1.-fundamentos de elasticidad

*DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIASF S I C A 2ELASTICIDADAutor: Segundo Lizardo Gallardo ZamoraTrujillo-2011

La elasticidad es el estudio del grado de deformaciones (transito-rias o permanentes) que sufren los cuerpos cuando son someti-dos a fuerzas externas.ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo ZamoraEstas deformaciones se deben a la variacin de las posicin relativa de las molculas o enlace interatmico de los tomos de un cuerpo bajo la accin de una fuerza mecnica neta externa del tipo traccin, compresin o torsin.En la Fig.1 se muestra un modelo simplifica-do de estas deforma-ciones, considerando a los enlaces como resortes que unen tomos y molculas

Segundo L. Gallardo Zamora

En las Fig.2, Fig. 3 y Fig.4, se muestran algunos tipos de deforma-ciones que realizamos o vemos en la vida prcticaELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo ZamoraSi el cuerpo deformado recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo elstico o que tuvo una deformacin transitoria.En cambio, si el cuerpo deformado no recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo plstico o que tuvo una deformacin permanente


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo ZamoraLos cuerpos de comportamiento plstico pueden romperse si la fuerza deformadora sigue actuando sobre estos, tal como se muestra en la Fig.5Esfuerzo (Fatiga o Tensor de esfuerzo: ). Es la relacin entre la fuerza deformadora y el rea de la superficie sobre la cual acta.


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo ZamoraUnidades: N/m2, din/cm2 , pd/pie2 , Kgf/m2 , Lbf/pie2 Deformacin (Tensor de Deformacin o deformacin unitaria). La deformacin es un nmero sin unidades Es la medida del grado de deformacin que sufre una determina-da dimensin del cuerpo cuando es sometida a un esfuerzo.

Segn la dimensin que se tome en cuenta la deformacin puede ser varios tipos


I. Deformacin longitudinal. Es la deformacin que sufre la di-mensin paralela a la direccin de la fuerza deformadora.ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora Ejemplo 1. Un cable deformado por estiramiento como el mostrado en la Fig.6 y Fig.7


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora En todos los cuerpos, la deformacin en una determinada dimensin implica tambin deformaciones en las dimensiones transversales a la direccin de la fuerza, como se ilustra en la Fig.7 para una barra cilndrica. II. Deformacin transversal. Es la deformacin que sufre la di-mensin transversal (perpendicular) a la direccin de la fuerza deformadora.Por ejemplo, en una varilla cilndrica la deformacin transversal est definida por el dimetro. Por lo tanto:Razn de Poisson. Es la relacin entre la deformacin transversal y la deformacin longitudinal.


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora Para una barra cilndrica de dimetro inicial Do y longitud inicial Lo, como el de la Fig.7, la razn de Poisson es:La razn de Poisson es un nmero sin unidades y el signo negativo permite cancelar el signo negativo que puede surgir en la deformacin lineal o en la deformacin transversal. Su valor est entre 0.0 y 0.5.Pregunta. Cmo definira: a) la deforma-cin longitudinal, b) la deformacin trans-versal y c) la razn de Poisson de la barra rectangular de la Fig.8, sometida a la fuer-za deformadora F paralela a la arista b.


III. Deformacin por torsin (corte o cizalladura). Es la deforma-cin o desplazamiento que sufren los planos o capas de un cuer-po por efecto de una fuerza tangencial que produce un torque.ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora Ejemplo 3. La deformacin por torsin que sufre el alambre atado a un disco, como el de la Fig.9 se mide mediante el pequeo ngulo que gira el disco por accin del torque .Figura 4IV. Deformacin volumtrica. Es la deformacin de volumen de un cuerpo como consecuencia de la variacin de la presin externa que acta sobre el cuerpo.


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora Mdulo de Elasticidad.El mdulo de elasticidad se define como la razn entre el esfuerzo y la deformacin correspondiente.


