1 resums dels temes · 2016. 6. 9. · 1. contingut del quadern 3 on ui v és el vector unitari que...

1 Resums dels temes

2 Quadern de fonaments físics de la informàtica

1.1 Fonaments d’electrostàtica 1.1.1 Càrregues puntuals Càrrega elèctrica La càrrega elèctrica és una propietat fonamental de la matèria. Hi ha dos tipus de càrrega: positiva i negativa. Dos cossos del mateix tipus de càrrega es repel·leixen, mentre que si tenen diferent tipus de càrrega, s’atrauen entre si.

Quantització de la càrrega elèctrica La càrrega elèctrica apareix sempre com a múltiple de la càrrega fonamental o quàntum elèctric. Aquest valor és e = 1.602177 x 10-19C, que és la carrega de l’electró en mòdul.

Principi de conservació de la càrrega elèctrica En tots els processos de la natura, la càrrega neta o total de un sistema aïllat es manté constant.

Llei de Coulomb La llei de Coulomb mostra la força elèctrica F que exerceix una càrrega puntual q sobre un altra q’:

r2u.

r

q.q'KF r

r=

On 0uv és el vector unitari que uneix la posició de la càrrega q amb la q’

separades per una distància r. Aquesta força és de tipus invers al quadrat de la distància, i és atractiva entre càrregues de signe oposat i repulsiva entre càrregues del mateix signe.

Quan volem calcular la força exercida sobre una càrrega q0 per un conjunt de n càrregues puntuals qi utilitzarem el principi de superposició: la força resultant sobre un objecte és la suma vectorial de les forces individuals exercides sobre la càrrega a estudiar.

Així: in

i i

in

ii u

r

qqKFF v

vr⋅== ∑∑

== 120

1

··

1. Contingut del quadern 3

On iuv és el vector unitari que uneix la posició de la càrrega qi amb la q0

separades per una distància r i.

Camp elèctric

Existeix un camp elèctric en qualsevol regió on la càrrega elèctrica en repòs experimenta una força. Aquesta és originada per la presència d’altres càrregues

en aquesta regió. El camp elèctric Erv

produït per una càrrega puntual o una

distribució de càrregues és la força exercida sobre un punt si en aquest punt trobàrem la càrrega unitat (q0 = 1 C).

El camp creat per una càrrega puntual q en un punt P que es troba a una distància r és:

rur

qKE r

r.

2=

Per a calcular el camp creat per un conjunt de càrregues puntuals qi en un punt P que es troba a distàncies r i de les diferents càrregues, tornem a aplicar el principi de superposició:

i

n

i i

in

ii u

r

qKEE v

rr⋅== ∑∑

== 12

1

·

Les característiques espacials d’un camp elèctric poden il· lustrar-se amb les línies de camp: lloc geomètric dels punts amb els quals la direcció del camp

elèctric Erv

és tangent. Les línies de camp elèctric parteixen de les càrregues

positives i finalitzen en les negatives.

Un camp uniforme té la mateixa intensitat, direcció i sentit en tots els punts de l’espai i es representa per línies de camp rectilínies, paral· leles i equidistants.

Potencial i diferència de potencial

La força elèctrica és conservativa. L’energia potencial d’una partícula de prova q0 en el camp creat per un conjunt de càrregues fixes qi s’expressa com:

∑∫=

∞⋅⋅=−=

n

i i

ir

P r

qqKldFE

10·

rr

(prenent l’origen de potencial, EP = 0 a l’infinit)


El potencial V produït per una càrrega puntual o una distribució de càrregues és l’energia potencial elèctrica en un punt P si en aquest hi haguera una càrrega unitat (1C).

Per una càrrega puntual en un punt P a una distància r:

r

qKV ⋅= (prenent V = 0 a l’infinit)

Per un conjunt de càrregues qi situades a les distàncies r i del punt P.

∑=

⋅=n

i i

i

r

qKV

1

(prenent V = 0 a l’infinit)

La diferència de potencial V∆ entre dos punts 1 i 2 està relacionada amb el treball W realitzat pel camp elèctric en desplaçar una càrrega de prova q0 del punt 1 al 2:

Relació entre el potencial i el camp elèctric Es compleix que ldEdV

rr·−= . Si es coneix l’expressió de E

r, pot obtenir-se

el potencial V en un punt P per mitjà de la integral de línia:

ldEVrr

·P

∫∞−=

Si es coneix V, el camp E es pot determinar mitjançant el gradient de V:

VE −∇=r

Si el camp elèctric és constant en direcció (per exemple, la X):

ixd

VdEX

rr⋅−=

Si el potencial només depèn del mòdul de rr :

rurd

VdE rr

⋅−=

Dipol elèctric

Un dipol elèctric està format per dues càrregues iguals i de signe oposat +q i –q separades per una distància d. El moment dipolar elèctric es defineix com:

pudqprrr ⋅⋅= , on pu

r és el vector unitari en la direcció de les càrregues i el

sentit de la càrrega negativa a la positiva.


El potencial d’un dipol elèctric varia amb l’invers del quadrat de la distància:

22

··

·cos·

r

upK

r

pKV p

rr

== θ

Quan situem el dipol en un camp elèctric, aquest tendeix a alinear el dipol

paral·lelament al camp. El dipol està en equilibri quan els vectorsEr

i pr són paral·lels. L’energia d’un dipol de moment dipolar pr situat en un camp

magnètic Er

és:

EpEprr·−=

Moviment de càrregues en camps elèctrics

Si la força elèctrica és l’única que afecta una partícula de massa m i càrrega q, la segona llei de Newton ens proporciona una acceleració:

mEqa /·rr =

Quan una partícula es mou en un camp elèctric uniforme, el seu moviment és descrit per la cinemàtica del moviment sota acceleració constant.

L’energia total d’una partícula de massa m i càrrega q que es mou en un camp elèctric és:

VqvmEEE PC ···2

1 2 +=+=

1.1.2 Distribucions contínues de càrrega

Densitat de càrrega Quan es vol calcular el camp elèctric en un punt P, produït per distribucions de càrrega contínues, es prenen elements de càrrega diferencial dq com càrregues puntuals, de manera que cada dq crearà un camp:

rur

dqKEd r

r··

2=

on r és el vector posició amb origen dq i final en P.

Utilitzant el principi de superposició, el camp total serà la suma vectorial dels Edr

creats per cada dq, és a dir:


∫∫ == rurdq

KEdE rrr

··2

Per a resoldre aquesta integral s’ha d’expressar dq en funció de les característiques de les distribucions de càrrega. Per això s’introdueixen les densitats de càrrega.

Densitat lineal de càrrega λ: Càrrega per unitat de longitud

λ = dqdl

⇒ dq = λdl

Densitat superficial de càrrega σ : Càrrega per unitat de superfície

σ = dqdS

⇒ dq = σdS

Densitat de càrrega de volum ρ: Càrrega per unitat de volum

ρ = dqdV

⇒ dq = ρdV

Si les distribucions de càrrega són uniformes, aleshores:

λ = dqdl

, σ = dqdS

, ρ = dqdV

Sent Q la càrrega total de la distribució i L, S o V la longitud, superfície o volum totals, respectivament.

Llei de Gauss Flux del camp elèctric: es defineix el flux del camp elèctric a través d’una superfície S com la integral del vector camp elèctric estesa a tota la superfície:

∫= SE SdErr

·φ

Quan es calcula el flux a través d’una superfície tancada, aquesta es denomina superfície gaussiana. Les línies de camp poden ser utilitzades per a visualitzar el flux a través de la superfície. El flux total pot ser positiu, negatiu o zero. Per conveni, el sentit del vector superfície d’una superfície tancada es pren cap a fora d’aquesta, per la qual cosa, quan SdE

rr· és positiu, el flux ix, i quan és

negatiu, entra.

La llei de Gauss per al camp elèctric estableix que el flux elèctric a través d’una superfície tancada és igual a la càrrega elèctrica neta tancada dins de la superfície dividida per ε0:

00

·εε

φ eS

eE

qSdE

q=→= ∫

rr


En electroacústica la llei de Gauss és equivalent a la llei de Coulomb. La llei de Gauss pot ser utilitzada per a calcular el camp elèctric produït per distribucions de càrrega que posseeixen simetries. El pas crucial és la selecció de la superfície gaussiana.

Càrrega esfèrica. Quan la distribució de càrrega té simetria esfèrica i és uniforme si està distribuïda en superfície, i uniforme o funció del radi si és distribuïda en volum, podem aplicar la llei de Gauss per a calcular el camp elèctric tant en punts interiors com exteriors. En tots els casos es pren una superfície gaussiana esfèrica que continga el punt on es vol calcular el camp i el centre en la distribució de càrrega, per la qual cosa el radi de la superfície gaussiana r serà la distància del centre de la distribució al punt en qüestió.

En tots els casos la primera part de la llei de Gauss ens condueix a:

r E ⋅ d

r S = E.4π r 2

S∫

I el problema es limita a calcular la càrrega tancada dins de la superfície gaussiana triada.

Exemples:

Càrrega Q, uniforme en superfície esfèrica de radi R:

rine

ine

ur

QkEQqRr

EqRr

rr

r

··,

00,

2=→=>

=→=<

Càrrega Q, uniforme en esfera de radi R:

rine

ine

ur

QkEQqRr

ER

rQqRr

rr

r

··,

0·

,

2

3

3

=→=>

=→=<

Càrrega lineal. Si disposem d’una distribució de càrrega infinita i densitat λ uniforme, podem utilitzar la llei de Gauss per a calcular el camp creat en un punt P que es troba a una distància r de la distribució. Triem la superfície gaussiana cilíndrica que continga el punt en la seua superfície lateral. El radi de la base del cilindre ha de ser, per tant, r, i la seua altura h, arbitrària. Així:

r E ⋅ d

r S = E⋅ 2πr⋅ h i qe = λhS∫

El mòdul del camp elèctric serà:

E =λ

2πε0r

Pla. Si disposem d’un pla infinit amb densitat superficial de càrrega σ uniforme, podem utilitzar la llei de Gauss per calcular el camp creat en un punt


P pròxim a la distribució. Triem una superfície gaussiana cilíndrica que talle el pla de manera que les bases del cilindre queden paral·leles al pla i que continga el punt en una de les seues bases. Així:

r E ⋅ d

r S = E⋅ SC i qe = σSCS∫

On SC és la superfície de la base del cilindre. Per tant, el mòdul del camp elèctric serà:

E =σ

2ε0

1.1.3 Propietats electrostàtiques dels conductors

Un material conductor que es troba en equilibri electrostàtic presenta les propietats següents:

o El camp elèctric al seu interior és zero. o La càrrega elèctrica neta del conductor es troba distribuïda sobre la

superfície. o El camp elèctric en punts pròxims a la superfície del conductor és

perpendicular a aquesta i el seu mòdul val:

E =σε0

o Tots els punts del conductor es troben al mateix potencial. Per això, un conductor en equilibri electrostàtic constitueix una superfície equipotencial.

9

1.2 Condensadors i corrents elèctrics 1.2.1 Condensadors. Camp elèctric en la matèria i energia del camp

Condensadors

Un condensador és un dispositiu elèctric utilitzat en els circuits per emmagatzemar la càrrega i l’energia elèctrica. Està format per dues plaques conductores separades per un dielèctric. Un condensador es caracteritza per la seua capacitat C definida com la relació entre la càrrega neta emmagatzemada Q i la diferència de potencial entre les seues plaques V:

V

QC =

En el SI la capacitat es mesura en faradays (1 F = 1 C/V). La capacitat depèn del disseny geomètric del condensador i de la natura del dielèctric que hi ha entre les plaques o armadures. Per a un condensador de làmines planoparal·leles de superfície S separades per una distància d i buit entre les plaques:

C =ε0⋅ S

d

Un condensador cilíndric de radi intern Ra i extern Rb i longitud L té com a capacitat:

)/ln(

·2 0

ab RR

LC

επ=


Associació de condensadors:

En sèrie : ∑=i iT CC

11

En paral·lel: ∑=i

iT CC

Propietats electrostàtiques dels dielèctrics

Hi ha dielèctrics apolars i polars. En els primers, les molècules no tenen moment dipolar elèctric, mentre que en els segons les molècules tenen un moment dipolar elèctric permanent.

Quan es col·loca un dielèctric apolar en un camp elèctric, com el que hi ha entre les plaques d’un condensador, sorgeix sobre els seus àtoms o molècules un moment dipolar induït, convertint aquests en dipols orientats en la direcció del camp. Això fa que sobre la superfície del material polaritzat aparega una densitat superficial de càrrega lligada o densitat de càrrega de polarització σd.

El camp elèctric en l’interior d’un condensador amb dielèctric entre les plaques és:

E = E0 − Ed =σ − σd

σ0

On E0 és el camp sense dielèctric i Ed és el camp creat per la densitat superficial de càrrega existent en les superfícies del dielèctric.

Quan s’introdueix un dielèctric entre les plaques d’un condensador que estava buit, la capacitat augmenta de manera que:

0·CkC =

Mentre que la diferència de potencial i el camp elèctric disminueixen:

k

EEi

k

VV 00 , ==

On k és la constant dielèctrica del material.

1. Resums dels temes 11

La relació entre la constant dielèctrica d’un material i les densitats superficials de càrrega σ i σd és:

( )k

kd

σσ 1−=

Un medi dielèctric té una permitivitat elèctrica, i la seua permitivitat relativa és:

kr ==0ε

εε

Energia del camp elèctric

L’energia d’un condensador és l’energia potencial de les càrregues que hi ha entre les plaques:

22

·2

1

2

1·

2

1VC

C

QVQU ===

Quan s’associa aquesta energia amb el camp elèctric, la densitat d’energia uE (energia per unitat de volum) a l’espai ocupat pel camp (al buit) és:

20 ··2

1EuE ε=

En un medi material es pot substituir ε0 per ε. L’energia elèctrica total U en un volum V es calcularà mitjançant la integral:

∫= V E dVuU ·


1.2.2 Corrents elèctrics Moviment de càrregues a través d’un conductor Un material conductor es caracteritza per disposar de portadors de càrrega que es mouen amb relativa llibertat en l’interior del material. Quan establim una diferència de potencial entre dues regions d’un conductor s’origina un camp elèctric al seu interior, i això origina que es moguen els portadors de càrrega.

El terme corrent elèctric, en el sentit més ampli, s’utilitza per descriure, el flux de càrrega a través d’una certa regió d’espai.

En moltes situacions el flux de càrrega té lloc en materials sòlids on els portadors de càrrega lliures són els electrons (metalls). L’exemple més comú de material conductor és el coure, àmpliament utilitzat en la confecció de circuits elèctrics.

Per quantificar el flux de corrent, suposem que els portadors es mouen perpendicularment a una superfície d’àrea S (per exemple, una secció transversal d’un fil conductor). Es defineix la intensitat de corrent com la velocitat amb què la càrrega elèctrica travessa aquesta superfície. Si ∆Q és la quantitat de càrrega que travessa aquesta àrea en un interval de temps ∆t, la intensitat de corrent en aquest interval de temps és:

t

QI

med ∆∆=

La intensitat de corrent instantània és:

[ ] [ ]AC/slím0

≡=∆∆

=→∆ dt

dQ

t

QI

t

Malgrat que I és un escalar, es parla de sentit del corrent, que per conveni és el moviment dels portadors de càrrega positius (oposats al flux dels electrons en el conductor).

Velocitat d’arrossegament, densitat de corrent Si apliquem un camp elèctric (que suposem uniforme) a l’interior d’un conductor, apareix una força sobre cadascuna de les partícules carregades que el componen. En un metall, els elements amb càrrega positiva (ions) constitueixen una xarxa fixa (xarxa iònica) i, encara que es desplacen


lleugerament per l’acció de la força, es mantenen lligats entre si. Mentre que els electrons lliures es mouen a l’interior del material actuant sobre els portadors de càrrega, aquests es mourien amb acceleració constant (ja que hem suposat E

r uniforme), però els electrons interaccionen en el seu moviment amb

la xarxa iònica del metall per la qual cosa cada portador té un complex moviment en zig-zag pel material. No obstant això, estadísticament el conjunt de portadors es mou amb una velocitat mitjana concreta i el seu mòdul és la velocitat d’arrossegament (va). La relació entre la velocitat d’arrossegament i la intensitat de corrent és:

avSqnI =

On n és el nombre de portadors per unitat de volum, q la càrrega de cada portador i S la secció del conductor. Densitat de corrent. Magnitud vectorial que proporciona la quantitat de corrent per unitat d’àrea normal a la direcció dels portadors.

udS

dIj

n

rr ⋅=

On u

r és un vector unitari en la direcció del moviment de càrregues i sentit

del desplaçament de les càrregues positives. Considerant un Sd

ramb qualsevol orientació podem posar:

∫ ⋅=→⋅= S SdjISdjdIrrrr

Com que dSn és la projecció de Sd

r sobre un pla perpendicular a la direcció

del moviment de càrregues i si a més a més la densitat de corrent és uniforme, el seu mòdul és:

a

n

vqnS

Ij ==

També podem escriure:

avqnjrr =

Efecte Hall L’efecte Hall ens permet determinar el signe i la concentració de portadors en els elements per on circula un corrent elèctric (materials conductors i semiconductors). Quan apliquem un camp magnètic B en la direcció perpendicular a un corrent elèctric I que circula per una cinta d’espessor a i alçada d, sobre els portadors de càrrega apareix una força magnètica que els desplaça en direcció perpendicular al pla format pel camp magnètic i el corrent. La separació de càrregues origina un camp elèctric (camp Hall, EH) i entre la part superior i inferior de la cinta (paral·leles a la direcció de B) s’estableix una diferència de potencial, potencial de Hall:


dBvdEV aHH == .

Si mesurem el potencial Hall podem conèixer el signe dels portadors i determinar-ne la concentració n, a partir de l’expressió:

a

BIEV HH

⋅=

On RH és la constant Hall, aquesta constant pren el següent valor per un conductor:

enRH ⋅

−= 1

e és la càrrega de l’electró en valor absolut i n la concentració de portadors dins del material. Gràcies a l’efecte Hall es va poder demostrar que les càrregues mòbils al si dels conductors són els electrons. Resistivitat, resistència i llei d’Ohm Si apliquem una diferència de potencial V entre els extrems d’un tros de conductor, es produirà un corrent I. El valor de V necessari per a produir un corrent donat depèn d’una propietat del tros en particular del material. Aquesta propietat es denomina resistència elèctrica R, que definim com:

I

VR =

La resistència elèctrica és una mesura de l’oposició que exerceix un tros de material al flux de càrrega a través seu. En el SI R s’expressa en ohms (Ω).

