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Potencial Eléctrico Continuación

Temas de Hoy

Potenciales eléctricos y principio de superposición.

Obtener E a partir de V y superficies equipotenciales.

Potencial eléctrico debido a distribuciones continuas de carga.

Potencial eléctrico de un conductor cargado.

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Para una colección de cargas puntuales el potencial eléctrico es encontrado usando el principio de superposición

V es un escalar mucho mas fácil de evaluar que el vector de campo eléctrico E.

Principio de superposición

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Ejemplo 1

Una carga puntual de 1.00 C esta ubicada en el origen y una segunda carga puntual -4.00 C esta ubicada en el eje de las x´s en la posición (4.00,0) m. Encuentre el potencial electrostático en P debido a las cargas. Las coordenadas de P son (0,3.00) m.

y

x

3.00 m

4.00 mq1q2

P2

1 2

6 69

3

De la formula anterior tenemos:

1.00 10 4.00 108.99 10

3.00 5.00

4.20 10 V

i ip e e

i i

q q qV k k

r r r

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Ahora consideremos la energía potencial de interacción de un sistema de partículas cargadas.

• si V1 es el potencial eléctrico en un punto P debido a la carga q1 entonces el trabajo requerido para traer una segunda carga q2 desde el infinito hasta el punto P sin aceleración es q2V1.

• Por definición, es igual que la energía potencial, U,de los dossistemas de partículas.

Cargas iguales: U > 0Cargas opuestas: U < 0Q1

Q2r12

P

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Con más de dos cargas puntuales:

La energía potencial total se obtiene calculando Upara cada par de cargas y sumando algebraicamente.

Decimos que q1 con q2 y q3 están en . El primer término es el trabajo necesario para traer q2 desde el , estando presente la carga q1. Los siguientes dos términos son el trabajo necesario para traer q3 de . El resultado es independiente del orden en el cual las cargas son transportadas.

r12

r23

r13

q1 q2

q3

1 3 2 31 2

12 13 23e

q q q qq qU k

r r r

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Continuación del ejemplo 1

Cuanto trabajo es necesario para traer una carga puntual de 3.00 C desde el infinito al punto P?

El signo negativo implica que el trabajo es realizado por el campo mientras la carga se mueve desde el infinito a P. Así que el trabajo positivo debe de ser realizado por un agente externo que mueve las cargas de regreso a infinito.

y

x

3.00 m

4.00 m q2q1

Pq3

3

3

6

3

(3.00 10 )( 4.20 10 )

12.6 10 J

pW q V

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Continuación del ejemplo 1

Encuentre la energía potencial total del sistema de tres cargas como se muestra en la figura.

tenemos q1 = 1.00 mC, q2 = -4.00 mC, q3 = 3.00 mC,y r12 = 4.00 m, r13 = 3.00 m, r23 = 5.00 m.

U = -2.16 x 10-2 JEn la anterior

y

x

3.00 m

4.00 m q2q1

Pq3

1 3 2 31 2

12 13 23e

q q q qq qU k

r r r

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Obtención de E a partir de V

Para determinar V a partir de un E conocido usamos

Podemos escribirlo de manera diferencial para encontrar E a partir de un V conocido.

La componente del campo eléctrico en una dirección particular es el negativo de la razón de cambio del potencial en esa dirección.

B

B A

A

V V E d s

s s

dVdV E d s E ds E

ds

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Para distribuciones de carga esféricamente simétricas el campo eléctrico es radial:

Si el potencial es una función general de mas de una coordenada espacial V (x, y, z) podemos encontrar las componentes de campo eléctrico a través

Vector:

Componentes:

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Si V = 3xy2 - 2yz encuentre las componentes de E.

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Superficies equipotenciales

Una superficie equipotencial es cualquier superficie que conste de un distribución continua de puntos con el mismo potencial eléctrico.

• Las superficies equipotenciales son perpendiculares a

las líneas de flujo eléctrico

• Todo el volumen de un conductor es un equipotencial

(caso estático)

• Como los mapas topográficos las cargas positivas

van hacia “arriba” y las cargas negativas van hacia “abajo”

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Ejemplos de superficies equipotenciales

E

(a)

(b)

q

(c)

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V para distribuciones de carga continuas

Caso 1: subdividimos la distribución de carga en pequeños elementos dq usamos la carga puntual resultante:

Ahora sumemos todas:

Caso 2: Si conocemos el campo eléctrico, decimos por ley de Gauss, podemos usar esto en:

Esto nos da el potencial entre los puntos A y B, todavía necesitamos escoger V=0 en un punto conveniente.

e

dqdV k

r

e

dqV dV k

r

B

A

V E d s

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Ejemplo 2

Una barra de long. l ubicada a lo largo del eje x tiene una carga Uniforme por unidad de longitud ly una carga total Q. Encuentre el potencial eléctrico en P a lo largo del eje y a una distancia d del origen.Divida la línea en elementos de carga dq = dx donde λ= Q/l. Para estos elementos de carga el potencial dV se escribe como:

Ahora integrando sobrela longitud del cable:

Por lo tanto:

De las tablas:

y

x

rd

x dx

P

2 2e e

dq dxdV k k

r x d

1 1

2 2 2 20 0

ee

k Qdx dxV k

lx d x d

2 2

2 2ln( )

dxx x d

x d

2 21 1ln

1ek Q d

Vd

dq

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Ejemplo 3

Encuentre el potencial eléctrico en P ubicado en el eje de un aro cargado uniformemente de radio a y una carga total Q. El plano del aro es perpendicular al eje de las x´s.

