UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOINTRODUCCION: El teorema fundamental del clculo consiste en la afirmacin de que la derivacin e integracin de una funcin son operaciones inversas. Esto significa que toda funcin continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemticas denominado anlisis matemtico o clculo. 1.1 MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS hastaDEFINICION DE AMORFA:

La notacin sigma :

La ecuacin anterior se lee la "suma de ."

desde

DONDE: Indica una suma. K es el ndice de la suma o variable de la sumatoria. Los nmeros 1 y n indican sus valores extremos. Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su rea se le es muy difcil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.

n forma determinada. el griego, prefijo a, negacin, y la palabra morfo, forma; literalmente, sin forma.)

NOTA: Se puede utilizar cualquier variable como ndice de suma; i,j y k

EJEMPLOS DE FIGURAS AMORFAS:

EJEMPLOS CON LA NOTACION SIGMA.

1 . 2 .1.1 NOTACION SUMATORIA (NOTACION SIGMA) En nuestro desarrollo de la integral definida se empleara sumas de muchos nmeros. Para expresar dichas sumas en forma compacta, es conveniente usar la notacin de suma, (notacin sumatoria o notacin sigma). DEFINICION:

i=16i i=05(i+1) j=37j2 k=1n1n(k2+ 1) i=1nf(xi)x i=14i2(i-3) i=032i(i+1)

3 . 4 . 5 . 6 . 7 .

El sumatorio o la sumatoria es un operando matemtico que permite representar de muchos sumandos.

PARA REALIZAR EN CLASEEl nombre de esta notacin se denomina de la letra griega: (Sigma mayscula, que corresponde a nuestra S de "suma").

CALCULO INTEGRAL

Pgina 1

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOCalcule la siguientes Series:

5.

1.

6.

7.

i=1nc=cn

2.

Evaluacion de una suma aplicando las propiedades.

i=1ni+1n2 SOLUCION:3.

1n2i=1n(i+1) 1n2i=1n(i) +i=1n(1)Exprese cada suma en notacin sigma:

1n2, factor constante fuerade la suma. (3) Escribir como dos sumas. (1)

4.

1n2n(n+1)2+n 1n2n2+3n2 n+32n

Aplicar propiedades. (4 y 7) Simplificar Simplificar

1.

PARA REALIZAR EN CLASE

2.PROPIEDADES DE LAS SUMAS:

1.

2.

3.

1.4. 5.

2.

3.

4.

1.1 SUMAS DE RIEMANN

CALCULO INTEGRAL

Pgina 2

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOEn matemticas, la suma de Riemann es un mtodo para aproximar el rea total bajo la grfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemtico alemn Bernhard Riemann.SUMA DE RIEMANN : Sea f una funcion definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea una particion de [a,b] dada por:

f(w1)x1+f(w2)x2+f(w3)x3+f(w4)x4+f( w5)x5 =f1234+f114 12+f134 14+f212+f234 (34) =39434+1351612+1111614+612+3916(3 4) =11716+13532+11164+3+11764=57932 =18.093

Rp=i=1nf(wi)xi

wi=es algn numero en [xi-1,xi] para i=1,2,..,n.DONDE:

PARA REALIZAR EN CLASEDadafx=8-x2/2, encontrar la suma de riemann para la funcin

xi= es el ancho del i-esimo subintervalo.f en 0,6 para la particin. Dada:

METODOS: Hay cuatro mtodos comunes para computar una suma de Riemann: Izquierdo Derecho Medio Trapezoidal.

x0=0,x1=1.5, x2=2.5 , x3=4.5 , x4=5, x5=6 w1=1,w2=2, w3=3.5,w4=5, w5=5.5

APROXIMACION CON LA SUMA DE RIEMANN El rea por debajo de una curva puede ser aproximada con la suma de Riemann: 1.4. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA Si F se define en el intervalo cerrado [a,b] y el lmite:

lim0i=1nf(ci)xi

Area=k=1nf(wk)xk

Entonces f es integrable en [a,b] y el limite se denota por:

wk=es algn numero en [xi-1,xi] para i=1,2,DONDE: ..,n.

lim0i=1nf(ci)xi=abfxdx

xk= es el ancho del i-esimo subintervalo.NOTA: Dadafx=10-x2, con 1/4x3, encontrar la suma de riemann para la funcin f en 1/4,3 para la particin. Dada: -Una integral definida es un nmero, en tanto que una integral indefinida es una familia de funciones.

x0=14,x1=1, x2=112, x3=134, x4=214, x5=3 w1=12,w2=114 , w3=134,w4=2, w5=234

DONDE:

ci=a+i(x)El ancho del subintervalo mas grande de la particin es la norma de la particin y se denota por medio de . Particion

SOLUCION: Area=k=15f(wk)xk

=x=b-an

CALCULO INTEGRAL

Pgina 3

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOordinaria Particion general

xi=x b-an =6n-2n+3n2+32=-12+9+9n limn-12+9+9n=-12+9=-3

HALLAR LA INTEGRAL DEFINIDA: -212xdx

La solucin f(x)=2x es integrable en el intervalo [-2,1]

SOLUCION: 1. 4106dx

PARA REALIZAR EN CLASE: Hallar la integral indefinida.2.

