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Responsable MTRO. CONRADO RUIZ LUGO

MATEMÁTICAS Clave:   MATE4142

Período: SEP -DIC de 2012.

Valor Absoluto

0 si ,

0 si ,

xx

xxx

• |15| = 15

• |-4| = -(-4) = 4

• |0| = 0

Obs: 22(-2) , 22 xx

Ecuaciones con Valor Absoluto

xx

xx

x

x

243 .4

331 .3

14

2 .2

31

2 .1

Utilizando las propiedades, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.

Ecuaciones con Valor Absoluto

732 x

032 si , 32

032 si , 3232

xx

xxx

2

3

23

si , 32

si , 3232

xx

xxx

También es posible resolver las ecuaciones con valor absoluto, utilizando la definición.Por ejemplo:

Sabemos que:

Lo que equivale a decir:

Entonces:

2732

5732

23

23

xxx

xxx

C.S. = {-2;5}

Ejercicios:

12

23

23

12 5.

3-5x 32x .4

11-x

x .3

1335 .2

74 .1

x

x

x

x

xx

x

Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto.

Matemática

Ecuaciones en una variablede primer, segundo grado y ecuaciones con radicales

Introduccion

La habilidad de resolver ecuaciones es esencial en las aplicaciones de las matemáticas , mediante las ecuaciones se modelan muchos fenómenos sean estos naturales, sociales o económicos.

Ilustremos un ejemplo sencillo que requiere el empleo de las ecuaciones:

“ Una persona desea invertir $20000 en dos empresas, de modo que el ingreso total por año sea de $1440. Una empresa paga el 6% anual ; la otra tiene mayor riesgo y paga 7,5 % anual.¿Cuánto debe invertir en cada una? ”

Definiciones:

1. Ecuación: Igualdad de dos expresiones algebraicas.

2. Conjunto de valores admisibles de una ecuación (C.V.A.). Conjunto de valores reales para el cual están definidas las expresiones que intervienen en la ecuación.

3. Solución de una ecuación: valor real de la variable que verifica la ecuación. Al conjunto de todas las soluciones se le llama Conjunto Solución (C.S.)

4. Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Ecuación de primer grado

Ecuación lineal

Forma general:

Una ecuación de primer grado tiene una única solución.

0 , 0 abax

:x :,baincógnita constantes

Ecuaciones lineales

Ecuaciones literales. Son aquellas ecuaciones que presentan letras como parte de sus términos constantes.

Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales.

Ecuaciones de segundo grado

Ecuación cuadrática:

Teorema: Sean a y b números reales.

a.b = 0, si y solo si a = 0 ó b = 0

0 , 02 acbxax

:x:,ba

incógnita

constantes

Métodos de resolución

Factorización

Fórmula General

Completando cuadrados

APLICACIONES

Estrategia de solución

1. Composición del problema:• Lea todo el enunciado• Trace un esquema• Identifique las cantidades conocidas y

desconocidas• Elija una variable para la cantidad

desconocida2. Planteamiento:

• Traducir el enunciado a una o varias ecuaciones

3. Resolución4. Análisis de la respuesta y la formulación de la

respuesta.

Problemas de aplicación:

Ejercicio

Utilidad.- Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de ganado, con un costo variable de $ 76 por tonelada. Si los costos fijos son $ 110 000 por mes y el alimento se vende en $ 126 por tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $ 540 000?

Aplicaciones:

Problema

Una persona desea invertir $ 20 000 en dos empresas, de modo que la rentabilidad total por año sea $ 1 440. Una empresa paga el 6% anual; la otra tiene mayor riesgo y paga un 7.5% anual.

¿Cuánto debe invertir en cada empresa?

Problemas de aplicación:

Ejercicio

Retiro de bonos.- En dos años una compañía requiere $ 1 123 600 con el fin de retirar algunos bonos. Si ahora invierte $ 1 000 000 con este objetivo, ¿cuál deberá ser la tasa de interés, compuesta anualmente, que debe recibir sobre este capital para retirar los bonos?

Problemas de aplicación:

(Prob. Club de inversión.- Un club de inversión compró un bono de una compañía petrolera por $ 5000. El bono da un rendimiento de 8% anual. El club ahora quiere comprar acciones de una compañía de suministros para hospitales. El precio de cada acción es de $ 20 y se gana un dividendo de $ 0.50 al año por acción.

¿Cuántas acciones debe comprar el club de modo que de su inversión total en acciones y bonos obtenga el 5% anual?

Problemas de aplicación:

(Prob. Rentas.- Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un edificio con 50 oficinas. Cada una puede rentarse en $ 400 mensuales. Sin embargo, por cada incremento de $ 20 mensuales se quedarán dos vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. La compañía quiere obtener un total de $ 20 240 mensuales de rentas del edificio.

Se le pide determinar la renta que debe cobrarse por cada oficina.

Problemas de aplicación:

Ejercicio

Equilibrio de mercado.- Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto y que los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio.

Determine ese valor de p.

Ecuaciones con Radicales

Una ecuación radical es una ecuación en la cual la variable aparece dentro del signo radical.

Por ejemplo:

Para resolver estas ecuaciones, utilizaremos la siguiente propiedad:

Si a = b → a2 = b2

65 .

92 .

x

x

La solución final debe verificarse en la ecuación Inicial.

Ecuaciones con Radicales: Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones:423 .1 x

3235 .2 xx

343 .3 xx

123 .4 xxx

414 .5 xxx

112435 .6 xxx

Sistema de Coordenadas Rectangulares

Tipo de cambio de s/. con $ (evolución diaria) desde ago-2005 a mar-2006

Sistema coordenado rectangular

origen

eje X

eje Y

0

Sistema coordenado rectangular

P(a,b).

a: abscisa de Pb: ordenada de P

3

2

1

-1

-2

-3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

b

a

-

-

X

Y

.( + , + ).( - , + )

.( - , - )

.( + , - )

II C

III C IV C

I C

Distancia entre dos puntos

.P1

x

y .P2

x x1 2

y

y

2

11 2|x - x |

1 2|y - y |

d(P , P ) = 1 2( ) ( )x x y y1 2

21 2

2

Fórmula del punto medio

x

y

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

x1 x2M1

M= (m1;m2) =( , )y1 + y2

2

x1 + x2

2

MM2

Ejercicios:

1. Encontrar la distancia entre los puntos

1) P1(-3;-1), P2(9;4)

2. Hallar el valor de y si la distancia entre (7;1) y (3;y) es 5.

3. ¿Qué tipo de triángulo se forma al unir los puntos A(1;-2) , B(4;-6) y C(5;1)?

Gráficas de ecuacionesGráficas de ecuaciones

Una solución de una ecuación en dos variables, tal como:

Es un par ordenado de números tales que la sustitución del primer número en x y el segundo en y produce un enunciado verdadero.

La gráfica es la representación geométrica de todas las soluciones.

23xy3-xy 2 ó

Ejemplo:Ejemplo:

¿Cuáles de los siguientes puntos son soluciones de

y = - 2x2 + 3?

a. (3; -12)

b. (2; 1)

c. (-1; 1)

d. (-2; 11)

Interceptos con los ejesInterceptos con los ejes

• Los puntos de intersección de la gráfica de una ecuación con los ejes coordenados X e Y son:

Con eje X: (a, 0)Se obtiene haciendo y = 0

Con eje Y: (0, b)Se obtiene haciendo x = 0

Simetría con el eje Y

x

y

. .(-x,y) (x,y)

La gráfica de E(x,y) = 0 es simétrica al eje Y si al sustituir x por -x se obtiene la misma ecuación.

Ejemplo:

Determine si la ecuación: y = - 2x2 +3 es simétrica respecto al eje Y y bosqueje la gráfica.

La gráfica de E(x,y) = 0 es simétrica al eje X si al sustituir y por -y se obtiene la misma ecuación.

