep(x) 12

k (x x0 )2

esto es, proporcional al cuadrado de la deformación delmuelle con respecto a su configuración natural. Obsér-vese que a la configuración de equilibrio (x=x0) lecorresponde una energía potencial elástica nula.

§10.9. La energía potencial como energía de configuración.- En tanto quela energía cinética de una partícula viene expresada siempre por la fórmula mv2/2, noocurre lo mismo con la energía potencial. A cada fuerza conservativa podemosasociarle una energía potencial que, de acuerdo con la naturaleza de la fuerza, recibedistintos calificativos, tales como los de energía potencial gravitatoria o elástica,vistos en los ejemplos anteriores, y serán distintas sus expresiones; esto es, no existeuna fórmula única para expresar la energía potencial. Todo lo más que podemoshacer es definir la diferencia de energía potencial de la partícula, para dos posicionesdadas, como el trabajo que realiza el campo de fuerzas, cambiado de signo, en undesplazamiento de la partícula entre esas dos posiciones.

Pero hay una matización más que debemos hacer al concepto de energíapotencial. En los apartados anteriores nos hemos referido a la energía potencial deuna partícula en un campo de fuerzas (conservativo) como si esa energía potencialestuviese "almacenada" en la partícula. Así, hablábamos de la energía potencialgravitatoria de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio terrestre como si dichaenergía estuviese exclusivamente ligada al cuerpo a través de la posición que ocupa

§10.9.- La energía potencial como energía de configuración. 265

en dicho campo. Esta es una forma simplificada de enfocar la cuestión. Comosabemos, hemos "inventado" el concepto de campo para que nos sirva como"vehículo" de la interacción a distancia entre dos (o más) partículas materiales; lafuerza que "actúa" sobre cada una de las partículas es simplemente un artificiocómodo para representar dicha interacción. Estrictamente hablando, la energíapotencial deberá depender tanto de las coordenadas de la partícula considerada comode las de todas las demás partículas que constituyen su medio ambiente. Esto es, laenergía potencial no debe asignarse a ningún cuerpo concreto, sino que debeconsiderarse como algo "perteneciente" a todo el sistema en su conjunto; es decir, atodas las partículas interactuantes. Unos ejemplos nos ayudarán a comprender estaidea.

Consideremos una piedra situada a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Como hemos

Figura 10.19

visto anteriormente, podemos afirmar que "la piedra posee una cierta energía potencial", por cuantoque posee una cierta capacidad para realizar trabajo en virtud de su posición. Un poco de reflexiónnos descubrirá que debemos considerar esa energía potencial como una propiedad del sistemapiedra-Tierra, en su conjunto; es la posición relativa entre las partes del sistema la que determinasu energía potencial. La energía potencial es mayor cuanto más separadas están dichas partes.Supongamos que abandonamos el sistema; las partes se aproximan y disminuye la energía potencial.Durante esa "desaparición" de energía potencial se realiza un trabajo y se va incrementando laenergía cinética del sistema. La piedra "cae" hacia la Tierra, pero la Tierra "también cae" hacia lapiedra, ya que en virtud de la ley de la acción-reacción, la piedra ejerce sobre la Tierra una fuerzaigual en módulo y de sentido contrario a la que la Tierra ejerce sobre la piedra. La Tierra adquiere,pues, una cierta aceleración, muy pequeña dada la enorme disparidad demasas, con respecto a algún marco de referencia inercial. Como el cambiode velocidad de la Tierra es sumamente pequeño, su energía cinéticaadicional (en su órbita) es despreciable en comparación a la de la piedra que"cae"; ésta es la razón por la que tendemos a asignar la energía potencial ala piedra, por cuanto que es ella la que adquiere prácticamente toda laenergía cinética a expensas de la energía potencial del sistema.

Una situación muy distinta se nos presenta si consideramos dos cuerposde masas comparables. Imaginemos dos planetoides inicialmente unidos (porsu atracción gravitatoria) y que ATLAS4 los separa una cierta distancia,interponiendo su cuerpo entre ellos, empujando a uno de ellos hacia arriba(?) con sus brazos y al otro hacia abajo (?) con sus piernas. El sistema habráadquirido una cierta energía potencial igual al trabajo que ha realizadoAtlas. Aquí resulta evidente que no debemos asignar esa energía potenciala ninguno de los dos planetoides en concreto, sino que debemos considerarlacomo una propiedad del sistema en su conjunto; esto es, la energía potencialestá relacionada con la configuración del sistema.

