1 transformación w = f(z) = 1/z en este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al...
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Transformación w = f(z) = 1/z
En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es:
),/1(),( rrUna inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x.
Las circunferencias de radio r se convierten en circunferencias de radio 1/r. En particular, una circunferencia de radio unidad permanece invariante.
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f(z) = 1/zEsquema de color dependiente del argumento
Dominio Rango
),/1(),( rr
Biyección
"We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor
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2222
2222
2222
;
:entesimétricamy
;
;1
);,(),(11
)(
yx
yv
yx
xu
vu
vy
vu
ux
vu
vi
vu
u
ivuiyx
yxivyxuiyxz
zf
Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.
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Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación f(z) = 1/z?
Es decir, un círculo de centro (1/(2c), 0) que pasa por el origen.El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.
22
222
2222
2222
2
1
2
1;0
;;
)valorcualquier(:esrtransformaarectaLa
;1
;11
)(
cv
cu
c
uvu
vu
vyc
vu
ux
ycx
vu
vi
vu
u
ivuiyxivu
iyxzzf
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recta una deecuación 0círculoun deecuación 0
),,,(0)( 22
aa
dcbadcybxyxa
Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta en el plano z en la forma:
0)(
0
0
;
0)(
22
22
2222
2
22
2
22
2222
22
acvbuvud
dvucvbua
dvuv
cvuu
bvuv
vuu
a
vuv
yvuu
x
dcybxyxa
Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:
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recta una deecuación 0círculoun deecuación 0
),,,(0)( 22
aa
dcbadcybxyxa
(1)a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro se transforman en círculos que no pasan por el centro.
(2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro se transforman en rectas que no pasan por el centro.
(3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro se transforman en círculos que pasan por el centro.
(4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman en rectas que pasan por el centro.
0)( 22 acvbuvudSe transforma bajo 1/z en:
De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z transforma círculos en círculos.
recta una deecuación 0círculoun deecuación 0 dd
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u = 1/a
u = -1/b
b = 0; u = -vb distinto de 0; en circunferencias.
v = -ku
circunf.
u2 = -v3 /(1+v)
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Transformaciones bilineales o de Möbius
),,,,0()( Cdcbabcaddcz
bazwzM
La transformación inversa estambién bilineal:
acw
bdwzwM
)(1
Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c. Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa.El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.
August Ferdinand Möbius (1790-1868)
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Cuando c 0, T(z) tiene un cero simple en z0 = −d/c, y entonces:
./)( osescribiremy
,/
/lim)(lim
entonces,0 además, Si, .)( osEscribirem
,)(lim
0
0
caTc
a
zdc
zbazT
czT
zT
zz
zz
Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i).
)( ,)(lim)(
,2)(lim)( ,)/(1)0(
iTzTiT
zTTiiT
iz
z
10
''
'
1''
''
)(
zc
adbc
c
a
zz
zcad
b
c
adczz
dczcad
b
c
a
cd
zc
cad
bcd
za
dcz
bazwzf
¿Cómo transforma la bilineal?
De modo que cualquier transformación bilineal puede obtenerse como una composición de una transformación lineal y una transformación 1/z.
Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de círculos y líneas en sí mismo.
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22:4
2
2
1
82)(
zC
zz
zzf
Re(z)2 4
)(4' traslaciónzz
Re(z')2 4 6 8
26' z
22 z
82)(
z
zzf
b) Determinar la imagen de la región , al considerar la transformación:
ExamenJUNIO 04/05: P-1
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16
1
16
3''
16
1
16
30112)(32
03212)(2)6(26'
0)(0)(
'
1''
22
222
22222
2222
z
vuuvu
xyxyxz
acvbuvuddcybxyxa
zz
Re(z'')3/16 1/4
16
1
16
3'' z
26':'
2
2
1
22:4
2
2
1
82)(
zCz
zCzz
zzf
Recordemos cómo actúa la inversión:
...exterior del círculo...
13
8
1
8
3'''
)homotecia(''2'''
z
zz
Re(z''')3/8 1/2
16
1
16
3''''2
2
1
26':'
2
2
1
22:4
2
2
1
82)(
zz
zCz
zCzz
zzf
...seguimos en el exterior del círculo...
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8
1
8
3
)claro módulo, el omanteniend
,180º afijos los todosde giro(''''''
Z
zezZ i
Re(Z)-3/8-1/2
8
1
8
1
)(2
1
w
traslaciónZw
Re(Z)1/41/8
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Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0. Encontrar la imagen del semiplano infinito superior bajo la transformación bilineal:
az
azw
Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el eje x, tenemos:
1||
||||||||
az
azwazaz
De modo que el eje x se transforma en el círculo unidad con centro en el origen.z = a se transforma en w = 0 (un punto interior del círculo).
La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.
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