Per a molts conductors, el corrent que circula per una secció és directament proporcional a la diferència de potencial aplicat entre els extrems. Així si, per exemple, es duplica V, també es duplica I. En aquest cas podem afirmar que R és independent de V i I :

RIV ⋅= (amb R constant)

L’anterior equació es coneix com llei d’Ohm , encara que més que una llei es tracta d’una expressió empírica que descriu el comportament de molts materials dins d’un rang de valors de V utilitzats en circuits elèctrics.


Els materials que compleixen la llei d’Ohm es denominen òhmics. Aquests materials es caracteritzen per tenir un valor únic de la resistència per a una temperatura donada. La corba V davant de I és una recta amb pendent R.

La resistència d’un tros de conductor depèn de la seua forma, grandària i composició. Experimentalment pot comprovar-se que, per a un determinat material conductor, la seua resistència és proporcional a la seua longitud l i inversament proporcional a la sua secció S. El factor de proporcionalitat es denomina resistivitat (ρ) del material, la qual és una característica del mateix material i només depèn de la seua composició:

S

lR ⋅= ρ

ρ s’expressa en Ω m.

La resistivitat de molts metalls purs varia quasi linealment amb la temperatura per un ampli rang de valors:

[ ]00 (1 TT −+≈ αρρ

on ρ0 és la resistivitat a una temperatura de referència T0 i α el coeficient tèrmic de la resistivitat. Per a materials conductors α > 0, això indica que augmenta la resistivitat amb la temperatura (la major agitació tèrmica provocada en els elements que componen la xarxa iònica del metall incrementa la dificultat perquè els portadors de càrrega es desplacen pel material, i això fa que augmente la resistivitat).

La llei d’Ohm també pot escriure’s de forma general com:

Ejrr

⋅= σ

El factor de proporcionalitat entre densitats de corrent i el camp elèctric aplicat es denomina conductivitat del material σ. Un material serà òhmic si la seua conductivitat és independent de E

r. Si un material té major conductivitat que

un altre, la densitat de corrent serà major que en el primer per a un mateix camp elèctric aplicat. Així doncs, la conductivitat d’un material és una mesura de com flueixen els portadors de càrrega pel material.

Per a un conductor homogeni amb jErr

i uniformes en tot el volum: lVESIj /i/ ==


ρ

σ 1/

/ =⋅

===⇒SR

l

lV

SI

E

j

Potència elèctrica Per a mantenir un corrent elèctric és necessari un subministrament d’energia, ja que les càrregues han de ser accelerades pel camp elèctric. L’energia per unitat de temps o potència requerida per a mantenir un corrent I és:

VIP ⋅= P en el SI s’ expressa en watts (W). Per a conductors que compleixen la llei d’Ohm, V = I⋅R, aleshores:

RIP ⋅= 2 L’expressió anterior es coneix com llei de Joule. Quan apliquem una diferència de potencial V entre els extrems d’un conductor els portadors de càrrega adquireixen una energia potencial elèctrica. Els portadors comencen a moure’s perdent l’energia en les col·lisions que pateixen amb els elements que formen la xarxa iònica del material (aquestes col· lisions són les responsables de la resitència elèctrica del material). Si la temperatura del material augmenta per damunt de la de l’entorn es transfereix calor. En altres paraules, l’energia es dissipa en forma de calor en la resistència del material (també: energia dissipada per efecte Joule).


1.3 Fonaments del camp magnètic

Camp magnètic natural i imants Hi ha certs minerals que presenten la propietat de atraure el ferro. No se sap quan s’advertí aquesta propietat, però sabem que els grecs la coneixien. El fenomen va ser estudiat per Tales de Milet (624-546 a.C.), que ens parla sobre l’existència d’un òxid de ferro que atreia el ferro depenent de la distància entre les dues substàncies. Aquest mineral, que va ser localitzat prop de la ciutat de Magnèsia (Àsia Menor), es va anomenar pedra de Magnèsia (magnetita), i el fenomen, magnetisme.

Més avant ens adonàrem que si un tros de ferro es fregava amb el mineral magnètic (imant) prenia les seues propietats temporalment. Es va descobrir també que si es permetia girar lliurement una agulla magnètica sempre assenyalava la direcció nord. En 1180, l’anglès Alexander Neckam va ser el primer europeu a assenyalar aquesta propietat del magnetisme. El dispositiu que ideà contenia una agulla magnètica sobre una targeta marcada amb diverses direccions, per les quals es pot moure lliurement; se l’anomenà brúixola. A partir de l’any 1200 es generalitza la brúixola a Europa.

En el 1269 Pierre de MariCourt va descobrir mitjançant diverses experiències que els materials imantats presentaven major activitat en llocs determinats (pols), generalment en els extrems, fet que revelava que tot imant té dos pols diferenciats que coneixem com nord i sud. La interacció entre dos pols iguals és de repulsió i la de dos pols diferents és d’atracció. No existeixen els monopols magnètics, sempre apareixen els pols N i S per parelles.

El primer estudi sistemàtic del magnetisme apareix en el 1600, any en què el metge anglès William Gilbert (1544-1603) va publicar De Magnete ("Sobre el Magnet"), obra escrita en llatí i dividida en sis llibres. A Gilbert li devem la noció (ara sabuda) que la propietat misteriosa de l'agulla de la brúixola d'apuntar cap al nord prové del fet que la mateixa Terra és un enorme imant, i és reconegut com el pare fundador de l'estudi del geomagnetisme. A partir dels estudis de Gilbert es dissenyen els primers mapes magnètics. Humboldt, i després Gauss i Mascart van donar la seua forma clàssica al magnetisme terrestre. Per la seua banda, Charles de Coulomb (1736-1806) va demostrar, mesurant les forces d'atracció i repulsió dels pols d'un imant, que podien aplicar-se al magnetisme la major part dels resultats teòrics de l'electrostàtica. Coulomb va confirmar que la força magnètica variava en proporció a 1/r2. Fins a l'any 1820, l'únic tipus de magnetisme conegut era el magnetisme permanent: imants naturals (magnetita) i el del ferro magnetitzat; a més del fet que la Terra era un enorme imant.


Al juliol d'aquell any es publica la famosa experiència d'Oersted: la desviació que experimenta una agulla magnètica situada en les proximitats d'un conductor elèctric, arran de la qual, es posa de manifest que les interaccions elèctrica i magnètica estan estretament relacionades, i constitueixen dos aspectes diferents d'una mateixa propietat de la matèria: la seua càrrega elèctrica.

El magnetisme és una manifestació de les càrregues elèctriques en moviment respecte a l'observador. Per aquesta raó, les interaccions elèctrica i magnètica han de considerar-se juntes amb el nom d'interacció electromagnètica.

Moviment de càrregues en camps magnètics El camp magnètic B

r en un punt de l'espai es defineix en funció de la força

magnètica exercida sobre una partícula de càrrega q i velocitat vr en aquest

punt: BvqFrrr ×⋅=

La direcció de la força magnètica és perpendicular al pla definit pels vectors v

r i Br

. Com la força magnètica és perpendicular al vector velocitat, el seu treball en moure la càrrega és zero, per la qual cosa es manté constant l'energia cinètica de la partícula. Açò implica que el mòdul del vector velocitat es manté constant quan la partícula es mou al si d'un camp magnètic, encara que canvia la seua direcció i sentit. Si la partícula es mou en una regió on hi ha un camp elèctric i un camp magnètic, la força total sobre la partícula es coneix com força de Lorentz:

( )BvEqF rrrr ×+⋅=

Les característiques espacials d'un camp magnètic poden il· lustrar-se amb línies de camp magnètic, que són tangents en cada punt a la direcció de B

ren

aquell punt. Les línies del camp magnètic naixen en el pol nord i finalitzen en el pol sud, i són tancades sobre si mateixes a causa de la inexistència de monopols magnètics. Si una partícula carregada es mou amb velocitat v (v


Bm

qw

rr ⋅−=

Si el camp magnètic és uniforme però la velocitat de la partícula no és perpendicular al camp, la partícula descriurà una hèlice de radi i pas constant. Si el camp magnètic no és uniforme i la velocitat de la partícula no és perpendicular al camp, la partícula descriurà una hèlice de radi i pas variable, disminuint aquests a mesura que augmenta la intensitat del camp magnètic. Espectròmetre de masses: S'utilitza per a separar ions de la mateixa càrrega i diferent massa. Determinació de la càrrega-massa de l'electró (Thomson): S'utilitza un tub de rajos catòdics i un camp elèctric E i un altre magnètic B perpendiculars com a selector de velocitat. Només les partícules amb velocitat:

BEv /= passaran a través de la regió dels camps sense desviar-se’n. El ciclotró: És un accelerador de partícules carregades format per dos conductors buits en forma de D i entre els quals s'aplica una tensió alterna de freqüència angular, la freqüència ciclotrònica.

Camps magnètics produïts per corrents. Llei de Biot-Savart L'experiència d'Oersted va posar de manifest que les càrregues en moviment produeixen camps magnètics en el seu entorn. Un conjunt de càrregues en moviment, com el que es produeix en un conductor pel qual circula un corrent elèctric, origina un camp magnètic que pot determinar-se a partir de la llei de Biot-Savart (determinada de forma empírica):

v B =

µ04π

I dr

l ×r u r

r 2∫

µ0 és la permeabilitat del buit (4π.10-7 m kg C-2).