Cuando consideramos el sistema total, es decir, la partículay su medio ambiente (en definitiva, otras partículas), la energíapotencial es una magnitud asociada con la configuración del sistema y no con unapartícula en concreto. Cuando el sistema evoluciona, bajo la acción de las fuerzas deinteracción entre sus partes, desde una configuración a otra, la variación de la energíapotencial del sistema (con el signo cambiado) es igual al trabajo efectuado por las

4 ATLAS o ATLANTE: Divinidad griega que encabezó la lucha de los Titanes contra los dioses,por lo que fue condenado por ZEUS a sostener eternamente sobre sus hombros la bóveda celeste.Acabó su vida petrificado, convertido en la cadena montañosa africana de Atlas, cuando PERSEO

le mostró la cabeza de la GORGONA.


fuerzas de interacción durante ese periodo de tiempo. Podemos imaginar las cosasdesde un punto de vista ligeramente diferente. Si queremos modificar laconfiguración de un sistema (digamos, una masa sujeta a un muelle) deberemosaplicar una fuerza igual y opuesta a la de interacción. Entonces, podemos decir que

la energía potencial del sistema es igual al trabajo que debe hacerse por unagente externo para dar al sistema una cierta configuración a partir de unaconfiguración de referencia arbitrariamente elegida.

§10.10. Teorema del virial.- Consideremos una partícula de masa m que seencuentra en movimiento bajo la acción de una fuerza F, y sean r y v sus vectoresde posición y velocidad en un cierto instante en un referencial dado. La cantidad demovimiento de la partícula es p = mv y, como ya sabemos, dp/dt = F. Definamosahora el virial de la cantidad de movimiento (vide §2.10) como el escalar

[10.66]V r p

Como tanto r como p son funciones del tiempo, también lo será V. Calculemos laderivada temporal de V; tenemos

[10.67]dVdt

r dpdt

drdt

p r F mv 2

o sea [10.68]dVdt

r F 2Ek

Calculemos ahora los promedios temporales correspondientes a los dos miembrosde la ecuación anterior; esto es:

[10.69]dVdt

r F 2 Ek

El promedio temporal del primer miembro, en un intervalo de tiempo τ, es fácil deevaluar

[10.70]dVdt

1τ ⌡

⌠τ

0

dVdt

dt 1τ ⌡

⌠τ

0

dV V(τ ) V(0)τ

En el caso de que el movimiento de la partícula sea periódico, es decir, que tantosus coordenadas de posición como su velocidad se repitan simultáneamente al cabode un tiempo T (periodo), y si consideramos un tiempo τ que sea múltiplo delperiodo (τ = nT), será V(τ) = V(0), de modo que <dV/dt> = 0. Llegaremos al mismoresultado, aun cuando el movimiento no sea periódico, con tal que supongamos quelos valores de r y de v estén acotados (entonces la partícula se moverá en una regiónlimitada del espacio). Ese es el caso, por ejemplo, de un electrón en un átomo o dela Tierra en el Sistema Solar. En esas condiciones, puesto que V estará acotado,bastará considerar un tiempo τ suficientemente largo para que <dV/dt> sea tanpequeño como deseemos. En ambos casos se deduce de [10.69] que

§10.10.- Teorema del virial. 267

[10.71]Ek1

2r F

El segundo miembro de esta igualdad recibe el nombre de virial de la partícula o deCLAUSIUS (1812-1888), y la ecuación anterior constituye la expresión del teorema delvirial, que en su forma más general (para una partícula) nos dice:

El valor medio de la energía cinética de una partícula que tiene unmovimiento acotado es igual a su virial.Si la fuerza F es conservativa, entonces existirá una función de energía potencial

tal que F = -grad Ep, y el teorema del virial adopta la forma

[10.72]Ek1

2r ∇ Ep

12

r∂Ep

∂r

Un caso particularmente interesante lo constituye el de una partícula que semueve en un campo de fuerzas centrales, cuya ley de fuerza es del tipo F ∝ rn;entonces, la energía potencial es función únicamente de la coordenada radial (r), esdecir, Ep = krn+1, y será