Simetría con el eje X

x

y

.

.

(x,y)

(x,-y)

Ejemplo:

Determine si la ecuación: x - y2 +2 = 0 es simétrica al eje x y bosqueje la gráfica.

La gráfica de E(x,y) = 0 es simétrica al orígensi al sustituir x por -x e y por -y se obtiene la misma ecuación.

Simetría con el orígen

x

y

..(x,y)

(-x,-y)

Ejemplo:

Determine si la ecuación xy =1 es simétrica al origen y bosqueje la gráfica.

22

2

x4yc)

x4yb)

23xya)

216

9

4

xyf)

364ye)

yd)

2

22

x

x

Ejemplo:Ejemplo:

Bosqueje las gráficas de las siguientes ecuaciones dando los interceptos con los ejes y analizando las simetrías.

Bosqueje las gráficas de las siguientes ecuaciones dando los interceptos con los ejes y analizando las simetrías.

La Ecuación de la Recta

20 40 60 80

P. E.

La recta es una de las curvas de mayor estudio

realizado en las matemáticas por la enorme

cantidad de aplicaciones que presenta y por estar

vinculada a una ecuación de primer grado o

lineal, dentro de sus aplicaciones se tienen:

problemas de costos-ingresos y ganancia, la

oferta y demanda, la valoración de un activo a lo

largo del tiempo, etc.

Introducción:

L1

L2

0 x

y

Pendiente de una recta l

• ¿Cuál de las rectas está más inclinada?

• ¿Cómo medimos esa inclinación?

recorrido

elevaciónm

La pendiente m de la recta l es:La pendiente m de la recta l es:

x

yencambio

recorrido

elevaciónm

en x cambio

y

y2 - y1

x2 - x1

Cálculo de la pendiente de una recta

0 x

y

P1(x1;y1)

P2(x2; y2)

x=x2 - x1

y=y2 - y1

m =

Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).

Ejemplos

Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos:

1. A(-6; 1) y B(1; 2)

2. C(-1; 4) y D(3; 1)

3. E(3; 2) y F(8; 2)

4. G(2; 1) y H(2; -3)

mAB = 1/7

mCD = -3/4

mEF = 0

mGH = ¿?

x

y

Conclusiones

1. Si m>0 la recta l es creciente

2. Si m<0 la recta l es decreciente

3. Toda recta horizontal tiene m = 0

4. Las rectas verticales no tienen

pendiente definida.

Ejemplo:

Un doctor compro un automóvil nuevo en

1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un

amigo en $26 000.Dibuje una recta que

muestre la relación entre el precio de venta

del automóvil y el año en que se vendió.

Determine e interprete la pendiente.

La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x1, y1) es:

(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)

X

Y

Ecuación de la recta 1.

La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:

by = mx + b

X

Y

Ecuación de la recta 2.

Ecuación de la recta 3.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.

Ax + By + C = 0

Ejercicios:

1. (Prob 10) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.

2. (Prob 13) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).

3. (Prob 30) Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.

4. (Prob 15) Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b

recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a

b

a

y = b

x = a

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL

En resumen:

Formas de la ecuación de una recta:

• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)

• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen

• Forma general Ax + By + C = 0

• Recta vertical x = a

• Recta horizontal y = b

m1 = m2

Rectas paralelas

Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son

m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y sólo si

tienen la misma pendiente o si ambas

son verticales .

Es decir:

Rectas perpendiculares

Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

Es decir:

Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.

m1 . m2 = -1

Ejercicios:

Determine la ecuación de la recta que satisfaga:

1. (Prob. 54) pasa por (3;-4) y es paralela a y= 3+ 2x.

Ejercicios:

Problemas de la pag.

Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-3;4) y esperpendicular a la recta que une los puntos B(2;4) y C(6;9) ¿cuál de las distancias es mayor de A a B o de A a C?

¿Los puntos P(-1;7), Q(2;-2) y R(5;2) están en una misma línea recta.?