Per un corrent rectilini i indefinit, a una distància r del conductor, el mòdul del camp val:

B =µ0⋅ I2π r

sent les línies de camp circumferències concèntriques amb el corrent rectilini, situades en un pla perpendicular a aquest corrent.


El mòdul del camp magnètic creat per una espira circular de radi R, que transporta un corrent i, en un punt del seu eix a una distància d del seu centre és:

R

IB

20 ⋅=

µ

On la seua direcció és perpendicular a l'espira. En aquests dos casos, corrent rectilini i espira, el sentit de les línies de camp ve determinat per la regla de la mà dreta, posant el dit polze en el sentit del corrent (la resta de dits marquen el sentit del camp).

Llei de Gauss per al camp magnètic Es defineix el flux del camp magnètic a través d'una superfície S com la integral de superfície del vector camp magnètic estesa a tota la superfície:

∫ ⋅= SB SdBrr

φ La Llei de Gauss per al camp magnètic estableix que el flux magnètic a través d'una superfície tancada és nul, d'acord amb la inexistència de monopols magnètics (les línies de camp són tancades sobre si mateixes, i no tenen origen ni fi):

0=⋅= ∫SCB SdBrr

φ

Llei d’Ampère La llei d'Ampère estableix que la circulació del camp magnètic al llarg d'una línia tancada L que enllaça els corrents I

1, I

2, I

3, ... depèn únicament dels

corrents que travessen una superfície delimitada per la línia tancada:

∫ ⋅=⋅ eIldB 0µrr

on Ie = I1 + I2 + I3 + ... és el corrent enllaçat per la línia tancada L. Quan s'aplica la llei d'Ampère utilitzem la regla de la mà dreta per a determinar el signe del corrent. Seguint el sentit de la trajectòria amb el polze, un corrent és positiu si travessa la superfície definida per la trajectòria en el sentit que marquen la resta dels dits, i negatiu en cas contrari. La llei d'Ampère pot usar-se per a obtenir el camp magnètic produït per distribucions de corrent amb gran simetria. El camp magnètic en l'interior d'un solenoide llarg de voltes estretes, amb n voltes per unitat de longitud i pel qual circula un corrent i, ve donat per:


InB 0µ=

Forces sobre corrents La força produïda per un camp magnètic uniforme sobre un tros recte de conductor, per on circula un corrent, ve donada per:

BlIFrrr

×⋅=

En general, la força magnètica sobre un tros de conductor pel qual circula un corrent elèctric és:

∫ ×⋅= L BldIFrrr

Forces entre corrents El mòdul de la força per unitat de longitud que exerceixen entre si dos conductors rectilinis indefinits, paral· lels i separats una distància d, pels quals circulen corrents d'intensitats I

1 i I

2 ve donada per:

f =F

l=

µ0 I1⋅ I22π d

Les forces són atractives si els dos corrents circulen en el mateix sentit, i repulsives si l’un circula en sentit contrari a l'altre. L'ampere, unitat de corrent elèctric, es defineix en funció de la força per unitat de longitud entre els conductors.

Dipol magnètic Si una espira per la qual circula un corrent es troba al si d’un camp magnètic uniforme, el moment de forces que exerceix el camp sobre el circuit és:

r τ = I⋅

r S ×

r B

on S

r és el vector de l'àrea plana tancada per l'espira. La seua direcció és

perpendicular al pla de l'espira i el seu sentit ve determinat per la regla de la mà dreta. Una espira per la qual circula corrent és un imant amb els pols nord i sud continguts en l'àrea plana tancada per l'espira (cada u en una de les seues cares), constitueix per tant un dipol magnètic, per al qual es pot definir un moment dipolar magnètic com:


SImrr ⋅=

D'aquesta manera, el moment de les forces sobre un dipol magnètic immers en un camp B

r pot expressar-se:

r τ = r m ×

r B

Aquest dipol té una energia potencial:

BmEP

rr ⋅−=

Magnetització

La magnetització →M descriu l’estat de magnètic d’un material i és una

magnitud vectorial definida com el moment dipolar magnètic per unitat de volum:

dV

mdM

→→

=

La magnetització té dimensió de corrent per unitat de longitud i al sistema internacional es mesura en A/m. Si disposem d’un solenoide amb un medi material al seu interior, el camp magnètic B dins del solenoide depèn del corrent que circula per les espires i de la magnetització que abaste la substància. Podem definir el vector intensitat magnètica o camp magnetitzant com:

[ ]mAMBH /0

→→

→−=

µ

D’aquesta forma, B en l’interior del material és:

+=→→→MHB 0µ

En un medi lineal, amb permeabilitat magnètica µ aquesta relació pot expressar-se com:

→→= HB µ

Si en el interior del solenoide no existeix cap medi material, M=0 i B= µH. I com per la llei d’Ampère B=µ n I dins d’un solenoide, obtenim que:

H= n I És a dir, que H únicament depèn del corrent que circula pel solenoide i no depèn del medi material que existeix al seu interior.


1.4. Inducció electromagnètica

Llei de Faraday-Henry. Llei de Lenz En una espira conductora s'indueix un corrent quan varia el flux del camp magnètic que la travessa. La força electromotriu induïda en una espira simple ve donada per la llei de Faraday-Henry:

ε = dφdt

Per a determinar el sentit del corrent s’ha de recórrer a la llei de Lenz, d'acord amb la qual el sentit del corrent induït és tal que s'oposa al canvi de flux que el produeix. Si afegim aquest criteri, la força electromotriu induïda s'expressa com:

ε = − dφdt

Força electromotriu que també pot expressar-se en funció del camp elèctric produït pel flux magnètic variable:

ε =r E ⋅ d

r l

l

∫ Aquest camp elèctric E

r, a diferència del camp elèctric produït per càrregues

puntuals o distribucions de càrrega, és un camp no conservatiu , perquè el seu treball al llarg d'una línia tancada és distint de zero. Podem escriure també la llei de Faraday-Henry, incloent la llei de Lenz, en la forma:

( )∫∫ ⋅−=⋅ Sl

SdBdt

dldE

rrrr

Una de les formes més comunes d'obtindre corrent induït en una espira, o conjunt d'espires, és a través del moviment. Aconseguim d'aquesta manera transformar energia mecànica en energia elèctrica. Per exemple: - Podem aconseguir que varie el flux magnètic canviant la superfície d'una

espira que és travessada per les línies de camp d'un camp magnètic. Per a això s'introdueix o s'extrau amb velocitat v una espira rectangular, d'amplària l, en un camp magnètic uniforme B

r, perpendicular a la

superfície de l’espira. La força electromotriu induïda en aquest cas és:

ε = B ⋅ l ⋅ v

- També s'obté variació de flux en un circuit canviant l'orientació d'un camp magnètic B

r respecte al vector superfície S

r que defineixen les espires.

En un generador es fa girar una bobina dins d'un camp magnètic uniforme. En un alternador la força electromotriu s'indueix en bobines estàtiques a causa d'un imant giratori.


Generadors de corrent altern Un corrent altern és aquell que inverteix el seu sentit periòdicament. El cas més senzill es correspon amb una intensitat que és funció sinusoïdal del temps, en la forma:

( )wtII sin0= On I0 és l'amplitud (intensitat màxima) i w la velocitat angular. Per a generar un corrent d'aquestes característiques només cal fer girar N espires de superfície S, amb velocitat angular constant w, dins d'un camp magnètic uniforme B. Així, el flux magnètic que travessa la superfície de les espires serà:

wtNBS cos=φ

I la fem induïda:

ε = − dφd t

= NBS wsin wt( )

En el cas més general, si ϕ és l'angle que formen el camp B i el vector superfície de les espires en l'instant inicial, la fem alterna instantània seria:

ε = ε0 sin(wt +ϕ)

Amb:

ε0 = NBS w; w =2πT

; T =1

f; w = 2πf

On T és el període (temps que les espires tarden a donar una volta completa) i f la freqüència (nombre de voltes per segon que donen les espires).

Autoinducció

Quan el corrent que circula per un component d'un circuit, com una bobina, varia, apareix una força electromotriu autoinduïda que ve donada per:

ε = − L dIdt

on L és el coeficient d'autoinducció de la bobina, que depèn de la seua geometria i del material present en el seu interior (nucli). En el SI L es mesura en henrys (1 H = 1 T m-2 A). El flux magnètic a través de les espires d'una bobina pot expressar-se en funció de la intensitat que circula per aquesta, com:

ILB

⋅=φ En un solenoide amb N espires, longitud l, secció S, amb aire o buit en el seu interior i suposant que el camp magnètic (B = µ0 n I) és constant en tots els seus punts,


φ B = NBS = N µ 0 (N/l)I S = µ 0N 2 IS

l

El seu coeficient d’autoinducció és:

lSnµl

SNµ

IL B 20

2

0 ===φ

Associació d’autoinduccions: Autoinduccions en sèrie : ∑=

iie

LL

Autoinduccions en paral·lel :

∑=i

ieLL

11

Energia del camp magnètic. Densitat d’energia L’energia emmagatzemada en una autoinducció L per on circula un corrent I és:

2

2

1ILU ⋅=

Aquesta energia està emmagatzemada en el camp magnètic produït pel corrent. La densitat d’energia (energia per unitat de volum) d’aquest camp magnètic és:

uB =1

2⋅

B 2

µ 0

En general, conegut el camp magnètic en una determinada regió de l'espai, amb l'expressió anterior podem obtindre la densitat d'energia magnètica (si en compte d'aire o buit tenim un altre medi material lineal cal canviar µ0 per la corresponent permeabilitat µ) i calcular l'energia associada a qualsevol volum V dins d'aquesta regió, per mitjà de la integral:

dVuUBVB ∫=

Lectura d'informació en suports magnètics El procés d’enregistrament d'informació binària en suports magnètics, comentat en el tema anterior, resultava relativament senzill. Només cal aplicar corrents en un o un altre sentit en el cap d'escriptura (bobina) perquè els dominis del material ferromagnètic que serveix com a suport, pròxim al capçal d'escriptura, s'orienten en un sentit o el contrari. D'aquesta manera es diferencien dos estats que identifiquem amb el zero i l’u lògics. Aquests


corrents poden aconseguir-se aplicant al capçal d'escriptura potencials V+ i V-, identificats amb la informació digital que es vol enregistrar. La figura següent mostra un exemple sobre com quedarien disposats els dominis magnètics en l’enregistrament d'un byte (1011 0010), utilitzant per a l'u lògic un corrent I+ que crea un camp magnètic en el cap d'escriptura dirigit cap amunt i un corrent i- (amb el mateix valor però de sentit contrari) per al zero lògic.

No obstant això, la lectura d'informació enregistrada en un suport magnètic presenta més complexitat i el corrent de lectura difereix substancialment de la que s'utilitza per a enregistrar. El corrent de lectura s'obté per inducció, i el capçal de lectura (pot utilitzar-se la mateixa bobina usada per a enregistrar), en desplaçar-se pel suport magnètic, només registrarà corrent quan es produïsca una variació del flux del camp magnètic a través d’aquell, és a dir, s'induirà corrent únicament quan hi haja un canvi d'orientació en els dominis magnètics. La figura següent mostra el corrent registrat en el capçal de lectura quan llegim el byte enregistrat en l'exemple anterior: un corrent I+, que crea un camp magnètic en el cap d'escriptura dirigit cap amunt, i un corrent I- (amb el mateix valor però de sentit contrari) per al zero lògic.

En l'exemple s'ha suposat que el domini anterior al primer u lògic no estava orientat. Com pot observar-se, el corrent de lectura està compost per una sèrie de polsos, a partir dels quals podem distingir transicions d'u a zero lògics (pols I+) i transicions de zero a un lògics (pols I-) Encara que amb aquest procediment es pot enregistrar i llegir en suports magnètics, no és recomanable. Considerem la situació en què es disposa de diversos zeros o uns lògics consecutius (situació prou probable perquè moltes zones d'un disc estan omplides amb el valor hexadecimal FF). Davant d'aquesta circumstància el capçal de lectura passaria per zones

Corrent d’escriptura

Dominis magnètics

I +

Corrent de lectura

I -

1 1 1 1 0 0 0 0

Dominis magnètics


corresponents a diversos bytes sense registrar cap tipus de corrent i podria perdre fàcilment el sincronisme i errar en la lectura. Una forma senzilla de pal·liar aquesta circumstància, encara que evidentment en l'actualitat hi ha mètodes molt més sofisticats per a enregistrar i llegir informació sobre suports magnètics, consisteix a utilitzar com a corrent d'escriptura un senyal amb retorn a zero. Per exemple, podem representar un 1 lògic per un senyal que canvia de V- a V+ en el temps mitjà del bit, i un zero lògic per un senyal que canvia de V+ a V- en el temps mitjà del bit, tal com mostra la figura següent.

Açò és una manera d'escriure el rellotge junt amb la informació (procediment que també s'utilitza en la transmissió de dades) perquè, en el temps mitjà de cada bit, hi ha un retorn per zero del senyal que el representa (rellotge) independent del seu valor (zero o un lògic). Així s'assegura el sincronisme en la lectura (o en la recepció de dades) de manera eficient. Utilitzant un codi de retorn a zero per a representar la informació binària, els corrents d'escriptura i lectura i l'orientació dels dominis magnètics en el suport de la informació quedarien com es mostra en la següent figura.

V+

V+

V-

V-

0 lògic

Temps

de bit

Temps

de bit

1 lògic

0 0 1 0 0 1 1 1

1 1 1 1 0 0 0 0

I +

I -

Dominis magnètics

Corrent d’escriptura

Corrent de lectura

I +

I -


Pot observar-se que en el corrent de lectura sempre hi ha un pols en el temps mitjà de cada bit (positiu si es tracta d'un zero lògic i negatiu si és un u lògic) i, a més, hi ha un doble control perquè si un bit no canvia respecte al seu precedent apareix un doble pols en el temps total d'un bit (positiu i després negatiu si es repeteix un un lògic i negatiu i després positiu si es repeteix un zero lògic). En transmissió de dades, perquè el receptor sincronitze adequadament la informació que ha de rebre, s'envia una seqüència 010101010101..., fins que s’envia el guió (generalment un byte 7E en hexadecimal) que delimita l'inici de les dades. És fàcil apreciar que amb una seqüència 01010101..., s'està realment enviant el pols de rellotge, amb la qual cosa el receptor pot ajustar adequadament el temps de bit i corregir si hi haguera un xicotet desfasament entre el rellotge de l'emissor i el receptor. Encara que els rellotges dels sistemes informàtics siguen molt precisos, quan es transmet o s’enregistra i es llig a altes velocitats és necessari prendre aquest tipus de precaucions, entre altres, per a evitar errors.


1.5 Circuits de corrent continu Generadors Per a mantenir els portadors de càrrega circulant per un circuit cal un dispositiu, generador, que subministra energia. Els generadors transformen energia química (bateria), energia mecànica (dinamo), lluminosa (cèl· lula fotovoltàica), etc. en energia elèctrica. Un generador realitza treball sobre la càrrega que passa per ell, augmentant la seua energia potencial elèctrica. La fem (força electromotriu) εεεε d’un generador no és en realitat cap força, sinó l’energia subministrada pel generador per a moure una unitat de càrrega al voltant del circuit. Aleshores té dimensions de potencial (volts). Es defineix com l’increment d’energia potencial per unitat de càrrega.

Q

U

∆∆=ε

En un generador el born que està a major potencial V+ és l’ànode o pol positiu, i el que està a menor potencial és el càtode o pol negatiu. La diferència de potencial entre dos borns del generador es correspon amb la seua força electromotriu quan no circula corrent a través seu. Si el generador està subministrant corrent a un circuit, cal tenir en compte la seua resistència interna, r. Per causa d’aquesta resistència interna es dissipa energia per efecte Joule. Per a un generador lineal la diferència de potencial entre els dos pols és:

rIVV ⋅−=− −+ ε

Un receptor elèctric és un dispositiu que transforma energia elèctrica en un altre tipus d’energia. L’energia consumida per unitat de càrrega que travessa un receptor es denomina força contraelectromotriu fcem ε’. Un receptor real dissipa, a més, energia per efecte Joule, a causa de la seua resistència interna r’. La diferència de potencial que cal establir entre els pols d’un receptor lineal amb fcem ε’ i resistència interna r’ és:

'´ rIVV ⋅+=− −+ ε

Circuits de corrent continu Conceptes de nus, branca i malla:

- nus: punt d’un circuit on s’uneixen més de dos conductors.


- branca: tram de conductor entre dos nusos, on circula la mateixa intensitat.

- malla: camí tancat per conductors. Un circuit de corrent continu és aquell on els diferents corrents que circulen per les branques són estacionaris (mantenen el mateix valor i sentit en el temps I i = ctnts). Matemàticament els receptors intercalats en un circuit poden tractar-se com a generadors amb pols canviats. Així, el corrent en un circuit tancat constituït per una única malla és:

T

ii

RI∑

=ε

de manera que el signe de la fem dels elements que aporten corrent al circuit és positiu i el signe de la fem dels elements que consumeixen corrent és negatiu, RT és la resistència total del circuit considerat. ε > 0 ε < 0 I I Associació de resistències: Resistències en sèrie: ∑=

iie

RR

Resistències en paral·lel: ∑=

iie

RR

11

Diferència de potencial entre dos punts d’un circuit. La diferència de potencial entre dos punts qualsevol d’un circuit A i B, ve donada per:

∑−∑ ⋅=−j

ji

iiBARIVV ε

Els camins per a anar des d’un punt A fins a un altre B en el circuit considerat poden ser diversos, com a mínim dos si només hi ha una malla. Per a aplicar adequadament l’expressió anterior cal triar un camí per a anar des de A fins a B. Una vegada triat, aquest estarà constituït per i branques diferents, I i serà el corrent de la branca i i Ri la resistència d’aquesta branca. A la branca i, I i > 0 si el sentit del corrent és el mateix que el triat per anar de A fins a B. Si el sentit del corrent és contrari al del camí, llavors Ii < 0. En el camí de A fins a B trobem j fem. Independentment del sentit del corrent que travessa cada fem, per desenvolupar l’expressió anterior, εj > 0 si al camí


A fins a B trobem primer el pol negatiu del generador, i εj < 0 si trobem primer el pol positiu.

Resolució de circuits Per a analitzar un circuit en un règim estacionari podem utilitzar:

A) Lleis de Kirchhoff

1. Llei dels nusos. La suma de les intensitats dels corrents que arriben a un nus és igual a la suma dels corrents que n’ixen (llei de conservació de la càrrega).