Cada elemento de carga en el aro tiene la misma distancia hacia P:

x x

dq

ar

θ

P

2 2

2 2

asi

e e

r x a

dq dqV k k

r x a

2 2 2 20 e ek k Q

V dqx a x a

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Ejemplo 4

Una esfera aislada de radio a tiene una densidad de carga positiva uniforme con carga total Q. Encuentre el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera.Anteriormente encontramos (mediante ley de Gauss) que elcampo es radial dirigiéndose hacia fuera y con magnitud:

Para obtener el potencial en un punto exterior tomaremos con cero el potencial en infinito y evaluaremos:

Q

Eds

ra

2para e

QE k r a

r

( ) ( )

( )

r

r

V V r E d s

V r E d s

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Continuación del ejemplo 4

En la superficie de la esfera de r = a,

Q

Eds

ra

2 2

Tomando en cuenta que:

ˆ ˆ; ;e ek Q k Qd s r dr E r E d s dr

r r

2

Tenemos:

( )

( )

ee

rr r

e

k QdrV r E d s k Q

r r

QV r k

r

( ) e

QV a k

a

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Continuación del ejemplo 4

Potencial eléctrico en un punto dentro de la esfera : r < a.

Usando la ley de Gauss podemos ver que el campo dentro de la esfera tiene magnitud

Podemos evaluar la diferencia de pot. VB – VA donde A esta dentro de la esfera y B esta en la superficie. El campo es radial así que:

Q

ar

B

A 3 para ek Q

E r r aa

2 23 3

( )2

B ae e

B A r

A r

k Q k QV V E dr rdr a r

a a

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Continuación del ejemplo 4

Como el potencial en la superficie de la esfera, VB es :

Substituyendo el resultado en la expresión de arriba encontramos:

Q

ar

B

A

2 23 3

( )2

B ae e

B A r

A r

k Q k QV V E dr rdr a r

a a

( )B e

QV V a k

a

2

2( ) 3 para

2e

A

k Q rV V r r a

a a

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Potencial eléctrico de un conductor cargado

Ya mostramos E=0 dentro del conductor en equilibrio.

Toda red de carga reside en la superficie del conductor.

El campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie del conductor.

Considere los puntos A y B en la superficie del conductor cargado a lo largo de una trayectoria en la superficie conectando los puntos, E es siempre perpendicular a ds.

A

B

+

+++++++ +

+++++++

++++++

E

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Como E es siempre perpendicular a ds a lo largo de la trayectoria de superficie de A a B

• Así VB = VA. Entonces V es constante en todo punto en la superficie de un conductor cargado en equilibrio.

Como el campo eléctrico dentro del conductor cargado en equilibrio es cero, el potenciales constante en todo punto dentro del conductor es igual a su valor en la superficie.

A

B

+

+++++++ +

+++++++

++++++

E

0B

B A

A

V V E d s

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Energía potencial electrostática

Para una carga puntual q1 el pot. A una distanciar12 es:

Para traer una segunda carga q2 del infinito a una distancia r12 debemos realizar trabajo:

Para traer una tercera carga puntual q3 del infinito a una distancia r13 de y una dist. r23 de q2 el trabajo que debemos realizar en contra del campo eléctrico producido por q1 y q2 es:

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El trabajo total requerido para reunir las tres cargas es laenergía potencial electrostática U del sistema de 3 cargas puntuales:

El trabajo requerido– es independiente del orden en que se reúnen las cargas

ahora:

donde V1 es el potencial debido a las cargas q2 y q3.

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El trabajo total requerido para reunir las tres cargas es la energía potencial electrostática U del sistema de 3 cargas puntualespuede escribirse:

La energía potencial electrostática U de n cargas puntuales se escribe:

Donde Vi es es el potencial en la ubicación de la i-ésima carga debido a todas las otras cargas

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Se mantiene para distribuciones continuas de carga

Conductor esférico de radioR, carga q, potencial relativo a V=0 en el infinito:

El trabajo necesario para traer otra dq del infinitoal conductor es Vdq. Este trabajo se incrementa igual en EP del conductor:

Energía potencial total U:

DondeEs el potencial en la superficie de la esfera cargada.

Para n conductores el conductor con pot. Vi

y con carga Qi , el EP electroestático es: