Unidad didactica sucesiones

Unidad didáctica: Progresiones

Unidad didáctica: Progresiones

1.- Planteamiento de la unidad. 1.1.- Objetivos. 1.2.- Conceptos. 1.3.- Procedimientos 1.4.- Actitudes. 1.5.- Esquema de la unidad. 2.- Desarrollo de la unidad. 2.1.- Progresiones aritméticas. 2.1.1.- Término general. 2.1.2.- Interpolación de términos. 2.1.3.- Suma de n términos consecutivos. 2.2.- Progresiones geométicas. 2.2.1.- Término general. 2.2.2.- Interpolación de términos. 2.2.3.- Producto de n términos consecutivos. 2.2.4.- Suma de n términos consecutivos. 2.2.5.- Suma de los términos de una progresión geométricadecreciente. 2.3.- Interés simple e interés compuesto. 2.3.1.- Interés simple. 2.3.2.- Interés compuesto. 3.- Ejercicios propuestos. 4.- Apéndice: Curiosidades matemáticas. 4.1.- Gauss, de niño, hace un descubrimiento. 4.2.- La petición del inventor del ajedrez. 5.- Bibliografía.

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1. Planteamiento de la unidad.

La presente unidad didáctica está dirigida a los alumnos de 4º de ESO con la opción deMatemáicas B. En esta unidad se definen al comienzo los conceptos de sucesión de números ytérmino general.

A continuación se estudian las progresiones aritméticas, su caracterización y término general, yse obtiene la fórmula para hallar la suma de n términos.

Después se hace lo mismo con las progresiones geométricas, deduciéndose las fórmulas paracalcular el producto y la suma de n términos, así como la fórmula para hallar la suma de todoslos términos de una progresión geométrica decreciente.

La parte final se dedica a una aplicación real de las progresiones geométricas: el interéscompuesto.

1.1.- Objetivos. - Encontrar regularidades en secuencias numéricas y geométricas. - Encontrar el término general de una progresión aritmética o geométrica. - Deducir que la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma delos extremos. - Hallar la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética. - Deducir que el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual alproducto de los extremos. - Hallar la suma y el producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica.

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- Hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón positiva ymenor que 1. - Resolver problemas utilizando las fórmulas del interés simple y del interés compuesto.

1.2.- Conceptos. - Progresiones aritméticas. Interpolación de términos. Suma de n términos consecutivos. - Progresiones geométricas. Interpolación de términos. Suma y producto de n términosconsecutivos. Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente. - Interés simple e interés compuesto.

1.3.- Procedimientos. - Deducir el término general de una sucesión numérica o geométrica y calcular un ciertotérmino, conocido el término general. - Reconocer las progresiones aritméticas, obtener su término general y hallar un términocualquiera, conocidos el primer término y la diferencia. - Calcular la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética. - Interpolar n términos entre dos números dados para que se obtenga una progresiónaritmética. - Determinar si una progresión es geométrica o no, hallar su término general y obtener untérmino cualquiera conocidos el primer término y la razón. - Calcular el producto y la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. - Hallar la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente. - Reconocer el interés compuesto como un caso real de progresión geométrica y resolverproblemas donde aparezca este concepto.

1.4.- Actitudes. - Confianza en las propias capacidades para resolver problemas numéricos. - Reconocer la presencia de las progresiones aritméticas en contextos reales. - Reconocer la presencia de las progresiones geométricas en contextos reales, como eldel interés compuesto.

1.5.- Esquema de la unidad.

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2. Desarrollo de la unidad.

2.1.- Progresiones aritméticas.

Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números reales a 1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Cada uno de los números reales se llama términode la sucesión.

El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es una sucesión de númerosreales. Al término:

an = 3 + 2(n-1)

se le llama término general.

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Sin embargo, no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, en la importantesucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... no hay ninguna fórmula queexprese el término general.

Consideremos la sucesión de término general an = 3n + 2

an → 5, 8, 11, 14, 17, 20,...

Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que lasucesión an es una progresión aritmética y que d = 3 es la diferencia de la progresión.

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo elprimero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

En la progresión anterior a1 = 5, a2 = 8 y d = 8 - 5 = 3.

En ocasiones nos referimos a la progresión formada por los n primeros términos de laprogresión; en este caso se trata de una progresión aritmética limitada.

Son progresiones aritméticas:

- Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8, 10... La diferencia es d = 2. - Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia es d = 3. - Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a... La diferencia es d = a.

2.1.1.- Término general.

Fijémonos en la progresión aritmética ilimitada a1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Según la definición,cada término es igual al anterior más la diferencia.

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a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d

Generalizando este proceso se obtiene el término general:

a n = a 1 + ( n - 1) · d

Ejemplos:

- El término general de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14... es: an = 5 + (n - 1) · 3 = 5 + 3n- 3 = 3n+ 2 - El término general de una progresión aritmética en la que a1 = 13 y d = 2 es: an = 13 + (n- 1) · 2 = 13 + 2n- 2 = 2n+ 11 - Vamos a hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que a11 = 35 y d= 4. Para ello escribimos a11 = a1 + (11 - 1) · 4, es decir, 35 = a1 + 40, de donde a1 = 35 - 40 = -5

Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro términocualquiera, en lugar del primer término. Como an = a1 + (n - 1) · d y   ak = a1 + (k - 1) · d,despejando a1en ambas expresiones e igualando resulta: 

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a n = a k + ( n - k ) · d

2.1.2.- Interpolación de términos.

Supongamos que queremos intercalar entre 2 y 14 tres números a, b y c de manera que 2, a, b,

c, 14 estén en progresión aritmética.

Tenemos que a1 = 2, a5 = 14 y n = 5. Aplicando la expresión del término general de unaprogresión aritmética, se tiene que:

a5 = a1 + 4d → 14 = 2 + 4d → d = 3

Por tanto, la progresión aritmética es: 2, 5, 8, 11, 14.

Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios aritméticos.

2.1.3.- Suma de n términos consecutivos.

Consideremos la progresión formada por los seis primeros múltiplos de 5:

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an → 5, 10, 15, 20, 25, 30.

Observemos que la suma de los extremos es:

a1 + a6 = 5 + 30 = 35

y que los términos equidistantes suman lo mismo que los términos extremos:

a2 + a5 = 10 + 25 = 35

a3 + a4 = 15 + 20 = 35

En general, en una progresión aritmética limitada se verifica:

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an

En una progresión aritmética limitada, la suma de los términos equidistantes de los extremos esigual a la suma de los extremos.

Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de n términos consecutivosde una progresión aritmética. Veámoslo primero con el ejemplo:

¿Cuál es la suma de los seis términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30?

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Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos vecesinvirtiendo los términos en una de ellas.

S6 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30

S6 = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5      +

2S6 = 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35

2S6 = 6 · 35 = 6 · (5 + 30)

S6 = [6 · (5 + 30)] : 2 = 105

Vamos a generalizar este resultado: ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión a1, a2, a3,..., an-1, an?

Llamemos Sn a la suma de los n términos y escribamos la suma dos veces, invirtiendo lossumandos en una de ellas.

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Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an

Sn = an + an-1 + ... + a2 + a1 +

Sumando las dos igualdades resulta:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an-1 + a2) + (an + a1)

Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 + an) se tiene:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) = (a1 + an)·n

de donde:

2.2.- Progresiones geométricas.

Observemos las potencias de 10 que resultan de la sucesión an = 10n-1.

1, 10, 102, 103, 104, 105,...

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Cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 10. Esta sucesión es una progresión geométrica.

Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo elprimero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r.

2.2.1.- Término general.

Según la definición anterior, en la progresión geométrica a1, a2, a3, a4, a5,..., an, se verifica:

a2 = a1 · r

a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r 2

a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r 3

Generalizando este proceso se obtiene el término general:

a n = a 1 · r n - 1

Ejemplos:

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- ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12,...? La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior: r = 6 : 3 = 2. - ¿Cuál es el quinto término de una progresión geométrica en la que a1 = 2 y r = 3? Podemos ir hallando cada uno de los términos (2, 6, 18, 54, 162,...) multiplicando cada términopor 3. También se puede obtener directamente: a5 = a1 · r5 - 1 = a1 · r4 → a5 = 2 · 3 4 = 2 · 81 =162

Se puede conseguir otra expresión para el término general en función de otro términocualquiera, en lugar del primer término. Como an = a1 · r n - 1 y   ak = a1 · r k - 1, despejando a1 enambas expresiones e igualando resulta:  a n = a k · r n - k

2.2.2.- Interpolación de términos.

Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96 cuatro números a, b, c y d de manera que 3,a, b, c, d, 14

estén en progresión geométrica.

Tenemos que a1 = 3, a6 = 96 y n = 6. Aplicando la expresión del término general de unaprogresión geométrica, se tiene que:

a6 = a1 · r 5 → 96 = 3 · r 5 → 32 = r 5 → r = 2

Por tanto, la progresión geométrica es: 3, 6, 12, 24, 48, 96.

Este problema, que consiste en intercalar varios términos entre dos dados, se denomina interpolación. Los términos que hemos hallado se llaman medios geométricoso proporcionales

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.

2.2.3.- Producto de n términos consecutivos.

Observemos que en la progresión geométrica:

3, 6, 12, 24, 48

el producto de los términos extremos es:

3 · 48 = 144

y que el producto de los términos equidistantes de los extremos es también 144.

En general, en una progresión geométrica limitada se verifica:

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

En una progresión geométrica limitada, el producto de los términos equidistantes de losextremos es igual al producto de los extremos.

Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula del producto de n términos consecutivosde una progresión geométrica. Llamemos P

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nal producto de los ntérminos y escribamos el producto dos veces, invirtiendo los factores en una de ellas.

Pn = a1 · a2 · ... · an-1 · an

Pn = an · an-1 · ... · a2 · a1 X

Multiplicando las dos igualdades resulta:

Pn2 = (a1 · an) · (a2 · an-1) · ... · (an-1 · a2) · (an · a1)

Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 · an) se tiene:

Pn2 = (a1 · an) · (a1 · an) · ... · (a1 · an) = (a1 · an) n

de donde:

2.2.4.- Suma de n términos consecutivos.

Si queremos calcular la suma de los términos de la progresión geométrica limitada a1, a2, a3,...,

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an-1, an, escribimos la suma Snde los ntérminos y después multiplicamos por la razón.

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an

Sn· r = a1· r + a2· r + ... + an-1· r + an· r

Ahora restamos Sn· r - Sn teniendo en cuenta que a1· r = a2,   a2· r = a3, etc.

Sn· r - Sn = an· r - a1 → Sn· (r - 1) = an· r - a1,

de donde:

Usando la expresión del término general de una progresión geométrica an = a1· rn, se puedeobtener la fórmula de la suma en función de a1y rasí:

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2.2.5.- Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente.

La progresión an = 2 · 10 1 - n → 2, 2/10, 2/100, 2/1000, ... es una progresión geométrica derazón positiva y menor que 1 ( r = 1/10), es decir, es una progresióngeométrica decreciente e ilimitada y sus términos se hacen cada vez menores, pudiendo llegara ser más pequeños que cualquier número dado.

Para obtener la fórmula de la suma de estas progresiones multiplicamos por -1 el numerador yel denominador de la fórmula anterior:

Si r es positivo y menor que la unidad, por ejemplo r = 1/100, ¿qué ocurre con la suma anterioral crecer n?

La primera fracción permanece constante, pues no depende de n, pero rn se hace tan pequeñocomo queramos. Por esta razón, para hallar la suma de los infinitos términos de una progresióngeométrica decreciente se utiliza esta fórmula:

2.3.- Interés simple e interés compuesto.

Una aplicación clara de las progresiones geométricas es el interés compuesto. Vamos a verlo

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con un ejemplo y recordando previamente el interés simple.

Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco pagaintereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llamasimple o compuesto.

¿En cuánto se convierte un capital de 1.600.000 ptas. al 10 % en dos años a interés simple?¿Y a interés compuesto?

Veamos cada caso por separado:

2.3.1.- Interés simple. - Como el interés que produce 1 peseta en 1 año es de 10/100 ptas. = 0,1 ptas., el interéstotal es:

1.600.000 · 0,1 = 160.000 ptas.

Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: 1.600.000ptas. En el segundo año, el capital vuelve a producir otras 160.000 ptas.

- En los dos años el interés producido es:

160.000 + 160.000 = 320.000 ptas.

Por tanto, el capital se convierte en los dos años en:

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1.600.000 + 320.000 = 1.920.000 ptas.

- Se puede obtener directamente el interés en los dos años:

i = 1.600.000 · 0,1 · 2 = 320.000 ptas.

En general, si C es el capital, r es el tanto por ciento anual y t es el tiempo en años, entonces elinterés simple es:

Si el tiempo viene dado en meses la fórmula es:

Si el tiempo viene expresado en días la fórmula es:

2.3.2.- Interés compuesto. - En el primer año la ganancia del capital es la misma estando depositado a interés simpleo a interés compuesto: 160.000 ptas.

Al final del primer año las 160.000 ptas. ganadas no se retiran, por lo que el capital, al empezarel segundo año, es de 1.760.000 ptas.

En el segundo año el interés que 1.760.000 ptas. producen es:

1.760.000 · 0,1 = 176.000 ptas.

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- En los dos años el interés producido es:

160.000 + 176.000 = 336.000 ptas.

Por tanto, el capital de 1.600.000 ptas. se convierte en los dos años en:

1.600.000 + 336.000 = 1.936.000 ptas.

- Se puede obtener directamente el capital final al cabo de los dos años: 1. Calcula el término que ocupa el lugar 100 de una progresión aritmética cuyo primertérmino es igual a 4 y la diferencia es 5. 2. El décimo término de una progresión aritmética es 45 y la diferencia es 4. Halla el primertérmino. 3. Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 4, la diferencia 7 y eltérmino n-ésimo 88, halla el número de términos. 4. Halla el primer término de una progresión aritmética y la diferencia, sabiendo que a3 = 24y a 10= 66. 5. El término sexto de una progresión aritmética es 4 y la diferencia 1/2. Halla el término20. 6. Interpola cuatro medios aritméticos entre los números 7 y 27. 7. Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas, expresadas enmetros, están en progresión aritmética de diferencia 3. 8. Halla tres números que estén en progresión aritmética y tales que, aumentados en 5, 4 y7 unidades respectivamente, sean proporcionales a 5, 6 y 9. 9. Calcula la suma de los múltiplos de 59 comprendidos entre 1000 y 2000. 10. El producto de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 80 y ladiferencia es 3. Halla dichos términos. 11. ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética 2, 8, 14,... para obtenercomo resultado 1064? 12. La suma de n números naturales consecutivos tomados a partir de 11 es 1715.¿Cuántos términos hemos sumado? 13. Sabiendo que el quinto término de una progresión aritmética es 18 y la diferencia es 2,halla la suma de los nueve primeros términos de la sucesión. 14. Se consideran 16 términos consecutivos de una progresión aritmética . La diferencia delos dos extremos es 16, y la suma del cuarto y el decimotercero es 18. Calcula los extremos. 15. Una progresión aritmética limitada de 10 términos es tal que la suma de los extremos

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es igual a 20, y el producto del tercero y el octavo es 75. Formar los 10 primeros términos de laprogresión. 16. La suma de tres números en progresión aritmética es 33 y su producto 1287. Hallaestos números. 17. Tres números en progresión aritmética tienen por producto 16640; el más pequeño vale20. Halla los otros dos. 18. El producto de cinco números en progresión aritmética es 12320 y su suma 40. Hallaestos números sabiendo que son enteros. 19. Calcula tres números sabiendo que están en progresión aritmética, que su suma es 18y que la suma del primero y del segundo es igual al tercero disminuido en dos unidades. 20. La suma de los once primeros términos de una progresión aritmética es 176 y ladiferencia de loa extremos es 30. Halla los términos de la progresión. 21. Halla cuatro números en progresión aritmética, conmociendo su suma, que es 22, y lasuma de sus cuadrados, 166. 22. La diferencia de una progresión aritmética es 4. El producto de los cuatro primerostérminos es 585. Halla los términos. 23. Halla los seis primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que los tresprimeros suman - 3 y los tres últimos 24. 24. En una progresión aritmética el undécimo término excede en 2 unidades al octavo, y elprimero y el noveno suman 6. Calcula la diferencia y los términos mencionados. 25. En una progresión aritmética, los términos segundo y tercero suman 19, y los términosquinto y séptimo suman 40. Hállalos. 26. Halla los ángulos de un triángulo sabiendo que están en progresión aritmética. 27. Sabiendo que las medidas de los tres ángulos de un triángulo están en progresiónaritmética y que uno de ellos mide 100º, calcula los otros dos. 28. Halla las dimensiones de un ortoedro sabiendo que están en progresión aritmética ,que suman 78 m. y que el volumen del ortoedro es de 15470 m 3. 29. Los seis ángulos de un hexágono están en progresión aritmética. La diferencia entre elmayor y el menor es 60º. Calcula el valor de cada ángulo. 30. Las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo están en progresiónaritmética y suman 36 metros. ¿Cuánto mide cada lado? 31. Un coronel manda 5050 soldados y quiere formar con ellos un triángulo para unaexhibición, de modo que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres, etc.¿Cuántas filas tienen que haber? 32. Por el alquiler de una casa se acuerda pagar 80000 ptas. al mes durante el primer año,y cada año se aumentará el alquiler en 6000 ptas. mensuales. ¿Cuánto se pagarámensualmente al cabo de 12 años? 33. Las edades de cuatro hermanos forman una progresión aritmética, y su suma es 32años. El mayor tiene 6 años más que el menor. Halla las edades de los cuatro hermanos. 34. Un esquiador comienza la pretemporada de esquí haciendo pesas en un gimnasiodurante una hora. Decide incrementar el entrenamiento 10 minutos cada día. ¿Cuánto tiempodeberá entrenar al cabo de 15 días? ¿Cuánto tiempo en total habrá dedicado al entrenamientoa lo largo de todo un mes de 30 días? 35. En una sala de cine, la primera fila de butacas dista de la pantalla 86 dm, y la sexta,

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134 dm. ¿En qué fila estará una persona si su distancia a la pantalla es de 230 dm? 36. Calcula el término undécimo de una progresión geométrica cuyo primer término esigual a 1 y la razón es 2. 37. El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cincoprimeros términos de dicha progresión. 38. En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es28672. ¿Qué lugar ocupa dicho término? 39. Sabiendo que el séptimo término de una progresión geométrica es 1 y la razón 1/2,halla el primer término. 40. Interpola tres medios geométricos entre los números 8 y 128. 41. En una progresión geométrica se sabe que el término decimoquinto es igual a 512 yque el término décimo es igual a 16. Halla el primer término y la razón. 42. Descompón el número 124 en tres sumandos que formen progresión geométrica,siendo 96 la diferencia entre el mayor y el menor. 43. El volumen de un ortoedro es de 3375 cm3. Halla la longitud de sus aristas, sabiendoque están en progresión geométrica y que la arista intermedia mide 10 cm. más que la menor. 44. Halla el producto de los ocho primeros términos de la progresión 3, 6, 12, 24,... 45. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24,...

46. La suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces lasuma de los cuatro primeros. Halla el valor de la razón. 47. Halla la suma de los términos de la progresión ilimitada: 8, 4, 2, 1,... 48. Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 26 y suproducto 216. 49. Calcula el producto de los once primeros términos de una progresión geométricasabiendo que el término central vale 2. 50. Tres números en progresión geométrica suman 525 y su producto vale un millón.Calcula dichos números. 51. Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primerossumen 0,5 y los dos últimos 0,125. 52. ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que elprimer término es 7, el último 448 y su suma 889? 53. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es7651. Halla el primero y el séptimo términos. 54. Halla tres números en progresión geométrica cuyo producto es 328509, sabiendo queel mayor excede en 115 a la suma de los otros dos. 55. Tres números están en progresión geométrica; el segundo es 32 unidades mayor queel primero, y el tercero, 96 unidades mayor que el segundo. Halla los números. 56. Halla los cuatro primeros términos de una progresión geométrica, sabiendo que elsegundo es 20 y la suma de los cuatro primeros es 425. 57. Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión geométrica yque el mayor es 27 veces el menor. 58. Las dimensiones de un ortoedro están en progresión geométrica. Calcula estasdimensiones sabiendo que su perímetro es 420 m. y su volumen 8000 m 3 59. Divide el número 221 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal

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que el tercer término sobrepasa al primero en 136. 60. La suma de tres números en progresión geométrica es 248 y la diferencia entre losextremos 192. Halla dichos números. 61. Halla cuatro números en progresión geométrica sabiendo que la suma de los dosprimeros es 28 y la suma de los dos últimos 175. 62. En una progresión geométrica, los términos primero y decimoquinto son 6 y 54,respectivamente. Halla el término sexto. 63. Una progresión geométrica tiene cinco términos, la razón es igual a la cuarta parte delprimer término y la suma de los dos primeros términos es 24. Halla los cinco términos. 64. Halla x para que x - 1, x + 1, 2(x + 1) estén en progresión geométrica. 65. A una cuerda de 700 m. de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de lostrozos extremos tiene una longitud de 100 m. Sabiendo que las longitudes de los trozos estánen progresión geométrica, determina la longitud de cada trozo. 66. Halla la fracción generatriz del número decimal 0,737373... como suma de los términosde una progresión geométrica ilimitada. 67. Se tiene una cuba de vino que contiene 1024 litros. El 1 de octubre se vació la mitaddel contenido; al día siguiente se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y asísucesivamente todos los días. ¿Qué cantidad de vino se sacó el día 10 de octubre? 68. Dado un cuadrado de 1 m. de lado, unimos dos a dos los puntos medios de sus lados;obtenemos un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la misma operación, y asísucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas así obtenidas. 69. ¿Qué profundidad tendrá un pozo si por el primer metro se han pagado 7600 ptas. ypor cada uno de los restantes 1500 ptas. más que por el anterior, sabiendo que en total se hanpagado 43600 ptas.? 70. Tres números cuya suma es 36 están en progresión aritmética. Halla dichos númerossabiendo que si se les suma 1, 4 y 43, respectivamente, los resultados forman una progresióngeométrica.

- Órbita 2000. Matemáticas 4º ESO. Editorial Santillana. - Algoritmo I. Matemáticas 1º BUP. Editorial SM.

C = 1.600.000 · (1 + 0,1)2 = 1.936.000 ptas.

En general, el capital final (Ct) que se obtiene a partir de un capital C en t años, al tanto porciento anual r es:

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3.- Ejercicios propuestos.

4.- Apéndice: Curiosidades matemáticas.

4.1.- Gauss, de niño, hace un descubrimiento.

Gauss provenía de una familia muy modesta. Su padre fue jardinero y pintor de brocha gorda.Las dotes matemáticas del joven Gauss se manifestaron muy pronto.

Se cuenta de él que un día, a la edad de nueve años, cuando llegó a la clase de aritmética dela escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus compañeros que sumasen todos losnúmeros del 1 al 100. Gauss se paró a pensar, y en lugar de sumar todos, uno por uno,resolvió el problema en pocos segundos de la manera siguiente:

1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050

es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos de una progresiónaritmética. A consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaron por él. Gauss estudiómatemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas de Kazán, catedrático de astronomía ydirector del Observatorio Astronómico de Gotinga.

4.2.- La petición del inventor de ajedrez.

Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la India. Elpríncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para lo cual le dijo:"Pídeme lo que quieras, que te lo daré".

El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente:

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"Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por lasegunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciseis por la quinta, y así sucesivamentehasta la casilla 64".

La sorpresa fue cuando el secretario del príncipe calculó la cantidad de trigo que representabala petición del inventor, porque toda la Tierra sembrada de trigo era insuficiente para obtener eltrigo que pedía el inventor.

¿Cuántos trillones de granos de trigo pedía aproximadamente?

Utliliza la calculadora para hallar el total de granos de trigo:

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 262 + 263

5.- Bibliografía.

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