∑∑∑ =⋅→=j

jii

ii

i RIV ε0 ; (en cada malla)

Aplicació pràctica:

En branques: establir un sentit fictici pels corrents de branca (una vegada finalitzada la resolució, si el resultat d’algun corrent és negatiu el seu sentit real és contrari al previst inicialment).

En nusos: Triar signe per als corrents d’entrada i eixida i plantejar les equacions de nusos.

0=∑i

iI

(l’elecció de cada nus és arbitrària)

En malles: establir un sentit de circulació en cada malla i plantejar la seua equació:

∑∑ =⋅j

jii

i RI ε

Criteri de signes en cada equació de malles:

a) Si el sentit de la circulació triat i el d’un corrent de branca coincideixen, aleshores I i >0. Ii 0. εj < 0 si trobem primer el pol positiu.


B) Mètode dels corrents cíclics de Maxwell

També conegut com mètode dels corrents de malles.

En aquest procediment es busquen malles independents i s’assigna a cadascuna una intensitat de malla fictícia (el mateix sentit per a totes les malles).

Els corrents Ii de les n malles independents poden obtenir-se a partir de l’expressió:

=

⋅

+−−−

−−+−−−−+

nnnnnnn

n

n

I

I

I

RRRR

RRRR

RRRR

ε

εε

......

...

...............

...

...

2

1

2

1

321

2232221

1131211

On:

Rii és la resistència total de la malla i.

Rij és la resistència total de la branca ij, lògicament i ≠ j.

Rij = 0 si les malles i i j no tenen una branca comú.

εi és la suma total de fem presents en la malla i, considerant-ne el signe.

Una vegada conegudes totes les intensitats de la malla, la intensitat de la branca ij pot determinar-se amb l’expressió:

jiij IIi −=

Si iij > 0, el corrent de branca té el mateix sentit que el corrent de malla i.

Si i ij < 0, el corrent de branca té el mateix sentit que el corrent de malla j.


C) Teorema de Thevenin

El teorema de Thevenin estableix que qualsevol porció de circuit entre dos punts és equivalent a una font de tensió en sèrie amb una resistència (circuit equivalent de Thevenin).

El valor de la font de tensió (potencial de Thevenin, VTh) es correspon amb les diferències de potencial entre dos punts del circuit (considerant únicament la porció de circuit que es vol substituir).

La resistència en sèrie (resistència de Thevenin RTh) és la resistència equivalent entre els dos punts del circuit (eliminant els generadors i considerant novament només la porció de circuit que es vol substituir).


1.6 Circuits de corrent altern Força electromotriu alterna Un corrent altern és aquell que inverteix el sentit periòdicament. Centrarem el nostre estudi en el cas més senzill i comú, en el qual la intensitat és una funció sinusoïdal del temps.

)(sin0 α+= wtII On I

0 és l'amplitud del senyal, que es correspon amb la intensitat màxima, w és

la velocitat angular i α és la fase inicial (en t = 0). Per a generar un corrent d'aquestes característiques cal utilitzar un generador de corrent altern que, tal com vam analitzar en el tema anterior, proporciona una força electromotriu:

)(sin0 ϕεε += wt Hi ha tres magnituds que la identifiquen: - L’amplitud ε0: valor màxim de la fem - La freqüència f: nombre de cicles per segon (f=1/T, on T és el període:

T=2 /w ) - I la fase que puga tindre en cada instant: (wt+ϕ ), on ϕ és la fase inicial.

Representació complexa Fer operacions matemàtiques amb les magnituds utilitzades en els circuits de corrent altern resulta molt còmode si es representen aquestes magnituds en forma complexa. Per a això, introduïm un nombre complex giratori corresponent a la fem alterna instantània, com:

)(sin)(cos 00 ϕεϕεε +++= wtjwt

Amb 1−=j . Aquest nombre complex rep el nom de fasor. En forma polar podem expressar-lo com:

ϕεε += wt0 on la fem alterna instantània és la part imaginària de la fem complexa.


En compte d'utilitzar amplituds (valors màxims de ε o I) en corrent altern es treballa amb valors eficaços. Així definirem la fem i intensitat com a nombres complexos en forma polar, el mòdul de la qual serà la fem (εe) o intensitat eficaç (Ie) i el seu argument la fase inicial.

ϕϕεε ee II ==

Valors mitjans i eficaços El valor mitjà de la fem i intensitat han d'avaluar-se en un semiperíode, ja que el valor mitjà d'una funció sinusoïdal en un període complet és nul. Així:

00

2/

0 0637,0

2sin

2/

1I

IdtwtI

TI

T=== ∫ π

De la mateixa manera:

0637,0 εε =

El valor eficaç de la fem o intensitat del corrent altern és l’arrel quadrada del valor mitjà del seu quadrat:

00

0

220

2 707,02

sin1

II

dtwtIT

IIT

e ==== ∫

Anàlogament:

0707,0 εε =e

Eix real

Eix imaginari

w t + ϕ


Circuit resistiu pur Circuit amb una fem alterna i una resistència R. En un circuit d’aquestes característiques la fem i la intensitat sempre estan en fase. Es pot definir una resistència complexa com:

º0RI

V

I

VR

e

e ===ϕϕ

Ja que R està sobre l’eix real.

Circuit inductiu Circuit amb una fem alterna i una autoinducció L. La intensitat es troba retardada π/2 respecte a la tensió. Introduïm una reactància inductiva complexa LX , com:

LLe

e

L XjXI

V

I

VX ==

−== º90

º90ϕϕ

On XL=Lw.

LX està sobre la part positiva de l’eix imaginari.

Circuit capacitatiu Circuit amb una fem alterna i un condensador C. La intensitat es troba avançada π/2 respecte a la tensió. Introduïm una reactància capacitativa complexa CX , com:

CLe

e

C XjXI

V

I

VX −=−=

+== º90

º90ϕϕ

On XC=1/Cw.

CX està sobre la part negativa de l’eix imaginari. Circuit RLC sèrie. Impedància Circuit amb una fem alterna connectada a una resistència, una autoinducció i un condensador en sèrie. En cada instant:

CLCLR XIXIRIVVVV ⋅+⋅+⋅=++= Definim la impedància Z del circuit com:


CL XXRI

VZ ++==

La impedància serà un nombre complex, amb mòdul:

2222 )/1()( CwLwRXXRZ CL −+=−+= i argument:

R

XX CL −= arctgϕ

Llei d'Ohm fasorial La llei d'Ohm (vista en el tema 2) es pot generalitzar al cas del corrent altern fent ús del concepte de fasor:

I

VZ =

on V és la tensió entre els extrems d'un element de circuit, I és la intensitat

que circula per l’element, i Z és la impedància que presenta l’element de circuit. La unitat de la impedància és l'ohm Ω . Associació d'impedàncies Impedàncies en sèrie: ∑=

iiT ZZ

Impedàncies en paral·lel: ∑=i iT ZZ

11

Potència en circuits de corrent altern L'energia consumida per efecte Joule en un circuit de corrent altern serà deguda a la seua resistència total, ja que les autoinduccions o condensadors emmagatzemen i tornen energia al circuit, però no la consumeixen. La potència instantània dissipada en una resistència recorreguda per un corrent altern serà:

[ ] RwtIP ⋅+= 20 )(sin ϕ On la potència mitjana dissipada en la resistència és:

[ ] RIRIRwtIP e22020 21

)(sin ==⋅+= ϕ

Aquesta potència ha de ser subministrada per la font d’alterna :


)(cos2 ϕ⋅=⋅=== eeeeeee VIZR

VIRZ

VIRIP

On cos (ϕ) és el factor de potència. Podem definir una potència complexa com:

jQPIVIVSS ee +==⋅== ϕϕ*

El mòdul d’aquesta potència complexa (S= VeIe) al és la potència aparent (mesura en volt-amperes) i la seua fase (ϕ) és la fase de la impedància (diferència de fase entre V i I). La part real d'aquesta potència complexa (P=Ve Ie cosϕ) és la potència activa (mesura en watts) i la seua part imaginària (Q=Ve Ie sinϕ), la potència reactiva (mesura en volt-ampers reactius).

Resolució de circuits de corrent altern Per a resoldre circuits de corrent altern s'utilitzen els mateixos conceptes que en els circuits de corrent continu. El seu plantejament sol ser més senzill perquè únicament es treballa amb un generador i no cal preocupar-se pel sentit dels corrents, però presenten més dificultat en l'operatòria perquè cal treballar amb magnituds complexes.

Filtres En un equip de música, quan manipules els controls de l'equalitzador estàs modificant el contingut en freqüències del senyal d'àudio que escoltes, variant la relació entre aguts (altes freqüències) i greus (baixes freqüències). El que fas és un filtratge del senyal. En general el filtratge de senyals elèctrics resulta també necessari en els sistemes de comunicacions per a netejar de soroll electromagnètic el senyal rebut. Per al filtratge de senyals elèctrics s'aprofita el fet que la impedància depèn de la freqüència del senyal elèctric que circula pel circuit. Els tipus de filtres bàsics serien: -filtre passa-alt. S'atenuen les baixes freqüències d'un senyal. -filtre passa-baix. S'atenuen les altes freqüències. -filtre passa-banda. Només es transmet la zona de freqüències intermèdies. Un senzill exemple de filtre passa-alt seria el següent:

Vent Veix R

C


Si calcules el quocient entre els valors eficaços de la tensió d’eixida Veix i la d’entrada Vent obtens,

φ ω( ) = VeixVent

=R

R2 + 1Cω( )2

( )ωτ es coneix com la funció de transferència per a aquest circuit. Per a freqüències w pròximes a zero, ( )ωτ val zero, de manera que no tindríem senyal d'eixida Veix per a baixes freqüències i només passarien les altes freqüències. Un exemple de filtre passa-baix seria el següent: En aquest cas la funció de transferència ( )ωτ té la següent expressió:

φ ω( ) = VeixVent

=1Cω

R2 + 1Cω( )2

A mesura que creix la freqüència w, ( )ωτ s'aproxima a zero: per tant, el senyal d'eixida Veix s'atenua per a altes freqüències.


1.7 Ones electromagnètiques

Equacions de Maxwell Les equacions de Maxwell descriuen la totalitat dels fenòmens elèctrics i magnètics. Per a camps estàtics (no dependents del temps) els camps E i B són independents entre si. Però per a camps variables en el temps els dos estan interrelacionats, és més correcte parlar del camp electromagnètic.

∫∫

∫∫

∫

∫

•+=•

•−=•

=•

=•

SdEdt

dIldB

SdBdt

dldE

SdB

qSdE i

rrrr

rrrr

rr

rr

000

0

0

εµµ

ε

L'última equació constitueix la llei de Ampère-Maxwell on, a més del corrent de conducció I, s'inclou el corrent de desplaçament. En espai lliure i en absència de corrents i distribucions de càrrega, les dues últimes equacions adopten la forma:

∫∫

∫∫

•=•

•−=•

SdEdt

dldB

SdBdt

dldE

rrrr

rrrr

00εµ

Aquestes equacions prediuen l'existència d'ones electromagnètiques. Ens indiquen que un camp B variable en el temps origina un camp E variable en el temps. Al seu torn, la segona equació ens indica que un camp E variable en el temps origina un camp B variable en el temps. Aquests dos camps s'indueixen i sustenten mútuament. D'aquestes equacions es deriva que els camps elèctrics i magnètics en el buit han de complir l'equació d'ona:

2

2

22

2

2

2

22

2

1

1

t

B

cy

B

t

E

cy

E

xx

zz

∂∂

=∂

∂∂

∂=

∂∂

On c és: c =1

ε0µ0= 2.995×108m/s

la velocitat de les ones EM en el buit. Aquestes equacions són satisfetes, entre altres, per funcions d'ona de la forma:


)sin(),(

)sin(),(

0

0

kytBtyB

kytEtyE

X

Z

−=−=

ωω

La primera equació representa un camp elèctric d'amplitud I0 oscil· lant en la direcció de l'eix Z, de forma sinusoïdal i propagant-se en el sentit positiu de l'eix Y. La segona equació representa un camp magnètic d'amplitud B0 = E0/c, vibrant en la direcció de l'eix X i propagant-se, també, en el sentit de les Y positives. Aquests dos camps estan en fase (arriben a els màxims, els mínims i els zeros en els mateixos punts), són perpendiculars entre si i es propaguen en

la direcció de l'eix Y en el sentit que determina el producte vectorial BErr

× , amb una velocitat λfc = , on f és la freqüència π2/wf = i la longitud d’ona

k/π2λ = , respectivament. Les ones EM són ones transversals perquè les magnituds pertorbades (camps elèctric i magnètic) vibren en direccions perpendiculars a la direcció de propagació de l'ona. Les ones transversals poden polaritzar-se. En aquest cas es tracta d'ones polaritzades planes perquè les oscil· lacions dels dos camps es mantenen en el pla ZY per al camp elèctric i en el pla XY per al camp magnètic.

Energia i intensitat d’una ona EM La densitat d’energia d’una ona electromagnètica ve donada per l’expressió:

0

22

0 22

1

µε BEuuu BE +=+= [J/m3]

On es compleix que les densitats d'energia elèctrica i d'energia magnètica són iguals en una ona EM. És a dir, fixat un volum, l'energia es reparteix per igual entre el camp elèctric i el magnètic. Tenim, per tant, que:

022

0 / µε BEu == La intensitat d'una ona EM es defineix com la quantitat d'energia que flueix, per unitat de temps, a través d'una superfície perpendicular a la direcció de propagació de l'ona. És a dir:

dtdA

dUI = [J/sm2=W/m2]

Es dedueix llavors que la intensitat de l'ona EM s’obté multiplicant la densitat d'energia per la velocitat a la qual l'energia flueix per aquesta superfície, és a dir, la velocitat de propagació de l'ona:

ucI = [W/m2]

El vector de Poynting El vector de Poynting es defineix de la manera següent:


0µBE

S

rrr ×= [W/m2]

on el seu mòdul val:

ISS ==r

i la seua direcció i sentit de propagació són els de l'ona electromagnètica. En el cas d'una ona harmònica, la intensitat mitjana Sm (valor mitjà del vector de Poynting) val:

0

202

00000 22

1

2

1

µε

µcB

cEBESm ===

On es veu que la intensitat d'una ona EM és proporcional al quadrat de la seua amplitud. Normalment, quan es parla de la intensitat d'una ona es refereix a la intensitat terme mitjà. Pressió de radiació De la mateixa manera que una ona EM transporta energia, també transporta una quantitat de moment lineal donada per:

cup /=

Quan una ona EM incideix sobre una superfície reflectora, la pressió que exerceix sobre aquesta superfície, anomenada pressió de radiació, val:

c

Srp m)1( +=

on r és el coeficient de reflexió de la superfície en intensitat, el valor de la qual és 0 si l'ona és absorbida totalment o 1 si és reflectida totalment. Espectre electromagnètic Si ens basem en la seua freqüència (o de la longitud d'ona) les ones EM es classifiquen en diferents bandes. La totalitat de les bandes existents constitueix el que es coneix com l'espectre electromagnètic. Si atenem a les longituds d'ona, podem dividir l'espectre EM en: 1) Radiofreqüència: des de més d’un km fins a 0,3 m 2) Microones: des de 0,3m fins a 10-3 m 3) Infrarojos: des de 10-3 m fins a 7,8 x 10-8 m 4) Llum o espectre visible: des de 780 nm fins a 380 nm 5) Llum ultraviolada: des de 3,8 x 10-7m fins a 6 x 10-10 m 6) Raigs X: des de ~10-9 m fins a 6 x 10-12 m


7) Raigs gamma: des de ~10-10 m fins a ~10-14 m Emissió i propagació d’ones EM Les fonts d'ones EM són les càrregues elèctriques accelerades. Quan una càrrega oscil· la a una determinada freqüència, s'origina una ona EM d'aquesta mateixa freqüència. La manera de produir ones EM és mitjançant antenes dipolars elèctriques (corrents rectilinis oscil· lants) o antenes dipolars magnètiques (espires) o combinacions o variacions d'aquestes. La potència radiada per una antena dipolar elèctrica no és isòtropa. Si l'antena està orientada segons l'eix Z, la intensitat d'emissió és nul·la al llarg de l'eix Z i màxima en el pla XY. Quan una ona EM es propaga en un medi material, la seua velocitat de propagació és:

vµε1=

Es defineix l'índex de refracció del medi com:

n = c/v

L’índex de refracció es pot expressar en funció de la permeabilitat i permitivitat relatives.

rrn µε= Per a la majoria de medis que transmeten ones EM 1≈rµ (medis no ferromagnètics) aleshores:

rn ε≈

Com que la permitivitat relativa depèn de la freqüència de l’ona EM, la seua velocitat depèn de la freqüència de la radiació. Això origina la dispersió de l’ona en un medi material. Aplicacions:

- Antenes, emissió i recepció

- Comunicacions sense fil

- Fibres òptiques

- Lectura i enregistrament d’informació en suport òptic: CD i DVD.


1.8 Física de l’estat sòlid. Dispositius semiconductors

Bandes d'energia en sòlids cristal·lins L'energia d'un electró en un àtom només pot prendre valors determinats (estats quantitzats). Quan s'acosten dos àtoms idèntics es produeix un desdoblament dels nivells energètics. En un sòlid cristal· lí, si es tenen N àtoms idèntics, els seus nivells energètics se separen en N nivells energètics quasi iguals. En un sòlid cristal·lí macroscòpic, N és un nombre molt gran (de l'orde de 10

23) i els nivells estan

espaiats de manera quasi contínua. D’aquesta manera constitueix el que s'anomena una banda d'energia. La banda d'energia més alta que conté electrons s'anomena banda de valència. La banda immediatament superior a la banda de valència, amb estats possibles però no ocupats s'anomena banda de conducció. En el cas que la banda de valència no estiga completament plena, aquesta coincideix amb la banda de conducció. Les bandes permeses (de valència i de conducció) es troben separades per bandes prohibides que no poden ser ocupades.

Conductors, aïllants i semiconductors Un sòlid és conductor de l'electricitat, aïllant o semiconductor depenent de la seua estructura de bandes. Per tant, en funció de la seua conductivitat elèctrica podem distingir entre:

Aïllants. La seua banda de valència està completa i separada de la banda de conducció per una banda prohibida d'energia d'uns quants eV (1eV~1,6x10-16J). P. ex., 6 eV per al diamant.

Conductors. Podem tindre dues situacions: a) la banda de valència no està totalment plena i b) la banda de valència està plena però se superposa la banda de conducció que està buida. En aquests dos casos, sota l'acció d'un camp elèctric extern els electrons poden adquirir petites quantitats d'energia que els permeten passar a qualsevol dels estats buits pròxims que es troben dins de la banda. El resultat és un moviment electrònic col·lectiu pel cristall (corrent elèctric).

Semiconductors (intrínsecs). La banda prohibida d'energia entre la banda de valència completa i la banda de conducció buida és molt xicoteta (1


eV o menys), de manera que és relativament fàcil excitar tèrmicament electrons de la banda de valència a la de conducció. Per exemple: la banda prohibida és d’1,1 eV per al Si i de 0,7 eV per al Ge. Per cada electró en la banda de conducció hi ha una vacant o buit en la banda de valència. La conducció elèctrica és deguda tant al moviment dels pocs electrons de la banda de conducció com al moviment efectiu dels buits (com si foren electrons positius). En els semiconductors la resistència disminueix amb la temperatura, al revés que ocorre en els metalls. Semiconductors intrínsecs i extrínsecs La conductivitat pot augmentar-se si es dopa el material semiconductor amb impureses donadores (tipus n) on la conducció és per càrregues negatives o amb impureses receptores (tipus p) on la conducció és per càrregues positives o buits. Es parla llavors de semiconductors extrínsecs. El díode d'unió

El díode d'unió consisteix en la unió d'un semiconductor de tipus p amb un altre de tipus n. Després de la unió es produeix una difusió de portadors de càrrega en aquests dos sentits, cosa que deixa una zona carregada a un costat i a l'altre de la unió, la zona de transició, que impedeix que continue el procés de difusió. El díode d'unió se simbolitza amb el símbol elèctric: Quan el díode es connecta a un generador tenim dues situacions. Quan el pol positiu del generador es connecta al pol p del díode, aquest condueix el corrent i es parla de polarització directa. Si el pol p del díode es connecta al pol negatiu del generador es parla de polarització inversa. En aquest cas el díode condueix un corrent que en general és negligible. La corba característica del díode relaciona la tensió V aplicada entre els borns del díode i la intensitat que circula a través seu. Ve donada per l'expressió:

−

= 1exp0

TVVII


on VT = 25.8 mV (a 300ºK), i Io és el corrent invers de saturació. Podem veure

com el díode no segueix la llei d'Ohm. Entre altres aplicacions, el díode es pot utilitzar per a rectificar el corrent. El díode Zener

El díode Zener és un tipus de díode que permet el pas de corrent sols en una direcció com un díode normal, però també en la direcció inversa si el voltatge es superior a un voltatge de trencament anomenat "voltatge Zener". Aquesta propietat elèctrica va ser descoberta per Clarence Zener.

El transistor d'unió El transistor consisteix en una unió npn o bé pnp.

Els diferents semiconductors es denominen emissor, base i col·lector. La base és estreta i està dèbilment dopada respecte a l'emissor i col· lector. Hi ha diverses configuracions per a usar el transistor. Una d'aquestes és la denominada configuració de base comuna. En aquesta configuració (per exemple per al transistor npn) la primera unió np està en polarització directa, mentre que la segona unió pn està en polarització inversa.


Això fa que les barreres de potencial inicials (línia de traços) es modifiquen (línia contínua). A causa de la reducció de la barrera de potencial entre emissor i base, s'injecten alguns electrons de E a B (i alguns buits de B a E; pocs, ja que la base està poc dopada). Com que la ddp entre base i col· lector és gran, la majoria dels electrons s’acceleren fortament cap al col· lector, mentre que alguns electrons flueixen a través de la base. El resultat és que el circuit queda dividit en dues parts, de manera que el corrent en una governa el corrent en l'altra. El paràmetre beta (guany) del transistor es defineix com:

B

C

I

Iβ =

Aquest paràmetre és de l'orde de 100: petits corrents en la base controlen grans corrents en el col· lector. El corrent de l'emissor és:

IE = I C + I B ≅ IC IE ve determinada per la ddp entre base i emissor i és pràcticament independent de la ddp entre base i col·lector. Així, el corrent de la base modula un gran corrent d'electrons que travessa el cristall de l'emissor al col·lector. Llavors el transistor es pot utilitzar com un amplificador de senyal. A més el transistor, a diferència d'altres components, és unidireccional: l'entrada condiciona l'eixida però no al revés.


1.9 Fonaments de fotónica: dispositius La fotónica estudia els fenòmens relacionats amb la generació, detecció, control i aplicació de la llum en diversos camps de la tecnologia.

Concepte de fotó i efecte fotoelèctric El fotó (del grec φως, “llum”), és la partícula elemental i mediadora de la interacció electromagnètica. El fotó té una massa invariant zero, i viatja al buit amb una velocitat constant c (3x108m/s). El fotó presenta tant propietats corpusculars com ondulatòries ("dualitat ona-corpuscle"). Es comporta com una partícula quan interacciona amb la matèria par transferir una quantitat fixa d’energia. L'efecte fotoelèctric és la capacitat de la llum per alliberar electrons d'una superfície metàl·lica. Aquest electrons deixen el metall a una velocitat que no depèn de la intensitat de la llum, sinó de la longitud d'ona o freqüència del fotó (Eg =hν, on h és la constant de Planck, i ν és la freqüència del fotó).

Fotodetectors

Els dispositius detectors de llum de tipus semiconductors es basen en la col·lecció en un circuit elèctric extern del portadors de càrrega generats per fotons absorbits dins del material. En el capítol anterior hem vist que la banda prohibida té una amplada Eg, aleshores la màxima longitud d’ona que es puga detectar serà:

gEhc/max =λ Alguns tipus de fotodetectors són: els fotoconductors i els fotodíodes.

Díodes emissors de llum (LED) L’electroluminiscència constitueix el fonament sobre el qual es basen els dispositius emissor de llum d’estat sòlid, és a dir, els diodes emissors de llum, els làsers de díode i els pannells electroluminiscents. Aquestes fons de llum tenen més candescència i estan substituint-les en aplicacions on la miniaturització i la fiabilitat són essencials. La recombinació de parells electró-forat produeix fotons amb una energia propera a la del gap del semiconductor. Els díodes emissors de llum o LED (light emitting diodes) tenen el seu fonament en el procés invers als fotodíodes. Quan s’aplica una polarització directa a un diode d’unió p-n el camp elèctric de la unió disminueix i afavoreix la difusió de portador minoritaris cap al costat oposat (electrons cap a la zona p i forats cap a la zona n). Aleshores es crea en la zona propera a la unió una concentració elevada de electrons i forats que acaben recombinant-se per produir fotons de llum amb una energia pròxima a la banda prohibida, és a dir hν = Eg. La intensitat de la llum augmenta amb el corrent a causa de la injecció de portadors en la zona d’unió. La amplada de l’espectre té un valor de 25 nm aproximadament.


Làsers de díode Un làser de díode es bàsicament un LED dissenyat especialment per emetre llum extremadament monocromàtica, direccional i coherent mitjançant l’amplificació de la llum per emissió estimulada de radiació. En el làser existeix una unió p-n dins d’una cavitat ressonant perquè la llum recórrega diverses vegades la zona activa i done lloc a l’emissió estimulada. L’emissió estimulada fou predita per Einstein en 1917 i succeeix quan un fotó amb una freqüència determinada incideix sobre un electró excitat aquest passa a un nivell inferior i emet un fotó amb la mateixa freqüència i direcció que el primer fotó que ha estimulat la transició. Per aconseguir tenir molts electrons estimulats cal aconseguir l’anomenada inversió de població i l’amplificació que permet que fa que augmente la intensitat del feix monocromàtic en travessar el medi. Alguns del mitjans per aconseguir la inversió de població són el bombeig òptic, excitació per electrons i la transferència de excitacions per col· lisions inelàstiques.

Cèl·lules solars Les cèl· lules solars permeten convertir directament l’energia del sol en corrent elèctric mitjançant l’efecte fotovoltàic sense produir quasi contaminació i residus. El sol proporcional més de 1 Wm-2. No obstant això, l’elevat cost de les cèl·lules basades en semiconductors fa que aquest mitjà no siga del tot competitiu. El seu funcionament es similar al dels fotodíodes, on s’absorbeix un fotó i es genera un parell electró-forat, que són moguts pel camp elèctric de la unió p-n (no du polarització exterior) i els portadors que arriben als contactes exteriors generen un corrent anomenat “fotocorrent”.

Fibra òptica i guies d’ona Com succeeix en microelectrònica, la tendència actual en optoelectrònica és la de disminuir la grandària dels dispositius i integrar el major nombre possible d’ells en una sola pastilla o “xip”. En molts circuits integrats i dispositius fotònics l’estructura bàsica és la guia d’ona òptica. Una guia de llum és un dispositiu per a conduir la llum d’un punt a un altre, generalment mitjançant reflexions totals internes successives en un medi transparent amb un índex de refracció superior que el de l’entorn. Un exemple son les fonts d’aigua lluminoses.


Una fibra òptica és una guia d’ona de forma cilíndrica i no integrada en un substrat monolític que s’utilitza per transmetre llum i la informació d’un sistema optoelectrònic a altre, generalment travessant grans distàncies. La fibra està formada per genera d’un material transparent amb un apart central on nucli amb un índex de refracció n1 major que el cobriment n2. A més a més, generalment, una fibra òptica porta una camisa protectora de plàstic, metall per evitar el rallat, el trencament o l’excessiu plegament de la fibra.

1 resums dels temes · 2016. 6. 9. · 1. contingut del quadern 3 on ui v és el vector unitari que...

Documents