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora El mdulo de elasticidad es una constante caracterstica del material del cual esta hecho un cuerpo. Esta constante es igual a la pendiente del grfico del esfuerzo vs la deformacin, como se muestra en la Fig.10Tipos de mdulos.Mdulo de Young. Este mdulo mide la resistencia de un slido a un cambio de longitud, como el de la varilla mostrada en la Fig. 11. La relacin lineal entre y se denomina la Ley de Hooke y es vlida dentro del lmite de elasticidadEsfuerzo = (const) Deformacin


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora Unidades: N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2Mdulo de Torsin (Corte,Rigidez o Cizalladura) Este mdulo mide la resistencia que presentan los planos (o capas) de un slido a ser desplazados unos con respecto a otros por accin de una fuerza tangencial que acta sobre la superficie del cuerpo.


ELASTICIDAD*Segundo L. Gallardo Zamora Ejemplo 4.

Si mediante la fuerza F, que acta tangencialmente a la superficie de rea A, deformamos el bloque de la Fig.12, se tiene que:y la deformacin por corte es: c = Tan = x / hc = rad.Entonces:Si el ngulo de deformacin es pequeo: Tan rad.


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora Por lo tanto, el mdulo de corte se define como:Mdulo Volumtrico. Mide la resistencia que presentan los slidos o lquidos a cambiar de forma cuando son sometidos a un cambio de presin.Ejemplo 5. En la Fig.13 tenemos un parale-leppedo sujeto a la accin del esfuerzo volumtrico definido por:


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora Como B siempre debe ser (+), se incluye el signo (-) en la expresin anterior para cancelar el signo (-) que puede surgir en P o en V. Que produce la:Entonces:Por lo tanto:Las unidades del mdulo volumtrico son iguales a las del mdulo de Young.N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2


ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora La unidades del mdulo de compresibilidad son el inverso de la unidades del mdulo volumtricoLos valores de los mdulos de elasticidad y la razn de Poisson, para diversos materiales, se dan en los textos de Fsica, tal como se muestran en la Tabla 1.m2 / N, cm2 / din, pie2 / pd, m2 / kgf, pie2 / lbfMdulo de Compresibilidad.

Este mdulo se define como el inverso del mdulo volumtrico


TABLA 1. Mdulos de Elasticidad de algunos materiales**Segundo L. Gallardo ZamoraELASTICIDAD


Relaciones entre mdulos de elasticidad.ELASTICIDAD**Segundo L. Gallardo Zamora Usando la Tabla 1, se puede verificar que en cuerpos Isotrpi-cos (de igual propiedad en todas direcciones) y Homogneos (igual densidad) los tres mdulos de elasticidad se relacionan mediante la expresin:Ejemplo 1Un alambre de 100 [cm] de longitud y 0,64 [cm] de radio es sujetado en su extremo superior y tiene una carga de 1,2 [kgf] en su extremo inferior. Si el mdulo de Young es 9,0x1011 [din/cm2] y la razn de Poisson es 0,30, calcular: a) la deformacin por extensin, b) la disminucin en el radio y c) la disminucin en el rea de la seccin transversal del alambre.Datos: L = 100 [cm] = 1,00 [m]; ro = 0,64 [cm] = 0,0064 [m]; F = 1,2 [kgf] = 11,772 [N]; E = 9,0x1011 [din/cm2] = 9,0x1010 [N/m2] y = 0,30


Solucin

ELASTICIDAD01/05/2009 20:13*Segundo L. Gallardo Zamora **Segundo L. Gallardo Zamora La deformacin por extensin L = L/Lo , se puede obtener del mdulo de Young es: E = (F/A)/(L/Lo) de donde L = (L/Lo) = F/AE y como el rea de la seccin transversal es: A = (0,0064)2 = ... m2 Entonces: L = (11,772/[( .. )(9,0x1010 )] L = La disminucin en el radio se obtiene de = (D/Do)/(L/Lo), de donde: D = Do(L/Lo) = Do L

y como D = 2 r, se demuestra que: D = 2r = 2 ro L Entonces r = ro L = [m] La disminucin en la seccin transversal del re es:

A = (r2 r2o) = [(ro + r )2 r2o] 2 ro r


Se obtiene esta expresin porque al calcular A, no se ha consi-derado potencias de segundo o mayor orden en ( r), por ser una cantidad muy pequea. Por lo tanto, usando valores se tiene: A . . . . . . . . m2

ELASTICIDAD01/05/2009 20:13*Segundo L. Gallardo Zamora **Segundo L. Gallardo ZamoraUn martillo de 0,300 [kg] golpea con una rapidez de 20 [m/s] en un clavo de acero de 2,5 [mm] de dimetro. Rebota con una rapidez de 10 [m/s] en 0,11 [s]. Cul es la deformacin longitudinal promedio del clavo durante cada impacto?Ejemplo 2Datos: m = 0,300 [kg]; V1 = 20 [m/s]; Do= 2,5 [mm] = 2,5 x10-3 [m]; V2 = 10 [m/s]; t = 0,11[s].Solucin.La deformacin es por compresin es L = L/Lo , y como el mdulo de Young es: E = (F/A)/(L/Lo)Entonces : (L/Lo) = L = F/AE.