03x+2dx

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO REA DE UNA REGIN:

lim0i=1nf(ci)xi limni=1nf(ci)xi

Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b], entonces el rea de la regin acotada por la grafica de f del eje x y las rectas verticales x=a y x=b est dada por :

rea:

fci=funcin ci=a+i(x) xi=x= b=1,a=-2 xi=x=1+23=3n ci=-2+i3n=-2+3i/n limni=1nf(ci)xi=i=1nf(2+3i/n)3nEscribir la integral: fx=4x-x2

abF(x)dx

04(4x-x2)dx

i=1n2(-2+3i/n)3n=i=1n6n(-2+3i/n) 6ni=1n(-2+3i/n) 6ni=1n-2+i=1n3i/n=6ni=1n2+3ni=1ni 6ni=1n-2+3ni=1ni=6n2n+3nn(n+1)2 =6n-2n+3nn2+n2=6n2n+3n2+3n2n =6n-2n+3n22n+3n2n CALCULO INTEGRAL Pgina 4

Ejemplo de reas de figuras geomtricas comunes. Dibujar la region correspondiente a cada integral definida. Evaluar despus cada integral utilizando una formula geomtrica. a. b. c.

134dx

03(x+2)dx

-224-x2dx

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOd/dx(x3)=3x2Rectangulo Trapezoide semicirculo EJEMPLO:

A=lw

A=12ha+b

A=12r2

2xes la derivada de x2 3x2es la derivada de x3

=2*4=8

=1232+5=2 1/2

=12(2)2=2 Definicion de una antiderivada o primitiva Se dice que una funcin f es una antiderivada o primitiva de f, en un intervalo I si:

1.5. TEOREMA DE EXISTENCIA Y 1.6. PROPIEDADES Definicion de dos integrales definidas especiales: 1. Si f esta definida en x=a, entonces se define:

Fx=f(x)Ejemplo:

aafxdx=0

F1x=x3,F2x=x3-5, F3x=x3+97Son todas antiderivadas de:

fx=3x2

2. Si f es integrable en [a,b], entonces se define: bafxdx=-abfxdx3. Propiedades aditiva de intervalos: Si f es integrable en los tres intervalos cerrados determinados por a,b y c.

Fx=x3+C es una antiderivada de f.

abfxdx=acfxdx+cbfxdx4. Propiedades de las integrales definidas: si f y g son integrables en [a,b] y k es una constante entonces las funciones k y f y fg son integrables en [a,b]:

Diferenciales:

abkfxdx=kabfxdx abf(x)g(xdx=abfxdxabgxdx

y=3x2-2x+1 dy=6xdx-2dx=6x-2dx dy=fxdx fxdx=Fx+CPARTES DE UNA INTEGRAL

13(-x2+4x-3)dx, Utilizando los siguientesvalores:

13x2=26/3, 13xdx=4, 13dx=2 SOLUCION: 13(-x2)dx+13(4x)dx+13(-3)dx -13(x2)dx+413(x)dx-313dx -263+44-32=4/31.7. FUNCION PRIMITIVA (ANTIDERIVADAS) Suponer que se decide encontrar una funcin f cuya derivada es :

fxdx=Fx+CLa antiderivada o primitiva de f con respecto a x. Donde: f(x)=integrando dx=variable de integracin C=constante de integracin

fx=3x2 CALCULO INTEGRAL Pgina 5

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOF es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo. La integral indefinida es sinnimo de antiderivada.

-212xdx

4106dx

03x+2dx

04(4x-x2)dx

13(-x2+4x-3)dx

134dx

REGLAS BASICAS DE INTEGRACION:

1.8. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO. Se ha visto ya dos de las principales ramas del clculo: el clculo diferencial y el clculo integral. El teorema fue enunciado por Newton y Leibniz. De manera informal, el teorema establece que la derivacin y la integracin (definida) son operaciones inversas, asi como la divisin y la multiplicacin. El teorema fundamental del calculo establece que los procesos de limite (utilizandos para definir la derivada y la integral definida). El teorema fundamental del calculo Si una funcion f es continua en el intervalo cerrado y F es una antiderivada de f en el intervalo cerrado, entonces:

1.10. INTEGRALES IMPROPIAS Es la concideracion de un intervalo infinito de integracin. Si f es continua para toda x xa, entonces:

abfxdx=Fb-F(a)

afxdx=limbabfxdxSi f es continua para toda x xb, entonces:

-bfxdx=lima-abfxdxSi f es continua para todos los valores de x, entonces: 1.9. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS. REPASO: INTEGRACION Y ANTIDERIVADA A lo largo de esta unidad, se ha estado utilizando es signo de integral para denotar una antiderivada o primitiva y una integral definida. Antiderivada: EJEMPLO:

-fxdx=lima-a0fxdx+limb0bfxdx

-2dx(4-x)2 =lima--2dx4-x2=lima-a2dx4-x2= lima-a2(4-x)-2dx=-a2u-2du=-u-1-1=1u

fxdx

Integracin definida:

abf(x)dx

u=4-x du=-1 lima-14-x2a=lima-14-2-14-a

CALCULOS:

CALCULO INTEGRAL

Pgina 6

UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOlima-12-14-a=12-0=1/2 -+xdx=lima-a0xdx+limb0bxdx x220a+x22b0=(0)22-(a)22+(b)22-(0)22 =-(a)22+(b)22=lima--a22+b22=no existe

CALCULO INTEGRAL

Pgina 7