[10.73]r∂Ep

∂rr

dEp

drrk (n 1)r n (n 1) Ep

y el teorema del virial expresa una relación entre los promedios temporales de lasenergías cinéticas y potencial de la partícula:

[10.74]Ek

n 12

Ep

En el caso especialísimo de fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado dela distancia (fuerzas gravitatoria, electrostáticas, ...), entonces es n = -2, y el teoremadel virial se reduce a su forma más familiar

[10.75]Ek1

2Ep

El teorema del virial puede extenderse a un sistema de partículas, y es entoncescuando adquiere un mayor significado e interés práctico. Ello se debe a que esteteorema, a diferencia de los que hemos estudiado anteriormente, es de naturalezaestadística, es decir, se refiere a valores medios respecto a intervalos de tiempo muylargos de varias magnitudes físicas (fundamentalmente de las energías cinética ypotencial). Evidentemente, cuando estudiamos un sistema compuesto por muchaspartículas, tal como un gas contenido en un recipiente, o un átomo de muchoselectrones, nos vemos forzados a utilizar ciertos métodos estadísticos para calcularlos valores promedio de las magnitudes físicas, sin interesarnos por el comportamien-to de cada partícula individual. Una de las aplicaciones más interesantes del teoremadel virial es la deducción de la ecuación de estado de los gases ideales y no ideales;en este último caso, como veremos en una lección posterior, las fuerzas Fi, quedefinirán el virial del sistema abarcarán no sólo las de ligadura (que confinan al gasen el interior del recipiente, en uno de los ejemplos anteriores), sino también lasfuerzas de interacción intermoleculares.


Problemas

10.1.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve alo largo del eje x bajo la acción de una fuerzaresultante dirigida a lo largo de dicho eje yque está definida en función del tiempo por laexpresión F = (3 + 2t), estando F expresada ennewtons y t en segundos. En el instante t = 0 sel cuerpo se encuentra en reposo y en elorigen de coordenadas. a) Expresar la acele-ración, velocidad y posición de la partícula enfunción del tiempo. b) Expresar la potenciadesarrollada por la fuerza en función deltiempo. c) Calcular el trabajo realizado pordicha fuerza durante los cinco primerossegundos del desplazamiento del cuerpo.

10.2.- Un cuerpo de 6 kg de masa se mueve alo largo del eje x bajo la acción de una fuerzaresultante dirigida a lo largo de dicho eje yque está definida en función de la posición delcuerpo por F = (3 + 2x), estando F expresadaen newtons y x en metros. En el instanteinicial, el cuerpo se encuentra en reposo en elorigen de coordenadas. a) Expresar la acelera-ción y la velocidad del cuerpo en función de lacoordenada x. b) Ídem para la potencia desa-rrollada por la fuerza. c) Calcular el trabajorealizado por dicha fuerza durante el despla-zamiento del cuerpo desde el origen hasta elpunto x = 5 cm.

10.3.- Un proyectil de 5 g de masa que llevauna velocidad de 400 m/s penetra 6 cm en unbloque de madera. ¿Cuál fue la fuerza prome-dio que ejerció sobre el bloque?

10.4.- Una partícula de masa m se mueve bajola influencia de un campo de fuerzas definidopor

F = A (cos ωt i + sen ωt j)

donde A y ω son constantes. Si la partícula seencuentra inicialmente en reposo en el origende coordenadas, demostrar que el trabajo quese ha realizado sobre la partícula, transcurridoun tiempo t, viene dado por A2(1-cos ωt)/mω2.

10.5.- Un disco que pesa 50 g está colocadosobre un tablero horizontal liso. El disco estásujeto a una cuerda flexible y ligera que pasapor un orificio practicado en el tablero. Inicial-mente, el disco describe una trayectoriacircular, de 40 cm de radio y con centro en elorificio, con una celeridad angular de 30 rpm,para lo que es necesario que sujetemos con lamano el otro extremo de la cuerda. a) ¿Quéfuerza debemos ejercer sobre la cuerda paramantener ese movimiento circular? b) Tiramospoco a poco del extremo libre de la cuerdahasta reducir a la cuarta parte el radio de latrayectoria circular y observamos que laceleridad angular experimenta un aumentoconsiderable. ¿Qué trabajo hemos realizadosobre el disco? ¿Se conserva la energía cinéti-ca del disco?

10.6.- La fuerza que actúa sobre una partículacargada eléctricamente que se mueve en uncampo magnético viene dada por la fórmula deLorentz, F = qv×B, donde q es la carga de lapartícula, v su velocidad y B la inducciónmagnética. Supongamos que el campo mag-nético sea uniforme: a) Describir el movi-miento de la partícula. b) ¿Cuál es el trabajorealizado por la fuerza? ¿Cómo varía la ener-gía de la partícula?

10.7.- La fuerza que ejerce

Prob. 10.7

el gas contenido en uncilindro sobre el pistón deárea A (vide figura) estádada por F = pA, donde pes la presión del gas.a) Buscar una expresiónpara el trabajo que realizael gas durante una expan-sión elemental, esto es, unaumento de volumen dV.b) Si la expansión del gastiene lugar a temperatura constante (trans-formación isotérmica, T =cte), la presión delmismo varía con la temperatura de acuerdocon la relación pV = nRT, donde n y R sonconstantes. Calcular el trabajo realizado por elgas al expandirse isotérmicamente desde un

Problemas 269

volumen V1 hasta un volumen V2. c) Si laexpansión tiene lugar de modo que no hayaintercambiado calorífico entre el gas y elmedio externo que lo rodea (transformaciónadiabática), la presión varía con el volumen demodo que pVγ = cte, donde γ es unaconstante. Calcular el trabajo realizado por elgas durante una expansión adiabática.

1 0 . 8 . - U n

Prob. 10.8

a u t o m ó v i lq u e p e s a750 kg circu-la por unacarretera anivel (vide fi-gura) conuna veloci-dad 54 km/hcuando su motor desarrolla una potencia de10 CV. a) ¿Cuánto vale la suma de todas lasresistencias (rozamiento, resistencia del aire,...) que actúan sobre el automóvil? b) ¿Quépotencia deberá desarrollar el motor delautomóvil para subir a 54 km/h una cuesta del10% de pendiente? c) ¿Qué potencia seránecesaria para que el automóvil baje a54 km/h una pendiente del 3%? d) ¿Qué pen-diente permitirá que el automóvil baje a unavelocidad de 54 km/h sin que funcione elmotor? (Nota: supóngase que todas las fuerzasde resistencia permanecen constantes).

10.9.- Supongamos que la potencia máximaque puede desarrollar el motor del automóvildel Problema 10.8 sea de 30 CV y que lasfuerzas de resistencia mantengan el mismovalor con independencia de la velocidad delautomóvil (esta es una suposición muy pocorealista). a) ¿Cuál será la velocidad máximadel automóvil en una carretera horizontal?b) ¿Cuál será la velocidad máxima delautomóvil cuando suba una pendiente del10%? c) Ídem cuando baje una cuesta del 3%de pendiente? d) ¿Ídem cuando baje unacuesta del 10% de pendiente?

10.10.- Debemos construir un arrastre deesquiadores constituido por un cable del quepuedan asirse, mediante las correspondientesmanillas, los esquiadores que han de serremolcados cuesta arriba. La pendiente en laque ha de actuar nuestro aparato es de 30° y elángulo (θ) que forman, por término medio, lasmanillas con la dirección del cable es de 45°.El cable debe moverse con una velocidad de10 km/h y debe ser capaz de transportarsimultáneamente 50 esquiadores. Suponemosque cada uno de los esquiadores pesa, portérmino medio, 75 kg y que el coeficiente derozamiento entre los skies y la nieve sea 0.10.

Si admitimos que la eficiencia mecánica delsistema en funcionamiento sea del 80%, ¿cuáldeberá ser la potencia del motor que prevea-mos en nuestro proyecto?

10.11.- Una persona que pesa 70 kg sube co-rriendo por las escaleras de un edificio, subien-do 100 escalones de 25 cm de alto cada uno,en 2 minutos. a) ¿Qué trabajo ha realizado?¿Cuál ha sido la potencia máxima desarro-llada? b) ¿Cuál sería la respuesta si en lugarde subir, baja por las escaleras?

10.12.- Un ascensor desciende con una veloci-dad constante de 0.75 m/s. Del techo delascensor se desprende una de las bombillas de50 g, que cae sobre el piso del ascensor. Laaltura de la caja del ascensor es 2.5 m. Calcu-lar el trabajo realizado por la fuerza gravitato-ria sobre la bombilla y la variación de laenergía cinética de la misma, desde que sedesprende hasta que se estrella: a) en el ref-erencial ligado a la caja del ascensor y b) enel referencial ligado al edificio. c) Explicar lasdiferencias existentes entre los resultados delos aparatos a) y b).

10.13.- La fuerza que actúa sobre una partículaestá definida por la función

F = (x + yz)i + z2j + y2k

donde las coordenadas están expresadas en cmy la fuerza en dyn. Calcular el trabajo realiza-do por dicha fuerza cuando la partícula setraslada entre los puntos A(0,0,0) y B(2,4,8) alo largo de las siguientes trayectorias: a) lalínea recta que une los dos puntos dados; b) lacurva cuyas ecuaciones paramétricas son x = t,y = t2, z = t3 ; c) la línea quebrada definida porlos puntos (0,0,0), (2,0,0), (2,4,0) y (2,4,8), enese orden. d) ¿Es conservativa esa fuerza?

10.14.- Una partícula se encuentra en uncampo de fuerzas tal que la fuerza que actúasobre ella es

F = (2xy+z3)i + x2j + 3xz2k {S.I.}

a) Demostrar que dicho campo de fuerza esconservativo. b) Obtener una expresión para laenergía potencial de la partícula en dicho cam-po. c) Calcular el trabajo que tenemos querealizar para llevar la partícula desde el punto(2,1,3) al (0,0,0).

10.15.- Dado el campo de fuerzas

F = (x-y+z)i + (2x+y+3z)j + (5x-2y+z)k


y una partícula sensible a dicho campo, calcu-lar el trabajo realizado por el campo cuando lapartícula recorre una vez la circunferencia de4 unidades de radio, contenida en el plano xyy centrada en el origen de coordenadas.

10.16.- Una partícula es atraída por el origende coordenadas con una fuerza directamenteproporcional a su distancia a dicho origen.a) ¿Es conservativa esa fuerza? b) Calcular eltrabajo que deberemos realizar sobre la partí-cula para trasladarla desde el punto (1,0,0) al(3,0,0) a lo largo de la circunferencia de radiounidad y centro en (2,0,0).

10.17.- La energía potencial de una partículade masa m está dada por la expresión

Ep1

2k (x 2 y 2 )

donde k es una constante. a) Obtener las com-ponentes cartesianas de la fuerza que actúasobre la partícula. b) Ídem las componentespolares y describir la fuerza en función de laposición de la partícula. c) ¿Cómo clasificare-mos esta fuerza? ¿Puede Vd. pensar en algúnmodelo físico que responda a una fuerza deesta forma?

10.18.- Sea una fuerza definida en coordenadaspolares planas por F = f(r)eθ, donde f(r) esuna función arbitraria de la coordenada radialr. a) Demostrar que esa fuerza no esconservativa. b) Calcular el trabajo realizadopor esa fuerza cuando su punto de aplicaciónrecorre una circunferencia de radio R centradaen el origen de coordenadas.

10.19.- Un bloque de masa m desliza haciaabajo por un plano inclinado que forma unángulo θ con la horizontal; el coeficiente derozamiento entre el bloque y el plano es µ <tg θ. Considérese que el bloque se encuentreinicialmente en reposo sobre el plano inclina-do. a) Expresar en función del tiempo elaumento en la energía cinética del bloque.b) Ídem la disminución de su energía potencialgravitatoria. c) ¿Se compensan los resultadosanteriores? En caso negativo, ¿por qué?

10.20.- Una escalera

Prob. 10.20

homogénea, de masa my longitud L, está apo-yada sobre una paredvertical lisa y sobre unsuelo horizontal rugoso,formando un ángulo θ0

con la horizontal (videfigura). El coeficientede rozamiento entre el

suelo y el pie de la escalera es µ. Calcular eltrabajo que debemos realizar para llevar laescalera a la posición vertical, empujándolahorizontalmente a una distancia D de su pie.

10.21.- A partir de la ley de COULOMB para lafuerza electrostática, encontrar la expresión dela energía potencial electrostática.