Para calcular la fuerza usamos la relacin entre impulso y mo-mento lineal:Ft = m v. F = m v/t. ELASTICIDAD01/05/2009 20:13*Segundo L. Gallardo Zamora **Segundo L. Gallardo ZamoraEjemplo 3Dos placas metlicas se mantienen juntas por medio de cuatro remaches de dimetro 0,50 [cm], como se muestra en la Fig.15. Si el esfuerzo mximo de corte que puede soportar cada remache es de 3,0x108 [N/m2]. Cunta fuerza paralela a las placas es necesaria aplicar para desprender los remaches?Datos: D = 0,50 [cm] = 0,0050 [m]; c = 3,0x108 [N/m2]Entonces: F = 0,300(30)/0,11= Finalmente:(L/Lo) = .


SolucinELASTICIDAD01/05/2009 20:13*Segundo L. Gallardo Zamora **Segundo L. Gallardo ZamoraEl esfuerzo por corte aplicado sobre un remache es: c = FT /Ay para n remaches es: F = n A , con A = D2/4Ejemplo 4Una esfera de vidrio tiene un radio de 10,0 [cm] a la presin atmosfrica normal. (1,013x105 [Pa]). Calcular el cambio de radio a de la esfera si: a) es llevada a la luna (presin esencialmente igual a cero) y b) es colocada en el fondo del ocano, donde la presin es de 8,0x107 [Pa].Usando valores: F = ..[N]De donde la fuerza tangencial o paralela que se aplica a las placas para desprender un remaches es: FT = A


Datos: ro = 10,0 [cm] = 0,100 [m]; Po = 1,013x105 [Pa] = 1,013x105 [N/m2] = 1 atm; P1 0, P2 = 8,0 x107 [Pa] y Bvidrio = 5,6x1010 [N/m2]ELASTICIDAD01/05/2009 20:13*Segundo L. Gallardo Zamora **Segundo L. Gallardo ZamoraSolucin

El cambio en el radio se obtiene del mdulo volumtrico: B = Vo P/V. de donde: V = Vo P/B. Pero: V = (4/3)(r3 r3o) 4 r2o rpor lo tanto: V = 4 ro2 r = (4/3)ro3 (Po P)/Bque simplificando se tiene: r = (ro/3)(Po P)/B En esta pregunta se usa la misma frmula anterior.El uso de valores numricos y operaciones matemticas queda como ejercicio para el alumno


ELASTICIDAD01/05/2009 20:13*Segundo L. Gallardo Zamora **Segundo L. Gallardo ZamoraTrabajo de grupo en aula N 01Un peso de 450 kgf es suspendido del extremo libre de un cable cuya dime-tro es 2,54 cm. Cul es el esfuerzo en el cable?Un alambre circular tiene un esfuerzo de 9,06x105 kgf/m2 producido por un peso de 4,80 kgf. Cul es el dimetro del alambre?Una alambre de 35 cm de longitud se estira hasta alcanzar una longitud de 35.07 cm. Cul es la deformacin lineal del alambre?Una viga cuadrada de acero, de 4 cm de lado y 5,20 m de longitud soporta una carga que la comprime longitudinalmente en 6,25 mm. Cul es la magnitud de la carga? Un semforo de 50 kgf es sostenido mediante dos cables iguales de acero cuyo radio es 1 cm. Si los cables forman un ngulo de 14 con la horizontal, cul es la deformacin longitudinal y la deformacin transversal del alambre?Un cubo de latn de 6 cm de lado es sometido a una fuerza uniforme de 2,5x102 N en cada una de sus caras. Calcular la deformacin volumtrica del cubo.FIN


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