10.22.- a) Consideremos dos cargas eléctricasidénticas, infinitamente alejadas la una de laotra. ¿Qué trabajo deberemos realizar paraaproximarlas, la una a la otra, hasta una ciertadistancia l? b) Consideremos, ahora, unatercera carga eléctrica igual a las anteriores.¿Qué trabajo deberemos realizar para traerladesde el infinito y colocarla en una posicióntal que las tres cargas determinan un triánguloequilátero de lado l?

10.23.- Una descripción suficientemente exactade la interacción entre dos nucleones nos lasuministra el llamado potencial de YUKAWA

Ep

r0

rEp,0 e

rr0

donde r0≈ 1.5×10-15m y Ep,0≈ 50 MeV(1 eV = 1.6×10-19J). a) Encontrar la expresióncorrespondiente para la fuerza. b) Para ponerde manifiesto el corto alcance de la fuerzanuclear, calcular la relación de fuerza (y depotencial) con respecto a la fuerza (y alpotencial) correspondiente a r = r0, r = 2r0 ,r = 4r0 y r = 10r0. c) Representar gráficamentelos resultados obtenidos en el apartadoanterior. ¿Tiene en cuenta el potencial deYukawa la repulsión entre los nucleones paradistancias muy pequeñas (hard-core)? d) Con-sideremos dos protones; obténgase las relacio-nes existentes entre las fuerzas electrostática ynuclear para las separaciones anteriormentepropuestas. ¿Para que separación son igualeslas intensidades de esas dos fuerzas?

10.24.- La energía potencial de una moléculabiatómica viene dada, según LENNARD-JONES,en función de la distancia interatómica r, porla expresión

Ep Ep,0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r0

r

12

2⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

r0

r

6

donde r0 y Ep,0 son constantes. a) Demostrarque r0 es la distancia interatómica cuando laenergía potencial es mínima, esto es, corres-pondiente a la separación de equilibrio. b) De-

Problemas 271

mostrar que el valor de la energía potencialmínima es -Ep,0. c) Demostrar que la distanciainteratómica para la que Ep = 0 es igual a0.89r0 . d) Representar gráficamente la funciónEp(r) frente a r, e) Obtener la expresión de lafuerza interatómica, esto es, F = F(r), f) ¿Cuá-ndo se anula la fuerza interatómica? ¿Cuándoes repulsiva? ¿Cuándo es atractiva?g) Demostrar que las fuerzas interatómicaalcanza su valor atractivo máximo para unaseparación r = 1.11 r0.

10.25.- En el modelo de Niels BOHR (1885-1962) del átomo de hidrógeno, un electrón demasa m se mueve en una órbita circular alre-dedor de un protón estacionario, bajo la acciónde la fuerza central de Coulomb

F1

4π 0

e 2

r 2

donde e es la carga eléctrica del electrón y 0

es la permitividad del vacío. a) Obtener lasexpresiones, en función del radio de la órbita,de las energías cinéticas, potencial y total. Laenergía total resulta negativa; ¿por qué? b) Ve-rificar el teorema del virial en este sistema.

10.26.- Expresar en función del tiempo lasenergías cinéticas y potencial correspondientesal sistema constituido por una masa m sujeta aun muelle de constante elástica k, que cumplela ley de Hooke. a) Calcular los valoresmedios de dichas energías en el transcurso deun periodo del movimiento. b) Verificar elteorema del virial en este sistema.

10.27.- Una partícula de masa m se mueve enuna trayectoria circular de radio R bajo laacción de una fuerza central atractiva directa-mente proporcional al cubo de la distancia alcentro de fuerza. a) Obtener la expresión de laenergía cinética de la partícula. b) Ídem de laenergía potencial. (Indicación: Utilizar elteorema del virial).

10.28.- Una partícula se mueve bajo la acciónen una fuerza central tal que F ∝ rn (n, real).a) Encontrar las expresiones de los valoresmedios de sus energías cinéticas y potencial enfunción de la energía total E. ¿Son válidasestas expresiones cualesquiera que sea el valorde E? b) Aplicar los resultados anteriores alcaso de una fuerza central inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia al centrode fuerzas. Analizar y discutir los resultados.

10.- trabajo y energía. - uco

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